\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}

\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\ендпрооф{\endproof}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Метрическая геометрия\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\makeatother


\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Метрическая геометрия 6: \\[3mm]
теорема Картана-Адамара}\\[14mm]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 21 марта, 2016\\
НМУ}
\end{center}

\невпаге

{\bf \blue Внутренняя метрика (повторение)}


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение
отрезка $[a,b]= [a,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$
Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим
$L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).$ 
Определим {\бф\блуе длину пути} $\gamma$ формулой
\[ L_d(\gamma):= \sup_{a<x_1< ... <x_{n-1}<b}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}).
\]
где супремум берется по всем разбиениям отрезка.
Путь $\gamma$ называется {\бф\блуе спрямляемым}, если
$L_d(\gamma)<\infty$. 


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
а  $\hat d(x, y)$ равно инфимуму 
длин путей, соединяющих $x$ и $y$. Она называется
{\бф \блуе внутренней метрикой, индуцированной $d$.}

\теорема
Для любого метрического пространства, $\hat {\hat d}=\hat d$.


\определение
Метрика $d$ на $M$ называется {\бф \блуе внутренней},
если $\hat d=d$.

\замечание 
Финслеровы и римановы метрики,
построенные раньше, {\бф \ред являются внутренними}.

\newpage

{\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве (повторение)}


{\bf \green Определение:}
Непрерывное отображение $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$
называется {\bf \blue кратчайшей}, если его длина равна 
$d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$.

\замечание
{\bf \purple Любой отрезок кратчайшей - снова кратчайшая.}

{\bf \green Определение:}
Пусть $\phi:\; [a, b] \arrow [c,d]$ -- монотонное
отображение, переводящее концы отрезка в
концы. Предположим, что  $\phi \circ\gamma$ непрерывно.
Тогда $\phi \circ\gamma$ называется {\bf \блуе репараметризацией} 
пути $\gamma$.
{\bf \блуе Параметризация $\gamma$} --  выбор пути в классе
путей, эквивалентных с точностью до репараметризации.


{\bf \green Определение:}
Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая,
соединяющая $x$ и $y$, причем $d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.$
Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей
геодезической}, а соответствующая параметризация -
{\bf\blue геодезической параметризацией}. 

\замечание
{\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая задается изометрическим
вложением из отрезка в $M$.}

\newpage

{\бф \блуе Углы (повторение)}

\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве
$(M,d)$. {\бф \ред Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается
метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой.}
{\бф\блуе Треугольник сравнения} 
$\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник
в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$,
и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$,
и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, 
существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности).
Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике
$\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$;
он называется {\бф\блуе углом сравнения}.



\определение
Пусть $\gamma_1:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma_2:\; [0,b]\arrow M$
два пути в метрическом пространстве $M$, $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p$. 
{\бф\блуе Угол} между путями $\gamma_1, \gamma_2$ в $p$ есть число
\[
\measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2):=
\lim_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)),
\]
если такой предел существует (в противном случае, говорится, что
{\бф \блуе угол между $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не существует}).
{\бф \блуе Верхний угол} есть
\[
 \measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_2):=
\operatorname{{\lim\sup}}\limits_{t,s\rightarrow 0} 
\theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)),
\]
где {\бф \пурпле $\lim\sup$ обозначает супремум всех предельных точек
последовательностей $\theta(\gamma_1(t_i), p, \gamma_2(s_j))$,
для всех $t_i, s_j$ сходящихся к 0. } 

\newpage

{\бф \блуе Пространства Александрова (повторение)}

\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки на пространстве $(M,d)$ со строго 
внутренней метрикой, $r=d(a,b)$,
а $\gamma:\; [0, r]\arrow M$ -- кратчайшая с геодезической
параметризацией, соединяющая точки $(a,b)$.
Рассмотрим функцию $d_c:\; [0, r]\arrow \R^{\geq 0}$, 
переводящую $t$ в $d(c,\gamma(t))$.
Пусть 
$\triangle(\bar a,\bar b, \bar c)\subset \R^2$ --
треугольник сравнения, 
а $d_{\bar c}:\; [0, r]\arrow \R^{\geq 0}$ --
функция, переводящая $t$ в $d(\bar c, \bar \gamma(t))$,
где $\bar \gamma:\; [0, r]\arrow \R^2$ обозначает
сторону треугольника сравнения с нормальной
параметризацией. Функция $d_{\bar c}$
называется {\бф\блуе функцией сравнения}.

\определение
Пространство $M$ называется {\бф \блуе пространством
неотрицательной/неположительной кривизны в целом}, если
для любых $a,b,c$, функция сравнения удовлетворяет
неравенству $d_c\geq d_{\bar c}$ (соответственно, 
$d_c\leq d_{\bar c}$). 

\определение
Пространство $M$ называется 
{\бф \блуе пространством Александрова
неотрицательной/неположительной  кривизны}, если
у каждой точки есть окрестность
неотрицательной/не\-положительной 
кривизны в целом.

\замечание
Пространства 
неположительной кривизны в целом также называются 
{\бф\блуе CAT(0)-пространствами} (в честь Эли
Картана, Д. А. Александрова и В. А. Топоногова).

\невпаге

{\бф \блуе Условие монотонности углов (повторение)}


\определение
Пусть $\gamma_1, \gamma_2:\; [0,a]\arrow M$ --
кратчайшие в $M$, $\gamma_i(0)=p$. 
Говорится, что {\бф \блуе в $M$ выполнено условие
монотонности углов (для неположительной/неотрицательной кривизны)},
если угол \\ $\theta(\gamma_1(s),p,\gamma_2(t))$
монотонно возрастает/убывает как функция от $s,t$.


\утверждение
Условие монотонности углов
для неположительной/ не\-от\-рицательной кривизны
{\бф \ред равносильно неположительности/не\-от\-ри\-цательности
кривизны в целом.}


\следствие
Пусть $M$ -- пространство Александрова.
{\бф \пурпле Тогда углы между геодезическими кратчайшими
в $M$ всегда определены.}

\доказательство Угол
$\theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s))$  -- 
монотонная функция $s,t$. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Условие сравнения углов (повторение)}


\определение
Пусть $a,b,c$ -- три точки в метрическом пространстве,
а $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ -- треугольник сравнения.
Рассмотрим кратчайшие $\gamma_1, \gamma_2$, соединяющие
$a$ с $b$ и $a$ с $c$.
{\бф \блуе Условие сравнения углов для неположительной кривизны}
есть неравенство 
$\measuredangle(\gamma_1,a,\gamma_2)\leq \measuredangle(\bar c \bar a\bar b)$.
{\бф \блуе Условие сравнения углов для неотрицательной кривизны}
есть неравенство 
$\measuredangle(\gamma_1,a,\gamma_2)\geq \measuredangle(\bar c \bar a\bar b)$
плюс равенство 
$\measuredangle(\gamma_+,p,\mu)+\measuredangle(\gamma_-,p,\mu)=\pi$
для любых смежных углов $\measuredangle(\gamma_+,p,\mu)$
и $\measuredangle(\gamma_-,p,\mu)$.

\теорема
{\бф \ред Условие сравнения углов равносильно ограничению на 
кривизну с тем же знаком.}

\невпаге 

{\бф\блуе Выпуклые функции}


\определение
Подмножество $U\subset M$ метрического пространства
называется {\бф\блуе выпуклым}, если для любых
точек $x,y\in U$, любая кратчайшая, соединяющая
$x$ и $y$, содержится в $U$.
{\бф\блуе Граница} $U$ есть множество $\bar U\cap
\overline{(M\backslash U)}$,
полученное как пересечение замыкания  $U$
и его дополнения. Выпуклое
подмножество {\бф\блуе строго выпукло},
если его граница не содержит нетривиальных
кратчайших.

\пример
Функция $\phi:\; [0,a]\arrow \R$
{\бф \пурпле выпукла тогда и только тогда, когда
$\{(x,y)\ \ |\ \ y\geq \phi(x)\}$ -- выпуклое
подмножество в $\R^2$.}

\определение
Функция на метрическом пространстве называется
{\бф \блуе выпуклой}, если ее ограничение на любой
отрезок кратчайшей выпукло, и {\бф\блуе строго выпуклой},
если ее ограничение на любой отрезок кратчайшей $I=[0,a]$
не линейно ни на каком открытом подмножестве $I_1\subset T$.


\утверждение
Для любой (строго) выпуклой функции $\phi:\; M\arrow \R$,
{\бф \ред 
множество $\phi^{-1}(]-\infty, c])$ выпуклое (строго выпуклое)}

\ендпрооф


\невпаге 

{\бф\блуе Выпуклые функции в CAT(0)-пространствах}

\утверждение
Определим функцию $d_z:\; M \arrow \R^{\geq 0}$
на метрическом пространстве формулой $d_z(x):= d(z,x)$.
{\бф \пурпле Пусть $M$ -- CAT(0)-про\-стран\-ство.
Тогда $d_z$ строго выпукла.}

\доказательство 
Пусть $\gamma:\; [0,t]\arrow M$ -- кратчайшая, соединяющая $a$ и $b$,
а $\triangle(\bar a, \bar b, \bar z)$ -- треугольник
сравнения. Тогда $d_z\leq d_{\bar z}$, но последняя
функция выпукла, что дает 
\[ d_z(\lambda t ) \leq d_{\bar z}(\lambda t ) <
  \lambda d_{\bar z}(0) + (1-\lambda)d_{\bar z}(t) =
   \lambda d_{z}(0) + (1-\lambda)d_{z}(t). \ \ \ендпрооф
\]
\утверждение
Пусть $d_z$ строго выпукла для любого $z\in M$. 
Тогда {\бф \пурпле $z$ соединяется с любой точкой $M$ не более
чем одной кратчайшей.}

\доказательство
Пусть существуют две кратчайшие $A$ и $B$, соединяющие $z$ и $y$,
а $a$ и $b$ -- середины этих кратчайших. Если $a$ и 
$b$ всегда совпадают, доказывать нечего.

Если же они не совпадают, рассмотрим
кратчайшую $C$, соединяющую $a$ и $b$.
Функция $d_z$ строго выпукла
на $C$, из чего следует, что
для любой $c\in C$, $d(z, c) < 1/2 d(z,y)$. По той же 
причине, $d(y, c) < 1/2 d(z,y)$. Это противоречит
неравенству треугольника:
\[d(y, c)+d(z, c)< 1/2 d(z,y)+ 1/2 d(z,y) = d(z,y). \ \ 
\ендпрооф
\]


\невпаге 

{\бф\блуе Расстояние до геодезической в CAT(0)-пространстве}

\лемма
{\бф \блуе (лемма о выпуклости)}
Пусть $\gamma_i:\; [0, t_i]\arrow M$ -- кратчайшие геодезические в
CAT(0)-пространстве, а $\kappa:\; [0,1]\arrow \R^{\geq 0}$
переводит $u\in [0,1]$ в $d(\gamma_1(t_1 u), \gamma_2(t_2u))$.
{\бф \ред Тогда $\kappa$ выпукла.}

\дшаг
Пусть $\gamma_i:\; [0, t_i]\arrow M$ -- кратчайшие
геодезические в  CAT(0)-пространстве, $\gamma_i(0)=p$,
$\gamma_1(t_1)=a, \gamma_2(t_2)=b$. Выберем $0<\lambda<1$,
и пусть $a'= \gamma_1(\lambda t_1), b'= \gamma_2(\lambda t_2)$.
{\бф \пурпле Тогда $d(a',b') \leq \lambda d(a,b)$,} \\
\centerline{\epsfig{file=homothety.eps,width=0.22\linewidth}}\\
в силу монотонности углов.

\невпаге 

{\бф\блуе Расстояние до геодезической в
CAT(0)-пространстве (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 2:} 
Пусть $a,b,A,B$ -- точки в CAT(0)-пространстве,
 $c, C$ -- середины кратчайших, соединяющих $a,b$ и $A,B$,
а $p$ -- середина кратчайшей, соединяющей $A$ и $b$.\\
\centerline{\epsfig{file=trapezie.eps,width=0.15\linewidth}}\\
Применив шаг 1, получим, что $d(c,p) + d(p,C)\leq  \frac 1 2(d(a,A) + d(b,B))$,
а из неравенства треугольника следует $d(c,C) \leq d(c,p) + d(p,C)$.
{\bf \пурпле Это дает неравенство $\kappa(1/2) <\frac 1 2 (\kappa(0)+\kappa(1))$.}

{\бф \греен Шаг 3:}
Получаем, что для любого отрезка $[a,b]\subset [0,1]$, 
\[ \kappa\left(\frac{a+b}2\right) \leq \frac 1 2
(\kappa(a)+\kappa(b)).
\]
{\бф \греен Шаг 4:} Для любой непрерывной функции
$\kappa:\; [0,1]\arrow \R^{\geq 0}$, 
{\бф \пурпле неравенство $\kappa(\frac{a+b}2) \leq \frac 1 2
(\kappa(a)+\kappa(b))$ влечет выпуклость} (проверьте).
\ендпрооф


\невпаге 

{\бф \блуе Равномерная сходимость геодезических }

\определение
Определим {\бф\блуе расстояние} между функциями
$\gamma_i:\; [0,t_i]\arrow M$ по формуле $d_\Gamma(\gamma_1,\gamma_2):=\sup\limits_x 
d\left(\gamma_1(x/t_1), \gamma_2(x/t_2)f_2(x)\right).$

\упражнение
{\бф \пурпле Проверьте, что это метрика.}


\теорема
Пусть $M$ -- CAT(0)-пространство, а $\gamma_i:\;
[0,t_i]\arrow M$  -- последовательность кратчайших
геодезических, такая, что концы $a_i:=\gamma_i(0)$,
$b_i:=\gamma_i(t_i)$ сходятся к точкам $a, b$.
Пусть $\gamma:\; [0,t]\arrow M$ -- кратчайшая
геодезическая, соединяющая $a$ и $b$. Тогда 
{\бф \ред последовательность $\gamma_i$ равномерно
сходится к $\gamma$.}

\доказательство
В силу леммы о выпуклости, \\
$d_\Gamma(\gamma_i, \gamma) = \max(d(a_i,a),d(b_i,b))$,
то есть {\бф \пурпле сходимость $\gamma_i$ равносильна сходимости их
концов.} \ендпрооф

\замечание
В доказательстве использовалось следующее полезное утверждение.
Пусть $\gamma,\gamma'$ -- кратчайшие геодезические
в CAT(0)-пространстве, а $a,b$ и $a',b'$ -- их концы. 
Тогда $d_\Gamma(\gamma,\gamma')=\max(d(a,a'),d(b,b'))$

\следствие
Обозначим за $\Gamma_p(M)$ пространство
кратчайших геодезических с началом в $p$
и метрикой $d_\Gamma$, и пусть 
$\pi:\; \Gamma_p(M)\arrow M$ отображает
геодезическую в ее второй конец. {\бф \ред Тогда
$\pi$ -- изометрия.} \ендпрооф

\невпаге 

{\бф \блуе Гомотопии и пространство кратчайших геодезических}



Зафиксируем точку $p$ в CAT(0)-пространстве.
Пусть $0\leq \lambda\leq 1$, а $P_\lambda:\; M \arrow M$ отображает
геодезическую $\gamma:\; [0,t]\arrow M$ 
в $\gamma\restrict{[0,\lambda t]}$.

\замечание
На $M\cong \Gamma_p(M)$ это отображение определяется
следующим образом. Для какой-то точки $x\in M$, рассмотрим
кратчайшую $\gamma_x:\;[0, d(p,x)]\arrow M$,
соединяющую $p$ с $x$.  {\бф \ред Тогда $P_\lambda:\; M \arrow M$ отображает
$x$ в $\gamma_x(\lambda d(p,x))$.}

\замечание
В силу того, что $M$ изометрично
пространству геодезических с началом в $p$, 
{\бф \пурпле $P_\lambda$ задает непрерывное отображение
из $M\times [0,1]$ в $M$.}

\следствие
{\бф \пурпле $P_\lambda$  задает гомотопию между тождественным
отображением из $M$ в себя и отображением,
переводящим $M$ в $\{p\}$.}


\замечание
Мы доказали, что {\бф \ред все CAT(0)-пространства
стягиваемы.}


\невпаге 

{\бф \блуе Радиус выпуклости}


\определение
Пусть $M$ -- пространство Александрова
неположительной кривизны. {\бф\блуе  Нормальный
шар} в $M$ есть шар $B_\epsilon(x)$, 
который является CAT(0)-пространством.


\определение
Пусть $M$ -- пространство Александрова
неположительной кривизны.
{\бф \блуе Радиус выпуклости} в точке $x\in M$
есть супремум всех $\epsilon$ таких, что
шар $B_\epsilon(x)$ -- нормальный. Обозначим
радиус выпуклости за $\rho(x)$.

\замечание
{\бф \ред Функция $x\arrow \rho(x)$
1-липшицева,} в силу стандартного аргумента.

\замечание
Общая форма "стандартного аргумента".
Пусть в множестве всех шаров есть подмножество ${\goth S}$
такое, что для каждого шара $B_r(x)\in {\goth S}$,
все шары, содержащиеся в $B_r(x)$, тоже принадлежат ${\goth S}$.
{\бф \пурпле 
Тогда функция $\rho_{\goth S}(x):= \sup_r\{ r \ |\   B_r(x)\in {\goth S}\}$
1-липшицева.}

\упражнение
{\бф \ред Докажите это}.



\невпаге 

{\бф \блуе Кратчайшие и геодезические}


\определение
{\бф \блуе Геодезическая} {\бф \ред (не обязательно кратчайшая)}
есть путь  $\gamma:\; [a,b]\arrow M$ такой, что у 
каждой точки $x\in [0,t]$
есть связная окрестность $U_x$ такая, что
$\gamma\restrict{U_x}$ -- кратчайшая геодезическая.
Обозначим за $\Gamma(M)$ пространство всех
геодезических, с метрикой $d_\gamma$,
и за $\Gamma_p(M)$
пространством геодезических с началом в $p$.


\определение
{\бф \блуе Радиус выпуклости} для множества $Z\subset M$
есть $\inf_{z\in Z} \rho(z)$, где $\rho$ есть радиус выпуклости
в точке $z$.


\утверждение
Пусть  $\gamma:\; [0,t]\arrow M$, $\gamma':\; [0,t']\arrow M$
 -- геодезические
в пространстве Александрова неположительной кривизны,
радиус выпуклости $\gamma$ равен $\epsilon$, а 
$d_\Gamma(\gamma,\gamma')<\epsilon$. Определим
$\kappa:\; [0,1]\arrow \R^{\geq 0}$ по формуле 
$\kappa(u):=d(\gamma(ut), \gamma'(ut'))$.
{\бф \ред Тогда $\kappa$ -- выпуклая функция.}

\доказательство 
{\бф \пурпле Выпуклость -- локальное свойство,} а 
локально $\gamma$ и $\gamma'$ разбиваются
в объединение сегментов кратчайших, которые лежат 
в нормальных шарах.
\ендпрооф


\невпаге 

{\бф \блуе Кратчайшие и геодезические (продолжение)}



\следствие
Пусть  $\gamma:\; [0,t]\arrow M$, $\gamma':\; [0,t']\arrow M$
 -- геодезические
в пространстве Александрова неположительной кривизны,
радиус выпуклости $\gamma$ равен $\epsilon$, а 
$d_\Gamma(\gamma,\gamma')<\epsilon$.
{\бф \ред Тогда расстояние между геодезическими
есть максимум расстояния между концами.}


\следствие
Рассмотрим отображение $\Gamma_p(M)\stackrel \pi \arrow M$,
переводящее геодезическую в ее второй конец. 
Пусть $\epsilon$ -- радиус выпуклости для $\gamma$.
Тогда {\бф \пурпле для каждого
$\epsilon$-шара $B_\epsilon(\gamma)\subset \Gamma_p(M)$,
ограничение $\pi\restrict {B_\epsilon(\gamma)}$ задает
изометрию $B_\epsilon(\gamma)$ и шара $B_\epsilon(\pi(\gamma))$.}


\невпаге 

{\бф \блуе Теорема Картана-Адамара}


\определение
Полное, односвязное пространство
Александрова неположительной кривизны 
называется {\бф \блуе пространством Адамара}

\теорема
(Картан-Адамар)
Пусть $M$ -- пространство Адамара.
Рассмотрим отображение 
$\Gamma_p(M)\stackrel \pi \arrow M$,
переводящее геодезическую в ее второй конец.
{\бф \ред Тогда $\pi$ -- гомеоморфизм.}\\
\доказательство См. следующий слайд.

\следствие
{\бф \пурпле Геодезическая, соединяющая две точки пространства
Адамара, единственна.} \ендпрооф

\следствие
{\бф \ред Каждое пространство Адамара стягиваемо.}

\доказательство
Аргумент, который доказывает стягиваемость
CAT(0)-пространств, работает и в этой ситуации. \ендпрооф

Нетривиальное следствие из теоремы Картана-Адамара:

\теорема
{\бф \ред Любое пространство Адамара является CAT(0)-про\-странством.}

Доказательство см. в листочках.


\невпаге 

{\бф \блуе Доказательство теоремы Картана-Адамара}


\теорема
(Картан-Адамар)
Пусть $M$ -- полное пространство Александрова 
неположительной кривизны. Рассмотрим отображение 
$\Gamma_p(M)\stackrel \pi \arrow M$,
переводящее геодезическую в ее второй конец.
{\бф \ред Тогда $\pi$ -- накрытие.}

\дшаг
Пусть $X \arrow Y$ -- локальная изометрия
полных метрических пространств с внутренней метрикой, 
причем у каждой точки есть окрестность, в которой
геодезические единственны. Мы говорим, что имеет место
{\бф \блуе принцип накрывающей гомотопии для геодезических:}
для каждой геодезической $\gamma$ в $Y$, поднятие
$\gamma$ в $X$ существует, и единственным
образом определяется значением $\gamma(t)$ для
какого-то $t\in \R$. 

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $X \arrow Y$ -- локальный
гомеоморфизм, удовлетворяющий принципу накрывающей
гомотопии для геодезических, а у каждой точки $Y$ есть 
геодезически выпуклая окрестность. {\бф \ред Тогда $X \arrow Y$ -- накрытие.}

{\бф \греен Шаг 3:} Принцип накрывающей гомотопии для геодезических
выполнен для $\Gamma_p(M)\stackrel \pi \arrow M$. 
Действительно, рассмотрим нормальный шар $B$ в $M$,
и пусть $B_1$ -- связная компонента его прообраза.
Рассмотрим геодезическую $\tau$, замкнутую в $B$.
Обозначим за $\tau_0\subset B_1$ объединение всех связных сегментов
поднятий геодезической $\tau$, которые 
проходят через заданную точку $x\in B_1$. 
Геодезическая $\tau$ поднимается в $B_1$ локально,
поскольку $\pi$ это локальная изометрия, значит, 
$\pi(\tau_0)$ открыт в $\tau$.
предел геодезических это геодезическая, значит,
$\pi(\tau_0)$ замкнут в $B_1$. Мы получили принцип
накрывающей гомотопии для геодезических, лежащих в $B$.
Склеивание геодезических из сегментов дает принцип
накрывающей гомотопии для всех геодезических.
\ендпрооф





\end{document}