\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\ендпрооф{\endproof} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Метрическая геометрия\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Метрическая геометрия 4: \\[3mm] полиэдральные пространства и графы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 29 февраля, 2016\\ НМУ} \end{center} \невпаге {\bf \blue Внутренняя метрика (повторение)} \определение Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение отрезка $[a,b]= [a,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$ Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим $L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).$ Определим {\бф\блуе длину пути} $\gamma$ формулой \[ L_d(\gamma):= \sup_{a0$, имеем $L\left(\gamma\restrict{[b_1, b]}\right)\leq 2\epsilon$ для $b_1$, достаточно близких к $b$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Существование геодезической параметризации} {\bf \green Определение:} Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая, соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\] Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей геодезической}, а соответствующая параметризация - {\bf\blue геодезической параметризацией}. \следствие {\бф \ред Любая кратчайшая допускает геодезическую параметризацию.} \доказательство Пусть $\gamma$ -- кратчайшая длины $d$, соединяющая $x$ и $y$, а $\gamma_1:\; [0, d] \arrow M$ переводит $t$ в точку $\gamma_1(t)$ такую, что $d(x, \gamma_1(t)) =t$. Такая точка существует, потому что длина отрезка пути является непрерывной функцией параметра. Отображение $t\arrow \gamma_1(t)$ непрерывно, ибо расстояние между $\gamma_1(t)$ и $\gamma_1(t')$ равно $|t-t'|$, так как это отрезки кратчайшей. Наконец, $\gamma_1$ получена из $\gamma$ репараметризацией, ибо отображение $t\arrow d(x, \gamma(t))$ непрерывно и монотонно. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова-Кон-Фоссена} \утверждение {\бф \пурпле В пространстве с внутренней метрикой выполнено} {\бф \блуе условие Кон-Фоссена}: $d(x, B_r(y))= d(x,y)-r$. \доказательство Рассмотрим путь $\gamma$, соединяющий $x$ и $y$, длины $L(\gamma) < d(x, y) + \epsilon$. Пусть $r'=d(x,y)-r$. Если шары $B_{r}(y)$ и $B_{r'+\epsilon}(x)$ пересекаются в точке $z$, мы получаем, что $d(x, B_{r}(y)) \leq d(x, z) \leq d(x,y)-r+\epsilon$. Если же они не пересекаются, получаем точку $z\in \gamma$, которая не принадлежит ни одному из шаров, и она удовлетворяет \[ d(x,z) + d(y, z) > r+ r'+\epsilon = d(x,y)+\epsilon \] что невозможно, потому что длина пути $\gamma$ меньше, чем $d(x, y) + \epsilon$. \ендпрооф \теорема {\бф \блуе (Хопфа-Ринова-Кон-Фоссена)}\\ Пусть $M$ -- полное, локально компактное пространство, в котором выполнено условие Кон-Фоссена. {\бф \ред Тогда каждый замкнутый шар в $M$ компактен.} \newpage {\бф \блуе Существование кратчайших} \теорема Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство с внутренней метрикой а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.} \дшаг Пусть $d(x_0, x_1)=\alpha$. Из теоремы Хопфа-Ринова следует, что шары $\bar B_r(x)$ компактны. {\бф \пурпле в шаре $\bar B_{\alpha/2}(x_1)$ есть точка $x_{1/2}$ такая, что $d(x_0, x_{1/2}) = d(x_{1/2}, x_1)= \alpha/2.$} В самом деле, функция $d(\cdot, x_0):\; \bar B_{\alpha/2}(x_1)\arrow \R$ непрерывная на компакте, значит, достигает минимума, который равен $d(x_0,\bar B_{\alpha/2}(x_1))= \alpha/2$ потому, что метрика внутренняя. {\бф \греен Шаг 2:} Воспользовавшись индукцией, для каждого двоично-рационального числа $\lambda = \frac{n}{2^k}$ в $[0,1]$ {\бф \пурпле найдем точку $x_{\lambda}$, такую, что $d(x_{\lambda}, x_\mu)=\alpha|\lambda-\mu|.$} {\бф \греен Шаг 3:} Мы получили {\purple\бф изометрическое вложение множества двоично-рациональных чисел в $M$}. {\bf \red Продолжим на пополнение, получим геодезическую.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Топология фактора} {\bf\green Определение:} Пусть $M$ -- топологическое пространство, а $\sim$ -- отношение эквивалентности. Подмножество $U \subset M/\!\!\!\sim\!$ множества классов $M/\!\!\!\sim\!$ называется {\bf\blue открытым}, если его прообраз в $M$ открыт. Это определяет {\бф \блуе топологию фактора} на $M/\sim$, которое называется {\bf\blue факторпостранством} по соотношению эквивалентности $\sim$. {\bf\red Предостережение:} Факторпространство может быть нехаусдорфово, даже если $M$ хаусдорфово. {\bf\green Определение:} Пусть $G$ -- группа, действующая на топологическом пространстве $M$. {\bf\blue Факторпространством} по действию группы называется пространство классов эквивалентности $M/\sim$, где $x\sim y$, если $x$ и $y$ лежат в одной орбите $G$. Также факторпространство называют {\bf\blue пространство орбит действия $G$}. {\bf\green Замечание:} Пусть $G$ - группа, действующая на топологическом пространстве $M$ гомеоморфизмами. Тогда {\purple \бф естественная проекция $M\stackrel \pi \arrow M/G$ является открытым отображением.} \невпаге {\bf \blue Топологическое пространство графа} {\bf \green Определение:} {\bf\blue Графом} называется набор вершин и набор ребер, причем каждому ребру соответствует две вершины (возможно, одинаковые), которые называются его {\bf\blue концами}, или {\bf\blue концом и началом}, причем каждая вершина является концом хотя бы одного из ребер. Если двум ребрам соответствует одна и та же вершина, эти ребра называются {\bf\blue смежными}, а вершина -- {\bf\blue общей вершиной} ребер. Граф называется {\bf\blue конечным}, если число его ребер и вершин конечно. {\bf \green Замечание:} С каждым графом ассоциировано топологическое пространство: набор отрезков, соединяющих набор отмеченных точек -- вершин. {\bf \green Определение:} Пусть $\Gamma$ -- граф, а $S$ -- множество его ребер. Рассмотрим $S$ как пространство с дискретной топологией, и пусть $X:= S \times [0,1]$ -- несвязное объединение $S$ копий отрезка. В этом случае $x= s \times \{1\}$ или $x= s \times \{0\}$ -- точки $X$, соответствующая началу или концу отрезка. Если у ребра $s_1$ и у ребра $s_2$ имеется общий конец, напишем $x_1\sim x_2$, где $x_i= s_i \times \{1\}$ или $x_i= s_i \times \{1\}$ соответствующие точки $X$. {\bf\blue Топологическим пространством графа} называется факторпространство $X/\sim$ по такому отношению эквивалентности. \упражнение {\бф \пурпле Топологическое пространство любого графа хаусдорфово} (докажите это). \newpage {\bf \blue Полуметрики} {\bf \green Определение:}\\ Пусть $d:\; M \times M \arrow \R^{\geq 0}$ функция, такая, что выполнены:\\ {\bf \purple Рефлексивность:} $d(x,x)=0$\\ {\bf \purple Симметричность:} $d(x,y)=d(y,x)$\\ {\bf \purple Неравенство треугольника:}\ \ $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$ Тогда $d$ называется {\bf \blue полуметрикой} {\red\bf От определения метрики это отличается только отсутствием условия невырожденности: $d(x,y)=0$ $\Rightarrow$ $x=y$.} {\bf \green Определение:} \\ {\bf\blue Открытым шаром в полуметрике $d$} называется множество \[ B_{r,d}(x) = \{ y\in M \ \ | \ \ d(x,y) < r\}. \] Открытые шары задают на $M$ топологию, {\red \bf нехаусдорфову если $M$ не метрика.} {\bf \green Замечание:}\\ Условие $d(x,y)=0$ задает на $M$ отношение эквивалентности. \newpage {\bf \blue Полуметрики и метрики} Если $d(x,y)=0$, то \[ d(z,x) + d(x,y) \geq d(y,z), \ \ d(z,y) + d(y,x) \geq d(z,x), \] поэтому $d(z,x) = d(y,z)$. {\bf\purple Следовательно, функция $d$ корректно определена на множестве $\underline M$ классов эквивалентности по отношению $d(x,y)=0$. } {\bf \red Она задает метрику на $\underline M$.} {\bf \green Утверждение:} Каждое пространство $(M,d)$ с полуметрикой {\bf \purple наделено сюрьективным отображением $\pi:\; M \arrow \underline M$} в метрическое пространство $(\underline M, \underline d)$, при этом \[ d(x,y) = \underline d(\pi(x), \pi(y)). \ \ \ \ (*) \] {\bf \green Замечание:} Если задано отображение $\pi:\; M \arrow \underline M$ в метрическое пространство, то формула (*) определяет на $M$ полуметрику. \newpage {\bf \blue Полуметрика на факторпространстве} \определение Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности на метрическом пространстве $(X, d)$. {\bf \blue Определим функцию $d_\sim:\; X/\!\!\!\sim\! \times X/\!\!\!\sim\! \arrow \R^{\geq 0}$ на факторе $X/\!\!\!\sim\!$} по формуле \[ d_\sim (x,y) = \inf\sum_{i=0}^{n-1} d(p_i, q_{i+1}), \] где инфимум берется по всем наборам точек $p_i, q_i\in X$ таким, что $p_0\sim x, q_n \sim y$, и $p_i \sim q_i$. \утверждение {\бф \пурпле Эта функция -- полуметрика.} \доказательство Нетривиально только неравенство треугольника. Но $d(x,y)$ есть инфимум длины "ломаных" $p_0,p_1,q_1,p_2,q_2, ...$ соединяющих $x$ с $y$, где расстояние между $p_i\sim q_i$ положено равным 0. {\бф \пурпле Но если $x$ соединен с $y$, $y$ с $z$ подобными ломаными, то $x$ соединен с $z$ объединением этих ломаных,} что дает $d_\sim(x,z) \leq d_\sim(x,y)+d_\sim(y,z)$. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Метрический фактор} \определение Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности на метрическом пространстве $(X, d)$. Определенная выше полуметрика $d_\sim$ на $X/\!\!\!\sim\!$ называется {\бф\блуе полуметрикой факторпространства}. {\бф\блуе Метрическое факторпространство} получается из $X/\!\!\!\sim\!$ дополнительным отождествлением всех точек $x,y$ таких, что $d_\sim(x,y)=0$, с метрикой, которая индуцирована с $d_\sim$. \пример Пусть $G$ -- группа, действующая на метрическом пространстве $(X,d)$ изометриями, а $x \sim y$, если $x$ и $y$ лежат в одной орбите $G$. {\бф \ред Тогда $d_\sim(a,b)$ есть инфимум расстояний между представителями $a, b$ в $X$} (докажите это). \newpage {\bf \blue Метрические графы} \определение {\бф\блуе Несвязное объединение} метрических пространств $(X_\alpha, d_\alpha)$ есть $\coprod X_\alpha$ с метрикой $d(x,y)$ которая равна $d_\alpha(x,y)$, когда $x$ и $y$ лежат в $X_\alpha$, и $\infty$ в противном случае. \определение Пусть $I_\alpha$ -- набор отрезков, изометричных $[0,x_\alpha]$, а $\sim$ -- отношение эквивалентности, полученное склейкой некоторых вершин. Метрический фактор $\coprod_\alpha I_\alpha$ называется {\бф\блуе метрическим графом}. Он называется {\бф\блуе локально конечным}, если каждая точка отождествляется с конечным числом точек. \утверждение {\бф \ред Метрика на метрическом графе - всегда внутренняя.} \доказательство Каждую "ломаную" $p_0,p_1,q_1,p_2,q_2, ...$, соединяющую $x$ и $y$, можно реализовать объединением отрезков в графе, такой же длины. \ендпрооф \замечание Естественое отображение из топологического пространства графа в метрический граф -- {\бф \блуе гомеоморфизм для локально конечного графа}. Для не локально конечных графов {\бф \ред это может быть не биекция,} или {\бф \ред биекция, но не гомеоморфизм.} \newpage {\bf \blue Граф Кэли} \определение {\бф \блуе Набор образующих} группы $G$ есть множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$. {\бф \ред В дальнейшем, мы будем всегда предполагать, что $s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.} \определение Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих. {\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида $g$ и $gs_i$. Полагая длину ребер графа равной 1, мы {\бф \ред определяем граф Кэли как метрическое пространство с внутренней метрикой.} \пример Граф Кэли для $\Z^n$ с обычным набором образующих есть кубическая решетка. \begin{center} \epsfig{file=Cayley_graph_Z^2.png,width=0.38\linewidth} \end{center} \newpage {\bf \blue Граф Кэли для свободной группы} \пример Граф Кэли для свободной группы -- регулярное дерево \begin{center} \epsfig{file=free-group-Cayley-2.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm] {\ем \бф\small Граф Кэли свободной группы ${\Bbb F}_2$ с образующими $a$, $b$, $a^{-1}$, $b^{-1}$.} \end{center} \newpage {\bf \blue Граф Кэли для $\Z/2\Z * \Z/3\Z$} \begin{center} \epsfig{file=Kelli_graph_free_prod.png,width=0.6\linewidth}\\[5mm] {\ем \бф\small Граф Кэли для $\Z/2\Z * \Z/3\Z$.} \end{center} \newpage {\bf \blue Граф Кэли для группы $S^3$} \begin{center} \epsfig{file=trunspi.png,width=0.4\linewidth}\\[5mm] {\ем \бф\small Граф Кэли для $S^3$.} \end{center} Группа $S^3=\langle k, r\ |\ k^2=r^3=(kr)^3=1\rangle$ задается образующими $k$ (красная), $r$ (черная), и соотношениями $k^2=r^3=(kr)^3=1$. \newpage {\bf \blue Граф Кэли для группы $\langle k, r\ |\ k^2=r^3=(kr)^6=1\rangle$} \begin{center} \epsfig{file=trunhex.png,width=0.9\linewidth}\\[5mm] {\ем \бф\small Граф Кэли для группы, заданной образующими $k$ (красная), $r$ (черная), и соотношениями $k^2=r^3=(kr)^6=1$.} \end{center} \newpage {\bf \blue Полиэдральные метрические пространства} \определение {\бф \блуе Полиэдральное метрическое пространство размерности 1} есть метрический граф. \определение Полиэдральное метрическое пространство размерности $k$ определяется по индукции. Каждое $k$-мерное полиэдральное метрическое пространство $К$ получено объединением своих {$l$-скелетов} $K_l$, $l=1,2,3,..., k$, причем $K_k=K$, а каждое из $K_l$ есть полиэдральное метрическое пространство размерности $l$. Каждое $K_k$ получено из $K_{k-1}$ приклеиванием выпуклых евклидовых многогранников, следующим образом. Пусть задано полиэдральное метрическое пространство $K$ размерности $k-1$ и набор выпуклых многоогранников $V_i$ в $k$-мерном евклидовом пространстве. Пусть для каждого из $V_i$ задано изометрическое вложение $\tau_i:\; \partial V_i \arrow К_{k-1}$ границы $V_i$ в $K_{k-1}$, переводящее $l$-мерные грани $V_i$ в $K_l$. Метрический фактор $K_{k-1}\coprod_i V_i$ по соотношению, заданному таким склеиванием, называется {\бф \блуе полиэдральным метрическим пространством размерности $k$.} \упражнение Докажите, что {\бф \ред метрика на полиэдральном метрическом пространстве - внутренняя.} \newpage {\бф \блуе Углы} \определение Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве $(M,d)$. {\бф \ред Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой.} {\бф\блуе Треугольник сравнения} $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$, и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$, и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности). Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике $\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$; он называется {\бф\блуе углом сравнения}. \определение Пусть $\gamma_1:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma_2:\; [0,b]\arrow M$ два пути в метрическом пространстве $M$, $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p$. {\бф\блуе Угол} между путями $\gamma_1, \gamma_2$ в $p$ есть число \[ \measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2):= \lim_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)), \] если такой предел существует (в противном случае, говорится, что {\бф \блуе угол между $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не существует}). {\бф \блуе Верхний угол} есть \[ \measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_2):= \operatorname{{\lim\sup}}\limits_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)), \] где {\бф \пурпле $\lim\sup$ обозначает супремум всех предельных точек последовательностей $\theta(\gamma_1(t_i), p, \gamma_2(s_j))$, для всех $t_i, s_j$ сходящихся к 0. } \newpage {\бф \блуе Неравенство треугольника для углов} \упражнение Проверьте, что {\бф \ред угол между гладкими путями в $\R^n$ существует и равен углу между их касательными.} \упражнение $\gamma:\; :\; [0,a]\arrow M$ -- кратчайшая, наделенная геодезической параметризацией, а $\gamma(0)=p$. {\бф \пурпле Тогда угол $\measuredangle_{\sup}(\gamma, p, \gamma)$ существует и равен нулю.} \теорема Пусть $\gamma_i:\; [0,a]\arrow M$ -- пути в $M$, Тогда верно {\бф \блуе неравенство треугольника для верхних углов:} \[\measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_2) + \measuredangle_{\sup}(\gamma_2, p, \gamma_3) \geq \measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_3). \] \дшаг Пусть $\gamma_i(0)=p$, $a=\gamma_1(s), b=\gamma_3(t)$, $c=\gamma_2(u)$. Рассмотрим треугольники сравнения $\triangle(\bar p,\bar a,\bar c)$ и $\triangle(\bar p,\bar c,\bar b)$, и нарисуем их на плоскости, с общей стороной $| \bar p,\bar c|$, чтобы они лежали по разные стороны от прямой $(\bar p,\bar c)$.\\ \centerline{\epsfig{file=angle-inequality.eps,width=0.17\linewidth}}\\ В силу непрерывности $d(p, \gamma_2(u))$, {\бф \пурпле для любых заданных $s,t$, можно подобрать $u$ таким образом, что $\bar c$ лежит на отрезке $[\bar a, \bar b]$.} \newpage {\бф \блуе Неравенство треугольника для углов (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} Из рассмотрения треугольников сравнения\\ \centerline{\epsfig{file=angle-inequality-flat.eps,width=0.25\linewidth}}\\ убеждаемся, что \[ \theta(a,p,b)+\theta(b,p,c)= \measuredangle(\bar a,\bar p, \bar c)= \arccos\left(\frac{s^2+t^2-|\bar a,\bar c|^2}{2st}\right) \] где $s=d(p,a)$ и $t=d(p,c)$. {\бф \греен Шаг 3:} По определению, $|\bar a,\bar c|= |\bar a,\bar b|+|\bar b,\bar c|= d(a,b)+d(b,c)\geq d(a,c)$. В силу монотонности арккосинуса, получаем \[ \measuredangle(\bar a,\bar p, \bar c)= \arccos\left(\frac{s^2+t^2-|\bar a,\bar c|^2}{2st}\right) \geq \arccos\left(\frac{s^2+t^2-d(a,c)^2}{2st}\right)= \theta(a,p,c). \] {\бф \греен Шаг 4:} {\бф \пурпле Сравнивая формулы, полученные в шаге 2 и шаге 3, получаем $\theta(a,p,b)+\theta(b,p,c)\geq\theta(a,p,c)$;} неравенство для $\measuredangle_{\sup}$ следует немедленно. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Пространство направлений} \определение Путь $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ {\бф\блуе имеет направление}, если угол $\measuredangle(\gamma, \gamma(0),\gamma)$ существует. Пути $\alpha, \beta:\; [0,a]\arrow M$, $\alpha(0)=\beta(0)=p$ {\бф \блуе имеют одинаковое направление}, если $\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)=0$. \замечание В силу неравенства треугольника для углов, отношение <<$\alpha\sim \beta$, если $\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)=0$>> {\бф \пурпле задает отношение эквивалентности на множестве всех путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma(0)=p$, имеющих направление.} \определение {\бф\блуе Пространство направлений} в точке $p$ есть множество классов эквивалентности путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma(0)=p$, имеющих направление, по отношению $\sim$. \утверждение {\бф \ред $\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)$ задает метрику на пространстве направлений.} \ендпрооф \end{document}