
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}

\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\ендпрооф{\endproof}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Метрическая геометрия\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\makeatother


\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Метрическая геометрия 3: \\[3mm]
теорема Хопфа-Ринова и кратчайшие}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 23 февраля, 2016\\
НМУ}
\end{center}


\невпаге

{\bf \blue Внутренняя метрика (повторение)}


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение
отрезка $[a,b]= [a,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$
Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим
$L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).$ 
Определим {\бф\блуе длину пути} $\gamma$ формулой
\[ L_d(\gamma):= \sup_{a<x_1< ... <x_{n-1}<b}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}).
\]
где супремум берется по всем разбиениям отрезка.
Путь $\gamma$ называется {\бф\блуе спрямляемым}, если
$L_d(\gamma)<\infty$. 


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
а  $\hat d(x, y)$ равно инфимуму 
длин путей, соединяющих $x$ и $y$. Она называется
{\бф \блуе внутренней метрикой, индуцированной $d$.}

\теорема
Для любого метрического пространства, $\hat {\hat d}=\hat d$.


\определение
Метрика $d$ на $M$ называется {\бф \блуе внутренней},
если $\hat d=d$.

\замечание 
Финслеровы и римановы метрики,
построенные раньше, {\бф \ред являются внутренними}.


\невпаге



{\бф \блуе $\epsilon$-середины}


\определение
Точка $z$ называется {\бф\блуе $\epsilon$-серединой} пары $(x,y)$,
если $|d(x,z)- \frac 1 2 d(x,y)| \leq\epsilon$ и 
$|d(y,z)- \frac 1 2 d(x,y)| \leq\epsilon$.
Говорится, что в $(M,d)$ {\бф \блуе существуют $\epsilon$-середины},
если для любых $x,y$ и любого $\epsilon>0$, существует
$\epsilon$-середина.

\утверждение
{\бф \ред В любом пространстве с внутренней метрикой
существуют $\epsilon$-середины.}

\дшаг
Пусть $\gamma$ -- путь длины $d(x,y)+\epsilon$, соединяющий
$x$ и $y$. В силу непрерывности функции $d(x,\gamma(t))$,
принимающей значения от $0$ до $d(x,y)$, {\бф \пурпле существует
точка $z=\gamma(t_0)$ такая, что $d(x,z)= \frac {d(x,y)}{2}$.}

{\бф \греен Шаг 2:} $d(y,z)+d(z,y)\leq L_d(\gamma)=d(x,y)+\epsilon$.
{\бф \ред Значит, $d(y,z)\leq \frac {d(x,y)}{2}+\epsilon$.}
\ендпрооф



\невпаге

{\бф \блуе $\epsilon$-середины и двоично-рациональные дроби}


{\бф \греен Теорема 1:}
Пусть $M$ -- пространство, где существуют $\epsilon$-середины,
а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда для любого $\lambda\in [0,1]$,
найдется $x_\lambda\in M$ такая, что $|d(x_0,x_\lambda)- \lambda d(x_0,x_1)| \leq\epsilon$ и 
$|d(x_1,x_\lambda)- (1-\lambda) d(x_0,x_1)| \leq\epsilon$.}

\дшаг Пусть
$\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$, $0<\lambda<1$. Возьмем
за $x_\lambda\in M$ $\frac{\epsilon}{2^{m+1}}$-середину
между $x_{\frac{n}{2^{m-1}}}$ и $x_{\frac{n-1}{2^{m-1}}}$.
{\бф \пурпле Воспользовавшись индукцией по $m$, построим
$x_\lambda$ для каждого двоично-рационального числа 
$\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$}.

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $P(\lambda)$ переводит $\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$
в $\frac{n-1}{2^{m-1}}$. По построению,
\[ |d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})- \frac 1 {2^m} d(x_0,x_1)|
<\frac{\epsilon}{2^{m+1}}d(x_0,x_1).
\]
Суммируя ряд
\[  d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)}, x_{P(P(\lambda))}) + ...
\]
получим число, которое отличается от $\lambda d(x_0,x_1)$ на 
$\sum_{i=0}^m \frac{\epsilon}{2^{m+1}}\leq\epsilon$.
{\бф \пурпле Значит,
\[ d(x_0,x_\lambda)
\leq d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)}, x_{P(P(\lambda))}) + ...
\leq \lambda d(x_0,x_1)+\epsilon.
\]
Аналогично, $d(x_1,x_\lambda) \leq (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon.$
}


\невпаге

{\бф \блуе $\epsilon$-середины и двоично-рациональные дроби (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 3:} 
Уже доказано:
\[ d(x_1,x_\lambda) \leq (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon
\text{\ \ и\ \ } d(x_0,x_\lambda)\leq \lambda d(x_0,x_1)+\epsilon.
\]
Осталось доказать, что
$d(x_1,x_\lambda)\geq  \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon$
и $d(x_1,x_\lambda) \geq (1-\lambda) d(x_0,x_1)-\epsilon.$
 Но если это неверно, имеем (например)
$d(x_1,x_\lambda)\leq \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon$, что дает
\[
 d(x_1,x_\lambda)+d(x_1,x_\lambda)< \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon
+ (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon = d(x_0,x_1)
\]
{\бф \пурпле Противоречие с неравенством треугольника!}
\ендпрооф


\следствие 
{\бф \блуе ("Условие Хопфа-Ринова")}
Пусть $M$ -- метрическое пространство, в котором существуют
$\epsilon$-середины. {\бф \ред Тогда для любых $x, y \in M$, 
и $r \leq d(x,y)$,
расстояние от шара $B_r(x)$ до $y$ равно $d(x,y)-r$}.

\доказательство
Выберем точку $z=z_\lambda$ такую, что $|d(x,z)-(r-\epsilon)| <\epsilon$
и $|d(y,z)-d(x,y)-r|<\epsilon$.
Тогда $z\in B_r(x)$ и $d(B_r(x),y)\leq d(y,z)\leq d(x,y)-r+\epsilon$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе $\epsilon$-середины и внутренние метрики}

\замечание
Из шага 2 предыдущей теоремы
следует, что отображение
$\lambda\arrow x_\lambda$ 
 {\бф \ред является $(1+\delta)$-липшицевым,} 
где $\delta=\epsilon d(x,y)^{-1}$.


\утверждение
Пусть $X,Y$ -- метрические пространства,
а $\phi:\; X\arrow Y$ -- $C$-липшицево отображение.
{\бф\пурпле Тогда $\phi$ продолжается до $C$-липшицева
отображения пополнений $\bar \phi:\; \bar X\arrow \bar Y$.}

\теорема
Пусть $M$ -- полное метрическое пространство, в котором существуют
$\epsilon$-середины. {\бф \ред Тогда метрика в $M$ внутренняя}.

\доказательство
В силу предыдущего утверждения, отображение
$\lambda\arrow x_\lambda$, построенное в Теореме 1, продолжается до 
$d(x_0,x_1)(1+\epsilon)$-липшицева отображения
$[0,1]\stackrel\gamma\arrow M$, то есть пути,
соединяющего $x_0$ и $x_1$. {\бф \ред Длина сего пути
ограничена $d(x_0,x_1)(1+\epsilon)$ в силу липшицевости.}
\ендпрооф

\следствие
{\бф \пурпле Существование $\epsilon$-середин в $M$ равносильно
тому, что метрика в его пополнении $M_1$ внутренняя.}

\доказательство
Если в $M$ есть $\epsilon$-середины, то и в $M_1$ есть $\epsilon$-середины
{\бф \пурпле  (докажите это)}.
Поэтому для любого $\epsilon$
существуют $(1+\epsilon)$-липшицевы пути $\gamma:\; [0, d(x, y)]\arrow M_1$,
соединяющие $x$ и $y$. Значит, $\hat d (x, y) < d(x, y)(1+\epsilon)$.
\endproof



\newpage


{\bf \blue Локальные метрики}

\утверждение
Пусть ${\cal S}$ -- семейство метрик на множестве $M$,
а $d_{{\cal S}}(x,y) := \sup\limits_{d_\alpha\in {\cal S}} d_\alpha(x,y)$
-- супремум всех метрик в ${\cal S}$. 
{\бф \ред Тогда $d_{\cal S}$ -- тоже метрика.}

\доказательство 
Две из трех аксиом (симметричность, рефлексивность)
очевидны. Неравенство треугольника следует из того,
что {\бф \пурпле супремум суммы не превосходит сумму супремумов.}
\ендпрооф

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, $\{U_i\}$ --
открытое покрытие $M$, то есть набор открытых множеств $U_i\subset M$
такой, что $M=\bigcup U_i$, а ${\cal S}_{\{U_i\}}$ -- множество
всех метрик $d'$ на $M$ таких, что $d'\restrict{U_i}\leq d\restrict{U_i}$
для каждого элемента покрытия. Обозначим за $d(\{U_i\})$
супремум метрик в семействе ${\cal S}_{\{U_i\}}$.
Метрика $d$ называется {\бф \блуе локальной},
если $d(\{U_i\})=d$ для любого покрытия $\{U_i\}$.


\невпаге

{\bf \blue Внутренние метрики локальны}

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, $\{U_i\}$ --
открытое покрытие $M$, то есть набор открытых множеств $U_i\subset M$
такой, что $M=\bigcup U_i$, а ${\cal S}_{\{U_i\}}$ -- множество
всех метрик $d'$ на $M$ таких, что $d'\restrict{U_i}\leq d\restrict{U_i}$
для каждого элемента покрытия. Обозначим за $d(\{U_i\})$
супремум метрик в семействе ${\cal S}_{\{U_i\}}$.
Метрика $d$ называется {\бф \блуе локальной},
если $d(\{U_i\})=d$ для любого покрытия $\{U_i\}$.


\теорема
{\бф \ред Внутренняя 
метрика всегда локальна.}

\дшаг Зафиксируем покрытие  $\{U_i\}$.
Пусть $\gamma$ -- спрямляемый путь на $M$.
Выберем разбиение $\gamma$ в отрезки $\gamma([x_l, x_{l+1}])$
таким образом, что каждый из отрезков лежит в своем $U_i$.
Тогда \[ L_{d(\{U_i\})}(\gamma([x_l, x_{l+1}])) 
   \leq L_d(\gamma([x_l, x_{l+1}])).\] {\бф \пурпле Значит, функционал
длины в метрике $d(\{U_i\})$ не больше, чем $L_d$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Возьмем путь $\gamma$, соединяющий
$x$ и $y$, и такой, что $L_d(\gamma)\leq d(x,y)-\epsilon$.
Такой путь существует, потому что $d$ внутренняя.
Тогда  \[ d(\{U_i\})(x,y) \leq L_{d(\{U_i\})}(\gamma) 
\leq L_d(\gamma)\leq d(x,y)-\epsilon.\]
Устремляя $\epsilon$ к 0, получаем $d(\{U_i\})\leq d$.
{\бф \пурпле Значит, метрика $d\in{\cal S}_{\{U_i\}}$ 
равна супремуму всех метрик в ${\cal S}_{\{U_i\}}$}. \ендпрооф

\невпаге

{\bf \blue Локальные метрики допускают $\epsilon$-середины}

Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство.
Определим $d_\epsilon(x,y)$ как инфимум $\sum d(x_i, x_{i+1})$
взятый по всем последовательностям точек $x_0=x, x_1, ..., x_n=y$
таким, что $d(x_i, x_{i+1})<\epsilon$. 

\упражнение
Проверьте, что {\бф \пурпле $d_\epsilon$ -- тоже метрика, $d_\epsilon \geq d$,
и она равна $d$ на  любом $\epsilon/2$-шаре.}

\следствие 
{\bf \ред Если $d$ локальна, то $d_\epsilon=d$ для любого $\epsilon>0$.}

\лемма
Для любых $x, y\in M$, {\бф \пурпле существует $z\in M$ такое, что 
$d_\epsilon(x,z) -2\epsilon < \frac 1 2 d_\epsilon(x,y)$ и
$d_\epsilon(y,z) -2\epsilon < \frac 1 2 d_\epsilon(x,y)$.}

\доказательство Возьмем последовательность $x_0=x, x_1, ..., x_n=y$
такую, что $d_\epsilon(x, y) \geq \sum d(x_i, x_{i+1})-\epsilon$,
и пусть $z$ -- такая точка из $x_i$, что 
$d_\epsilon(x, x_i) \leq \frac 1 2 \sum d(x_i, x_{i+1})+\epsilon$ и 
$d_\epsilon(y, x_i) \leq \frac 1 2 \sum d(x_i, x_{i+1})+\epsilon$.
Такая точка всегда существует, потому что $d(x_i, x_{i+1})<\epsilon$.
\ендпрооф

\следствие
{\бф \ред Локальные метрики допускают $\epsilon$-середины.}

\следствие
{\бф \ред Полные локальные метрики -- внутренние.}

%{\bf \blue Еще одна версия условия Хопфа-Ринова}
%
%\утверждение
%Пусть в метрическом пространстве $M$ есть $\epsilon$-середины.
%Тогда для любых двух точек $x, y\in M$, $d(x, y)=r$,
%и любого набора $r_1 < ... <r_n$ точек в отрезке $[0, r]$
%{\бф \ред найдется последовательность $x_0=x, x_1, ..., x_n=y\in M$ такая,
%что 
%\[ |r_i - r_j|-\epsilon < d(x_i, x_j) < |r_i - r_j| + \epsilon \ \ (*)
%\]
%}
%
%\дшаг
%Обозначим за $M_1$ пополнение $M$. Существование 
%$\epsilon$-середин в $M$ равносильно
%тому, что метрика в $M_1$ внутренняя. 
%
%{\бф \греен Шаг 2:} Пусть 
%$\gamma:\; [0,r]\arrow M_1$ -- $(1+\delta)$-липшицев путь,
%построенный выше, а $x_i$ -- точки $M$ в $\delta$-окрестности
%$\gamma(r_i)$. По построению, $\gamma$ искажает расстояния
%не более, чем в $(1+delta)$ раз; из этого легко вывести, что
%$|r_i - r_j|(1+delta)^{-1} < d(x_i, x_j)+ 2\delta < |r_i - r_j|(1+delta)$.
%Выбрав $\delta$ достаточно маленьким, получим (*).
%\endproof



\newpage


{\бф \блуе Локальная компактность}

\определение
{\бф\блуе $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$
есть такое множество $N\subset M$, что объединение
$\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$.
Метрическое пространство называется {\бф\блуе вполне ограниченным},
если для любого $\epsilon>0$ в $M$ найдется конечная
$\epsilon$-сеть.

\теорема
Полное метрическое пространство компактно
тогда и только тогда, когда оно вполне ограниченно.

\доказательство См. в листочках. \ендпрооф

\определение
 Пусть $M$ -- метрическое пространство.
Говорят, что $M$ {\bf\блуе локально компактно}, если для любой точки
$x\in M$ существует такое число $\epsilon>0$, что замкнутый шар
$\overline{B}_\epsilon(x)$ компактен.


\newpage

{\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова}



\теорема
Пусть $M$ -- полное, локально компактное пространство с внутренней
метрикой. {\бф \ред Тогда каждый замкнутый шар в $M$ компактен.}

\дшаг
{\бф \пурпле В $\epsilon$-окрестности шара 
$\bar B_{r}(m)$ содержится шар $\bar B_{r+\epsilon}(m)$}
(следует из условия Хопфа-Ринова).


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $m\in M$ точка, такая, что шары $B_{r-\epsilon}(m)$
вполне ограниченны для любого $\epsilon >0$. {\бф \пурпле Тогда 
$B_{r}(m)$ тоже вполне ограниченно.} Действительно,
$\frac 1 2\epsilon$-сеть в $B_{r-\frac 1 2\epsilon}(m)$
будет $\epsilon$-сетью в $B_{r}(m)$, в силу предыдущего шага.

{\бф \греен Шаг 3:}
Определим функцию на метрическом пространстве\\
$\rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.$
{\бф \пурпле Тогда $\rho$ 1-липшицева}, в частности, непрерывна.

{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\bar B_r(m)$ -- компактный шар в локально
компактном пространстве. Тогда существует $\epsilon>0$ такое, что
{\бф \пурпле 
каждый замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в с центром в $\bar B_r(m)$
компактен.}
Действительно, $\rho$ достигает минимума где-то на $B_r(m)$.


\newpage

{\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 3:}
Определим функцию на метрическом пространстве\\
$\rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.$
{\бф \пурпле Тогда $\rho$ 1-липшицева}, в частности, непрерывна.

{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\bar B_r(m)$ -- компактный шар в локально
компактном пространстве. Тогда существует $\epsilon>0$ такое, что
{\бф \пурпле 
каждый замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в с центром в $\bar B_r(m)$
компактен.}
Действительно, $\rho$ достигает минимума где-то на $B_r(m)$.

{\бф \греен Шаг 5:}
Для такого шара, {\бф \пурпле $\bar B_{r+\frac 1 2 \epsilon}(m)$ тоже компактен.}
Для доказательства, рассмотрим конечную
$\frac 1 4\epsilon$-сеть в $\bar B_r(m)$. Объединение $V$
замкнутых $\epsilon$-шаров с центрами в этой сети компактно
(конечное объединение компактов компактно) и содержит
$\bar B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)$ в силу шага 1. Действительно,
любая точка $B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)$ отстоит не больше, чем 
на $\frac 1 2\epsilon$ от  $\bar B_r(m)$, значит, отстоит не больше чем
на $\frac 3 4 \epsilon$ от какого-то узла $\frac 1 4\epsilon$-сети. 
Это дает $B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)\subset V$.

{\бф \греен Шаг 6:} Из сравнение шага 5 и шага 2 заключаем,
что $\rho=\infty$. \ендпрооф


\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=CohnVossen-small.png,width=0.30\linewidth}\\[6mm]
{\small\греен \it Stefan Cohn-Vossen, 
\\ 28 May 1902 - 25 June 1936}
\end{center}



\newpage

{\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве}


{\bf \green Определение:}
Непрерывное отображение $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$
называется {\bf \blue кратчайшей}, если его длина равна 
$d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$.

\замечание
{\bf \purple Любой отрезок кратчайшей - снова кратчайшая.}

{\bf \green Определение:}
Если $\phi:\; [0,\alpha] \arrow [0,\alpha]$ -- гомеоморфизм,
а $\gamma$ - путь из $x$ в $y$, композиция 
$\phi \circ\gamma$ - тоже путь из $x$ в $y$.
Такой путь называется {\bf\blue  репараметризацией $\gamma$}.

{\bf \red Параметризация $\gamma$} --  выбор пути в классе
путей, эквивалентных с точностью до репараметризации.


{\bf \green Определение:}
Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая,
соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\]
Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей
геодезической}, а соответствующая параметризация -
{\bf\blue геодезической параметризацией}. 

\замечание
{\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая задается изометрическим
вложением из отрезка в $M$.}


\newpage


{\бф \блуе Существование кратчайших}

\теорема
Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство
с внутренней метрикой а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая
геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.}


\дшаг
Пусть $d(x_0, x_1)=\alpha$.
В силу компактности,
{\бф \пурпле в шаре $\bar B_{\alpha/2}(x_1)$ есть точка $x_{1/2}$ такая, что
$d(x_0, x_{1/2}) = d(x_{1/2}, x_1)= \alpha/2.$}
В самом деле, функция $d(\cdot, x_0):\; \bar B_{\alpha/2}(x_1)\arrow \R$
непрерывная на компакте, значит, достигает минимума,
который равен $d(x_0,\bar B_{\alpha/2}(x_1))= \alpha/2$
потому, что метрика внутренняя.

{\бф \греен Шаг 2:} Воспользовавшись индукцией, для 
каждого двоично-рационального числа 
$\lambda = \frac{n}{2^k}$ в $[0,1]$ {\бф \пурпле найдем 
точку $x_{\lambda}$, такую, что 
$d(x_{\lambda}, x_\mu)=\alpha|\lambda-\mu|.$}


{\бф \греен Шаг 3:} 
Мы получили {\purple\бф изометрическое вложение множества двоично-рациональных
чисел в $M$}. {\bf \red Продолжим на пополнение, получим геодезическую.}
\ендпрооф



\end{document}



