\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\ендпрооф{\endproof} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Метрическая геометрия\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Метрическая геометрия 3: \\[3mm] теорема Хопфа-Ринова и кратчайшие} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 23 февраля, 2016\\ НМУ} \end{center} \невпаге {\bf \blue Внутренняя метрика (повторение)} \определение Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение отрезка $[a,b]= [a,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$ Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим $L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).$ Определим {\бф\блуе длину пути} $\gamma$ формулой \[ L_d(\gamma):= \sup_{a0$, существует $\epsilon$-середина. \утверждение {\бф \ред В любом пространстве с внутренней метрикой существуют $\epsilon$-середины.} \дшаг Пусть $\gamma$ -- путь длины $d(x,y)+\epsilon$, соединяющий $x$ и $y$. В силу непрерывности функции $d(x,\gamma(t))$, принимающей значения от $0$ до $d(x,y)$, {\бф \пурпле существует точка $z=\gamma(t_0)$ такая, что $d(x,z)= \frac {d(x,y)}{2}$.} {\бф \греен Шаг 2:} $d(y,z)+d(z,y)\leq L_d(\gamma)=d(x,y)+\epsilon$. {\бф \ред Значит, $d(y,z)\leq \frac {d(x,y)}{2}+\epsilon$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе $\epsilon$-середины и двоично-рациональные дроби} {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $M$ -- пространство, где существуют $\epsilon$-середины, а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда для любого $\lambda\in [0,1]$, найдется $x_\lambda\in M$ такая, что $|d(x_0,x_\lambda)- \lambda d(x_0,x_1)| \leq\epsilon$ и $|d(x_1,x_\lambda)- (1-\lambda) d(x_0,x_1)| \leq\epsilon$.} \дшаг Пусть $\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$, $0<\lambda<1$. Возьмем за $x_\lambda\in M$ $\frac{\epsilon}{2^{m+1}}$-середину между $x_{\frac{n}{2^{m-1}}}$ и $x_{\frac{n-1}{2^{m-1}}}$. {\бф \пурпле Воспользовавшись индукцией по $m$, построим $x_\lambda$ для каждого двоично-рационального числа $\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$}. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $P(\lambda)$ переводит $\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$ в $\frac{n-1}{2^{m-1}}$. По построению, \[ |d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})- \frac 1 {2^m} d(x_0,x_1)| <\frac{\epsilon}{2^{m+1}}d(x_0,x_1). \] Суммируя ряд \[ d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)}, x_{P(P(\lambda))}) + ... \] получим число, которое отличается от $\lambda d(x_0,x_1)$ на $\sum_{i=0}^m \frac{\epsilon}{2^{m+1}}\leq\epsilon$. {\бф \пурпле Значит, \[ d(x_0,x_\lambda) \leq d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)}, x_{P(P(\lambda))}) + ... \leq \lambda d(x_0,x_1)+\epsilon. \] Аналогично, $d(x_1,x_\lambda) \leq (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon.$ } \невпаге {\бф \блуе $\epsilon$-середины и двоично-рациональные дроби (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Уже доказано: \[ d(x_1,x_\lambda) \leq (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon \text{\ \ и\ \ } d(x_0,x_\lambda)\leq \lambda d(x_0,x_1)+\epsilon. \] Осталось доказать, что $d(x_1,x_\lambda)\geq \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon$ и $d(x_1,x_\lambda) \geq (1-\lambda) d(x_0,x_1)-\epsilon.$ Но если это неверно, имеем (например) $d(x_1,x_\lambda)\leq \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon$, что дает \[ d(x_1,x_\lambda)+d(x_1,x_\lambda)< \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon + (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon = d(x_0,x_1) \] {\бф \пурпле Противоречие с неравенством треугольника!} \ендпрооф \следствие {\бф \блуе ("Условие Хопфа-Ринова")} Пусть $M$ -- метрическое пространство, в котором существуют $\epsilon$-середины. {\бф \ред Тогда для любых $x, y \in M$, и $r \leq d(x,y)$, расстояние от шара $B_r(x)$ до $y$ равно $d(x,y)-r$}. \доказательство Выберем точку $z=z_\lambda$ такую, что $|d(x,z)-(r-\epsilon)| <\epsilon$ и $|d(y,z)-d(x,y)-r|<\epsilon$. Тогда $z\in B_r(x)$ и $d(B_r(x),y)\leq d(y,z)\leq d(x,y)-r+\epsilon$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе $\epsilon$-середины и внутренние метрики} \замечание Из шага 2 предыдущей теоремы следует, что отображение $\lambda\arrow x_\lambda$ {\бф \ред является $(1+\delta)$-липшицевым,} где $\delta=\epsilon d(x,y)^{-1}$. \утверждение Пусть $X,Y$ -- метрические пространства, а $\phi:\; X\arrow Y$ -- $C$-липшицево отображение. {\бф\пурпле Тогда $\phi$ продолжается до $C$-липшицева отображения пополнений $\bar \phi:\; \bar X\arrow \bar Y$.} \теорема Пусть $M$ -- полное метрическое пространство, в котором существуют $\epsilon$-середины. {\бф \ред Тогда метрика в $M$ внутренняя}. \доказательство В силу предыдущего утверждения, отображение $\lambda\arrow x_\lambda$, построенное в Теореме 1, продолжается до $d(x_0,x_1)(1+\epsilon)$-липшицева отображения $[0,1]\stackrel\gamma\arrow M$, то есть пути, соединяющего $x_0$ и $x_1$. {\бф \ред Длина сего пути ограничена $d(x_0,x_1)(1+\epsilon)$ в силу липшицевости.} \ендпрооф \следствие {\бф \пурпле Существование $\epsilon$-середин в $M$ равносильно тому, что метрика в его пополнении $M_1$ внутренняя.} \доказательство Если в $M$ есть $\epsilon$-середины, то и в $M_1$ есть $\epsilon$-середины {\бф \пурпле (докажите это)}. Поэтому для любого $\epsilon$ существуют $(1+\epsilon)$-липшицевы пути $\gamma:\; [0, d(x, y)]\arrow M_1$, соединяющие $x$ и $y$. Значит, $\hat d (x, y) < d(x, y)(1+\epsilon)$. \endproof \newpage {\bf \blue Локальные метрики} \утверждение Пусть ${\cal S}$ -- семейство метрик на множестве $M$, а $d_{{\cal S}}(x,y) := \sup\limits_{d_\alpha\in {\cal S}} d_\alpha(x,y)$ -- супремум всех метрик в ${\cal S}$. {\бф \ред Тогда $d_{\cal S}$ -- тоже метрика.} \доказательство Две из трех аксиом (симметричность, рефлексивность) очевидны. Неравенство треугольника следует из того, что {\бф \пурпле супремум суммы не превосходит сумму супремумов.} \ендпрооф \определение Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, $\{U_i\}$ -- открытое покрытие $M$, то есть набор открытых множеств $U_i\subset M$ такой, что $M=\bigcup U_i$, а ${\cal S}_{\{U_i\}}$ -- множество всех метрик $d'$ на $M$ таких, что $d'\restrict{U_i}\leq d\restrict{U_i}$ для каждого элемента покрытия. Обозначим за $d(\{U_i\})$ супремум метрик в семействе ${\cal S}_{\{U_i\}}$. Метрика $d$ называется {\бф \блуе локальной}, если $d(\{U_i\})=d$ для любого покрытия $\{U_i\}$. \невпаге {\bf \blue Внутренние метрики локальны} \определение Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, $\{U_i\}$ -- открытое покрытие $M$, то есть набор открытых множеств $U_i\subset M$ такой, что $M=\bigcup U_i$, а ${\cal S}_{\{U_i\}}$ -- множество всех метрик $d'$ на $M$ таких, что $d'\restrict{U_i}\leq d\restrict{U_i}$ для каждого элемента покрытия. Обозначим за $d(\{U_i\})$ супремум метрик в семействе ${\cal S}_{\{U_i\}}$. Метрика $d$ называется {\бф \блуе локальной}, если $d(\{U_i\})=d$ для любого покрытия $\{U_i\}$. \теорема {\бф \ред Внутренняя метрика всегда локальна.} \дшаг Зафиксируем покрытие $\{U_i\}$. Пусть $\gamma$ -- спрямляемый путь на $M$. Выберем разбиение $\gamma$ в отрезки $\gamma([x_l, x_{l+1}])$ таким образом, что каждый из отрезков лежит в своем $U_i$. Тогда \[ L_{d(\{U_i\})}(\gamma([x_l, x_{l+1}])) \leq L_d(\gamma([x_l, x_{l+1}])).\] {\бф \пурпле Значит, функционал длины в метрике $d(\{U_i\})$ не больше, чем $L_d$.} {\бф \греен Шаг 2:} Возьмем путь $\gamma$, соединяющий $x$ и $y$, и такой, что $L_d(\gamma)\leq d(x,y)-\epsilon$. Такой путь существует, потому что $d$ внутренняя. Тогда \[ d(\{U_i\})(x,y) \leq L_{d(\{U_i\})}(\gamma) \leq L_d(\gamma)\leq d(x,y)-\epsilon.\] Устремляя $\epsilon$ к 0, получаем $d(\{U_i\})\leq d$. {\бф \пурпле Значит, метрика $d\in{\cal S}_{\{U_i\}}$ равна супремуму всех метрик в ${\cal S}_{\{U_i\}}$}. \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Локальные метрики допускают $\epsilon$-середины} Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство. Определим $d_\epsilon(x,y)$ как инфимум $\sum d(x_i, x_{i+1})$ взятый по всем последовательностям точек $x_0=x, x_1, ..., x_n=y$ таким, что $d(x_i, x_{i+1})<\epsilon$. \упражнение Проверьте, что {\бф \пурпле $d_\epsilon$ -- тоже метрика, $d_\epsilon \geq d$, и она равна $d$ на любом $\epsilon/2$-шаре.} \следствие {\bf \ред Если $d$ локальна, то $d_\epsilon=d$ для любого $\epsilon>0$.} \лемма Для любых $x, y\in M$, {\бф \пурпле существует $z\in M$ такое, что $d_\epsilon(x,z) -2\epsilon < \frac 1 2 d_\epsilon(x,y)$ и $d_\epsilon(y,z) -2\epsilon < \frac 1 2 d_\epsilon(x,y)$.} \доказательство Возьмем последовательность $x_0=x, x_1, ..., x_n=y$ такую, что $d_\epsilon(x, y) \geq \sum d(x_i, x_{i+1})-\epsilon$, и пусть $z$ -- такая точка из $x_i$, что $d_\epsilon(x, x_i) \leq \frac 1 2 \sum d(x_i, x_{i+1})+\epsilon$ и $d_\epsilon(y, x_i) \leq \frac 1 2 \sum d(x_i, x_{i+1})+\epsilon$. Такая точка всегда существует, потому что $d(x_i, x_{i+1})<\epsilon$. \ендпрооф \следствие {\бф \ред Локальные метрики допускают $\epsilon$-середины.} \следствие {\бф \ред Полные локальные метрики -- внутренние.} %{\bf \blue Еще одна версия условия Хопфа-Ринова} % %\утверждение %Пусть в метрическом пространстве $M$ есть $\epsilon$-середины. %Тогда для любых двух точек $x, y\in M$, $d(x, y)=r$, %и любого набора $r_1 < ... 0$ в $M$ найдется конечная $\epsilon$-сеть. \теорема Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограниченно. \доказательство См. в листочках. \ендпрооф \определение Пусть $M$ -- метрическое пространство. Говорят, что $M$ {\bf\блуе локально компактно}, если для любой точки $x\in M$ существует такое число $\epsilon>0$, что замкнутый шар $\overline{B}_\epsilon(x)$ компактен. \newpage {\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова} \теорема Пусть $M$ -- полное, локально компактное пространство с внутренней метрикой. {\бф \ред Тогда каждый замкнутый шар в $M$ компактен.} \дшаг {\бф \пурпле В $\epsilon$-окрестности шара $\bar B_{r}(m)$ содержится шар $\bar B_{r+\epsilon}(m)$} (следует из условия Хопфа-Ринова). {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $m\in M$ точка, такая, что шары $B_{r-\epsilon}(m)$ вполне ограниченны для любого $\epsilon >0$. {\бф \пурпле Тогда $B_{r}(m)$ тоже вполне ограниченно.} Действительно, $\frac 1 2\epsilon$-сеть в $B_{r-\frac 1 2\epsilon}(m)$ будет $\epsilon$-сетью в $B_{r}(m)$, в силу предыдущего шага. {\бф \греен Шаг 3:} Определим функцию на метрическом пространстве\\ $\rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.$ {\бф \пурпле Тогда $\rho$ 1-липшицева}, в частности, непрерывна. {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\bar B_r(m)$ -- компактный шар в локально компактном пространстве. Тогда существует $\epsilon>0$ такое, что {\бф \пурпле каждый замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в с центром в $\bar B_r(m)$ компактен.} Действительно, $\rho$ достигает минимума где-то на $B_r(m)$. \newpage {\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Определим функцию на метрическом пространстве\\ $\rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.$ {\бф \пурпле Тогда $\rho$ 1-липшицева}, в частности, непрерывна. {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\bar B_r(m)$ -- компактный шар в локально компактном пространстве. Тогда существует $\epsilon>0$ такое, что {\бф \пурпле каждый замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в с центром в $\bar B_r(m)$ компактен.} Действительно, $\rho$ достигает минимума где-то на $B_r(m)$. {\бф \греен Шаг 5:} Для такого шара, {\бф \пурпле $\bar B_{r+\frac 1 2 \epsilon}(m)$ тоже компактен.} Для доказательства, рассмотрим конечную $\frac 1 4\epsilon$-сеть в $\bar B_r(m)$. Объединение $V$ замкнутых $\epsilon$-шаров с центрами в этой сети компактно (конечное объединение компактов компактно) и содержит $\bar B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)$ в силу шага 1. Действительно, любая точка $B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)$ отстоит не больше, чем на $\frac 1 2\epsilon$ от $\bar B_r(m)$, значит, отстоит не больше чем на $\frac 3 4 \epsilon$ от какого-то узла $\frac 1 4\epsilon$-сети. Это дает $B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)\subset V$. {\бф \греен Шаг 6:} Из сравнение шага 5 и шага 2 заключаем, что $\rho=\infty$. \ендпрооф \newpage \begin{center} \epsfig{file=CohnVossen-small.png,width=0.30\linewidth}\\[6mm] {\small\греен \it Stefan Cohn-Vossen, \\ 28 May 1902 - 25 June 1936} \end{center} \newpage {\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве} {\bf \green Определение:} Непрерывное отображение $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ называется {\bf \blue кратчайшей}, если его длина равна $d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$. \замечание {\bf \purple Любой отрезок кратчайшей - снова кратчайшая.} {\bf \green Определение:} Если $\phi:\; [0,\alpha] \arrow [0,\alpha]$ -- гомеоморфизм, а $\gamma$ - путь из $x$ в $y$, композиция $\phi \circ\gamma$ - тоже путь из $x$ в $y$. Такой путь называется {\bf\blue репараметризацией $\gamma$}. {\bf \red Параметризация $\gamma$} -- выбор пути в классе путей, эквивалентных с точностью до репараметризации. {\bf \green Определение:} Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая, соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\] Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей геодезической}, а соответствующая параметризация - {\bf\blue геодезической параметризацией}. \замечание {\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая задается изометрическим вложением из отрезка в $M$.} \newpage {\бф \блуе Существование кратчайших} \теорема Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство с внутренней метрикой а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.} \дшаг Пусть $d(x_0, x_1)=\alpha$. В силу компактности, {\бф \пурпле в шаре $\bar B_{\alpha/2}(x_1)$ есть точка $x_{1/2}$ такая, что $d(x_0, x_{1/2}) = d(x_{1/2}, x_1)= \alpha/2.$} В самом деле, функция $d(\cdot, x_0):\; \bar B_{\alpha/2}(x_1)\arrow \R$ непрерывная на компакте, значит, достигает минимума, который равен $d(x_0,\bar B_{\alpha/2}(x_1))= \alpha/2$ потому, что метрика внутренняя. {\бф \греен Шаг 2:} Воспользовавшись индукцией, для каждого двоично-рационального числа $\lambda = \frac{n}{2^k}$ в $[0,1]$ {\бф \пурпле найдем точку $x_{\lambda}$, такую, что $d(x_{\lambda}, x_\mu)=\alpha|\lambda-\mu|.$} {\бф \греен Шаг 3:} Мы получили {\purple\бф изометрическое вложение множества двоично-рациональных чисел в $M$}. {\bf \red Продолжим на пополнение, получим геодезическую.} \ендпрооф \end{document}