
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}

\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\ендпрооф{\endproof}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Метрическая геометрия\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\makeatother


\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Метрическая геометрия: \\[3mm]
 функционал длины}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 15 февраля, 2016\\
НМУ}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Топологические пространства (предполагается известным).}

{\ит \пурпле Феликс Хаусдорф, ``Grundz\"uge der Mengenlehre'', 1914}

{\bf \green Определение:}
Пусть $M$ - множество, а ${\cal U} \subset 2^M$
набор подмножеств, называемых {\bf\blue открытыми}. 
Тогда ${\cal U}$ {\bf \blue задает топологию}
на $M$, если 

 {\red \bf $\bullet$ Любое объединение открытых подмножеств открыто

 $\bullet$ Конечное пересечение открытых подмножеств открыто

$\bullet$ $M$ и пустое множество $\emptyset$ открыты.}

Такое $M$ называется {\bf \blue топологическим пространством}.

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue Замкнутым множеством} называется множество, 
дополнение которого открыто.

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue  Базой топологии}  на $M$ называется
набор ${\cal U}\subset 2^M$ подмножеств $M$,
состоящий из открытых множеств, и такой,
что любое открытое подмножество $M$ получено
из элементов ${\cal U}$ взятием
объединений.


\newpage

{\bf \blue Простейшие понятия топологии (предполагается известным).}

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue Окрестностью} подмножества $Z\subset M$ называется
любое открытое множество, содержащее $Z$. {\bf \blue Замыканием}
подмножества $Z\subset M$ называется пересечение
всех замкнутых подмножеств, содержащих $Z$.

{\bf \green Определение:}
Отображение $\phi:\; M \arrow N$ называется
{\bf \blue  непрерывным}, если прообраз любого открытого множества открыт.


{\bf \green Определение:}
{\bf \blue  Пределом} $\{x_i\}$
называется такая точка $x\in M$, что в любой окрестности
$x$ содержатся почти все элементы $\{x_i\}$.

{\bf \green Определение:}
Топологическое пространство $M$ называется {\bf \blue 
отделимым}, или {\bf \blue  хаусдорфовым},
если любые две точки $x\neq y \in M$ имеют
непересекающиеся окрестности $U\ni x, V \ni y$.

\замечание В дальнейшем, все топологические
пространства {\бф \ред по умолчанию предполагаются хаусдорфовыми}.

\newpage

{\bf \blue Связные топологические пространства.}



\определение
Пусть $M$ --  топологическое пространство,
a $A\subset M$ -- его подмножество, которое
открыто и замкнуто. Тогда $A$ называется
{\бф \блуе открыто-замкнутым} (clopen).


\определение
Топологическое пространство $M$ называется {\бф\блуе связным}
(connected), если верно одно из равносильных условий \\
1. {\бф \ред $M$ не содержит открыто-замкнутых подмножеств,
кроме $M$ и $\emptyset$.}\\
2. {\бф \ред $M$ не может быть разбит в объединение
двух непересекающихся, непустых, открытых подмножеств.}

\упражнение
Докажите, что любое {\бф \пурпле связное подмножество отрезка $[0,1]$ -- это отрезок,
интервал или полуинтервал.}

\упражнение
Докажите, что
{\бф \пурпле 
замыкание $\bar Z$ связного подмножества $Z\subset M$ всегда связно.}

\упражнение
Пусть $X$ связно, а $f:\; X \arrow Y$ -- 
непрерывное отображение. {\бф \пурпле 
Докажите, что $f(X)$ тоже связно.}

\следствие
Если $f:\; X \arrow \R$ -- непрерывная функция
на связном множестве то, {\бф \пурпле $f(X)$ это отрезок,
интервал или полуинтервал.}


\newpage

{\bf \blue Линейно связные топологические пространства.}


\определение
 {\bf \блуе Путем} в топологическом пространстве $M$ называется
непрерывное отображение $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$.
В этом случае говорится, что путь 
$\phi$ {\bf \блуе соединяет точки $\phi(a)$ и $\phi(b)$}.
$M$ называется {\bf \блуе линейно связным}, если любые
две точки $M$ можно соединить путем $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$.


\замечание
{\бф \ред Из линейной связности следует связность.}
Действительно, отрезок $[0,1]$ связен,
образ связного множества связен, объединение
пересекающихся связных множеств связно.

\упражнение Постройте топологическое пространство,
которое {\бф \пурпле связно, но не линейно связно.}

\упражнение 
(весьма трудное) 
{\бф \пурпле Постройте хаусдорфово топологическое пространство $M$,
которое связно и счетно.}

\замечание
Такое пространство не линейно связно;
более того, любое отображение из отрезка в $M$
постоянно {\бф \ред (докажите это)}.

\newpage

{\bf \blue Локально линейно связные топологические пространства.}

\определение
Топологическое пространство $M$
называется {\бф \блуе локально связным 
(локально линейно связным),} если каждая 
окрестность точки $x\in M$ содержит связную
(линейно связную) окрестность $x$.

\определение
{\бф \блуе Компонента связности (линейной связности)}
точки $x$ в топологическом пространстве есть
объединение всех связных (линейно связных)
подмножеств, содержащих $x$.

\определение
Пусть $X$, $Y$ -- топологические пространства.
{\бф \блуе Несвязное объединение} $X \coprod Y$
есть объединение непересекающихся множеств,
отождествляемых с $X$ и $Y$, с базой топологии,
которая состоит из открытых множеств $X$ и $Y$.

\утверждение
Каждое локально связное
(локально линейно связное) пространство
{\бф \ред является несвязным объединением своих
компонент связности (линейной связности).}

\упражнение 
Докажите это.

\newpage

{\bf \blue Метрические пространства.}

{\bf \blue Определение:}
Пусть $M$ - множество. {\bf \green Метрикой} на $M$ называется
функция $d:\; M\times M\arrow \R^{\geq 0}\cup \infty$, удовлетворяющая
следующим условиям\\
* {\бф \ред [Невырожденность:]}\ \ $d(x,y)=0$ тогда и только тогда,
когда $x=y$.\\
* {\бф \ред [\red Симметричность:]}\ \  $d(x,y)=d(y,x)$\\
* {\бф \ред [\red Неравенство треугольника:]}\ \  $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$
\\
для любых точек $x,y,z\in M$.


\определение
Если $x\in X$ -- точка, а $\epsilon$ -- вещественное число,
множество
$B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \  | \ \  d(x,y)< \epsilon$
называется {\bf\блуе (открытый) шар радиуса $\epsilon$ с центром в $x$},
или  {\bf \блуе $\epsilon$-шар}.  {\бф \блуе Замкнутый шар} это
$\overline B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \  | \ \  d(x,y)\leq \epsilon\}.$

\определение
{\бф \блуе Открытое множество} в метрическом пространстве $M$
есть объединение открытых шаров. 

\упражнение {\бф \пурпле 
Докажите, что это задает топологию на $M$.}


\newpage

{\bf \blue Допустимые пути.}


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Говорится, что на $M$ {\бф \блуе задан класс допустимых путей},
если задано множество путей $[a,b] \arrow M$ такое, что

1. Для любых двух путей $[a,b] \stackrel {\gamma_1}\arrow M$
и $[b,c] \stackrel {\gamma_2}\arrow M$, удовлетворяющих
$\gamma_1(b)=\gamma_2(b)$, путь $\gamma:\; [a,c]\arrow M$,
равный $\gamma_1$ на $[a,b]$ и $\gamma_2$ на $[b,c]$,
тоже допустим. Такая операция называется {\бф \блуе "склейка путей".}

2. {\бф \блуе (замена параметра)}
Если $\phi:\; [a,b]\arrow [c,d]$ -- линейное отображение,
а путь $\gamma:\; [c,d]\arrow M$ допустим, путь
$\phi\circ\gamma$ тоже допустим.

3. {\бф \блуе Ограничение:}
Для каждого пути $[a,b] \stackrel {\gamma}\arrow M$,
и отрезка $[c,d]\subset [a,b]$, ограничение
$\gamma|_{[c,d]}$ -- тоже допустимый путь.

\newpage

{\bf \blue Допустимые пути (примеры).}


\пример
{\бф \блуе Кусочно-линейные пути} (ломаные) в $\R^n$ образуют 
допустимый класс путей.

\пример 
{\бф\блуе Кусочно-полиномиальный путь} получен склейкой
конечного числа путей $\gamma_i:\; [x_i, x_{i+1}]$,
заданных полиномиальными отображениями.
{\бф \пурпле Кусочно-полиномиальные пути в $\R^n$ образуют 
допустимый класс путей.}

\пример 
{\бф\блуе Кусочно-гладкий путь} получен склейкой
конечного числа путей $\gamma_i:\; [x_i, x_{i+1}]$,
заданных гладкими отображениями. 
{\бф \пурпле Кусочно-гладкие пути в $\R^n$ образуют 
допустимый класс путей.}

\определение
{\бф \блуе $C$-Липшицево отображение} есть отображение метрических
пространств $\phi:\; M \arrow M'$, удовлетворяющее
$Cd(x,y) \geq d(\phi (x), \phi(y))$. {\бф \блуе Липшицево
отображение} есть $C$-липшицево с какой-то константой $C$.

\пример
{\бф \блуе Липшицевы пути} образуют допустимый класс.



\newpage

{\bf \blue Функционал длины.}

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
допустимым классом путей. Функционал $L(\gamma)$, 
отображающий допустимые пути в числа, называется
{\бф\блуе функционалом длины}, если он удовлетворяет следующим
условиям.

1. {\бф \блуе (аддитивность длины)}
Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, 
и любого $b\in [a,c]$, {\бф \пурпле $L(\gamma)=L(\gamma|_{[a,b]})+
L(\gamma|_{[b,c]})$,} где $\gamma|_{[c,d]}$
обозначает {\бф \блуе ограничение пути,} то есть 
функции $\gamma:\; [a,b]\arrow \R$
на отрезок $[c,d]\subset [a,b]$.

2. {\бф \блуе (непрерывность длины пути как функции от координат концов)}
Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, 
{\бф \пурпле функция $L(\gamma\restrict{[a,b]})$
непрерывно зависит от $b\in [a,c]$.}

3. {\бф \блуе Замена параметра:} Если
$\phi:\; [a,b] \arrow [c,d]$ -- гомеоморфизм отрезков,
а $\gamma:\; [c,d] \arrow M$ и $\phi\circ \gamma:\; [a,b] \arrow M$ --
допустимые пути, то {\бф \пурпле $L(\gamma)= L(\phi \circ \gamma)$.}

4. {\бф \блуе (длина пути согласована с топологией)}
Пусть $Z$ -- замкнутое подмножество $M$, а $x\notin Z$
точка, не лежащая на $Z$. Тогда {\бф \пурпле существует число $\epsilon >0$
такое, что любой путь, соединяющий $x$ с какой-то точкой $Z$,
имеет длину $\geq \epsilon$.}


\невпаге

{\bf \blue Метрика, построенная по функционалу длины.}

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины.
{\бф \блуе Метрика путей}, или же {\бф \блуе внутренняя
метрика, $d_L:\;M\times M \arrow \R^{\geq 0}$
построенная по функционалу $L$,}
определяется как $d_L(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где
инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$.

\утверждение 
{\бф \ред Это метрика.}

\доказательство
{\бф \пурпле Симметричность $d_L$ следует из замены параметра
$t \arrow (b-t)+a$} в пути $\gamma:\; [a, b]\arrow M$
(из пути, соединяющего $a$ и $b$, получаем путь,
соединяющий $b$ и $a$, той же длины).

{\бф \пурпле Положительность $d_L(x,y)$, $x\neq y$ следует из условия 4,
примененного к $Z=y$.} В самом деле, существует такое
$\epsilon>0$, что любой путь, соединяющий $x$ и $Z$, имеет
длину $\geq \epsilon$.

{\bf \purple Неравенство треугольника доказывается
через склейку путей}. Пусть $\gamma_1$ -- путь,
соединяющий $x$ и $y$, длины $d_L(x,y)+\epsilon$, а
$\gamma_2$ -- путь,
соединяющий $y$ и $z$, длины $d_L(y,z)+\epsilon$.
Склеив $\gamma_1$ и $\gamma_2$, получим путь
$\gamma$, соединяющий $x$ и $z$, длины
$d_L(x,y)+ d_L(y,z)+2\epsilon$, что дает
$d_L(x,y)+d_L(y,z) \geq d_L(x,z) + 2\epsilon$.
\ендпрооф


\невпаге

{\bf \blue Примеры функционала длины.}

\пример
$M=\R^n$ с обычной топологией, 
класс допустимых путей - кусочно-линейные
пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, 
а длина пути определяется формулой
$L(\gamma)=\sum |d(x_i,x_{i+1})|$ {\бф \блуе ("длина ломаной").}

\утверждение
Построенная по этому функционалу
метрика $d_L$ равна обычной метрике.

Действительно, {\бф \пурпле самая короткая ломаная,
соединяющая две точки -- это отрезок прямой.}

\пример
{\бф \блуе "переход болота" (конформно плоская метрика):}
$M=\R^n$, класс допустимых путей - кусочно-линейные
пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, $f:\; \R^n \arrow \R^{>0}$
непрерывная, положительная функция, а длина пути определяется формулой
\[ L(\gamma)=\sum \int_{[x_i, x_{i+1}]} f \] 
(интеграл от $f$ по отрезку
$[x_i, x_{i+1}]$).

\упражнение
Проверьте, что это функционал длины.

\невпаге

{\bf \blue Финслерова метрика.}

\пример
{\bf \blue Длина кусочно-гладкого пути}
$\gamma:\; [a,b]\arrow \R^n$ с евклидовой метрикой 
вычисляется по формуле $L(\gamma(t)):= \int_a^b |\gamma'(t)| dt$

\упражнение
Докажите, что это функционал длины, и 
{\бф \ред соответствующая метрика $L_d$ -- обычная,
плоская.}

\пример
{\бф \блуе "Финслерова метрика"}
Пусть $U\subset \R^n$ открытое подмножество,
а $\nu_x:\; Tx\R^n\arrow \R$ -- норма на касательном
пространстве, непрерывно зависящая от $x$. Для
кусочно-гладкого пути $\gamma:\; [a,b]\arrow U$, определим
\[ 
 L_\nu(\gamma(t)):= \int_a^b \nu_{\gamma(t)}(\gamma'(t)) dt
\]
\утверждение
{\бф \ред Это функционал длины.}

\доказательство 
{\bf \purple Аддитивность} и {\bf \purple непрерывность} $L$ очевидны.

{\бф \пурпле 
Чтобы доказать согласованность с топологией,}
выберем такую константу $\delta$, что
$\nu_x(v) \geq \delta |v|$ в замкнутом
$V\ni x$, не пересекающем $Z$. {\бф \ред Тогда каждый путь $\gamma$,
соединяющий $x$ и границу $\partial V$, удовлетворяет
$L_\nu(\gamma) \geq \delta L(\gamma)$,} где
$L$ -- длина $\gamma$ в евклидовой метрике.
Но $L(\gamma) \geq d(x, \partial V)$, а это число положительно,
так как $\partial V$ замкнуто.

\невпаге

{\bf \blue Финслерова метрика и риманова метрика.}

{\бф \пурпле Инвариантность $L_\nu$ при репараметризации}
следует из формулы 
\begin{multline*} 
L_\nu(\phi\circ\gamma)=\int_a^b \nu_{\gamma(\phi(t))}(\phi\circ\gamma)'(t) dt=\\=
   \int_a^b \nu_{\gamma(\phi(t))}(\phi'(t)\gamma'(\phi(t))
   dt= \int_a^b
   \phi'(t)\nu_{\gamma(\phi(t))}(\gamma'(\phi(t)) dt
=\\ = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)}
\nu_{\gamma(\phi(t))}(\gamma'(\phi(t)) d\phi(t) = L_\nu(\gamma)
\end{multline*}
\endproof

\определение
{\бф \блуе Финслерова метрика} 
на $U$ определяется как внутренняя метрика,
определенная функционалом длины $L_\nu$.

\определение
Пусть $U\subset \R^n$ -- открытое подмножество,
а норма $\nu_x:\; T_x\R^n\arrow \R$ задается формулой
$\nu_x(v) = \sqrt{g_x(v,v)}$, где $g_x\in \Sym^2 T_x^*
\R^n$ -- положительно определенное скалярное 
произведение, заданное гладким отображением
$U \arrow \Sym^2 \R^n= \Sym^2 T_x^*\R^n$.
В такой ситуации $g_x$ называется {\бф\блуе римановой формой}
на $U$, а соответствующая метрика оутей
{\бф\блуе римановой метрикой} на $U$.


\невпаге

{\bf \blue Спрямляемые пути.}


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение
отрезка $[a,b]= [a,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$
Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим
$L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).$ 
Определим {\бф\блуе длину пути} $\gamma$ формулой
\[ L_d(\gamma):= \sup_{a<x_1< ... <x_{n-1}<b}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}).
\]
где супремум берется по всем разбиениям отрезка.
Путь $\gamma$ называется {\бф\блуе спрямляемым}, если
$L_d(\gamma)<\infty$. 

\пример
Любой липшицев путь -- спрямляемый {\бф \пурпле (докажите это).}

\замечание
Любой кусочно гладкий путь -- липшицев {\бф \пурпле
(докажите это).}

\утверждение
Пусть $M$ -- произвольное метрическое пространство.
{\бф \ред Тогда спрямляемые пути образуют допустимый класс, а
$L_d$ является функционалом длины. }

\упражнение {\бф \пурпле Докажите это.}


\невпаге

{\bf \blue Внутренняя метрика.}

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
а $L_d$ -- функционал длины на спрямляемых
путях. Обозначим соответствующую внутреннюю
метрику $d_{L_d}$ за $\hat d$. Она называется
{\бф \блуе внутренней метрикой, индуцированной $d$.}

\теорема
Для любого метрического пространства, $\hat {\hat d}=\hat d$.

\дшаг 
Длина пути, соединяющего $x$ и $y$, не меньше, чем 
$d(x,y)$, в силу неравенства треугольника.
Поэтому $\hat d\geq d$.

{\бф \греен Шаг 2:}
Поскольку $\hat d\geq d$, имеем
{\бф \пурпле $L_d(\gamma) \leq L_{\hat d}(\gamma)$ для
любого пути.}


{\бф \греен Шаг 3:}
Пусть $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- спрямляемый путь.
Выберем такое разбиение отрезка $[a,b]$, что  
$L_{\hat d}(\gamma) - \sum 
 \hat d (\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1})) <\epsilon.$
Тогда
\[
L_{\hat d}(\gamma) -\epsilon \leq
\sum_i \hat d\left (\gamma\restrict{[x_i,x_{i+1}]}\right) \leq
\sum_i L_d\left(\gamma\restrict{[x_i,x_{i+1}]}\right)
= L_d(\gamma).
\]
{\бф \ред Устремляя $\epsilon$ к нулю, получаем $L_{\hat d}(\gamma) \leq
L_{d}(\gamma)$.}
\endproof

\определение
Метрика $d$ на $M$ называется {\бф \блуе внутренней},
если $\hat d=d$.

\невпаге

{\bf \blue Внутренние метрики и функционалы длины}

\теорема
Пусть $(M, d)$ -- пространство с метрикой путей, построенной
по функционалу длины $L$. {\бф \ред Тогда $d$ внутренняя.}

\дшаг
Для каждого допустимого пути $\gamma$, соединяющего $a$ и $b$ в $M$,
имеем $d(a,b) \leq L(\gamma)$. С другой стороны,  $L_d(\gamma)$ есть супремум 
$\sum_i d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1}))$ по всем разбиениям пути.
Значит, для каждого $\epsilon>0$ найдется разбиение пути 
$\gamma$ такое, что
\[ L_d(\gamma)\leq \sum_i d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1}))+\epsilon\leq
\sum_i L(\gamma_{[x_i, x_{i+1}]})+\epsilon= L(\gamma) +\epsilon
\]
 Это дает $L_d(\gamma) \leq L(\gamma)$, то есть
 $\hat d \leq d$.

{\бф \греен Шаг 2:} По определению, $\hat d(x,y)$ есть 
инфимум $L_d$-длин всех спрямляемых путей, соединяющих $x$ и
$y$. Значит, для любого заданного $\epsilon >0$.
найдется спрямляемый путь $\gamma$, соединяющий $x$ и $y$,
и его разбиение $\gamma=\bigcup \gamma_{[x_i, x_{i+1}]}$
такое, что
\[ \hat d(x, y) \geq L_d(\gamma)-\epsilon \geq
\sum_i d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1}))-2\epsilon\geq
 d(x, y)-2\epsilon.
\]
Устремляя $\epsilon$ к нулю, получаем $\hat d \geq d$.
\ендпрооф


\невпаге

{\bf \blue Условие Хопфа-Ринова}


\определение
Метрика $d$ на $M$ {\бф\блуе удовлетворяет условию Хопфа-Ринова}
если для любого $\delta>0, N\in \Z^{>0}$
и любых точек $x_0, x_N\in M$, $d(x_0, x_N)=a$,
найдутся точки $x_1, ..., x_{N-2}\in M$
такие, что $d(x_i, x_{i+1}) \leq \frac A N +\delta$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле внутренняя метрика
удовлетворяет условию Хопфа-Ринова}.

На следующей лекции мы докажем такую теорему

\теорема
Пусть $(M,d)$ -- полное метрическое
пространство, удовлетворяющее условию Хопфа-Ринова.
{\бф \ред Тогда $d$ -- внутренняя метрика.}


\невпаге

{\bf \blue Упражнения}

\упражнение
Пусть $S^2 \supset \R^3$ -- подмножество $\R^3$ с плоской метрикой $d$.
Ограничим $d$ на $S^2$. {\бф \ред 
Докажите, что полученная метрика не внутренняя.}

\упражнение В этой же ситуации, рассмотрим 
соответствующую метрику $\hat d$. {\бф \ред Докажите, что
$\hat d(x,y)$ равна углу дуги большого круга, проходящего
через $x, y$.}

\определение
{\бф \блуе Кратчайшей} называется путь
$\gamma$, соединяющий $x$ и $y$, такой, что $L(\gamma)=d(x,y)$.

\пример 
На сфере $S^2$ с внутренней метрикой, построенной выше,
кратчайшие суть дуги большого круга длины $\leq \pi$
{\бф \ред (докажите это).}


\упражнение
Пусть $M$ -- компактное метрическое
пространство с внутренней метрикой.
{\бф \ред Докажите, что любые две точки можно соединить
кратчайшей.}



\невпаге

{\bf \blue Локальные метрики}

\утверждение
Пусть ${\cal S}$ -- семейство метрик на множестве $M$,
а $d_{{\cal S}}(x,y) := \sup{d_\alpha\in {\cal S}} d_\alpha(x,y)$
-- супремум всех метрик в ${\cal S}$. 
{\бф \ред Тогда $d_{\cal S}$ -- тоже метрика.}

\доказательство 
Две из трех аксиом (симметричность, рефлексивность)
очевидны. Неравенство треугольника следует из того,
что {\бф \пурпле супремум суммы не превосходит сумму супремумов.}
\ендпрооф

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, $\{U_i\}$ --
открытое покрытие $M$, то есть набор открытых множеств $U_i\subset M$
такой, что $M=\bigcup U_i$, а ${\cal S}_{\{U_i\}}$ -- множество
всех метрик $d'$ на $M$ таких, что $d'\restrict{U_i}\leq d\restrict{U_i}$
для каждого элемента покрытия. Обозначим за $d(\{U_i\})$
супремум метрик в семействе ${\cal S}_{\{U_i\}}$.
Метрика $d$ называется {\бф \блуе локальной},
если $d(\{U_i\})=d$ для любого покрытия $\{U_i\}$.


\невпаге

{\bf \blue Внутренние метрики локальны}

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, $\{U_i\}$ --
открытое покрытие $M$, то есть набор открытых множеств $U_i\subset M$
такой, что $M=\bigcup U_i$, а ${\cal S}_{\{U_i\}}$ -- множество
всех метрик $d'$ на $M$ таких, что $d'\restrict{U_i}\leq d\restrict{U_i}$
для каждого элемента покрытия. Обозначим за $d(\{U_i\})$
супремум метрик в семействе ${\cal S}_{\{U_i\}}$.
Метрика $d$ называется {\бф \блуе локальной},
если $d(\{U_i\})=d$ для любого покрытия $\{U_i\}$.


\теорема
{\бф \ред Внутренняя 
метрика всегда локальна.}

\дшаг Зафиксируем покрытие  $\{U_i\}$.
Пусть $\gamma$ -- спрямляемый путь на $M$.
Выберем разбиение $\gamma$ в отрезки $\gamma([x_l, x_{l+1}])$
таким образом, что каждый из отрезков лежит в своем $U_i$.
Тогда \[ L_{d(\{U_i\})}(\gamma([x_l, x_{l+1}])) 
   \leq L_d(\gamma([x_l, x_{l+1}])).\] {\бф \пурпле Значит, функционал
длины в метрике $d(\{U_i\})$ не больше, чем $L_d$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Возьмем путь $\gamma$, соединяющий
$x$ и $y$, и такой, что $L_d(\gamma)\leq d(x,y)-\epsilon$.
Такой путь существует, потому что $d$ внутренняя.
Тогда  \[ d(\{U_i\})(x,y) \leq L_{d(\{U_i\})}(\gamma) 
\leq L_d(\gamma)\leq d(x,y)-\epsilon.\]
Устремляя $\epsilon$ к 0, получаем $d(\{U_i\})\leq d$.
{\бф \пурпле Значит, метрика $d\in{\cal S}_{\{U_i\}}$ 
равна супремуму всех метрик в ${\cal S}_{\{U_i\}}$}. \ендпрооф





\end{document}



