

\documentclass[10pt]{article}

%\addtolength{\topmargin}{-20mm}
%\addtolength{\textheight}{45mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
%\addtolength{\textwidth}{30mm}


\addtolength{\topmargin}{-10mm}
\addtolength{\textheight}{25mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   29.11.2012
%version 1.1,\ \   14.05.2016, restart


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   14.05.2016}
\newcommand{\firstdate}{14.05.2016}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{9}{Гиперболические группы 9: лемма Морса}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.
Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.
Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.
Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Квазиизометрии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Отображение $f:\; X \arrow Y$ называется {\бф билипшицевым с константой $C$},
или просто {\бф билипшицевым}, если это биекция, причем $f$ и $f^{-1}$
$C$-липшицевы (то есть удовлетворяют $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)$).
\ео


\определение
{\бф $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$
есть такое множество $N\subset M$, что объединение
$\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$.
$\epsilon$-сеть $N$ называется {\бф $\delta$-разделенной}, если
для любых $a\neq b\in N$, имеем $d(a,b)\geq \delta$.
\ео

\определение
Пространства $X$ и $Y$ {\бф квазиизометричны}, если
в $X$ и в $Y$ существуют $\epsilon$-сети $X_\epsilon$ и $Y_\epsilon$,
между которыми есть билипшицево отображение.
\ео

\определение
Отображение $f:\; X \arrow Y$ метрических пространств
называется {\бф квазиметрическим}, если для каких-то
констант $C$, $\epsilon>0$, имеем $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)+\delta$.
\ео

\замечание 
Квазиметрическое отображение не обязательно непрерывно.
\еза

\задача
\label{_lipshitz_from_quasi_Zadacha_}
Пусть $f:\; M\arrow M'$ -- квазиметрическое отображение
с константами $C, \epsilon$.
Докажите, что существует $B>0$ такое, что для любой $B$-разделенной
$2B$-сети $N\subset M$, ограничение $f\restrict N$ 
$2C$-липшицево.
\ез

\задача
Пусть $f:\; M\arrow M'$ -- отображение метрических пространств,
а $N\subset M$ -- $\epsilon$-сеть такая, что $f\restrict M$
липшицево. Докажите, что $f$ -- квазиметрическое отображение.
\ез



\задача
Пусть $f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$ -- квазиметрические
отображения, причем $gf=\Id_Х$ и $fg=\Id_Y$. 
\енум \итем Докажите, что
$X$ и $Y$ квазиизометричны.
\итем Пусть заданы квазиизометричные пространства $X$, $Y$.
Всегда ли найдутся квазиметрические $f$ и $g$, удовлетворяющие
$gf=\Id_Х$ и $fg=\Id_Y$?
\ее
\ез

\задача
Пусть $N\subset M$ -- $\epsilon$-сеть. Докажите, что
существует отображение $M\stackrel\phi \arrow N$,
удовлетворяющее $d(x,\phi(x))\leq \epsilon$.
\ез

\задача[!]
Пусть $X$, $Y$ -- квазиизометрические
пространства. Докажите, что найдутся
квазиметрические отображения
 $f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$, и константа $C>0$ такая, что 
$d(fg(x),x)<C$ и $d(gf(y),y)<C$ для любых
$x\in X, y\in Y$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$ --  квазиметрические
отображения, удовлетворяющие $d(gf(x),x)<C$ и
$d(fg(y),y)<C$ для какого-то $C>0$. 
\енум 
\итем Докажите, что для любой 
$B$-сети $N$ в $X$, $gf(N)$ -- $B'$-сеть, для $B'> C+B$.
\итем Докажите, что существуют такие константы
$C_1, C_2>0$, что $d(g(a), g(b))\geq C_1d(a,b)- C_2$.
\итем Докажите, что $f(N)$ -- $B''$-сеть, для какого-то
$B''$.
\ее
\ез



\задача[!] 
Пусть $X, Y$ -- метрические пространства,
а $f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$ --  квазиметрические
отображения. Предположим, что
существует константа $C>0$ такая, что 
$d(gf(x),x)<C$ и $d(fg(y),y)<C$ для любых
$x\in X, y\in Y$. Докажите, что $X$, $Y$ квазиизометричны.
\ез


\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей и
задачей \ref{_lipshitz_from_quasi_Zadacha_}.
\еу



\задача[!]
Докажите, что квазиизометрия -- отношение эквивалентности.
\ез

\указание
Воспользуйтесь интерпретацией квазиизометричности
 в терминах пары квазиметрических отображений $f, g$
с $d(fg(x),x)<C$ и $d(gf(y),y)<C$.
\еу

\задача[!]
Пусть $\Gamma$ -- группа, $S_1, S_2$ -- наборы 
образующих, а $d_1$, $d_2$ -- соответствующие
метрики слов на $\Gamma$. Докажите, что $(\Gamma,d_1)$ квазизометрично
$(\Gamma,d_1)$.
\ез

\задача
Пусть $\Gamma, S$ -- группа с конечным набором
образующих, $d_w$ метрика слов, а $d_1$ -- метрика,
которая удовлетворяет $d_w-d_1< C$, для какой-то константы. 
Докажите, что $d_w$ билипшицево с $d_1$.
\ез



\определение
Пусть $(M,p)$ -- метрическое пространство с отмеченной точкой,
$(\tilde M, \tilde p)$ -- его универсальное накрытие, а 
$\Gamma=\pi_1(M)$ -- группа монодромии накрытия. 
{\бф Метрика орбит} на $\Gamma$ есть метрика вида
$d(\gamma_1, \gamma_2)=d(\gamma_1\tilde p, \gamma_2 \tilde p)$.
\ео

\задача
Докажите, что метрика орбит левоинвариантна.
\ез

\задача[*]
Реализуйте метрику слов на группе как метрику орбит для
какого-то метрического пространства с геодезической метрикой.
\ез

\задача[!]
Пусть $d_w$ -- метрика слов на группе, а $d_o$ -- метрика
орбит. Докажите, что найдется $C>0$ такое, что 
$d_0\leq C d_w$.
\ез

\указание 
Оцените $C$ через длину геодезических, представляющих $s_i$ в
$\pi_1(M,p)$.
\еу

\определение
Метрическое пространство называется {\бф геодезическим},
если его метрика строго внутренняя, то есть любые
две точки соединяются кратчайшими.
\ео

\определение
Метрическое пространство $X$ называется {\бф ограниченным},
если его диаметр $\diam(X)$ конечен.
\ео

\задача
Пусть $M$ -- универсальное
накрытие ограниченного геодезического пространства $M$, 
$D=\diam (M)$, а $\Gamma=\pi_1(M)$ -- его группа монодромии. Докажите, что
$\Gamma z\subset \tilde M$ есть $D$-сеть.
\ез

\задача
Пусть $(\tilde M, \tilde p)$ -- универсальное
накрытие ограниченного геодезического пространства $(M,p)$
диаметра $D$, $\Gamma=\pi_1(M)$ -- его группа монодромии, а 
$z=\gamma\tilde p$ -- точка на орбите $\Gamma\tilde p$.
Рассмотрим кратчайшую $[\tilde p, z]$, длины $n \leq
|\tilde p, z| \leq n+1$ и точки
$\tilde p =z_1, z_2, ..., z_n=z\in [\tilde p, z]$ на ней,
разбивающие $[\tilde p, z]$ на отрезки длины $\leq 1$.
\енум
\итем 
Докажите, что существует последовательность 
$y_1, ..., y_n\in \Gamma\tilde p$,
$y_i =\gamma_i \tilde p$, такие, что $|z_i, y_i|\leq D$.
\итем Докажите, что $|y_i, y_{i+1}|\leq 2 D+1$.
\итем Докажите, что множество всех $\gamma \in \Gamma$
таких, что $|\tilde p, \gamma(\tilde p)<2D+1$, порождает
$\Gamma$.
\итем Обозначим этот набор за $S$, и пусть $d_w$ --
соответствующая метрика слов. Докажите, что $d_w(1,
\gamma)\leq n$.
\ее
\ез

\указание 
Представьте $\gamma$ в виде произведения
$\gamma=g_0g_1...g_n$, где
$g_i=\gamma_{i+1}\gamma_i^{-1}$, и убедитесь, что 
$g_i \in S$.
\еу

\задача[!]
Пусть $(\tilde M, \tilde p)$ -- универсальное
накрытие ограниченного геодезического пространства $(M,p)$,
$d_o$ -- соответствующая метрика орбит, а $d_w$ --
какая-то метрика слов. Докажите, что метрика $d_o$ билипшицева
$d_w$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!] Пусть $M$ -- ограниченное геодезическое
пространство. Докажите, что $\tilde M$
квазиизометрично $\pi_1(M)$ с какой-то метрикой слов 
на нем.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Арцела-Асколи}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $X,Y$ -- метрические пространства, а $\Map(X,Y)$ --
множество всех отображений. Для точки $x\in X$
и открытого подмножества $W\subset Y$, рассмотрим 
подмножество $U_{x,W}\subset \Map(X,Y)$, состоящее
из всех отображений, переводящих $x$ в $W$.
{\бф Топология поточечной
сходимости}, или же {\бф слабая топология} 
на  $\Map(X,Y)$ задается предбазой вида
$U_{x,W}$, $x\in X, W\subset Y$ для всех точек
$x\in X$ и всех открытых подмножеств $W\subset Y$.
{\бф Топология равномерной сходимости}, обозначенная
$C^0$,  задается базой вида $U_{f, \delta}$, где
$f\in \Map(X,Y)$, $\delta>0$, а $U_{f, \delta}$ --
множество всех отображений $g\in \Map(X,Y)$,
таких, что $d(f(x),g(x))<\delta$ для всех $x\in X$.
\ео

\задача
Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность точек в $\Map(X,Y)$.
\енум\итем
Докажите, что $f_i$ сходится к $f$ в $C_0$
титтк\footnote{Тогда и только тогда, когда}
$\lim_i \sup_{x\in X} d(f_i(x),f(x))=0$
\итем Докажите, что $f_i$ сходится
к $f$ поточечно титтк для каждого $x\in X$,
имеем $\lim_i f_i(x) = f(x)$.
\ее
\ез

\задача
Докажите, что в $C^0$ предел последовательности
непрерывных отображений
непрерывен, а предел $C$-липшицевых $C$-липшицев.
\ез

\задача
Докажите, что 
в слабой топологии, предел последовательности 
непрерывных отображений 
не всегда непрерывен, а предел $C$-липшицевых 
все же $C$-липшицев.
\ез

\задача[!]
Пусть $X$ счетно, а $Y$ компактно.
Докажите, что $\Map(X,Y)$ компактно в 
топологии поточечной сходимости.
\ез

\замечание
Это утверждение - весьма слабая форма 
{\бф теоремы Тихонова,}
которая говорит, что $\Map(X,Y)$ компактно в 
топологии поточечной сходимости для любого $X$ 
и любого компактного $Y$.
\еза

\задача
Пусть $X_0\subset X$ -- счетное, полное подмножество,
$Y$ компактен, а $\{f_i\in \Map(X,Y)\}$ -- последовательность
$C$-липшицевых отображений, где $Y$ компактен.
Предположим, что $f_i\restrict X_0$ поточечно сходится.
Докажите, что $f_i$ сходится в $C^0$-топологии,
и предел $\{f_i\}$ тоже $C$-липшицев.
\ез

\определение
Метрическое пространство {\бф сепарабельно},
если оно содержит всюду плотное, счетное множество.
\ео

\задача[!]
(теорема Арцела-Асколи для липшицевых отображений)
Пусть $X$ сепарабельное, а $Y$ компактное метрическое
пространство, а $L_C(X,Y)\subset \Map(X,Y)$ --
пространство $C$-липшицевых отображений.
\енум \итем 
Докажите, что $L_C(X,Y)$ компактно в топологии поточечной сходимости.
\итем Докажите, что $L_C(X,Y)$ компактно в топологии 
равномерной сходимости.
\ее
\ез


\определение
{\бф $C$-квазигеодезическая метрика} на отрезке [0,1]
есть метрика $d$, которая удовлетворяет
$|x-y|\leq d(x,y)\leq C|x-y|$.
\ео

\задача
Рассмотрим $C$-квазигеодезическую метрику на [0,1]
как отображение $[0,1]\times [0,1]\stackrel d \arrow \R$.
Докажите, что $d(x,y)$ $C$-липшицева.
\ез

\определение
\label{_метрики_на_метри_Определение_}
Рассмотрим пространство метрик на $Z$
как метрическое пространство с метрикой 
\[ d(d_1, d_2):= \sup_{(x,y)\in Z^2} |d_1(x,y)-d_2(x,y)|.
\]
\ео

\задача
Докажите, что предел $C$-квазигеодических метрик --
$C$-квазигеодическая метрика.
\ез


\задача[!]
Докажите, что пространство $C$-квазигеодических метрик компактно.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь теоремой Арцела-Асколи.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Квазигеодезические и лемма Морса}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф $C$-квазигеодезическая} в метрическом пространстве
$M$ есть отображение $\gamma:\; [0,a]\arrow M$,
которое удовлетворяет $d(x,y)\leq C|x-y|$
\ео

\замечание "Лемма Морса"\footnote{В топологии есть и другая лемма Морса.
Эти две ``леммы Морса'' не имеют отношения друг к другу.}
(в классической формулировке) есть утверждение
о геометрии плоскости (или пространства) Лобачевского $H$.
Для каждого $C>1$ найдется $R$ такое, что любая
$C$-квазигеодезическая, соединяющая $a$ и $b$,
лежит в $R$-окрестности отрезка $[a,b]$.
\еза

\задача
Пусть $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ -- квазигеодезическая,
соединяющая $a$ и $b$. 
\енум 
\итем Докажите, что метрика на отрезке $[0,1]$
$d(x,y):= \frac{|\gamma(ax), \gamma(ay)|}a$ является 
$C$-квазигеодезической.
\итем Предположим, что к тому же $М$ $\delta$-гиперболично.
Докажите, что $([0,1], d)$ $\delta/a$-гиперболично.
\ее
\ез

\определение
Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- последовательность $C$-квазигеодезических.
{\бф Предельная метрика} есть (любой из) пределов последовательности
$d(x,y):= \frac{|\gamma_i(a_ix), \gamma_i(a_iy)|}{a_i}$
в смысле Определения \ref{_метрики_на_метри_Определение_}.
\ео



\задача[!]
Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- 
последовательность $C$-квазигеодезических,
причем $\lim_i a_i=\infty$, а $([0,1], d)$ --
соответствующая предельная метрика. Докажите,
что пространство $([0,1], d)$ 0-гиперболично.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $X$ -- 0-гиперболическое пространство, которое геодезично
а $[0,1]:\; \stackrel\gamma\arrow X$ -- $C$-квазигеодезическая.
Докажите, что $\gamma$ инъективно и осуществляет
гомеоморфизм отрезка $[0,1]$ на его образ.
\ез

\указание
Убедитесь, что $X$ -- дерево, и воспользуйтесь этим.
\еу

\задача[!] 
Пусть $X$ -- 0-гиперболическое пространство, не обязательно
геодезическое, а $[0,1]:\; \stackrel\gamma\arrow X$ -- 
$C$-квазигеодезическая. Докажите, что $\gamma$ инъективно и осуществляет
гомеоморфизм отрезка $[0,1]$ на его образ.
\ез

\указание
Вложите $X$ в его аппроксимационное дерево $X_{tr}$,
и примените предыдущую задачу.
\еу

\определение
Пусть $\gamma$ -- $C$-квазигеодезическая
в геодезическом пространстве, а $R(\gamma)$ есть
максимум расстояния от точек $\gamma$ до любой
из кратчайших, соединяющих концы $\gamma$.
Лемма Морсе утверждает, что $R(\gamma)$ 
ограничено константой, которая зависит только
от $M$ и $C$, для любой $C$-квазигеодезической
в гиперболическом пространстве.
\ео

\задача[!]
\label{_lemma_Morsa_dvuugol'nik_Zadacha_}
Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- 
последовательность $C$-квазигеодезических
в гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$,
Обозначим за $X_i$ объединение образа $\gamma_i$
и отрезка, соединяющего концы $\gamma_i$.
Рассмотрим метрику $d_i$ на графе-<<двуугольнике>>
$\triangle$ из двух вершин и двух ребер, полученную
из $d\restrict{X_i}$ делением на $a_i$.
\енум
\итем Докажите, что у $d_i$ есть подпоследовательность,
равномерно сходящаяся к какой-то полуметрике $\tilde d$ в смысле Определения
\ref{_метрики_на_метри_Определение_}.
\итем Докажите, что в полуметрическом пространстве
$(\triangle, \tilde d)$ выполнено 0-неравенство Громова.
\итем Докажите, что $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$.
\ее
\ез

\указание
Сходимость $d_i$ доказывается так же, как аналогичное
условие для геодезических, а $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$
следует из того, что $\triangle$ -- дерево (докажите это).
\еу

\задача
Пусть $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ -- квазигеодезическая.
 Докажите, что существует точка $t\in[0, a]$,
где реализуется максимум расстояния между $\gamma(t)$
и отрезком кратчайшей, соединяющим концы $\gamma$.
\ез

\замечание Предыдущая задача нетривиальна, ибо 
отрезков кратчайшей может быть бесконечно много.
\еза


\задача[!]
Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- 
последовательность $C$-квазигеодезических
в гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$
и $\lim_i R(\gamma_i)=\infty$, но $R(\gamma_i)< \frac {a_i}{2C}$. 
Обозначим за $t_i\in [0, a_i]$ точку, где 
реализуется максимум расстояния между $\gamma(t_i)$
и отрезком кратчайшей, соединяющим концы $\gamma_i$.
Возьмем точки $x_i, y_i$
на $\gamma_i([0,a_i])$, такие что $d(x_i, y_i)
=R(\gamma_i)$, а $t$ лежит в отрезке $\gamma_i$,
соединяющим $x_i, y_i$. Рассмотрим четырехугольник
$\Pi_i$, с одной криволинейной стороной, представляющей
из себя отрезок $\gamma_i$ от $x_i$ до $y_i$,
три другие стороны которого -- отрезки геодезических
$[x_i,\tilde x_i]$, $[\tilde x_i, \tilde y_i]$, $[\tilde y_i, y_i]$,
где $\tilde x_i, \tilde y_i$ -- ближайшие к $x_i, y_i$
точки кратчайшей $[\gamma_i(0), \gamma_i(a_i)]$.\\
\centerline{\epsfig{file=krivo-chetyrekhu.eps,width=0.65\linewidth}}\\
Как и двуугольник $\triangle\cong X_i$ двумя задачами выше,
четырехугольник $\Pi_i$ естественно отождествляется
с графом $\square$, у которого 4 стороны и 4 вершины,
соединенные последовательно. Обозначим за $d_i$ метрику
на $\square$, индуцированную из $(\Pi_i, \frac{d}{R(\gamma_i)})$.
\енум
\итем Докажите, что точки $x_i$, $y_i$ можно выбрать
вышеописанным образом.
\итем Докажите, что одна из сторон $(\square, d_i)$ есть $C$-квазигеодезическая,
расстояние между концов которой равно 1, две прилежащие
к ней стороны имеют длину $\leq 1$, а противолежащая сторона --
геодезическая, которая не длиннее $C+2$.
\итем Докажите, что у $\{d_i\}$ есть подпоследовательность,
которая равномерно сходится к полуметрике $\tilde d$ 
на $\square$, в смысле Определения
\ref{_метрики_на_метри_Определение_}.
\итем Докажите, что $\tilde d$ гиперболична.
\итем Обозначим за $U\subset (\square, \tilde d)$ предел криволинейной стороны
$U_i\in \Pi_i$, $V$ -- предел противолежащей ей стороны $V_i$, а
$S, T$ -- оставшиеся две стороны. Докажите, что $|U|=1$,
$|V|\leq 3$, $|S|, |T|\leq 1$, а $\square, \tilde d$ -- дерево.
\итем Выведите из этого, что $U\subset V$.
\итем Придите к противоречию с тем, что $\sup_{x\in V_i}d_i(x, U_i)=1$.
\ее
\ез

\задача[!]
(Лемма Морса)
Пусть $M$ -- гиперболическое геодезическое пространство,
а $C>0$. Докажите, что существует $R>0$ такое, что 
каждая $C$-квазигеодезическая лежит в $R$-окрестности
любой кратчайшей, соединяющей ее концы.
\ез

\указание
Если такого $R$ не существует, можно найти 
последовательность $C$-квазигеодезических 
$\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$
такую, что $R(\gamma_i)\arrow \infty$. Если при этом
$\lim \frac {R(\gamma_i)}{t_i}=0$, воспользуйтесь
предыдущей задачей, в противном случае
воспользуйтесь задачей \ref{_lemma_Morsa_dvuugol'nik_Zadacha_}.
\еу

\замечание
Существует доказательство леммы Морса для
$\delta$-геодезических пространств, где оценка
ма $R$ получается как функция от $C$ и $\delta$
(в доказательстве из этого листочка, 
$R$ зависит от $C$ и от пространства $M$).
\еза



\end{document}


\end{document}
