\documentclass[10pt]{article} %\addtolength{\topmargin}{-20mm} %\addtolength{\textheight}{45mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm} %\addtolength{\textwidth}{30mm} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{25mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 29.11.2012 %version 1.1,\ \ 14.05.2016, restart \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 14.05.2016} \newcommand{\firstdate}{14.05.2016} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{9}{Гиперболические группы 9: лемма Морса} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Квазиизометрии} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Отображение $f:\; X \arrow Y$ называется {\бф билипшицевым с константой $C$}, или просто {\бф билипшицевым}, если это биекция, причем $f$ и $f^{-1}$ $C$-липшицевы (то есть удовлетворяют $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)$). \ео \определение {\бф $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$ есть такое множество $N\subset M$, что объединение $\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$. $\epsilon$-сеть $N$ называется {\бф $\delta$-разделенной}, если для любых $a\neq b\in N$, имеем $d(a,b)\geq \delta$. \ео \определение Пространства $X$ и $Y$ {\бф квазиизометричны}, если в $X$ и в $Y$ существуют $\epsilon$-сети $X_\epsilon$ и $Y_\epsilon$, между которыми есть билипшицево отображение. \ео \определение Отображение $f:\; X \arrow Y$ метрических пространств называется {\бф квазиметрическим}, если для каких-то констант $C$, $\epsilon>0$, имеем $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)+\delta$. \ео \замечание Квазиметрическое отображение не обязательно непрерывно. \еза \задача \label{_lipshitz_from_quasi_Zadacha_} Пусть $f:\; M\arrow M'$ -- квазиметрическое отображение с константами $C, \epsilon$. Докажите, что существует $B>0$ такое, что для любой $B$-разделенной $2B$-сети $N\subset M$, ограничение $f\restrict N$ $2C$-липшицево. \ез \задача Пусть $f:\; M\arrow M'$ -- отображение метрических пространств, а $N\subset M$ -- $\epsilon$-сеть такая, что $f\restrict M$ липшицево. Докажите, что $f$ -- квазиметрическое отображение. \ез \задача Пусть $f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$ -- квазиметрические отображения, причем $gf=\Id_Х$ и $fg=\Id_Y$. \енум \итем Докажите, что $X$ и $Y$ квазиизометричны. \итем Пусть заданы квазиизометричные пространства $X$, $Y$. Всегда ли найдутся квазиметрические $f$ и $g$, удовлетворяющие $gf=\Id_Х$ и $fg=\Id_Y$? \ее \ез \задача Пусть $N\subset M$ -- $\epsilon$-сеть. Докажите, что существует отображение $M\stackrel\phi \arrow N$, удовлетворяющее $d(x,\phi(x))\leq \epsilon$. \ез \задача[!] Пусть $X$, $Y$ -- квазиизометрические пространства. Докажите, что найдутся квазиметрические отображения $f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$, и константа $C>0$ такая, что $d(fg(x),x)0$. \енум \итем Докажите, что для любой $B$-сети $N$ в $X$, $gf(N)$ -- $B'$-сеть, для $B'> C+B$. \итем Докажите, что существуют такие константы $C_1, C_2>0$, что $d(g(a), g(b))\geq C_1d(a,b)- C_2$. \итем Докажите, что $f(N)$ -- $B''$-сеть, для какого-то $B''$. \ее \ез \задача[!] Пусть $X, Y$ -- метрические пространства, а $f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$ -- квазиметрические отображения. Предположим, что существует константа $C>0$ такая, что $d(gf(x),x)0$ такое, что $d_0\leq C d_w$. \ез \указание Оцените $C$ через длину геодезических, представляющих $s_i$ в $\pi_1(M,p)$. \еу \определение Метрическое пространство называется {\бф геодезическим}, если его метрика строго внутренняя, то есть любые две точки соединяются кратчайшими. \ео \определение Метрическое пространство $X$ называется {\бф ограниченным}, если его диаметр $\diam(X)$ конечен. \ео \задача Пусть $M$ -- универсальное накрытие ограниченного геодезического пространства $M$, $D=\diam (M)$, а $\Gamma=\pi_1(M)$ -- его группа монодромии. Докажите, что $\Gamma z\subset \tilde M$ есть $D$-сеть. \ез \задача Пусть $(\tilde M, \tilde p)$ -- универсальное накрытие ограниченного геодезического пространства $(M,p)$ диаметра $D$, $\Gamma=\pi_1(M)$ -- его группа монодромии, а $z=\gamma\tilde p$ -- точка на орбите $\Gamma\tilde p$. Рассмотрим кратчайшую $[\tilde p, z]$, длины $n \leq |\tilde p, z| \leq n+1$ и точки $\tilde p =z_1, z_2, ..., z_n=z\in [\tilde p, z]$ на ней, разбивающие $[\tilde p, z]$ на отрезки длины $\leq 1$. \енум \итем Докажите, что существует последовательность $y_1, ..., y_n\in \Gamma\tilde p$, $y_i =\gamma_i \tilde p$, такие, что $|z_i, y_i|\leq D$. \итем Докажите, что $|y_i, y_{i+1}|\leq 2 D+1$. \итем Докажите, что множество всех $\gamma \in \Gamma$ таких, что $|\tilde p, \gamma(\tilde p)<2D+1$, порождает $\Gamma$. \итем Обозначим этот набор за $S$, и пусть $d_w$ -- соответствующая метрика слов. Докажите, что $d_w(1, \gamma)\leq n$. \ее \ез \указание Представьте $\gamma$ в виде произведения $\gamma=g_0g_1...g_n$, где $g_i=\gamma_{i+1}\gamma_i^{-1}$, и убедитесь, что $g_i \in S$. \еу \задача[!] Пусть $(\tilde M, \tilde p)$ -- универсальное накрытие ограниченного геодезического пространства $(M,p)$, $d_o$ -- соответствующая метрика орбит, а $d_w$ -- какая-то метрика слов. Докажите, что метрика $d_o$ билипшицева $d_w$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $M$ -- ограниченное геодезическое пространство. Докажите, что $\tilde M$ квазиизометрично $\pi_1(M)$ с какой-то метрикой слов на нем. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Арцела-Асколи} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $X,Y$ -- метрические пространства, а $\Map(X,Y)$ -- множество всех отображений. Для точки $x\in X$ и открытого подмножества $W\subset Y$, рассмотрим подмножество $U_{x,W}\subset \Map(X,Y)$, состоящее из всех отображений, переводящих $x$ в $W$. {\бф Топология поточечной сходимости}, или же {\бф слабая топология} на $\Map(X,Y)$ задается предбазой вида $U_{x,W}$, $x\in X, W\subset Y$ для всех точек $x\in X$ и всех открытых подмножеств $W\subset Y$. {\бф Топология равномерной сходимости}, обозначенная $C^0$, задается базой вида $U_{f, \delta}$, где $f\in \Map(X,Y)$, $\delta>0$, а $U_{f, \delta}$ -- множество всех отображений $g\in \Map(X,Y)$, таких, что $d(f(x),g(x))<\delta$ для всех $x\in X$. \ео \задача Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность точек в $\Map(X,Y)$. \енум\итем Докажите, что $f_i$ сходится к $f$ в $C_0$ титтк\footnote{Тогда и только тогда, когда} $\lim_i \sup_{x\in X} d(f_i(x),f(x))=0$ \итем Докажите, что $f_i$ сходится к $f$ поточечно титтк для каждого $x\in X$, имеем $\lim_i f_i(x) = f(x)$. \ее \ез \задача Докажите, что в $C^0$ предел последовательности непрерывных отображений непрерывен, а предел $C$-липшицевых $C$-липшицев. \ез \задача Докажите, что в слабой топологии, предел последовательности непрерывных отображений не всегда непрерывен, а предел $C$-липшицевых все же $C$-липшицев. \ез \задача[!] Пусть $X$ счетно, а $Y$ компактно. Докажите, что $\Map(X,Y)$ компактно в топологии поточечной сходимости. \ез \замечание Это утверждение - весьма слабая форма {\бф теоремы Тихонова,} которая говорит, что $\Map(X,Y)$ компактно в топологии поточечной сходимости для любого $X$ и любого компактного $Y$. \еза \задача Пусть $X_0\subset X$ -- счетное, полное подмножество, $Y$ компактен, а $\{f_i\in \Map(X,Y)\}$ -- последовательность $C$-липшицевых отображений, где $Y$ компактен. Предположим, что $f_i\restrict X_0$ поточечно сходится. Докажите, что $f_i$ сходится в $C^0$-топологии, и предел $\{f_i\}$ тоже $C$-липшицев. \ез \определение Метрическое пространство {\бф сепарабельно}, если оно содержит всюду плотное, счетное множество. \ео \задача[!] (теорема Арцела-Асколи для липшицевых отображений) Пусть $X$ сепарабельное, а $Y$ компактное метрическое пространство, а $L_C(X,Y)\subset \Map(X,Y)$ -- пространство $C$-липшицевых отображений. \енум \итем Докажите, что $L_C(X,Y)$ компактно в топологии поточечной сходимости. \итем Докажите, что $L_C(X,Y)$ компактно в топологии равномерной сходимости. \ее \ез \определение {\бф $C$-квазигеодезическая метрика} на отрезке [0,1] есть метрика $d$, которая удовлетворяет $|x-y|\leq d(x,y)\leq C|x-y|$. \ео \задача Рассмотрим $C$-квазигеодезическую метрику на [0,1] как отображение $[0,1]\times [0,1]\stackrel d \arrow \R$. Докажите, что $d(x,y)$ $C$-липшицева. \ез \определение \label{_метрики_на_метри_Определение_} Рассмотрим пространство метрик на $Z$ как метрическое пространство с метрикой \[ d(d_1, d_2):= \sup_{(x,y)\in Z^2} |d_1(x,y)-d_2(x,y)|. \] \ео \задача Докажите, что предел $C$-квазигеодических метрик -- $C$-квазигеодическая метрика. \ез \задача[!] Докажите, что пространство $C$-квазигеодических метрик компактно. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой Арцела-Асколи. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Квазигеодезические и лемма Морса} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф $C$-квазигеодезическая} в метрическом пространстве $M$ есть отображение $\gamma:\; [0,a]\arrow M$, которое удовлетворяет $d(x,y)\leq C|x-y|$ \ео \замечание "Лемма Морса"\footnote{В топологии есть и другая лемма Морса. Эти две ``леммы Морса'' не имеют отношения друг к другу.} (в классической формулировке) есть утверждение о геометрии плоскости (или пространства) Лобачевского $H$. Для каждого $C>1$ найдется $R$ такое, что любая $C$-квазигеодезическая, соединяющая $a$ и $b$, лежит в $R$-окрестности отрезка $[a,b]$. \еза \задача Пусть $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ -- квазигеодезическая, соединяющая $a$ и $b$. \енум \итем Докажите, что метрика на отрезке $[0,1]$ $d(x,y):= \frac{|\gamma(ax), \gamma(ay)|}a$ является $C$-квазигеодезической. \итем Предположим, что к тому же $М$ $\delta$-гиперболично. Докажите, что $([0,1], d)$ $\delta/a$-гиперболично. \ее \ез \определение Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- последовательность $C$-квазигеодезических. {\бф Предельная метрика} есть (любой из) пределов последовательности $d(x,y):= \frac{|\gamma_i(a_ix), \gamma_i(a_iy)|}{a_i}$ в смысле Определения \ref{_метрики_на_метри_Определение_}. \ео \задача[!] Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- последовательность $C$-квазигеодезических, причем $\lim_i a_i=\infty$, а $([0,1], d)$ -- соответствующая предельная метрика. Докажите, что пространство $([0,1], d)$ 0-гиперболично. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $X$ -- 0-гиперболическое пространство, которое геодезично а $[0,1]:\; \stackrel\gamma\arrow X$ -- $C$-квазигеодезическая. Докажите, что $\gamma$ инъективно и осуществляет гомеоморфизм отрезка $[0,1]$ на его образ. \ез \указание Убедитесь, что $X$ -- дерево, и воспользуйтесь этим. \еу \задача[!] Пусть $X$ -- 0-гиперболическое пространство, не обязательно геодезическое, а $[0,1]:\; \stackrel\gamma\arrow X$ -- $C$-квазигеодезическая. Докажите, что $\gamma$ инъективно и осуществляет гомеоморфизм отрезка $[0,1]$ на его образ. \ез \указание Вложите $X$ в его аппроксимационное дерево $X_{tr}$, и примените предыдущую задачу. \еу \определение Пусть $\gamma$ -- $C$-квазигеодезическая в геодезическом пространстве, а $R(\gamma)$ есть максимум расстояния от точек $\gamma$ до любой из кратчайших, соединяющих концы $\gamma$. Лемма Морсе утверждает, что $R(\gamma)$ ограничено константой, которая зависит только от $M$ и $C$, для любой $C$-квазигеодезической в гиперболическом пространстве. \ео \задача[!] \label{_lemma_Morsa_dvuugol'nik_Zadacha_} Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- последовательность $C$-квазигеодезических в гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$, Обозначим за $X_i$ объединение образа $\gamma_i$ и отрезка, соединяющего концы $\gamma_i$. Рассмотрим метрику $d_i$ на графе-<<двуугольнике>> $\triangle$ из двух вершин и двух ребер, полученную из $d\restrict{X_i}$ делением на $a_i$. \енум \итем Докажите, что у $d_i$ есть подпоследовательность, равномерно сходящаяся к какой-то полуметрике $\tilde d$ в смысле Определения \ref{_метрики_на_метри_Определение_}. \итем Докажите, что в полуметрическом пространстве $(\triangle, \tilde d)$ выполнено 0-неравенство Громова. \итем Докажите, что $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$. \ее \ез \указание Сходимость $d_i$ доказывается так же, как аналогичное условие для геодезических, а $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$ следует из того, что $\triangle$ -- дерево (докажите это). \еу \задача Пусть $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ -- квазигеодезическая. Докажите, что существует точка $t\in[0, a]$, где реализуется максимум расстояния между $\gamma(t)$ и отрезком кратчайшей, соединяющим концы $\gamma$. \ез \замечание Предыдущая задача нетривиальна, ибо отрезков кратчайшей может быть бесконечно много. \еза \задача[!] Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- последовательность $C$-квазигеодезических в гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$ и $\lim_i R(\gamma_i)=\infty$, но $R(\gamma_i)< \frac {a_i}{2C}$. Обозначим за $t_i\in [0, a_i]$ точку, где реализуется максимум расстояния между $\gamma(t_i)$ и отрезком кратчайшей, соединяющим концы $\gamma_i$. Возьмем точки $x_i, y_i$ на $\gamma_i([0,a_i])$, такие что $d(x_i, y_i) =R(\gamma_i)$, а $t$ лежит в отрезке $\gamma_i$, соединяющим $x_i, y_i$. Рассмотрим четырехугольник $\Pi_i$, с одной криволинейной стороной, представляющей из себя отрезок $\gamma_i$ от $x_i$ до $y_i$, три другие стороны которого -- отрезки геодезических $[x_i,\tilde x_i]$, $[\tilde x_i, \tilde y_i]$, $[\tilde y_i, y_i]$, где $\tilde x_i, \tilde y_i$ -- ближайшие к $x_i, y_i$ точки кратчайшей $[\gamma_i(0), \gamma_i(a_i)]$.\\ \centerline{\epsfig{file=krivo-chetyrekhu.eps,width=0.65\linewidth}}\\ Как и двуугольник $\triangle\cong X_i$ двумя задачами выше, четырехугольник $\Pi_i$ естественно отождествляется с графом $\square$, у которого 4 стороны и 4 вершины, соединенные последовательно. Обозначим за $d_i$ метрику на $\square$, индуцированную из $(\Pi_i, \frac{d}{R(\gamma_i)})$. \енум \итем Докажите, что точки $x_i$, $y_i$ можно выбрать вышеописанным образом. \итем Докажите, что одна из сторон $(\square, d_i)$ есть $C$-квазигеодезическая, расстояние между концов которой равно 1, две прилежащие к ней стороны имеют длину $\leq 1$, а противолежащая сторона -- геодезическая, которая не длиннее $C+2$. \итем Докажите, что у $\{d_i\}$ есть подпоследовательность, которая равномерно сходится к полуметрике $\tilde d$ на $\square$, в смысле Определения \ref{_метрики_на_метри_Определение_}. \итем Докажите, что $\tilde d$ гиперболична. \итем Обозначим за $U\subset (\square, \tilde d)$ предел криволинейной стороны $U_i\in \Pi_i$, $V$ -- предел противолежащей ей стороны $V_i$, а $S, T$ -- оставшиеся две стороны. Докажите, что $|U|=1$, $|V|\leq 3$, $|S|, |T|\leq 1$, а $\square, \tilde d$ -- дерево. \итем Выведите из этого, что $U\subset V$. \итем Придите к противоречию с тем, что $\sup_{x\in V_i}d_i(x, U_i)=1$. \ее \ез \задача[!] (Лемма Морса) Пусть $M$ -- гиперболическое геодезическое пространство, а $C>0$. Докажите, что существует $R>0$ такое, что каждая $C$-квазигеодезическая лежит в $R$-окрестности любой кратчайшей, соединяющей ее концы. \ез \указание Если такого $R$ не существует, можно найти последовательность $C$-квазигеодезических $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ такую, что $R(\gamma_i)\arrow \infty$. Если при этом $\lim \frac {R(\gamma_i)}{t_i}=0$, воспользуйтесь предыдущей задачей, в противном случае воспользуйтесь задачей \ref{_lemma_Morsa_dvuugol'nik_Zadacha_}. \еу \замечание Существует доказательство леммы Морса для $\delta$-геодезических пространств, где оценка ма $R$ получается как функция от $C$ и $\delta$ (в доказательстве из этого листочка, $R$ зависит от $C$ и от пространства $M$). \еза \end{document} \end{document}