\documentclass[10pt]{article} %\addtolength{\topmargin}{-20mm} %\addtolength{\textheight}{45mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm} %\addtolength{\textwidth}{30mm} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{25mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 21.11.2012 %version 1.1,\ \ 14.05.2016, restart \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 14.05.2016} \newcommand{\firstdate}{14.05.2016} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{8}{Метрические пространства 8: Пространства, гиперболичные по Громову} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{$\delta$-тонкие треугольники} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание В этом разделе, все метрические пространства предполагаются по умолчанию наделенными строго внутренней метрикой (внутренней с кратчайшими). Кратчайшие же предполагаются наделенными геодезической параметризацией. \еза \определение {\бф Геодезический треугольник} $\triangle(abc)$ в метрическом пространстве есть треугольник, составленный из трех вершин $a,b,c$, соединенных кратчайшими, которые я буду обозначать за $[a,b],[b,c]$ и $[c,a]$. {\бф Талия} треугольника есть супремум расстояния от точки $z$, лежащей на одной из сторон, до объединения двух других. Треугольник называется {\бф $\delta$-тонким (по Рипсу)}, если его талия не больше $\delta$. Иначе говоря, каждая сторона такого треугольника лежит в $\delta$- окрестности двух других. \ео \centerline{\epsfig{file=tonkij-treugoln.eps,width=0.25\linewidth}} \определение Метрическое пространство $X$ со строго внутренней метрикой называется {\бф $\delta$-гиперболическим}, если все геодезические треугольники $\delta$-тонкие. Будем говорить, что $X$ {\бф гиперболично}, если оно $\delta$-гиперболично для какой-то константы $\delta$. \ео \замечание \label{_hyperbo_dependency_from_delta_Zamechanie_} Есть много разных определений гиперболичности. При этом, величина константы $\delta$ не имеет значения; когда говорят <<определение А гиперболичности эквивиалентно определению Б>> это значит, что для какого-то числа $C>0$ из $\delta$-гиперболичности в смысле А следует $C\delta$-гиперболичность в смысле Б, а из $\delta$-гиперболичности в смысле Б следует $C\delta$-гиперболичность в смысле А. \еза \замечание Немного погодя, я определю $\delta$-гиперболичность для произвольных метрических пространств (не обязательно с внутренней метрикой). Определение с тонкими треугольниками по Рипсу станет частным случаем более общего, эквивалентным ему (в смысле замечания \ref{_hyperbo_dependency_from_delta_Zamechanie_}). \еза \определение {\бф Дерево} есть связный метрический граф с тривиальной фундаментальной группой. \ео \задача Докажите, что дерево 0-гиперболично. \ез \определение Пусть $\phi:\; X\arrow Y$ -- отображение метрических пространств. {\бф Кодиаметр} $\codiam\phi$ определяется формулой \[ \codiam(\phi):=\sup_{x,y\in X} |d(x,y)-d(\phi(x),\phi(y))|.\] Он измеряет то, насколько $\phi$ отличается от изометрии. \ео \определение \label{_model_triangle_Opredelenie_} Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический треугольник. Определим {\бф модельный 0-ги\-пер\-болический треугольник} $\triangle(\bar a\bar b \bar c)$ как дерево с тремя вершинами\\ \centerline{\epsfig{file=triskelion-model.eps,width=0.45\linewidth}}\\ и тремя ребрами, соединенными в четвертой вершине, таким образом, что соответствующие расстояния равны: $|ab|=|\bar a\bar b|$, $|ac|=|\bar a\bar c|$, $|bc|=|\bar b\bar c|$. \ео \задача \енум \итем Постройте отображение $\Psi$ из точек (вершин и сторон) треугольника $\triangle(abc)$ в $\triangle(\bar a\bar b \bar c)$, задающее изометрию на каждой стороне и переводящее вершины в соответствующие им вершины. \итем Докажите, что такое $\Psi$ единственно. \ее \ез \задача Пусть $\triangle(abc)$ -- треугольник, а $b'\in[ab]$, $c'\in[ac]$ -- точки на его сторонах. \енум \итем Пусть $|b'c'|<\delta$. Докажите, что $||ab'|-|ac'||<\delta$. \итем Пусть $d(b',[ac])<\delta$, а $|ac'|=|ab'|$. Докажите, что $|b'c'|<2\delta.$ \ее \ез \указание Выведите б из а. \еу \задача\label{_tonkij_v_modelnoe_Zadacha_} Пусть треугольник $\triangle(abc)$ $\delta$-тонкий, а $\Psi:\;\triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$ -- отображение в модельный треугольник, построенное выше. Докажите, что $\codiam\Psi\leq 2\delta$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \определение Треугольник $\triangle(abc)$ называется {\бф $\delta$-тонким по Громову}, если отображение $\Psi$ в модельный треугольник имеет кодиаметр $\leq \delta$. \ео \задача[!] Докажите, что из $\delta$-тонкости по Громову следует $\delta$-тонкость по Рипсу, а из $\delta$-тонкости по Рипсу следует $2\delta$-тонкость по Громову. \ез \определение Треугольник называется $\delta$-вырожденным, если две его стороны находятся в $\delta$-окрестности третьей. \ео \задача[*] Пусть $X$ -- $\delta$-гиперболическое пространства а $a'$ -- точка на стороне $[bc]$ треугольника $\triangle(abc)$. Докажите, что треугольник $\triangle(aba')$ либо треугольник $\triangle(aca')$ -- $2\delta$-вырожденный. \ез \задача[*] Пусть $X$ -- $\delta$-гиперболическое пространство, а одна из сторон треугольника $\triangle(abc)$ не больше $\delta$. Докажите, что $\triangle(abc)$ -- $2\delta$-вырожденный. \ез \задача[!] Докажите, что пространство Лобачевского $\delta$-гиперболично, для какого-то $\delta>0$. \ез %\NewVedomost %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Гиперболические группы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $G$ -- группа. Множество $S\subset G$ называется {\бф набором образующих}, если все элементы $G$ выражаются через произведения элементов $x_i, x_j^{-1}$, для каких-то $x_i, x_j \in S$. Каждое такое произведение называется {\бф словом} от $x_i, x_j^{-1}$. В дальнейшем, мы будем предполагать по умолчанию, что любой набор образующих $S$ содержит $x^{-1}$ вместе с каждым $x\in S$. \ео \определение Пусть $G$ -- группа, а $S\subset G$ -- набор образующих. {\бф Граф Кэли $G$} есть метрический граф, полученный следующим образом. Вершины графа Кэли суть элементы $G$, а ребра соединяют две вершины $g, g'$, если $g'=gs$, где $s\in S$. Длины всех ребер графа Кэли равны 1. \ео \определение Группа $G$ называется {\бф свободной}, если это фундаментальная группа букета окружностей. {\бф Образующие} свободной группы заданы путями обхода вокруг этих окружностей. \ео \определение Группа с заданной системой образующих называется {\бф гиперболичной по Громову}, если ее граф Кэли $\delta$-гиперболичен, для какого-то $\delta$. \ео \задача Докажите, что свободная группа гиперболична. \ез \определение {\bf Свободное произведение} $(\Z/n_1\Z)* (\Z/n_2\Z)* ... *(\Z/n_k\Z)$ есть фактор свободной группы от $k$ образующих $x_1, ..., x_k$ по минимальной нормальной подгруппе, содержащей $x_1^{n_1}, x_2^{n_2}, ..., x_k^{n_k}$. \ео \задача Докажите, что $(\Z/2\Z)* (\Z/2\Z)$ гиперболична. \ез \задача[*] Докажите, что $(\Z/2\Z)* (\Z/2\Z)*...*(\Z/2\Z)$ гиперболична. \ез \задача Докажите, что $\Z^n$ с обычным набором образующих негиперболична. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство, а $\pi_1(M)$ свободнa. Докажите, что универсальное накрытие $M$ гиперболично. \ез \задача[*] Пусть $X$ -- компактное метрическое пространство, универсальное накрытие которого есть пространство Лобачевского. Докажите, что группа $\pi_1(X)$ гиперболична по Громову. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Громовское произведение} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $X$ -- метрическое пространство с отмеченной точкой $p$. Для обозначения расстояния $d(a,b)$ будет в дальнейшем использоваться $|ab|$. {\бф Громовское произведение} $(a,b)_p$ есть $1/2(|ap|+|bp|-|ab|)$. Это число, которое измеряет отклонение неравенства треугольника от равенства. \ео \задача \label{_Gromov_bigger_than_dist_to_geodesic_Zadacha_} Пусть $[a,b]$ -- кратчайшая. Докажите, что $(a,b)_p \leq d(p,[ab])$. \ез \задача Пусть $(a,b)_p=0$. Следует ли из этого $p\in[ab]$? \ез \задача Пусть треугольник $\triangle(abp)$ $\delta$-тонкий, а $c$ -- точка на стороне $[ab]$. В силу тонкости, существует точка $c'$ на другой стороне $\triangle(abp)$, которая отстоит от $c$ не больше чем на $\delta$. Для определенности, предположим, что $c'$ лежит на $[pa]$. Докажите, что $(c,a)_p<2\delta+ |pc|$. \ез \указание Убедитесь, что $(c,a)_p-(c',a)_p|<2\delta$. \eu \задача[!] \label{_dista_from_side_Zadacha_} Пусть треугольник $\triangle(abp)$ $\delta$-тонкий. Докажите, что \[d(p,[ab])\leq (a,b)_p\leq d(p,[ab])+2\delta.\] \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, применив ее к $c$, которая является ближайшей точкой к $p$ на кратчайшей $[ab]$. \еу \задача Пусть $X$ 0-гиперболично. Докажите, что $(a,b)_p=d(p,[ab])$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_tonkij_v_modelnoe_Zadacha_}. \еу \определение Пусть $(X,p)$ -- множество с отмеченной точкой. Легко видеть, что расстояние на $X$ можно определить в терминах громовского произведения $(a,b)_p$, потребовав выполнение недлинного списка аксиом. Говорится, что функция $(\cdot,\cdot)_p:\; X\times X\arrow \R^{\geq 0}$ {\бф удовлетворяет аксиомам громовского произведения}, если выполнены следующие условия. \begin{description} \item[симметричность:] $(a,b)_p=(b,a)_p$. \item[невырожденность:] $(a,a)_p=(a,b)_p=(b,b)_p$ \ $\Leftrightarrow$ $a=b$. \item[неравенство треугольника] $(a,b)_p+(b,c)_p\leq (a,c)_p+(b,b)_p$. \end{description} \ео \задача \label{_Gromov_product_metrika_Zadacha_} \енум \итем Пусть дана функция, удовлетворяющая аксиомам громовского произведения. Докажите, что $d(a,b):=(a,a)_p + (b,b)_p -2(a,b)_p$ - метрика на $X$. \итем Докажите, что в отсутствии второго условия ("невырожденности"), эта формула задает полуметрику. \ее \ез \задача[!] \label{_0-hyperbo_derevo_Zadacha_} Пусть $X$ -- 0-гиперболическое пространствo с отмеченной точкой $p$. Рассмотрим объединение отрезков $[\bar p, \bar x]$ длины $|px|$, где $x\in X$ пробегает все точки $X$, и склеим $[\bar p,\bar x]$ с $[\bar p,\bar y]$ по отрезку, начинающемуся с $\bar p$, длины $d(p,[xy])$. \енум \итем Докажите, что полученный граф является деревом. \итем Докажите, что это дерево изометрично $X$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \замечание Из этой задачи следует, что каждое 0-гиперболическое пространство со строго внутренней метрикой изометрично дереву. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Неравенство Громова} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Следующее неравенство, как будет доказано в скором времени, равносильно $\delta$-ги\-пер\-бо\-лич\-ности. \определение Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство с отмеченной точкой, а $a,b,c\in X$. {\бф Неравенство Громова} есть неравенство на попарные громовские произведения: \[ (a,b)_p\geq \min\left[(a,c)_p,(b,c)_p\right]-\delta. \] Когда нужно обозначить, о каком конкретно $\delta$ идет речь, я буду говорить {\бф $\delta$-не\-ра\-вен\-ство Громова.} \ео \задача \label{_Gromova_picture_Zadacha_} Докажите, что неравенство Громова равносильно следующему условию: \[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|, |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)>-\delta. \] \centerline{\epsfig{file=gromov-inequa.eps,width=0.35\linewidth}} \ез \задача \label{_Gromov_0_product_Zadacha_} Пусть в метрическом пространстве $X$ выполнено неравенство Громова для $\delta=0$. Докажите, что для любых $a,b,c\in X$, в тройке $(a,b)_p, (a,c)_p, (b,c)_p$ какие-то два числа равны, а третье $\leq$ первых двух. \ез \задача Пусть в $(X,p)$ выполнено $\delta$-неравенство Громова. \енум \итем Докажите, что для любых $t,x,y,z\in X$ выполнено \[ (t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p, 2 (y,z)_p\right]\geq -2 \delta \] и \[ (t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p, 2 (x,t)_p\right]\geq -2 \delta. \] \итем Докажите, что \[ (t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p, (y,z)_p+(x,t)_p\right]\geq -2 \delta. \] \ее \ез \указание Попробуйте вывести (б) из (а). \еу \задача Докажите, что \[ (t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p, (y,z)_p+(x,t)_p\right]= (t,y)_x-\min\left[(t,z)_x,(y,z)_x\right]. \] \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_Gromova_picture_Zadacha_}. \еу \задача[!] Предположим, что в $(X,p)$ выполнено $\delta$-неравенство Громова. Докажите, что для любого выбора отмеченной точки $p'$, в $(X,p')$ выполнено $2\delta$-неравенство Громова. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущими двумя задачами. \еу \задача Выведите из неравенства Громова для $\delta=0$ единственность кратчайших. \ез \указание Возьмите две кратчайшие, соединяюще $a$ и $p$, пусть $b,c$ -- их середины; примените неравенство Громова для $a,b,c,p$ и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть в метрическом пространстве $X$ со строго внутренней метрикой выполнено неравенство Громова для $\delta=0$, $a.b\in X$, а $c$ -- точка на кратчайшей $[a,b]$. \енум \итем Докажите, что $(a,c)_p=0$ либо $(b,c)_p=0$. \итем Докажите, что $c$ лежит на $[ab]$ либо на $[ac]$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_Gromov_0_product_Zadacha_}. \еу \задача Пусть в метрическом пространстве $X$ со строго внутренней метрикой выполнено неравенство Громова для $\delta=0$. Докажите, что $d(p,[a,b])=(a,b)_p$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $(X,p)$ -- пространство со строго внутренней метрикой, в котором выполнено неравенство Громова для $\delta=0$. Докажите, что это дерево. \ез \указание Постройте отображение в дерево, как в задаче \ref{_0-hyperbo_derevo_Zadacha_}, и примените предыдущую задачу и задачу \ref{_Gromov_product_metrika_Zadacha_}, чтобы убедиться, что это изометрия. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Аппроксимационное дерево} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание В этом разделе не все метрические пространства предполагаются наделенными внутренней метрикой. \еза \задача[!] Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство с отмеченной точкой. Для набора точек \[ S=\{x=x_0,x_1, ..., x_n,x_{n+1}=y\} \subset X,\] обозначим за $L_S(x,y):=\min_i (x_i,x_{i+1})_p$. Определим функцию $(x,y)'_p:=\sup_S L_S(x,y)$, где супремум берется по всем множествам $x_1, ..., x_n \in X$. Пусть $d'(x,y)=d(x,p)+d(y,p)-2 (x,y)'_p$. \енум \итем Докажите, что $d(x,y)\geq d'(x,y)\geq 0$. \итем Докажите, что $(x,y)'_p$ удовлетворяет 0-неравенству Громова: \[ (a,b)_p'\geq \min\left[(a,c)_p',(b,c)_p'\right].\] \итем Докажите, что для любых $a,b,c$ выполнено \begin{equation}\label{_triangle_ineq_for_product_Equation_} (a,b)'_p+(b,c)'_p\leq (a,c)'_p+(b,b)'_p \end{equation} \итем Докажите, что $d'$ -- полуметрика. \ее \ез \указание Для доказательства \eqref{_triangle_ineq_for_product_Equation_}, выведите из 0-неравенства Громова неравенства $(a,b)'_p\leq (b,b)'_p$, $(c,b)'_p\leq (b,b)'_p$, и убедитесь, что либо $(a,b)'_p+(b,c)'_p\leq (a,c)'_p+(b,c)'_p$, либо $(a,b)'_p+(b,c)'_p\leq (a,c)'_p+(a,b)'_p$. Для доказательство того, что $d'$ полуметрика, воспользуйтесь \eqref{_triangle_ineq_for_product_Equation_} и задачей \ref{_Gromova_picture_Zadacha_}. \еу \задача Обозначим за $X_{tr}$ метрическое пространство, полученное из построенной выше полуметрики $(X,d')$ склеиванием точек $d'(x,y)=0$. Докажите, что $X_{tr}$ это дерево, а тавтологическое отображение $(X,d)\stackrel \nu \arrow X_{tr}$ 1-липшицево и удовлетворяет $|px|=d'(\nu(p),\nu(x))$. \ез \определение Пространство $(X_{tr}, d')$ называется {\бф аппроксимационным деревом} для $X$. \ео \задача Предположим, что в метрическом пространстве $X$ выполнено следующее "неравенство мультигромова": \begin{equation}\label{_multigromov_Equation_} (x,y)_p\geq \min_i ((x_i, x_{i+1})_p)-\delta' \end{equation} Докажите, что тавтологическое отображение $(X,d)\stackrel \nu \arrow X_{tr}$ имеет кодиаметр $\leq \frac 1 2 \delta$. \ез \задача[!] Пусть $(X,p)$ -- конечное метрическое пространство, в котором $2^k+2$ точки, и выполнено $\delta$-неравенство Громова. Докажите, что в $X$ выполнено неравенство \eqref{_multigromov_Equation_} для $\delta'=k\delta$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Неравенство Громова и тонкие треугольники} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство со строго внутренней метрикой, в котором выполнено $\delta$-неравенство Громова, а $a',b'$ -- точки на сторонах $[ca]$, $[cb]$ треугольника $\triangle(cab)$. Рассмотрим пространство $Y$ из 5 точек $(c,a,b,a',b')$, и пусть $\nu:\; Y \arrow Y_{tr}$ -- отображение на аппроксимационное дерево. \енум \итем Докажите, что $\codiam\nu\leq 2\delta$. \итем Пусть $Y_{tr}^0$ -- минимальное связное под-дерево $Y$, содержащее $\nu(a),\nu(b),\nu(c)$. Докажите, что $Y_{tr}^0$ изометрично дереву с четырьмя вершинами (одной центральной и три по бокам), длины сторон которого отличаются от длин сторон модельного деревa $\triangle(\bar a\bar b\bar c)$ (Определение \ref{_model_triangle_Opredelenie_}) не больше чем на $2\delta$. \итем Пусть $\mu:\; \triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b\bar c)$ -- отображение в модельный треугольник. (Определение \ref{_model_triangle_Opredelenie_}). Докажите, что \[ |d(\mu(a'),\mu(b'))-d(\nu(a'),\nu(a'))|<2\delta,\] и \[ |d(a',b')-d(\nu(a'),\nu(a')|<2\delta.\] \итем Выведите из этого, что $\codiam \mu \leq 4\delta$ \ее \ез \задача[!] Пусть $X$ -- метрическое пространство со строго внутренней метрикой, в котором выполнено $\delta$-неравенство Громова. Докажите, что $X$ $4\delta$-гиперболично. \ез \задача Пусть $\triangle(abc)$ -- $\delta$-тонкий треугольник. Докажите, что $(a,b)_p-(a,c)_p \geq d(p,[a,b])-d(p,[a,c])-2\delta$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_dista_from_side_Zadacha_}. \еу \задача Пусть $\triangle(abc)$ -- $\delta$-тонкий треугольник, а $p'$ -- точка на стороне $[a,b]$, ближайшая к $p$. Предположим для определенности, что она лежит в $\delta$-окрестности $[ac]$. \енум \итем Докажите, что $d(p,[a,b])-d(p,[a,c])\geq -\delta$. \итем Докажите, что $(a,b)_p-(b,c)_p\leq -3\delta$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $\triangle(abc)$ -- $\delta$-тонкий треугольник. Докажите, что \[ (a,b)_p\geq \min((a,c)_p,(b,c)_p)-3\delta.\] \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \замечание Определим {\бф пространство, гиперболичное по Громову} как метрическое пространство $(X,p)$ с отмеченной точкой, в котором выполнено $\delta$-неравенство Громова для какого-то $\delta$. В силу доказанного выше, это определение равносильно определению через тонкие треугольники ("эквивалентность" следует понимать в смысле Замечания \ref{_hyperbo_dependency_from_delta_Zamechanie_}). \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Гиперболическая граница} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $X$ -- гиперболическое пространство. Скажем, что {\бф последовательность $\{x_i\}$ сходится на бесконечности}, если \[ \lim\limits_{i,j\rightarrow\infty}(x_i,x_j)_p = \infty. \] \ео \задача[*] Пусть $\{x_i\}, \{y_i\}$ -- последовательности в гиперболическом пространстве. Напишем $\{x_i\}\sim \{y_i\}$, если последовательность $x_1,y_1, x_2, y_2, x_3, y_3, ...$ сходится. Докажите, что это отношение эквивалентности. \ез \определение Множество $\6 X$ классов эквивалентности последовательностей, сходящейся на бесконечности, называется {\бф гиперболической границей}. \ео \задача[*] Рассмотрим слабейшую топологию в $X \cup \6 X$, индуцирующую топологию на $X$, в которой сходящиеся на бесконечности последовательности сходятся к соответствующей точке $\6 X$. Докажите, что эта топология хаусдорфова, а $X$ плотно в $\6 X$. \ез \задача[*] Пусть $d$ -- максимальная метрика на $\6 X$, удовлетворяющая условию $d(\{x_i\},\{y_i\}) \leq k^{-1}$ для $\lim_i (x_i, y_i)_p \geq 2^k$. Докажите, что $d$ задает метрику на $\6 X$, согласованную с топологией, заданной выше. \ез \задача[**] Докажите, что пространство $(\6 X, d)$ полно. \ез \задача[**] Пусть $X$ -- полное риманово многообразие, которое гиперболично по Громову. Докажите, что $\6 X$ компактно. Докажите, что $\6 X$ непусто, если $X$ некомпактно. \ез \end{document}