\documentclass[12pt]{article}

%\addtolength{\topmargin}{-20mm}
%\addtolength{\textheight}{45mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
%\addtolength{\textwidth}{30mm}

\addtolength{\topmargin}{-10mm}
\addtolength{\textheight}{20mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   10.10.2012
%version 1.1,   13.11.2012, kommenty ot Sashi Anan'ina
%version 1.2,   14.11.2012, 7.16 popravil (thanks to P. Tomas)
%version 1.3, 06.03.2016, повтор курса в 2016, поправил,
%поменял нумерцию

\newcommand{\version}{version 1.3,\ \   21.03.2016}
\newcommand{\firstdate}{21.03.2016}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{6}{Метрические пространства 6: пространства Александрова}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.
Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.
Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.
Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Пространства Александрова}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве
$(M,d)$. Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается
метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой.
{\бф Треугольник сравнения} 
$\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник
в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$,
и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$,
и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, 
существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности).
Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике
$\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$;
он называется {\бф углом сравнения}.
\ео


\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки в пространстве $(M,d)$ со строго 
внутренней метрикой,
а $\gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow M$ -- кратчайшая с геодезической
параметризацией, соединяющая точки $(a,b)$.
Рассмотрим функцию \[ d_c:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0},\] 
переводящую $t$ в $d(c,\gamma(t))$.
Пусть 
$\triangle(\bar a,\bar b, \bar c)\subset \R^2$ --
треугольник сравнения, 
а \[ d_{\bar c}:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}\] --
функция, переводящая $t$ в $d(\bar c, \bar \gamma(t))$,
где $\bar \gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^2$ обозначает
сторону треугольника сравнения с нормальной
параметризацией. Функция $d_{\bar c}$
называется {\бф функцией сравнения}.
Пространство $M$ называется {\бф пространством
неотрицательной/неположительной кривизны в целом}, если
для любых $a,b,c$, функция сравнения удовлетворяет
неравенству $d_c\geq d_{\bar c}$ (соответственно, 
$d_c\leq d_{\bar c}$). Пространство $M$ называется 
{\бф пространством Александрова
неотрицательной/неположительной кривизны}, если
у каждой точки есть окрестность
неотрицательной/не\-положительной 
кривизны в целом. Пространства 
неположительной кривизны в целом также называются 
{\бф CAT(0)-пространствами} (в честь Эли
Картана, Д. А. Александрова и В. А. Топоногова;
это название принадлежит М. Громову).
\ео

\задача
Пусть $Z$ -- метрический граф, полученный
склеиванием трех ребер в точке.\\
\centerline{\epsfig{file=triskelion.eps,width=0.20\linewidth}}\\
\енум
\итем Докажите, что
$Z$ -- пространство неположительной кривизны.
\итем Докажите, что
$Z$ -- не пространство неотрицательной кривизны.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $L$ -- окружность длины $d$ с внутренней метрикой,
а $C(L)$ -- ее конус. Докажите, что $C(L)$ -- пространство
неположительной кривизны для $d\leq 2\pi$ и пространство
неотрицательной кривизны для $d\geq2\pi$.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- векторное пространство с нормой, которая не
евклидова. Докажите, что $M$ не является пространством
неположительной кривизны и не является пространством
неотрицательной кривизны.
\ез

\определение
Пусть $p$ -- внутренняя точка на кратчайшей $\gamma$,
а $\mu$ -- кратчайшая, начинающаяся от $p$.
Обозначим два сегмента $\gamma$, начинающиеся от $p$, за
$\gamma_+$ и $\gamma_-$.
{\бф Смежные углы} суть углы
$\measuredangle_{\sup}(\gamma_+,p,\mu)$ и
$\measuredangle_{\sup}(\gamma_-,p,\mu)$.
\ео

\задача
Докажите, что в любом метрическом пространстве
со строго внутренней метрикой сумма смежных углов
всегда $\geq \pi$.
\ез

\задача[!]
{\бф (Лемма Александрова)}
Рассмотрим шарнирный механизм из четырех стержней
(обозначены жирным на рисунке). Пусть 
четырехугольники $A_1B_1C_1D_1$ и $A_2B_2C_2D_2$
на плоскости получены движением стержней этого механизма
(математически, это означает, что $|A_1B_1|=|A_2B_2|$,
$|B_1C_1|=|B_2C_2|$, $|C_1D_1|=|C_2D_2|$,
$|D_1A_1|=|D_2A_2|$).\\
\centerline{\epsfig{file=lemma-aleksandrova.eps,width=0.40\linewidth}}\\
Докажите, что $\measuredangle(A_1B_1C_1)> \measuredangle(A_2B_2C_2)$
$\Leftrightarrow$ $|B_1D_1|>|B_2D_2|$, если треугольники
$\triangle(A_iB_iC_i)$ и $\triangle(A_iD_iC_i)$
отложены по одну сторону от прямой $(A_iC_i)$,
и $\measuredangle(A_1B_1C_1)> \measuredangle(A_2B_2C_2)$
$\Leftrightarrow$ $|B_1D_1|<|B_2D_2|$
в противном случае.
\ез

\задача
Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве,
$\triangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ -- треугольник сравнения, 
$\gamma\cong [0, d(a,b)]$ -- кратчайшая от $a$ до $b$, а
$d_c, d_{\bar c}:\;[0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$ -- соответствующие
функции сравнения. Докажите, что если $d_c\geq d_{\bar c}$,
то $\theta(apc)+\theta(bpc) \leq \pi$, для любой точки $p$
на $\gamma$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь леммой Александрова.
\еу


\задача[!]
Пусть $M$ -- пространство Александрова неотрицательной
кривизны. Докажите, что сумма смежных углов в $M$
равнa $\pi$.
\ез

\указание
Постройте треугольник сравнения для
$\triangle(\gamma_+(s), \mu(t), \gamma_-(u))$,
рассмотрите его функцию сравнения, и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
{\бф Граница} подмножества метрического пространства
$U\subset M$ есть пересечение замыканий 
$\bar U\cap \overline{(M\backslash U)}$.
Открытое подмножество $U$ метрического пространства
называется {\бф строго выпуклым}, если для
каждой пары точек $x,y$ на границе $U$,
и любой кратчайшей $\gamma:\; [a,b]\arrow M$,
соединяющей $x$  и $y$, имеем $\gamma(]a,b[)\subset U$.
\ео

\задача
Предположим, что $M$ -- пространство с 
неположительной кривизной в целом. Докажите, что
каждый открытый шар в $M$ строго выпуклый.
\ез

\задача[!]
Предположим, что в $M$ всякий открытый шар
строго выпуклый. Докажите, что в $M$ любые две точки
соединяются не более чем одной кратчайшей.
\ез

\задача
{\бф Блокнот} есть полиэдральное пространство
размерности 2, с метрикой фактора, полученное из нескольких 
полуплоскостей склейкой по граничной прямой. 
Докажите, что метрика на блокноте внутренняя.
\ез

\задача[!]
Докажите, что блокнот -- пространство 
неположительной кривизны в целом.
\ез

\задача[!]
{\бф Метрический букет}
пространств $M_i$ с отмеченной точкой $x_i$
получается из этих пространств склейкой
точек $x_i$ в одну (с метрикой фактора).
Докажите, что метрический букет пространств
со строго внутренней метрикой - пространство
со строго внутренней метрикой.
\ез

\задача[*]
Докажите, что метрический букет
пространств неположительной кривизны - пространство
неположительной кривизны.
\ез

\задача[*]
Пусть $C$ -- конус в $\R^3$, заданный
уравнением $x^2+y^2=z^2$. 
Будет ли $C$ пространством Александрова
для неположительной кривизны? А 
неотрицательной кривизны?
\ез

\задача[**]
Докажите, что конус над метрическим графом
$\Gamma$ имеет неположительную кривизну в целом
тогда и только тогда, когда в
$\Gamma$ нет циклов длины $< 2\pi$.
\ез

\задача[**]
Докажите, что компактное двумерное полиэдральное
пространство неотрицательной кривизны и без края\footnote{{\бф Край}
двумерного полиэдрального пространства есть совокупность всех ребер,
к которым клеится не больше одной двумерной клетки.}
гомеоморфно двумерной сфере или $\R P^2$, либо изометрично 
тору $\R^2/\Z^2$ либо бутылке Клейна с плоской метрикой.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Условие монотонности углов}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $\gamma_1, \gamma_2:\; [0,a]\arrow M$ --
кратчайшие в $M$, $\gamma_i(0)=p$. 
Говорится, что {\бф в $M$ выполнено условие
монотонности углов (для неположительной/неотрицательной кривизны)},
если угол $\theta(\gamma_1(s),p,\gamma_2(t))$
монотонно возрастает/убывает как функция от $s,t$,
и любых кратчайших $\gamma_i$.
\ео


\задача
Пусть $p,a,b$ -- три точки на метрическом пространстве,
а $a_1$ -- точка на кратчайшей, соединяющей $a$ и $p$.
Рассмотрим треугольник сравнения $\triangle(\bar a_1, \bar p, \bar b)$
для $a_1, p, b$, и обозначим на полупрямой $[\bar p, \bar a_1)$
точку $\tilde a$ таким образом, что $|\bar p \tilde a|=d(p,a)$.
\\
\centerline{\epsfig{file=monot-sravnenie.eps,width=0.25\linewidth}}
\енум
\итем
Докажите, что для пространства неположительной кривизны в целом,
$|\tilde a,\bar b|\leq d(a,b)$. 
\итем Докажите, что для пространства неотрицательной кривизны в целом,
$|\tilde a,\bar b|\geq d(a,b)$. 
\итем Выведите ограничения на знак кривизны
(неположительная, неотрицательная) из этих неравенств.
\ее
\ез

\задача[!]
Докажите, что условие монотонности углов
для неположительной/неотрицательной кривизны
равносильно неположительности/не\-отрицательности
кривизны в целом.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $M$ -- пространство Александрова.
Докажите, что углы между геодезическими кратчайшими
в $M$ всегда определены.
\ез

\задача[**]
Пусть $M$ -- пространство с внутренней метрикой,
такое, что в $M$ сумма углов любого
геодезического треугольника $\leq \pi$. Докажите, что это
пространство неположительной кривизны, или найдите контрпример.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- двумерное полиэдральное пространство.
\енум
\итем[*] Предположим, что сумма углов любого
геодезического треугольника $\geq \pi$. Верно ли, что
$M$ -- пространство Александрова неотрицательной кривизны?
\итем[**] А неотрицательной кривизны в целом?
\итем[*]
Предположим, что сумма углов любого
геодезического треугольника $\leq \pi$. Верно ли, что
$M$ -- пространство Александрова неположительной кривизны?
\итем[**] А неположительной  кривизны в целом?
\ее
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Условие сравнения углов}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $a,b,c$ -- три точки в метрическом пространстве,
а $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ -- треугольник сравнения.
Рассмотрим кратчайшие $\gamma_1, \gamma_2$, соединяющие
$a$ с $b$ и $a$ с $c$.
{\бф Условие сравнения углов для неположительной кривизны}
есть неравенство 
$\measuredangle(\gamma_1,a,\gamma_2)\leq \measuredangle(\bar c \bar a\bar b)$
{\бф Условие сравнения углов для неотрицательной кривизны}
есть неравенство 
$\measuredangle(\gamma_1,a,\gamma_2)\geq \measuredangle(\bar c \bar a\bar b)$
плюс равенство 
$\measuredangle(\gamma_+,p,\mu)+\measuredangle(\gamma_-,p,\mu)=\pi$
для любых смежных углов $\measuredangle(\gamma_+,p,\mu)$
и $\measuredangle(\gamma_-,p,\mu)$.
\ео

\задача
Пусть $M$ -- пространство неположительной кривизны в целом.
Докажите, что в $M$ выполнено условие сравнения углов
(для неположительной кривизны).
\ез

\указание 
Воспользуйтесь монотонностью углов.
\еу

\задача[!]
Пусть $M$ -- пространство неотрицательной кривизны в целом.
Докажите, что в $M$ выполнено условие сравнения углов
(для неотрицательной кривизны).
Не забудьте проверить, что сумма смежных углов
равна $\pi$.
\ез

\задача
Пусть $a,b,c$ -- три точки в метрическом пространстве, а
$d$ -- точка на кратчайшей, соединяющей $a$ и $c$.
Рассмотрим треугольники сравнения $\triangle(\bar a,\bar b,\bar d)$,
$\triangle(\bar c,\bar b,\bar d)$, и разместим их по разные стороны
от отрезка $[\bar b,\bar d]$.
\енум
\итем Предположим, что
$\measuredangle(\bar c,\bar b,\bar d) + 
\measuredangle(\bar a,\bar b,\bar d) \leq \pi$.
Докажите, что $|\bar b\bar d|\geq d(b,d)$.
\итем Предположим, что
$\measuredangle(\bar c,\bar b,\bar d) + 
\measuredangle(\bar a,\bar b,\bar d) \geq \pi$.
Докажите, что $|\bar b\bar d|\leq d(b,d)$.
\ее
\centerline{\epsfig{file=angles-comparison.eps,width=0.25\linewidth}}
\ез

\указание
Воспользуйтесь леммой Александрова. 
\еу

\задача[!]
Пусть в $M$ выполнено условие сравнения углов
(для неположительной кривизны).
Докажите, что $M$ есть
пространство неположительной кривизны в целом.
\ез

\указание
Постройте, как в предыдущей задаче, 
четырехугольник $\bar a,\bar b$, $\bar c,\bar d$,
и выведите из условия сравнения углов
неравенство $\measuredangle(\bar c,\bar b,\bar d) + 
\measuredangle(\bar a,\bar b,\bar d) \geq 
\measuredangle(c,b,d) + 
\measuredangle(a,b,d)$.
Примените теорему о сумме смежных углов.
\еу

\задача[*]
Пусть в $M$ выполнено условие сравнения углов
(для неотрицательной кривизны). 
Докажите, что $M$ есть
пространство неотрицательной кривизны в целом.
\ез


%\задача[*]
%Пусть $M$ -- пространство неположительной кривизны в целом.
%Докажите, что конус $C(M)$ -- тоже пространство неположительной 
%кривизны в целом.
%\ез



\задача[**]
Пусть сумма углов любого геодезического треугольника в 
$M$ не превосходит $\pi$. Следует ли из этого, что $M$ есть пространство
неположительной кривизны?
\ез


\end{document}
