\documentclass[12pt]{article}

%\addtolength{\topmargin}{-20mm}
%\addtolength{\textheight}{45mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
%\addtolength{\textwidth}{30mm}

\input{defs-listki.tex}


%version 1.0,\ \   08.10.2012
%version 1.1,\ \   16.10.2012 Sasha Anan'in prislal.
%version 1.1,\ \   18.10.2012 Eshche odna, ot nego zhe
%version 1.2,\ \   09.11.2012 задача 6.8 снова
%version 1.3,\ \   10.11.2012 Еще две ошибки (Павел Томас, Саша Бердников)
%version 1.3.1,\ \ 06.03.2016 тот же курс заново

\newcommand{\version}{version 1.3.1,\ \  06.03.2016 }
\newcommand{\firstdate}{06.03.2016}

\addtolength{\topmargin}{-5mm}
\addtolength{\textheight}{10mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
\addtolength{\textwidth}{10mm}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{5}{Метрические пространства 5: углы и конусы}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.
Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.
Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.
Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Углы и пространства направлений}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Внутренняя метрика в метрическом пространстве $M$ называется
{\бф строго внутренней}, если любые две точки $x,y\in M$ можно соединить
{\bf кратчайшей}, то есть путем $\gamma$ с $L_d(\gamma)=d(x,y)$.
Кратчайшая $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ {\бф имеет геодезическую
параметризацию}, если это отображение -- изометрия.
\ео

\замечание В прошлом листочке было доказано, что
внутренняя метрика в полном, локально компактном
метрическом пространстве является строго внутренней.
В этом листочке можно пользоваться этим фактом.
Также, все метрические пространства, которые
тут упоминаются, по умолчанию считаются наделенными
строго внутренней метрикой, которая, ко всему прочему,
{\бф конечна}, то есть не принимает значения $\infty$,
а все кратчайшие - снабженными геодезической
параметризацией.
\еза

\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве
$(M,d)$. Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается
метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой.
{\бф Треугольник сравнения} 
$\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник
в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$,
и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$,
и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, 
существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности).
Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике
$\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$;
он называется {\бф углом сравнения}.
\ео

\определение
Пусть $\gamma_1:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma_2:\; [0,b]\arrow M$
два пути в метрическом пространстве $M$, $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p$. 
{\бф Угол} между путями $\gamma_1, \gamma_2$ в $p$ есть число
\[
  \measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2):=
\lim_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)),
\]
если такой предел существует (в противном случае, говорится, что
{\бф угол между $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не существует}).
{\бф Верхний угол} есть
\[
 \measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_2):=
\operatorname{{\lim{\sup}}}\limits_{t,s\rightarrow 0} 
\theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)),
\]
где $\lim\sup$ обозначает супремум всех предельных точек
последовательностей $\theta(\gamma_1(t_i), p, \gamma_2(s_j))$,
для всех $t_i, s_j$ сходящихся к 0. 
\ео

\задача
Пусть $\gamma_1, \gamma_2$ -- гладкие пути в $\R^n$.
докажите, что угол $\measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2)$
существует и равен углу между соответствующими касательными.
\ез


\задача
Пусть $\gamma:\; :\; [0,a]\arrow M$ -- кратчайшая
(наделенная, как всегда, геодезической параметризацией),
а $\gamma(0)=p$.
Докажите, что угол  $\measuredangle_{\sup}(\gamma, p, \gamma)$ существует
и равен нулю.
\ез

\задача
Пусть $\gamma:\;  [0,a]\arrow M$ -- кратчайшая,
а $\gamma(b)=p$, для какого-то $0<b<a$.
Докажите, что угол  $\measuredangle_{\sup}(\gamma, p, \gamma)$ существует
и равен $\pi$.
\ез

\задача
Пусть $M=V$ -- нормированное векторное пространство,
с метрикой $\nu(x-y)$, которая индуцирована нормой
$\nu$. Докажите, что эта метрика внутренняя, причем отрезки
прямых являются кратчайшими.
\ез

\задача[*]
Докажите, что 
кратчайшая, соединяющая две
точки в нормированном векторном пространстве,
единственна тогда и только тогда, когда сфера $\{x\in V\ \ |\ \ \nu(x)=1\}$
не содержит нетривиальных отрезков.
\ез

\задача
Пусть $\alpha:\; [0,a]\arrow M$, $\beta:\; [0,b]\arrow M$
две геодезические в метрическом пространстве $M$, $\alpha(0)=\beta(0)=p$.
Докажите, что
\[
  \measuredangle(\alpha, p, \beta):=
\lim_{t,s\rightarrow 0} 
\arccos\left(\frac{s^2+t^2-d(\alpha(t),\beta(s))^2}{2st}\right).
\]
\ез

\задача
Пусть $\alpha=\R^{\geq 0} a$, $\beta=\R^{\geq 0} b$
-- два луча в нормированном пространстве $(V,\nu)$, 
причем угол $\measuredangle(\alpha, 0, \beta)$
существует. Докажите, что 
\[
\frac{\mu^2\nu(a)^2+\lambda^2\nu(b)^2-\nu(\mu a -\lambda b)^2}{\mu\lambda}=\text{const}
\]
постоянная, не зависящая от $\mu$ и $\lambda\in \R^{\geq 0}$.
\ез

\задача[!]
Пусть $\alpha=\R^{\geq 0} a$, $\beta=\R^{\geq 0} b$,
$\gamma=\R^{\geq 0} c$
-- три разных луча в нормированном пространстве $(V,\nu)$, 
причем углы $\measuredangle(\alpha, 0, \beta)$,
$\measuredangle(\alpha, 0, \gamma)$ и $\measuredangle(\beta, 0, \gamma)$
существуют. Предположим, что они лежат в одной плоскости. Докажите,
что $\nu$ -- евклидова метрика на подпространстве, порожденном $a$ и $b$.
\ез
\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
\label{_summa_uglov_sravnenie_Zadacha_}
Пусть $\gamma_i:\; [0,d_i]\arrow M$ -- пути в $M$, причем
$\gamma_i(0)=p$, $a=\gamma_1(s), b=\gamma_3(t)$, $c=\gamma_2(u)$,
и каждый $\gamma_i$ нетривиален в любой окрестности $0$.
Рассмотрим треугольники  сравнения $\triangle(\bar p,\bar a,\bar c)$
и $\triangle(\bar p,\bar c,\bar b)$, и нарисуем их на плоскости,
с общей стороной $| \bar p,\bar c|$, чтобы они лежали по разные стороны
от прямой $(\bar p,\bar c)$.\\
\centerline{\epsfig{file=angle-inequality.eps,width=0.30\linewidth}}\\
Докажите, что для любых достаточно малых $s,t$, можно подобрать $u$
таким образом, что $\bar c$ лежит на отрезке $[\bar a, \bar b]$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь непрерывностью $\gamma_i$.
\еу

\задача[!]
В условиях предыдущей задачи, докажите, что
\[ \measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2) + 
   \measuredangle(\gamma_2, p, \gamma_3) \geq 
   \measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_3)
\]
если все эти углы существуют.
\ез


\указание
Убедитесь, что $\theta(apc)+\theta(bpc)\geq \theta(apb)$,
для $a,b,c,p$, выбранных, как в предыдущей задаче.
\еу

\задача
В условиях задачи
\ref{_summa_uglov_sravnenie_Zadacha_},
верно ли, что $\theta(apc)+\theta(bpc)= \theta(apb)$?
Мы считаем, что $s,t,u$ выбраны таким образом, чтобы $\bar c$ лежала на отрезке
$[\bar a, \bar b]$.
\ез

\задача[*]
Докажите, что
\[ \measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_2) + 
   \measuredangle_{\sup}(\gamma_2, p, \gamma_3) \geq 
   \measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_3)
\]
(в этой задаче, углы не обязательно существуют).
\ез

\задача[!]
Докажите, что
$\measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_2) + 
   \measuredangle_{\sup}(\gamma_2, p, \gamma_3)=0$ 
влечет \\ $\measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_3)=0$.
\ез


\определение
Путь $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ {\бф имеет направление},
если угол $\measuredangle(\gamma, \gamma(0),\gamma)$
существует. Пути $\alpha, \beta:\;  [0,a]\arrow M$,
$\alpha(0)=\beta(0)=p$ 
{\бф имеют одинаковое направление}, если
$\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)=0$.
\ео

\задача
Предположим, что $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ 
имеет направление. Докажите, что тогда
$\measuredangle(\gamma, \gamma(0),\gamma)=0$.
\ез

\задача
Докажите, что соотношение <<$\alpha\sim \beta$, если
$\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)=0$>> задает отношение
эквивалентности на множестве всех путей 
\[ \gamma:\; [0,a]\arrow M,\ \ 
\gamma(0)=p,
\] имеющих направление.
\ез

\определение
{\бф Пространство направлений} в точке $p$ есть 
множество классов эквивалентности путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$,
$\gamma(0)=p$, нетривиальных в любой окрестности 0 и
имеющих направление, по отношению $\sim$, заданному
выше. 
\ео

\задача
Докажите, что $\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)$
задает метрику на пространстве направлений.
\ез

%\задача[*]
%Докажите, что пространство направлений для $\R^n$ изометрично
%$(n-1)$-мерной сфере.
%\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Произведения и конусы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $(X,d_X)$ и $(Y,d_Y)$ -- метрические пространства.
Рассмотрим функцию $d:\; (X\times Y)\times (X\times Y)\arrow \R^{\geq 0}\cup\infty$:
\[ d((x_1,y_1), (x_2,y_2))=\sqrt{d_X(x_1,x_2)^2 + d_Y(y_1,y_2)^2}.
\] 
\енум
\итем Докажите, что $d$ это метрика.
\итем[!] Докажите, что $d$ строго внутренняя, 
если $d_X$, $d_Y$ -- строго внутренние.
\итем[*] Докажите, что $d$  внутренняя, 
если $d_X$, $d_Y$ --  внутренние
\ее
\ез

\указание
Докажите наличие середин в $X\times Y$, и примените их наличие,
чтобы построить кратчайшие.
\еу

\определение
Эта метрика называется {\бф метрикой произведения},
а $(X\times Y,d)$ -- {\бф прямым произведением}
метрических пространств.
\ео

\задача
Пусть $\nu$ -- норма на $\R^2$, удовлетворяющая
$\nu(x,y) \geq \nu(x',y')\forall x'\leq x, y'\leq y$
(то есть монотонная по каждой координате),
а $d_\nu$ -- функция 
на $(X\times Y)\times (X\times Y)$, заданная формулой
$d_\nu((x_1,y_1), (x_2,y_2))=\nu(d_X(x_1,x_2), d_Y(y_1,y_2))$.
\енум
\итем Докажите, что $d_\nu$ это метрика.
\итем[*] Докажите, что $d_\nu$ -- строго внутренняя
метрика, если $d_X$, $d_Y$ -- строго внутренние.
\ее
\ез

\определение
{\бф Диаметр} метрического пространства $M$ есть число
\\ ${\sup}_{x,y\in M}d(x,y)$.
\ео

\определение
Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $\diam X\leq \pi$.
Рассмотрим топологическое пространство $C(X)$ с топологией фактора,
полученное из $X\times [0,\infty[$ склеиванием $X\times\{0\}$
в точку. Определим функцию $d_C:\; C(X)\times C(X)\arrow \R^{\geq 0}$ по формуле
\[d(p,q)= \sqrt{t^2+s^2 -2ts\cos(d(x,y))},
\]
где $p=(x,t), q=(y,s)$.
В скором времени будет доказано, что $d_C$ есть метрика.
Пространство $C(X)$ с вышеописанной метрикой называется
{\бф метрическим конусом}, или просто {\бф конусом} над $X$.
\ео


\задача
\label{_treu_for_cone_Zadacha_}
Пусть $(\alpha,t), (\beta,s)$ -- точки в конусе $C(X)$, а 
$\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$ -- треугольник сравнения
со сторонами $t,s$ и углом $\measuredangle(\bar a,\bar 0,\bar b)=d(\alpha,\beta)$.
Докажите, что $d_C(a,b)=|\bar a, \bar b|$.
\ез

\задача
\label{_inequa_for_cone_Zadacha_}
Пусть $a=(\alpha,r), b=(\beta,s), c=(\gamma, t)$ -- три точки на $C(X)$,
а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$, $\triangle(\bar 0, \bar b,\bar c)$ 
соответствующие треугольники сравнения, с общей стороной
$[\bar 0,\bar b]$, и отложенные по разные стороны от $(\bar 0, \bar b)$.\\
\centerline{\epsfig{file=cone-inequality.eps,width=0.30\linewidth}}\\
Докажите, что $d(a,c)\leq |\bar a,\bar c|$, если 
$d(\alpha, \beta)+d(\beta, \gamma) \leq \pi$.
\ез

\задача[!]
Пусть $C(X)$ -- метрический конус, $d_C$ -- функция, определенная
выше. Докажите, что это метрика.
\ез

\указание Воспользуйтесь задачей 
\ref{_treu_for_cone_Zadacha_} и задачей 
\ref{_inequa_for_cone_Zadacha_}. Отдельно разберите случа
$d(\alpha, \beta)+d(\beta, \gamma) \geq \pi$.
\еу

%\задача[*]
%Пусть $X$ -- пространство со строго внутренней метрикой.
%Докажите, что метрика на $C(X)$ тоже строго внутренняя.
%\ез

\задача
Пусть $C(X)$ -- метрический конус, а $x\in X$. 
Докажите, что путь $\gamma:\; [0,a] \arrow C(X)$, переводящий
$s$ в $(x,s)$ -- кратчайшая.
\ез

\задача
Пусть $x,y\in X$, а $\gamma_1:=(x,[0,a])$, 
$\gamma_2:=(y,[0,b])\subset C(X)$ -- соответствующие
кратчайшие в конусе. Докажите, что $\measuredangle(\gamma_1,0,\gamma_2)=d(x,y)$.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Конус пространства с $\diam >\pi$.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $a>0$,
а $d_a(x,y) = \min(d(x,y),a)$. Докажите, что $d_a(x,y)$ -- метрика.
\ез

\задача
Пусть $d$ -- внутренняя метрика, и $d_a$ тоже.
Докажите, что $d=d_a$.
\ез

\определение
Сейчас мы определим метрический конус $C(X)$ для
ситуации, когда $\diam(X)>\pi$. Пусть $(X,d)$ -- метрическое
пространство, $d_\pi$ -- метрика на $X$, определенная
выше. Определим $(C(X),d_C)$ как конус над $(X,d_\pi)$.
\ео

\задача[*]
Пусть $(X,d)$ -- пространство с внутренней метрикой.
Докажите, что метрика $d_C$ на $C(X)$ тоже внутренняя.
\ез


\определение
{\бф Полиэдральное метрическое пространство размерности
2} -- это фактор метрического графа и объединения
выпуклых многоугольников с евклидовой метрикой,
полученный склеиванием
сторон многоугольников с ребрами графа по 
непрерывному отображению из границы многоугольника
в граф, задающему изометрию между сторонами
многоугольника и соответствующими ребрами графа.
Оно {\бф локально конечно}, если у каждой точки
есть окрестность, изометричная конечному полиэдральному
пространству (с конечным числом многоугольников).
\ео

\задача[!]
Пусть $(Z,d)$ -- двумерное полиэдральное
локально конечное метрическое пространство.
Докажите, что у каждой точки $z\in Z$ есть окрестность,
изометричная окрестности нуля в конусе над метрическим
графом.
\ез


\end{document}
