\documentclass[11pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}

\input{defs-listki.tex}


%version 1.0,\ \   29.09.2012
%version 1.1,\ \   09.10.2012 Andrej nashel 3 ochepyatki
%version 1.2, polnoe v zadache 5.1
%version 1.3, лишняя палочка v zadache 5.9 (11.10.2012)
%version 1.3.1, 28.02.2016, pomenyal nomer, zagolovok
%version 1.4, 28.03.2016, zadacha 4.13 neravenstvo ne v tu storonu

\newcommand{\version}{version 1.3,\ \  28.03.2016 }
\newcommand{\firstdate}{28.02.2016}

%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{4}{Метрическая Геометрия 4: кратчайшие }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.
Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.
Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.
Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Локально компактные метрические пространства
и теорема Хопфа-Ринова}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\определение
Напомню, что 
{\бф $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$
есть такое множество $N\subset M$, что объединение
$\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$.
Метрическое пространство называется {\бф вполне ограниченным},
если для любого $\epsilon>0$ в $M$ найдется конечная
$\epsilon$-сеть.
\ео

\задача
Докажите, что полное метрическое пространство компактно
тогда и только тогда, когда оно вполне ограниченно.
\ез


\определение Пусть $M$ -- метрическое пространство.
Говорят, что $M$ {\bf локально компактно}, если для любой точки
$x\in M$ существует такое число $\epsilon>0$, что замкнутый шар
$\overline{B}_\epsilon(x)$ компактен.
\ео

\задача
Пусть $f:\; M \arrow M'$ -- гомеоморфизм метрических пространств. 
Предположим, что $M$ локально компактно. Докажите, что $M'$ тоже
локально компактно.
\ез

\задача
Докажите, что метрическое пространство локально компактно
тогда и только тогда, когда у каждой точки есть окрестность,
замыкание которой компактно.
\ез


\задача
Приведите пример полного метрического пространства
с внутренней метрикой, которое не локально компактно.
\ез

\задача[*]
Верно ли, что пополнение
локально компактного метрического пространства
всегда локально компактно?
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ -- метрическое пространство с внутренней
метрикой,  а $m\in M$ точка, такая, что шары $B_{r-\epsilon}(m)$
вполне ограниченны для любого $\epsilon >0$. Докажите, что
$B_{r}(m)$ тоже вполне ограниченно.
\ез

\задача
Пусть $\rho:\; M \arrow \R$ функция на метрическом пространстве,
\[ \rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.
\]
Докажите, что $\rho$ 1-липшицева.
\ез


\задача
Пусть $M$ -- пространство с внутренней метрикой. 
Докажите, что в $\epsilon$-окрестности шара 
$\bar B_{r}(m)$ содержится шар $B_{r+\epsilon}(m)$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- пространство с внутренней метрикой,
а $N$ -- $\frac 1 2\epsilon$-сеть в $\bar B_{r}(m)$.
Докажите, что $\epsilon$-окрестность $N$ содержит
$B_{r+1/2\epsilon}(m)$.
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ -- пространство с внутренней метрикой, а каждый
замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в $M$ компактен. 
 Докажите, что из компактности $\bar B_{r}(m)$
следует компактность $\bar B_{r+1/2\epsilon}(m)$
\ез

\указание
Докажите, что
$M$ полно, и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
(Теорема Хопфа-Ринова)
Пусть $M$ -- полное, локально компактное пространство с внутренней
метрикой. Докажите, что каждый замкнутый шар в $M$ компактен.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей для того,
чтобы доказать, что $\rho=\infty$ везде на $M$.
\еу

\задача
Постройте следующие контрпримеры к усиленным
версиям утверждения теоремы Хопфа-Ринова.
\енум
\итем[*] Локально компактное, полное метрическое пространство,
где не всякий замкнутый шар компактен.
\итем[*]  Локально компактное, полное, локально
линейно связное метрическое пространство,
где не всякий замкнутый шар компактен.
\итем Локально компактное, связное метрическое пространство
с внутренней метрикой, где не всякий замкнутый шар компактен.
\итем Полное метрическое пространство
с внутренней метрикой, где не всякий замкнутый шар компактен.
\ее
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$\epsilon$-середины и расстояние между шарами}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $x$ и $y$ -- точки в метрическом пространстве $(M,d)$,
а $\epsilon>0$.
Точка $z$ называется {\бф $\epsilon$-серединой} пары $(x,y)$,
если 
\[ |d(x,z)- 1/2 d(x,y)| \leq\epsilon\text{\ и\ } 
   |d(y,z)- 1/2 d(x,y)| \leq\epsilon.
\]
Говорится, что в $(M,d)$ {\бф существуют $\epsilon$-середины},
если для любых $x,y$ и любого $\epsilon>0$ существует
$\epsilon$-середина.
\ео

\задача
Пусть $z$ -- $\epsilon$-середина пары $(x,y)$.
Докажите, что $d(x,y) \geq d(x,z) + x(y,z)-\epsilon$.
Докажите, что расстояние между двумя $\epsilon$-серединами
не больше $d(x,y)+2\epsilon$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что в любом пространстве с внутренней метрикой
существуют $\epsilon$-середины.
\ез

\задача Постройте метрическое пространство,
в котором существуют $\epsilon$-середины, но 
метрика не внутренняя.
\ез



\задача
Выразите максимально возможное расстояние между двумя
$\epsilon$-серединами пары $(x,y)$ в терминах
$d(x,y)$. Приведите пример, когда оно достигается.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- пространство, где существуют $\epsilon$-середины,
а $x_0, x_1\in M$ -- две разные точки. Докажите, что 
для каждого двоично-рационального числа\footnote{Двоично-рациональными
называются числа вида $n/2^m$.} $\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$,
$0< \lambda<1$, найдется точка $x_\lambda\in M$,
которая является $\frac{\epsilon}{2^{m+1}}$-серединой
между $x_{\frac{n}{2^{m-1}}}$ и $x_{\frac{n+1}{2^{m-1}}}$.
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ -- метрическое пространство, в котором существуют
$\epsilon$-середины. Докажите, что для любых $x, y \in M$, 
$\epsilon >0 $, и любого $\lambda\in [0,1]$,
найдется $z\in M$ такая, что 
\[ |d(x,z)- \lambda d(x,y)| \leq\epsilon\text{\ \ и \ \  }
|d(y,z)- (1-\lambda) d(x,y)| \leq\epsilon.
\]
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $M$ -- метрическое пространство, в котором существуют
$\epsilon$-середины. Докажите, что для любых $x, y \in M$,
и положительного $r \leq d(x,y)$, расстояние от шара $B_r(x)$ до $y$ равно
$d(x,y)-r$: \[ d(y, B_r(x))=d(x,y)-r.\] 
\ез

\определение
Условие $d(y, B_r(x))=d(x,y)-r$ называется {\бф условием
Хопфа-Ринова}.
\ео

\задача
Докажите, что условие Хопфа-Ринова равносильно такому:
$d(B_{r'}(y), B_r(x))= d(x,y)-r-r'$, где $x,y\in M$ произвольные
точки, а $r,r'$ -- положительные числа, которые удовлетворяют
$d(x,y) \geq r+r'$.
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ -- метрическое пространство.
Докажите, что следующие условия равносильны.
\begin{enumerate}
\item Существование $\epsilon$-середин.
\item Условие Хопфа-Ринова.
\item Для каждых $x,y\in M$ и $\epsilon,\delta >0$,
найдется последовательность точек $x_0=x, x_1, ..., x_n=y$,
такая, что $d(x_i, x_{i+1})< \delta$, а 
$\sum_i d(x_i, x_{i+1})\leq d(x,y)+\epsilon$.
\end{enumerate}
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Существование кратчайших}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $x_0,x_1\in M$ -- точки на полном,
локально компактном пространстве с внутренней
метрикой. Докажите, что существует 
$x_{1/2}\in M$ такая, что 
$d(x_0, x_{1/2})= d(x_1, x_{1/2})=\frac 1 2 d(x_0,x_1)$.
\ез

\задача\label{_dvo_raci_oto_Zadacha_}
$x_0,x_1\in M$ -- точки на полном,
локально компактном пространстве с внутренней
метрикой. Докажите, что существует набор точек
$\{x_\lambda\}$, где $\lambda$ пробегает все
двоично-рациональные числа между нулем и 
единицей, а $d(x_\lambda, x_\mu)= |\lambda-\mu|d(x_0,x_1)$.
\ез

\задача
Пусть $M,N$ -- метрические пространства, а $f:\; N \arrow M$ --
$C$-липшицево отображение. Докажите, что $f$ продолжается
на пополнения: $\bar f:\; \bar N \arrow \bar M$, причем
$\bar f:\; \bar N \arrow \bar f(\bar N)$ тоже $C$-липшицево.
\ез

\задача[!]
Докажите, что любые две точки в полном
локально компактном пространстве с внутренней
метрикой могут быть соединены кратчайшей.
\ез

\указание
Примените результат предыдущей задачи к 
отображению, построенному в задаче \ref{_dvo_raci_oto_Zadacha_}.
\еу

\задача[*]
Пусть $(M,d)$ -- полное метрическое пространство,
где существуют $\epsilon$-середины. Докажите, что метрика 
в $M$ внутренняя.
\ез

\задача[*]
Докажите, что пополнение пространства с внутренней метрикой --
внутреннее.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\определение
Путь $\gamma:\; [a,b]\arrow M$
называется {\бф кратчайшей}, если $d(a,b) = L_d(\gamma)$,
и {\бф кратчайшей с геодезической параметризацией}, 
если $\gamma$ задает изометрию.
\ео

\задача[*]
Пусть $\gamma$ -- кратчайшая, соединяющая
точки $x,y$ метрического пространства. Докажите, что
существует кратчайшей с геодезической параметризацией,
которая соединяет $x$ и $y$.
\ез



\задача[**]
Приведите пример полного пространства с внутренней метрикой,
в котором некоторые точки нельзя соединить кратчайшими.
\ез

\задача[**]
Приведите пример полного пространства с внутренней метрикой,
в котором не существует кратчайших, или докажите, что такого нет.
\ез

\задача[*]
Пусть $(M,d)$ -- полное, локально компактное метрическое
пространство (метрика не обязательно внутренняя), 
в котором любые две точки можно
соединить липшицевым путем. Докажите, что любые
две точки $x,y \in M$ в $M$ можно соединить путем длины
$\hat d(x,y)$ (здесь $\hat d$ обозначает внутреннюю
метрику, ассоциированную с $d$).
\ез

\задача[**]
Пусть $(M,d)$ -- полное, локально компактное метрическое
пространство (метрика не обязательно внутренняя), 
в котором любые две точки можно
соединить спрямляемым путем. Докажите, что любые
две точки $x,y \in M$ в $M$ можно соединить путем длины
$\hat d(x,y)$.
\ез


\end{document}