\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-8mm}
\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.3,\ \   04.10.2012 - листок 2
%version 1.6, 23.11.2012, - листок 3
%version 1.7,\ \   14.09.2016 получено соединением и урезанием
% листков 2-3 из 2012, все дальнейшие идут со сдвигом на 1
%version 1.8, 07.03.2016, две опечатки от Егора Колпакова
%version 1.8.1, 21.03.2016, еще одна опечатка

\newcommand{\version}{version 1.8.1,\ \   21.03.2016}
\newcommand{\firstdate}{14.02.2016}

%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{2}{Метрическая Геометрия 2:  Внутренние метрики.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.
Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.
Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.
Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Линейная связность.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\begin{opredelenie}
Пусть дано топологическое пространство $M$.
Подмножество $W\subset M$ называется {\bf открытозамкнутым},
если оно открыто и замкнуто. $M$ называется {\bf связным},
если любое открытозамкнутое подмножество $M$
это либо $\emptyset$, либо само $M$.
Подмножество $Z\subset M$ называется
{\bf связным}, если оно связно в индуцированной
топологии.
\end{opredelenie}


\begin{opredelenie}
Пусть $M$ -- топологическое пространство. 
 {\bf Путем} в $M$ называется
непрерывное отображение $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$.
В этом случае говорится, что путь 
$\phi$ {\bf соединяет точки $\phi(a)$ и $\phi(b)$}.
$M$ называется {\bf линейно связным}, если любые
две точки $M$ можно соединить путем $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$.
\end{opredelenie}

\задача[!]
Докажите, что линейно связное пространство связно.
\ез

\begin{zadacha} 
Докажите, что объединение 
линейно связных подмножеств $M$, содержащих 
выбранную точку $x\in M$, линейно связно.
\end{zadacha}


\begin{opredelenie}
Объединение всех линейно связных
подмножеств, содержащих какую-то фиксированную точку $x$, называется 
{\bf компонентой линейной связности} $M$.
\end{opredelenie}



\begin{zadacha} 
Рассмотрим следующее подмножество $X\subset \R^2$:
график функции $\sin(1/t)$, объединенный с отрезком
$[(0,1), (0,-1)]$. Докажите, что $X$ локально
компактно, связно, и не линейно связно.
Найдите компоненты линейной связности.
\end{zadacha}


%\begin{zadacha}[*]
%Найдите компактное, связное, метризуемое
%топологическое пространство, имеющее
%бесконечное количество компонент линейной связности.
%\end{zadacha}


\begin{opredelenie}
Топологическое пространство $M$
называется локально связным 
(локально линейно связным), если каждая 
окрестность точки $x\in M$ содержит связную
(линейно связную) окрестность $x$
\end{opredelenie}

\задача
Постройте связное,
линейно связное, но не локально линейно связное
пространство.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- локально линейно связное, связное 
пространство. Докажите, что оно линейно связно.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- локально линейно связное пространство.
Докажите, что $M$ является несвязным объединением
своих компонент линейной связности.
\ез

\задача[**]
Пусть $H$ -- вещественное гильбертово пространство, то есть
пространство последовательностей  $\{a_i\in \R\}$,
удовлетворяющих $\sum a_i^2 \leq \infty$, с метрикой
вида $d(\{x_i\}, \{y_i\})=\sum |x_i-y_i|^2$.
Обозначим за $H_0\subset H$ множество всех
последовательностей $\{a_i\}$, у которых все $a_i$
кроме конечного числа, рациональны.
Верно ли, что $H$ связно? Линейно связно?
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Функционал длины}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Говорится, что на $M$ {\бф задан класс допустимых путей},
если задано множество путей $[a,b] \arrow M$ такое, что
\begin{enumerate}
\item Для любых двух путей $[a,b] \stackrel {\gamma_1}\arrow M$
и $[b,c] \stackrel {\gamma_2}\arrow M$, удовлетворяющих
$\gamma_1(b)=\gamma_2(b)$, путь $\gamma:\; [a,c]\arrow M$,
равный $\gamma_1$ на $[a,b]$ и $\gamma_2$ на $[b,c]$,
тоже допустим. Такая операция называется "склейка путей".
\item
Если $\phi:\; [a,b]\arrow [c,d]$ линейное отображение,
а путь $\gamma:\; [c,d]\arrow M$ допустим, путь
$\phi\circ\gamma$ тоже допустим.
\item
Для каждого пути $[a,b] \stackrel {\gamma}\arrow M$,
и отрезка $[c,d]\subset [a,b]$, ограничение
$\gamma\restrict{[c,d]}$ -- тоже допустимый путь.
\end{enumerate}
\ео 

\задача
Докажите, что кусочно-линейные пути в $\R^n$, 
кусочно-по\-ли\-но\-ми\-аль\-ные, кусочно-дифференцируемые
образуют допустимый класс путей.
\ез

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
допустимым классом путей. Функционал $L(\gamma)$, 
отображающий допустимые пути в числа, называется
{\бф функционалом длины}, если он удовлетворяет следующим
условиям.
\begin{enumerate}
\item (аддитивность длины) 
Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, 
и любого $b\in [a,c]$, $L(\gamma)=L(\gamma\restrict{[a,b]})+
L(\gamma\restrict{[b,c]})$, где $\gamma\restrict{[c,d]}$
обозначает ограничение пути, то есть функции $\gamma:\; [a,b]\arrow \R$
на отрезок $[c,d]\subset [a,b]$.
\item
(непрерывность длины пути как функции от координат концов)
Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, 
функция $L(\gamma\restrict{[a,b]})$
непрерывно зависит от $b\in [a,c]$.

\item 
Длина не меняется при замене параметра: если
$\phi:\; [a,b] \arrow [c,d]$ -- гомеоморфизм отрезков,
а $\gamma:\; [c,d] \arrow M$ и $\phi\circ \gamma:\; [a,b] \arrow M$ --
допустимые пути, то $L(\gamma)= L(\phi \circ \gamma)$.

\item
(длина пути согласована с топологией)
Пусть $Z$ -- замкнутое подмножество $M$, а $x\notin Z$
точка, не лежащая на $Z$. Тогда существует число $\epsilon >0$
такое, что любой путь, соединяющий $x$ с какой-то точкой $Z$,
имеет длину $\geq \epsilon$.
\end{enumerate}
\ео

\задача
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины.
Определим функцию $d:\;M\times M \arrow \R^{\geq 0}$,
положив $d(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где
инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$. Докажите, что это метрика.
\ез

\определение
Такая функция называется {\бф внутренняя метрика, оп\-ре\-де\-лен\-ная
по функционалу длины}
\ео

\задача
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины, а $d$ --
соответствующая внутренняя метрика. Докажите, что
$(M,d)$ локально линейно связно.
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ -- топологическое пространство с классом
допустимых путей и функционалом длины, $d$ -- внутренняя
метрика, а $(M,d)\arrow M $ тождественное отображение
из $M$ с топологией,
которая индуцирована внутренней метрикой,
в $M$ с топологией, которая задана на нем изначально.
Докажите, что это отображение непрерывно.
\ез 



\задача
\label{_lomanye_zadacha_}
Пусть $M=\R^n$, класс допустимых путей - кусочно-линейные
пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, 
а длина пути определяется формулой
$L(\gamma)=\sum |d(x_i,x_{i+1})|$.
Докажите, что внутренняя метрика равна обычной.
\ез

\задача
\label{_boloto_zadacha_}
"поход по болоту"
Пусть $M=\R^n$, класс допустимых путей - кусочно-линейные
пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, $f:\; \R^n \arrow \R^{>0}$
непрерывная, положительная функция, а длина пути определяется формулой
\[ L(\gamma)=\sum \int_{[x_i, x_{i+1}]} f\] 
(интеграл от $f$ по отрезку
$[x_i, x_{i+1}]$). Докажите, что это функционал длины, а внутренняя
метрика индуцирует обычную топологию.
\ез


\определение
Такая метрика называется {\бф конформно плоской}.
\ео

%\задача[*]
%Дайте определение метрики Пуанкаре на 
%диске.\footnote{Это пространство также называется "плоскость Лобачевского".}
%Докажите, что метрика Пуанкаре на диске -- конформно плоская.
%\ез

\определение
Пусть $M=\R^n$ или его открытое подмножество, а 
класс допустимых путей -- кусочно-гладкие пути.
Предположим, что для каждой точке 
$x\in M$ задано скалярное произведение
 $g_x\in \Sym^2 T^*_x M$ на $T_xM$
(здесь $T^*_x M$ -- кокасательное пространство,
а $\Sym^2 T^*_x M$ -- линейное пространство
билинейных, симметричных форм на  $T_xM$.
Предположим, что $g_x$ гладко зависит от
$x$.\footnote{Более точно, следовало бы сначала
сказать, что все пространства $T_xM$ отождествлены,
поскольку $M$ -- открытое подмножество в $\R^n$,
а значит, $g$ есть отображение из $M$ в
$\Sym^2\R^n=\R^{\frac{n(n+1)}2}$; и потребовать
гладкости этого отображения.}
Определим функционал длины пути $\gamma:\; [a,b]\arrow M$
формулой 
\[ L(\gamma):= \int_a^b
\sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))} dt
\]
Соответствующая внутренняя метрика на $M$
называется {\бф римановой метрикой}, а 
форма $g_x$ -- {\бф римановой формой} этой метрики.
\ео

\задача[!]
Докажите, что топология, индуцированная
римановой метрикой, эквивалентна обычной.
\ез

\определение
{\бф Гладкое подмногообразие} $\R^n$ есть
замнутое подмножество $M \subset \R^n$, такое, что для
каждой точки $x\in M$ найдется окрестность $U\ni x$
и диффеоморфизм $U$ на открытый шар $B$, ограничение
которого на $M\cap U$ определяет
гомеоморфизм $M\cap U$ и гиперплоскости $B \cap \R^k$.
\ео

\задача
Докажите, что $(n-1)$-сфера $\{z\in \R^n, |z|=1\}$
есть гладкое подмногообразие в $\R^n$.
\ез

\задача[*]
Постройте гладкое подмногообразие в $\R^6$,
гомеоморфное $\R P^2= S^2 /\{\pm 1\}$.
\ез


\задача[!]
Пусть $M\subset \R^n$ гладкое подмногообразие, а на $\R^n$
задана риманова форма. Определим класс допустимых путей
в $M$ как множество всех кусочно гладких путей в $\R^n$,
которые лежат в $M$, и риманов функционал пути обычной
формулой 
\[ L(\gamma):= \int_a^b
\sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))} dt.
\]
Докажите, что полученная из этого функционала
внутренняя метрика задает стандартную топологию на $M$.
\ез

\определение
Такая метрика называется {\бф римановой}, а
$M$ -- {\бф римановым многообразием}.
\ео

\задача
Рассмотрим риманову форму на \[ S^n= \left\{(x_1, ..., x_{n+1})
\ \ | \ \  \sum x_i^2 =1\right\},\]
полученную из обычной римановой формы на $\R^{n+1}$.
Обозначим за $d$ соответствующую риманову метрику.
Пусть $x,y \in S^n$ -- две точки,
 $O$ -- центр сферы, то есть точка $(0,0, ..., 0)$.
Докажите, что $d(x,y)$ есть угол треугольника $xOy$,
измеренный в радианах.
\ез
 
\задача[*]
Определите абстрактное риманово многообразие
(не обязательно вложенное в $\R^n$). Докажите, что
любое компактное многообразие $M$ допускает гладкое вложение
в $\R^n$, для достаточно большого $n$. 
Докажите, что любая риманова форма на $M$ может
быть получена ограничением из какой-то римановой
формы на $\R^n$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\subsection{Полунепрерывные функционалы длины}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\определение
%Пусть $\gamma_i:\; N\arrow M$ -- последовательность
%непрерывных отображений топологических
%пространств, где $N$ компактно. 
%Эта последовательность {\бф равномерно сходится}
%к $\gamma:\; N\arrow M$, если для любой
%окрестности $U$ графика 
%$\Gamma_\gamma\subset N\times M$,
%все графики $\Gamma_{\gamma_i}$, кроме конечного
%числа, лежат в $U$.
%\ео
%
%\определение
%Пусть $\gamma_i:\; N\arrow M$ -- последовательность
%непрерывных отображений метрических пространств.
%Скажем, что {\бф $\gamma_i$ сходится к $\gamma$ в топологии
%$C^0$,} если $\lim_i \sup_{t\in N}d(\gamma(t), \gamma_i(t))=0$.
%\ео
%
%\задача[!]
%Докажите, что сходимость в $C^0$ равносильна равномерной
%сходимости.
%\ез
%
%\задача
%Постройте последовательность непрерывных
%функций $f_i:\; \R\arrow \R$
%сходящуюся к $f:\; \R\arrow \R$ поточечно, но не равномерно.
%\ез
%
%\задача[!]
%Постройте последовательность непрерывных
%функций $f_i:\; [0,1]\arrow [0,1]$
%сходящуюся к $f:\; [0,1]\arrow [0,1]$ поточечно, но не равномерно.
%\ез
%
%\задача
%Предположим, что последовательность гладких
%функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R$ сходится к гладкой функции
%$f$ равномерно. 
%\енум
%\итем Докажите, что $\lim\int_a^b |f'_i(t)| dt \geq \int_a^b |f'(t)| dt$
%(если пределов несколько, докажите для каждого из них).
%\итем Приведите пример, когда 
%$\lim\int_a^b |f'_i(t)| dt > \int_a^b |f'(t)| dt$.
%\ее
%\ез
%
%\указание
%Сначала докажите это неравенство для функции
%$f$ такой, что $f'>0$, а потом разбейте $[a,b]$ 
%на отрезки, где $f'$ не меняет знак.
%\еу
%
%
%\задача[!]
%\label{_predel_C_0_Zadacha_}
%Предположим, что последовательность гладких
%функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R^n$ сходится к гладкой функции
%$f:\; [a,b]\arrow \R^n$ равномерно. Докажите,
%что $\lim\int_a^b |f'_i(t)| dt \geq \int_a^b |f'(t)| dt$
%\ез
%
%\указание
%Разбив $[a,b]$ на отрезки $[x_i,x_{i+1}]$, и взяв
%$z_i:=f(x_{i+1})-f(x_i)$ и $z_i(n):=f_n(x_{i+1})-f_n(x_i)$,
%получите
%\[ 
%\sum_i |z_i(n)| \leq \int_a^b |f'_n(t)| dt,
%\]
%Переходя к пределу по $n$, выведите из этого, что
%\[ 
%\sum |z_i| = \lim_n \sum_i |z_i(n)| \leq \int_a^b |f'_n(t)| dt.
%\]
%Чтобы закончить доказательство, перейдите к предлу по разбиениям.
%\еу
%
%\задача
%\label{_boloto_polune_Zadacha_}
%Предположим, что последовательность гладких
%функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R$ сходится к гладкой функции
%$f$ равномерно, а $g:\; \R \arrow \R$ -- положительная
%гладкая функция. Докажите, что 
%в$\lim\int_a^b |f'_i(t)| g(f_i(t)) dt \geq \int_a^b |f'(t)|g(f(t)) dt$.
%\ез
%
%\указание
%Докажите, что
%$\int_a^b f'(t)g(f(t)) dt= G(f(b))- G(f(b))$,
%где $G$ -- первообразная $g$, а 
%$\int_a^b |f'(t)|g(f(t))dt \geq \int_a^b f'(t)g(f(t)) dt$;
%затем разбейте $[a,b]$ на отрезки, где $f'$ не меняет
%знак.
%\еу
%
%\задача[*]
%\label{_rima_metric_polune_Zadacha_}
%Предположим, что последовательность гладких
%функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R^n$ сходится к гладкой функции
%$f:\; [a,b]\arrow \R^n$ равномерно, а $g\in \Sym^2T^*\R^n$
%положительно определенная квадратичная форма, гладко зависящая
%от $x\in \R^n$ и переводящая вектор $v\in T_x\R^n$ в число.
%Докажите, что 
%$\lim\int_a^b \sqrt{g(f'_i(t))}  dt \geq \int_a^b
%\sqrt{g(f'(t))} dt$.
%\ез
%
%\указание
%Действуйте по аналогии с аргументом из задачи
%\ref{_predel_C_0_Zadacha_}.
%\еу
%
%
%\определение
%Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
%классом допустимых путей и функционалом длины $L(\gamma)$.
%Функционал $L$ называется {\бф полунепрерывным снизу},
%если для любой последовательности допустимых путей
%$\gamma_i:\; [a,b]\arrow M$, равномерно сходящейся
%к допустимому пути $\gamma:\; [a,b]\arrow M$,
%имеем $\lim_i L(\gamma_i) \geq L(\gamma)$.
%\ео
%
%\задача
%Докажите, что функционал
%"длина ломаной", определенный в
%задаче \ref{_lomanye_zadacha_},
%полунепрерывен снизу.
%\ез
%
%\задача
%Докажите, что функционал конформно плоской метрики
%("переход болота"; задача \ref{_boloto_zadacha_})
%полунепрерывен снизу.
%\ез
%
%\указание
%Воспользуйтесь задачей
%\ref{_boloto_polune_Zadacha_}.
%\еу
%
%\задача[*]
%Рассмотрим функцию 
%$\phi:\; \R^2 \arrow \R^{\geq 0}$,
%\[ \phi(x,y)=\frac 54 (|x|+|y|) - \frac 14 \max(|x|,|y|).\]
%Пусть класс допустимых путей в $\R^2$ -- кусочно
%дифференцируемые пути, а функционал длины 
%определен как $L(\gamma) = \int \phi(\gamma'(t))dt$.
%Докажите, что эта формула задает функционал длины,
%который не полунепрерывен снизу.
%\ез
%
%\задача[*]
%Пусть $M$ -- риманово многообразие,
%а $L(t)$ -- функционал длины пути, задающий
%риманову метрику. Докажите, что $L(t)$
%полунепрерывен снизу.
%\ез
%
%\указание
%Воспользуйтесь 
%задачей \ref{_rima_metric_polune_Zadacha_}.
%\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Длина пути в метрическом пространстве}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение
отрезка $[a,b]= [a,x_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$
Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим
\[
L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).
\] 
Определим {\бф длину пути} $\gamma$ формулой
\[ L_d(\gamma):= \sup_{a<x_1< ... <x_{n-1}<b}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}).
\]
где супремум берется по всем разбиениям отрезка.
Путь $\gamma$ называется {\бф спрямляемым}, если
$L_d(\gamma)<\infty$.
\ео

\задача[!]\label{_predel_podrazbienij_Zadacha_}
Пусть $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ --
спрямляемый путь в метрическом пространстве $M$,
a $x_0(N)= a < x_1(N)< ... < x_{n_N}(N) = b$ ---
последовательность разбиений отрезка, такая, что
$\lim\limits_{N\rightarrow \infty}\max_i |x_i(N)-x_{i-1}(N)|=0$.
Докажите, что 
$\lim\limits_{N\rightarrow \infty} L_\gamma(x_1(N),
..., x_{n_N}(N))=L_d(\gamma)$.
\ез



\определение
Путь $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$
называется {\бф кратчайшая}, если 
$L_d(\gamma)=d(a,b)$.
\ео

\задача
Пусть $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- кратчайшая.
Докажите, что ее образ изометричен отрезку в $\R$.
\ез

\задача[!]
Пусть $\phi:\; [a,b]\rightarrow [a,b]$ -- гомеоморфизм,
а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- какой-то путь. Докажите, 
что $L_d(\gamma)=L_d(\phi\circ\gamma)$.
\ез

\задача
Найдите все кратчайшие в $\R^n$ с обычной метрикой.
\ез


\задача[*]
Найдите все кратчайшие на сфере $S^n$, с римановой 
метрикой, полученной ограничением римановой формы с $\R^{n+1}$.
\ез

\задача
Пусть $\gamma$ -- спрямляемый путь в метрическом 
пространстве $M$, а $\phi:\; M \rightarrow M'$ -- $C$-липшицево
отображение. Докажите, что $\gamma \circ \phi$ -- спрямляемый
путь в $M'$.
\ез

\задача
Пусть $[a,b]=[a,x_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b]$,
а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow \R^n$ -- путь в $\R^n$ с обычной метрикой,
причем $L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})\geq  L_d(\gamma)-\epsilon$,
а $d(\gamma(x_i),\gamma(x_{i+1}))<\epsilon$.
Докажите, что $\gamma$ находится в $3\epsilon$-окрестности
объединения кратчайших, соединяющих $\gamma(a),\gamma(x_1), ..., 
\gamma(x_{n-1}), \gamma(b)$.
\ез

\задача[!]
Пусть $\gamma$ -- спрямляемый путь в $\R^n$, $n>1$, с обычной
метрикой. Докажите, что для каждого $\epsilon >0$
образ $\gamma$ содержится в объединении параллелепипедов
суммарного объема $\leq \epsilon$.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Постройте неспрямляемый путь в $\R^2$
\ез

\указание
Постройте кривую Пеано, сюрьективно отображающую
$[0,1]$ на квадрат, и примените предыдущую задачу.
\еу

\задача[*]
Пусть $M$ --  метрическое пространство, содержащее
непостоянный путь. Докажите, что в $M$ существует неспрямляемый путь.
\ез

\задача[**]
Постройте линейно связное компактное метрическое
пространство, в котором нет непостоянных спрямляемых путей,
либо докажите, что такого не существует.
\ез



\задача
Пусть $M$ -- метрическое пространство,
а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- спрямляемый путь. Докажите, что 
$L_d(\gamma\restrict{[a,c]})$ есть непрерывная
функция точки $c\in [a,b]$.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Внутренние метрики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины.
Определим функцию $d:\;M\times M \rightarrow \R^{\geq 0}$
положив $d(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где
инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$. Докажите, что это метрика.
\ез


\задача[!]
Пусть $M$ -- метрическое пространство,
${\cal S}$ -- класс спрямляемых путей на $M$,
а $L_d(\gamma)$ -- длина пути. Докажите, что
${\cal S}$, $L_d$ удовлетворяет условиям
функционала длины.
\ез

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
${\cal S}$ -- класс спрямляемых путей на $M$,
а $L_d(\gamma)$ -- функционал длины.
{\бф Внутренняя метрика, связанная с $d$}
есть внутренняя метрика, определенная
по формуле $d(x,y):= \inf_\gamma L_d(\gamma)$,
где инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$; мы обозначаем ее $\hat d$.
\ео

\задача
Докажите, что $\hat d \geq d$,
для любого метрического пространства $(M,d)$.
\ез

\задача[!]
Пусть $\gamma_i:\; [a,b]\rightarrow M$ -- последовательность
спрямляемых путей в метрическом пространстве, $L_d(\gamma_i)<C$,
равномерно сходящаяся к $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$.
Докажите, что путь $\gamma$ спрямляемый, и любая предельная
точка  $C$ последовательности
$L_d(\gamma_i)$ удовлетворяет $L_d(\gamma) \leq C$.
Приведите пример, когда $L_d(\gamma) \neq  \lim L_d(\gamma_i)$.
\ез

\задача
Зададим функцию $d:\; \R^2 \times \R^2 \rightarrow \R^{\geq 0}$
формулой \[ d((x_1,y_1), (x_2,y_2))= |x_1-x_2| +\sqrt{|y_1-y_2|}.\]
\енум
\итем Докажите, что это метрика
\итем Докажите, что $(\R^2, \hat d)$ несвязно.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
$(M, \hat d)$ -- оно же с внутренней метрикой.
Докажите, что для каждого спрямляемого пути $\gamma$ в $(M,d)$,
\енум
\итем[!] $L_d(\gamma)\leq L_{\hat d}(\gamma)$.
\итем[!] $L_d(\gamma)\geq L_{\hat d}(\gamma)$.
\итем[!] Выведите из этого, что $\hat d=\hat{\hat d}$.
\ее
\ез

\указание
Первое следует из $d\leq \hat d$ (докажите).
Чтобы доказать второе, распишите
\begin{multline*} L_{\hat d}(\gamma) - \epsilon_1 \leq 
\sum_{i=1}^n \hat d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1})) \leq \\ \leq
\sum_{i=1}^n \left[\sum_{j=0}^{n_i-1} 
d(\gamma(x_{i,j}), \gamma(x_{i,j+1}))+\epsilon_2\right]\leq L_d(\gamma)+
n\epsilon_2,
\end{multline*}
где сумма в квадратных скобках берется 
по подходящим подразбиением отрезка $[x_i=x_{i,0},
x_{i+1}=x_{i,n_i}]$, a $\epsilon_i$ можно выбрать произвольно малым.
\еу

\определение
Метрика $d$ называется {\бф внутренней} (по-английски говорят
"intrinsic metric" или "path metric") если
$d=\hat d$.
\ео

\задача
Пусть $V$ -- векторное пространство с нормой $|\cdot|$,
а метрика $d$ на $V$ определена по формуле $d(v,v')= |v-v'|$.
Является ли эта метрика внутренней?
\ез

\задача[*]
Пусть $V$ -- векторное пространство с нормой $|\cdot|$,
а метрика $d$ на $V$ определена по формуле $d(v,v')= |v-v'|$.
Рассмотрим множество всех кратчайших, соединяющих $x$ и $y$.
Докажите, что кратчайшая всегда есть. Докажите, что она
единственна, либо множество кратчайших континуально.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\subsection{Внутренние метрики и функционалы длины}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\задача
%Пусть $M$ -- топологическое пространство с заданным на нем
%классом допустимых путей и функционалом длины $L$, а $d$ --
%индуцированная $L$ метрика. 
%\енум
%\итем Докажите, что каждый допустимый путь спрямляем 
%относительно $d$.
%\итем Пусть $L_d$ -- функционал длины, связанный с $d$.
%Докажите, что $L_d\leq L$.
%\ее
%\ез
%
%\определение
%Пусть $\gamma_i:\; N\rightarrow M$ -- последовательность
%отображений топологических
%пространств, $N$ компактно. Эта последовательность {\бф равномерно сходится}
%к $\gamma:\; N\rightarrow M$, если для любой
%окрестности $U$ графика 
%$\Gamma_\gamma\subset N\times M$,
%все графики $\Gamma_{\gamma_i}$, кроме конечного
%числа, лежат в $U$.
%\ео
%
%\определение
%Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
%классом допустимых путей и функционалом длины $L(\gamma)$.
%Функционал $L$ называется {\бф полунепрерывным снизу},
%если для любой последовательности допустимых путей
%$\gamma_i:\; [a,b]\rightarrow M$, равномерно сходящейся
%к допустимому пути $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$,
%имеем $\lim_i L(\gamma_i) \geq L(\gamma)$ для любой
%из предельных точек последовательности $L(\gamma_i)$.
%\ео
%
%\задача
%Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, 
%$L_d$ -- функционал длины на спрямляемых путях.
%Докажите, что $L_d$ полунепрерывен снизу.
%\ез
%
%\задача
%Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
%классом допустимых путей и функционалом длины $L$, а $d$ --
%индуцированная $L$ метрика. Предположим, что $L$ 
%не полунепрерывный снизу. Докажите, что существует
%допустимый путь $\gamma$ такой, что $L_d(\gamma)<L(\gamma)$.
%\ез 
%
%\задача
%Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
%классом допустимых путей и функционалом длины $L$, $d$ --
%индуцированная $L$ метрика, а $\gamma_i:\; [a,b]\rightarrow M$ --
%последовательность путей, равномерно сходящихся к 
%$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$.  Верно ли, что эта последовательность
%равномерно сходится к $\gamma$ в топологии, индуцированной $d$?
%\ез
%
%\задача[!]
%Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
%классом допустимых путей и функционалом длины $L$, $d$ --
%индуцированная $L$ метрика, а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ --
%допустимый путь.
%\енум
%\итем Докажите, что для каждого $\epsilon >0$ существует
%разбиение отрезка
%$[a,b]= [x_0=a,x_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, x_n=b]$,
%такое, что $\max_i L_d\left(\gamma\restrict{[x_i, x_{i+1}]}\right) < \epsilon$.
%\итем
%В этих условиях, пусть $\gamma_\epsilon:\;[a,b]\rightarrow M$ --
%допустимый путь, удовлетворяющий $\gamma_\epsilon(x_i)= \gamma(x_i)$
%и $L_d(\gamma_\epsilon\restrict{[x_i, x_{i+1}]}) \leq
%L_d\left(\gamma\restrict{[x_i, x_{i+1}]}\right)$. Докажите, что
%для каждого $t\in[a,b]$, имеем $d(\gamma_\epsilon(t), \gamma(t))\leq 3\epsilon$.
%\итем
%Докажите, что 
%$L_d(\gamma) = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}L(\gamma_\epsilon)$,
%где пути $\gamma_\epsilon$ выбраны как в предыдущем пункте.
%\итем
%Докажите, что $\gamma_\epsilon$ равномерно сходится к $\gamma$.
%\ее
%\ез
%
%\задача[!]
%Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
%классом допустимых путей и функционалом длины $L$, который
%полунепрерывен снизу. Докажите, что $L_d(\gamma)=L(\gamma)$
%для любого допустимого пути.
%\ез
%
%\указание
%Выведите неравенство $L_d(\gamma)\geq L(\gamma)$
%из предыдущей задачи.
%\еу
%
%\задача[!]
%Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
%классом допустимых путей и функционалом длины $L$, который
%полунепрерывен снизу, а $d$ -- связанная с ним метрика.
%Докажите, что $\hat d=d$.
%\ез
%


\end{document}
