\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-10mm}
\addtolength{\textheight}{20mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   04.09.2012
%version 1.1,\ \   07.09.2012 мелкие исправления
%version 1.2,\ \   14.09.2012, /bigcap/bigcup/
%version 1.2.1,\ \   14.09.2012, /z/x/
%version 1.2.2,\ \   19.09.2012, непрерывная
%version 1.3,\ \   20.09.2012, в задаче 1.6 пропущено ``полное''
%version 1.4,\ \   21.09.2012, много исправлений от студентов
%version 1.5,\ \   27.09.2012, еще много исправлений
%version 1.5.1, 04.10.2012, липшицевы или -\инфти (исправление в задаче 2.22)
%version 1.6, 09.02.2016, исправление от los (указание к задаче 0.9)

\newcommand{\version}{version 1.6,\ \   09.02.2016}
\newcommand{\firstdate}{08.02.2016}

%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{1}{МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1: Метрические пространства и компакты.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Метрические пространства и полнота.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Этот листочек плохо подходит для первоначального
ознакомления с понятиями метрической топологии.
Он будет полезен для тех, кто уже когда-то изучил эту науку,
и хочет освежить ее в памяти.
\еза

\begin{opredelenie} {\бф Метрическое пространство} есть множество $X$,
снабженное такой функцией $d:\; X \times X \to \R\cup \infty$, что
\begin{enumerate}
\item Для любых $x, y \in X$ имеем $d(x,y)\geq 0$, причем равенство
имеет место тогда и только тогда, когда $x=y$.

\item Симметричность: $d(x, y) = d (y, x)$

\item ``Неравенство треугольника'': для любых $x, y, z \in X$,
$$
d(x,z) \leq  d(x,y) + d(y,z).
$$
\end{enumerate}
Функция $d$, удовлетворяющая этим условиям, называется {\bf
метрикой}. Число $d(x,y)$ называется ``расстоянием между $x$ и
$y$''. {\бф Изометрия}, или {\бф изоморфизм метрических пространств}
есть биекция, сохраняющая метрику.
\end{opredelenie}

\задача
Докажите, что
$\R^n$ с обычной ("евклидовой") 
метрикой \[ d((x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n)):=
\sqrt{\sum_i(x_i-y_i)^2}\] -- метрическое пространство.
\ез

\определение
Если $x\in X$ -- точка, а $\epsilon$ -- вещественное число,
множество
$$ 
B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \  | \ \  d(x,y)< \epsilon
$$
называется {\bf (открытый) шар радиуса $\epsilon$ с центром в $x$}.
Такой шар еще называется {\bf $\epsilon$-шар}.  {\бф Замкнутый шар}
определяется как
$$ 
\overline B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \  | \ \  d(x,y)\leq \epsilon\}.
$$
\ео

\begin{opredelenie} Пусть $(X, d)$ -- метрическое
пространство, а $\{a_i\}$ -- последовательность точек из
$X$. Последовательность $\{a_i\}$ называется {\bf
последовательностью Коши}, если для каждого $\epsilon>0$ найдется
$\epsilon$-шар в $X$, содержащий все $a_i$, кроме конечного числа.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} Пусть $A$ -- подмножество в $X$.
Элемент $c\in X$ называется {\bf предельной точкой} подмножества
$A$, если в любом открытом шаре, содержащем $c$, содержится
бесконечное количество элементов $A$. Объединение $A$ и всех предельных
точек $A$ называется {\бф замыканием} $A$.
\end{opredelenie}


\begin{opredelenie} Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность точек $X$. 
Мы говорим, что $\{a_i\}$ {\bf сходится к $x\in X$}, или {\bf
имеет предел в $x$} (пишется \[ \lim_{i\to \infty} a_i =x),\] если
в любом $\epsilon$-шаре с центром в $x$ содержатся
почти все члены $\{x_i\}$
\end{opredelenie}


\begin{opredelenie}
Метрическое пространство $(X,d)$ называется {\bf полным}, если любая
последовательность Коши в $X$ имеет предел.
\end{opredelenie}


\begin{opredelenie} Подмножество $A \subset X$ метрического
пространства называется {\bf плотным}, если в каждом открытом шаре в
$X$ содержится элемент из $A$.
\end{opredelenie}

\определение
Пусть $X$ -- подмножество метрического пространства
$\bar X$. Скажем, что $\bar X$ называется {\бф пополнением}
$X$, если $X$ плотно в $\bar X$, а $\bar X$ полно.
\ео

\задача
Докажите, что пересечение замкнутых шаров в полном
метрическом пространстве полно.
\ез

\задача
Докажите, что пополнение $X$ единственно (с точностью
до изоморфизма), если оно существует. 
\ез

\задача
Докажите существование пополнения.
\ез

\определение
Подмножество $A\subset X$ метрического пространства
называется {\бф нигде не плотным}, если ни для какого
открытого шара $B_\epsilon(x)\subset X$, пересечение
$A \cap B_\epsilon(x)$ не плотно в $B_\epsilon(x)$.
\ео

\задача
Докажите, что замыкание нигде не плотного подмножества $A\subset X$
нигде не плотно.
\ез

\задача
Пусть $X$ -- континуальное, полное метрическое пространство.
Предположим, что $X$ содержит плотное, счетное подмножество.
Докажите, что у $X$ есть континуальное, нигде не плотное
подмножество.
\ез

\задача[!]
(теорема Бэра о категории)
Пусть $X$ -- полное метрическое пространство.
Докажите, что $X$ нельзя представить в виде
счетного объединения нигде не плотных подмножеств.
\ез

\задача
Докажите, что пересечение
счетного числа плотных, открытых подмножеств
полного метрического пространства $X$
плотно в $X$.
\ез

\задача[*]
Докажите, что не существует функции $f:\; \R\arrow \R$,
которая непрерывна в рациональных точках, и разрывна
в иррациональных.
\ез

\указание
Для заданного $\epsilon>0$, рассмотрим функцию
\[\rho_\epsilon(z):= \sup_\delta
\{\delta \geq 0 \ \ | \ \diam(f(B_\delta(z)))\leq \epsilon\}.
\]
Докажите, что $z\arrow \rho_\epsilon(z)$ липшицева,
и $\bigcup_\epsilon \rho_\epsilon^{-1}(0)$ -- 
множество всех точек, где $f$ разрывна. Примените
теорему Бэра.
\еу


\задача[**]
Докажите, что поточечный предел непрерывных функций
$f_i:\; \R\arrow \R$ не может быть всюду разрывен.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Топология на метрических пространствах}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{opredelenie}
Множество всех подмножеств $M$ обозначается $2^M$.
{\бф Топология} на $M$ есть набор подмножеств $S\subset
2^M$, называемых {\bf открытыми подмножествами}. 
Множество $M$ называется {\bf топологическим пространством}, 
а $S$ -- {\бф топологией} на $M$, если выполнены следующие
условия.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\item Пустое множество и само $M$ открыты.

\item Объединение любого числа открытых подмножеств открыто.

\item Пересечение конечного числа открытых подмножеств открыто.
\end{enumerate}

Отображение $\phi:\; M \arrow M'$ топологических пространств
называется {\bf непрерывным}, если прообраз каждого открытого
множества открыт. Неп\-рерывные отображения также называются {\bf
морфизмами} топологических пространств. {\bf Изоморфизм}
топологических пространств -- это такой морфизм $\phi:\; M
\arrow M'$, что существует морфизм $\psi:\; M' \arrow M$, обратный к
$\phi$ (т.е. $\phi\circ \psi $ и $\psi\circ \phi $ -- тождественные
морфизмы). Изоморфизм топологических пространств традиционно
называется {\bf гомеоморфизмом}.

Подмножество $Z\subset M$ называется {\bf замкнутым}, если его
дополнение открыто. {\bf Окрестность} точки $x\in M$ -- это любое
открытое подмножество $M$, которое ее содержит. {\bf Окрестность}
подмножества $Z\subset M$ -- это любое открытое подмножество $М$,
которое его содержит.
\ео

\begin{opredelenie} Пусть $M$ -- метрическое пространство, $X\subset M$
подмножество. Подмножество $X$ называется {\bf открытым}, если оно
вместе с каждой точкой содержит некоторый $\epsilon$-шар с центром в
этой точке, и {\bf замкнутым}, если дополнение к $X$ открыто.
\end{opredelenie}

\замечание 
Таким образом, на каждом метрическом пространстве определяется
{\бф топология, индуцированная метрикой}.
\еза

\замечание Топологическое пространство называется
{\бф хаусдорфовым}, если у любых двух точек
$x\neq y$ найдутся непересекающиеся окрестности. 
В дальнейшем, все топологические пространства по умолчанию
предполагаются хаусдорфовыми.
\еза

\задача
Пусть $M$ -- метрическое пространство. Докажите, что
индуцированная на нем топология хаусдорфова.
\ез

\задача
Докажите, что отображение метрических пространств непрерывно
тогда и только тогда, когда сходящиеся последовательности
переводятся в сходящиеся последовательности, а пределы в пределы.
\ез

\определение
Отображение $f:\; M \arrow N$ метрических пространств называется
{\бф непрерывным в точке $x$}, если образ любой последовательности,
сходящейся к $x$, сходится к $f(x)$.
\ео


\begin{opredelenie} Пусть $X\subset M$ --
подмножество, а $U_i\subset M$ -- набор открытых
подмножеств. Говорят, что $U_i$ -- {\bf покрытие $X$}, если $X
\subset \bigcup U_i$. Если из $\{U_i\}$ выкинуть какое-то количество
открытых множеств, и оно останется покрытием, то, что получится,
называется {\bf подпокрытие}.
\end{opredelenie}


\begin{opredelenie} Пусть $M$ -- топологическое пространство. 
\begin{itemize}
\item $M$ -- {\bf компакт}, или
{\bf компактное множество}, если из любого 
покрытия $M$ можно выбрать конечное подпокрытие.

\item $M$ -- {\бф секвенциальный компакт}, если
у любой последовательности есть сходящаяся подпоследовательность.

\item $M$ -- {\бф  псевдокомпакт}, если каждая
непрерывная функция $f:\; M \arrow \R$ ограниченна.
\end{itemize}
\ео

\замечание
Для метрических пространств, все эти определения эквивалентны;
доказательство см. дальше в листочке.
\еза

\задача
Пусть $M$ -- псевдокомпакт. Докажите, что любая непрерывная
функция $f:\; M \arrow \R$ принимает значение $\sup f$ на $M$
\ез

\указание
Проверьте, что функция $\frac 1 {C -f}$
непрерывна в тех точках, где $f\neq C$,
и примените определение псевдокомпактности к $C=\sup f$.
\еу


\задача
Пусть -- секвенциально компактное топологическое пространство.
Докажите, что оно псевдокомпактно.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$\epsilon$-сети}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
{\бф $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$
есть такое множество $N\subset M$, что объединение
$\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$.
Метрическое пространство называется {\бф вполне ограниченным},
если для любого $\epsilon>0$ в $M$ найдется конечная
$\epsilon$-сеть.
\ео

\задача[*]
Пусть $M$ -- вполне ограниченное метрическое пространство.
Верно ли, что из любой $\epsilon$-сети можно выбрать конечное
подмножество, которое тоже будет $\epsilon$-сетью?
\ез

\определение
$\epsilon$-сеть $N$ называется {\бф $\delta$-разделенной}, если
для любых $a\neq b\in N$, имеем $d(a,b)\geq \delta$.
\ео

\задача
\label{_2epsilon_net_epsilon_razd_Zadacha_}
Пусть $N$ -- $\epsilon$-сеть в метрическом пространстве.
Докажите, что из $N$ можно выбрать $\epsilon$-разделенную $2\epsilon$-сеть
(иначе говоря, какое-то подмножество $N$ является 
$\epsilon$-разделенной $2\epsilon$-сетью).
\ез

\задача
\label{_delta_razd_then_finite_Zadacha_}
Пусть $M$ -- вполне ограниченное метрическое пространство,
а $N$ -- $\delta$-разделенная $\epsilon$-сеть. Докажите, что 
$N$ конечна. 
\ез

\указание
Выберите в $M$ конечную $\frac \delta 2$-сеть $N'$, и докажите, что
в каждом $\frac \delta 2$-шаре с центром в $N'$ содержится не больше 
одного элемента $N$.
\еу

\задача[!]
Пусть $N$ -- $\epsilon$-сеть во вполне ограниченном
пространстве. Докажите, что из нее можно выбрать
конечную $2\epsilon$-сеть.
\ез

\указание
Используйте задачу \ref{_2epsilon_net_epsilon_razd_Zadacha_}
и задачу \ref{_delta_razd_then_finite_Zadacha_}.
\еу

\задача
Пусть $M$ -- секвенциально компактное метрическое пространство.
Докажите, что оно 
\енум
\итем вполне ограниченно.
\итем полно.
\ее
\ез

\задача
Пусть $M$ -- полное, вполне ограниченное метрическое пространство.
Докажите, что оно секвенциально компактно.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Гейне-Бореля}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $(M_1, d_1)$ и $(M_2, d_2)$ - метрические
пространства, а $C>0$ - вещественное число. 
Отображение $f:\; M_1 \arrow M_2$ называется {\bf 
$C$-липшицевым}, если для любых
$x, y\in M_1$, 
\[
d_2(f(x),f(y)) \leq C d_1 (x, y).
\]
Функция $M \arrow \R$ на метрическом пространстве
называется $C$-липшицевой, если соответствующее
отображение $C$-липшицево относительно естественной
метрики на $M$ и $\R$.
\ео

\замечание
Липшицевы функции непрерывны.
\еза

\задача
Докажите, что расстояние $d_z(x) := d(z,x)$ 
до фиксированной точки $z\in M$ - 1-липшицева функция.
\ез

\задача[!]
Докажите, что инфимум набора $C$-липшицевых функций, заданных
на метрическом пространстве с конечной метрикой -- это 
$C$-липшицева функция либо $-\infty$.
\ез

\задача
Пусть $Z\subset M$ -- замкнутое подмножество в метрическом
пространстве, а $d(x,Z):= \inf_{z\in Z}d(x,z)$.
Докажите, что $d(x,Z)$ -- 1-липшицева функция от $x$.
\ез

\задача
Пусть $\{f_i:\; M \arrow \R\}$ -- последовательность
непрерывных функций на топологическом пространстве
$M$, таких, что $|f_i| \leq C$. Следует ли из этого, что функция 
$F(z):= \inf_i f_i(z)$ непрерывна?
\ез

\задача
Пусть $\{x_i\}$ -- последовательность попарно различных
точек в метрическом пространстве, не имеющая сходящихся
подпоследовательностей, а $f(y):=\inf_i(d_{x_i}(y)+\frac 1 i)$.
Докажите, что $f>0$, но не достигает минимума.
\ез

\задача[!]
Докажите, что псевдокомпактность равносильна секвенциальной компактности.
\ез


\задача
Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие метрического пространства $M$,
а \[ \delta(x):= \sup_i(d(x, M\backslash U_i)).\]
Докажите, что функция $\delta$ непрерывна и положительна.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- псевдокомпактное метрическое пространство,
$\{U_i\}$ -- его покрытие, а $\delta(x)$ -- функция, определенная
выше. Докажите, что $\delta(x)> \epsilon$ для какого-то 
вещественного числа $\epsilon >0$.
\ез

\задача
Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие метрического пространства.
Докажите, что множество вещественных чисел $\epsilon\geq 0$, таких,
что для любой точки $x\in M$, $\epsilon$-шар
с центром в $x$ целиком содержится в одном из $U_i$, есть отрезок вида
$[0, \delta]$, $[0, \delta[$, где $\delta \in [0, \infty]$.
\ез

\замечание
Число $\delta$ из предыдущей задачи
называется {\бф числом Лебега} покрытия, обозначается
$\delta(\{U_i\})$.
\еза

\задача[!]
(лемма Лебега) Пусть $M$ -- псевдокомпактное метрическое пространство,
а $\{U_i\}$ его покрытие. Докажите, что $\delta(\{U_i\})>0$.
\ез



\задача
Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие $M$, $\epsilon:=\delta(\{U_i\})>0$.
\енум
\итем 
Докажите, что существует $\epsilon$-сеть $\{x_\alpha\}$ такая, что
каждый $B_\epsilon(x_\alpha)$ содержится в каком-то из $U_i$.
\итем Докажите, что если 
$M$ вполне ограничено, а  $\epsilon:=\delta(\{U_i\})>0$,
из $\{U_i\}$ можно выбрать конечное подпокрытие.
\ее
\ез

\задача[!]
Выведите из псевдокомпактности компактность.
\ез

\указание
Воспользуйтесь леммой Лебега и предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $M$ -- метрическое пространство.
Докажите равносильность следующих условий.
\begin{enumerate}
\item $M$ компактно.
\item $M$ секвенциально компактно
\item $M$ псевдокомпактно
\item $M$ полно и вполне ограниченно.
\end{enumerate}
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство,
а $\phi:\; M \arrow M$ -- изометрическое вложение.
Докажите, что $\phi$  биективно.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство,
а $\phi:\; M \arrow M$ -- сюрьективное, 1-липшицево
отображение. Докажите, что это изометрия.
\ез

\задача[*]
Пусть  $M$ -- компактное метрическое пространство,
а $\phi:\; M \arrow M$ -- непрерывное отображение, удовлетворяющее
условию $d(f(x),f(y))\geq d(x,y)$ для всех $x,y\in M$.
Докажите, что это изометрия.
\ез


\end{document}
