\documentclass[11pt]{book} \usepackage{amsmath, url, amssymb, theorem, fancyhdr, russcorr, russlh, epsfig} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 06.03.2016} \setlength{\headheight}{15pt} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2016, лекция 5} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % equations % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} %\@addtoreset{footnote}{section} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % listki-new.tex % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Spec{\operatorname{\sf Spec}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{upshape} \newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter] \begingroup \gdef\th@generic{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{generic} \newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение} \newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание} \newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание} \renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.} \newcommand{\listok}[2]{% \setcounter{page}{1} \renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil} \renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil} \section*{#2} \refstepcounter{section} \setcounter{section}{#1} } \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Chapter % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\chapter}{% \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred} \def\ChapterNumbered[#1]#2{% \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1} \refstepcounter{chapter} { \vspace{\baselineskip} \chaptermark{#2} { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}} } \vspace{\baselineskip} } \newcommand{\ChapterStarred}[1]{% \refstepcounter{chapter} \chaptermark{#1}% \vspace{\baselineskip}} \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}} \newcommand{\упражнение}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\следствие}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\пример}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\лемма}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\теорема}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\утверждение}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\дшаг}{{\бф Доказательство. Шаг 1: }} \newcommand{\ендпрооф}{{\endproof}} \newcommand{\доказательство}{{\бф Доказательство: }} \def\хфилл{\hfill} \def\ноиндент{\noindent} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\смалл{\small} \def\ит{\it} \def\задача{\begin{zadacha}} \def\ез{\end{zadacha}} \def\замечание{\begin{zamechanie}} \def\еза{\end{zamechanie}} \def\указание{\begin{ukazanie}} \def\еу{\end{ukazanie}} \def\eu{\end{ukazanie}} \def\определение{\begin{opredelenie}} \def\ео{\end{opredelenie}} \def\eo{\end{opredelenie}} \def\goth{\mathfrak} \def\енум{\begin{enumerate}} \def\ее{\end{enumerate}} \def\ee{\end{enumerate}} \def\итем{\item $\bullet$ } \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{4} \lhead{{\scriptsize Метрическая геометрия, лекция 5: углы и конус}} \chapter{Метрическая геометрия, лекция 5:\\ углы и конус} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Углы и конусы: введение} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Понятие угла между путями переносится на случай метрических пространств практически без затруднений. Эта конструкция принадлежит А. Д. Александрову. Используя понятие угла, можно определить ``равнонаправленные пути'' как пути, угол между которыми в данной точке равен нулю. В этой лекции я докажу, что угол определяет метрику на ``пространстве направлений'', которое можно определить как пространство классов эквивалентности равнонаправленных путей. Что интересно, существует и обратная конструкция: каждое пространство $X$ с диаметром не больше, чем $\pi$, является пространством направлений для метрического пространства $C(X)$, которое называется {\бф конусом} $X$ и устроено как произведение $X$ и луча $[0, \infty[$, с $X\times \{0\}$ стянутым в точку, и с метрикой, такой, что естественное действие группы $\R^{>0}$ на $C(X)$ определяет гомотетию. В этой лекции я расскажу обе конструкции. Понятие угла играет центральную роль в геометрии Александрова, ибо на нем основаны два из множества эквивалентных определений пространств Александрова, и соответствующая версия CAT-неравенства чрезвычайно проста для проверки. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Углы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве $(M,d)$. Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой. {\бф Треугольник сравнения} $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$, и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$, и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности). Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике $\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$; он называется {\бф углом сравнения}. \ео \определение Пусть $\gamma_1:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma_2:\; [0,b]\arrow M$ -- два пути в метрическом пространстве $M$, $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p$. {\бф Угол} между путями $\gamma_1, \gamma_2$ в $p$ есть число \[ \measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2):= \lim_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)), \] если такой предел существует (в противном случае, говорится, что {\бф угол между $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не существует}). {\бф Верхний угол} есть \[ \measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_2):= \operatorname{{\lim\sup}}\limits_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)), \] где $\lim\sup$ обозначает супремум всех предельных точек последовательностей $\theta(\gamma_1(t_i), p, \gamma_2(s_j))$, для всех $t_i, s_j$ сходящихся к 0. \ео \задача Проверьте, что угол между гладкими путями в $\R^n$ существует и равен углу между их касательными. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание\label{_geode_ugol_Zamechanie_} Пусть $\gamma:\; :\; [0,a]\arrow M$ -- кратчайшая, наделенная геодезической параметризацией, а $\gamma(0)=p$. Тогда угол $\measuredangle_{\sup}(\gamma, p, \gamma)$ существует и равен нулю. Действительно, для любой тройки точек $a, b, p$ на кратчайшей, неравенство треугольника $d(a, p)+ d(a, b)\geq d(p, b)$ превращается в равенство, если $a$ ближе к $p$, чем $b$. Но в этом случае, в соответствующем треугольнике сравнения угол при $p$ равен 0, что дает $\theta(a, p, b)=0$. \еза \теорема Пусть $\gamma_i:\; [0,a]\arrow M$ -- пути в $M$, Тогда верно {\бф неравенство треугольника для верхних углов:} \[\measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_2) + \measuredangle_{\sup}(\gamma_2, p, \gamma_3) \geq \measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_3). \] \дшаг Пусть $\gamma_i(0)=p$, $a=\gamma_1(s), b=\gamma_3(t)$, $c=\gamma_2(u)$. Рассмотрим треугольники сравнения $\triangle(\bar p,\bar a,\bar c)$ и $\triangle(\bar p,\bar c,\bar b)$, и нарисуем их на плоскости, с общей стороной $| \bar p,\bar c|$, чтобы они лежали по разные стороны от прямой $(\bar p,\bar c)$.\\ \centerline{\epsfig{file=angle-inequality.eps,width=0.35\linewidth}}\\ В силу непрерывности $d(p, \gamma_2(u))$, для любых заданных $s,t$, можно подобрать $u$ таким образом, что $\bar c$ лежит на отрезке $[\bar a, \bar b]$. \хфилл {\бф Шаг 2:} Из рассмотрения треугольников сравнения\\ \centerline{\epsfig{file=angle-inequality-flat.eps,width=0.35\linewidth}}\\ убеждаемся, что \[ \theta(a,p,b)+\theta(b,p,c)= \measuredangle(\bar a,\bar p, \bar c)= \arccos\left(\frac{s^2+t^2-|\bar a,\bar c|^2}{2st}\right) \] где $s=d(p,a)$ и $t=d(p,c)$. \хфилл {\бф Шаг 3:} По определению, $|\bar a,\bar c|= |\bar a,\bar b|+|\bar b,\bar c|= d(a,b)+d(b,c)\geq d(a,c)$. В силу монотонности арккосинуса, получаем \[ \measuredangle(\bar a,\bar p, \bar c)= \arccos\left(\frac{s^2+t^2-|\bar a,\bar c|^2}{2st}\right) \geq \arccos\left(\frac{s^2+t^2-d(a,c)^2}{2st}\right)= \theta(a,p,c). \] {\бф Шаг 4:} Сравнивая формулы, полученные в шаге 2 и шаге 3, получаем $\theta(a,p,b)+\theta(b,p,c)\geq\theta(a,p,c)$; неравенство для $\measuredangle_{\sup}$ следует немедленно. \ендпрооф %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Пространство направлений} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Путь $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ {\бф имеет направление}, если угол $\measuredangle(\gamma, \gamma(0),\gamma)$ существует. Пути $\alpha, \beta:\; [0,a]\arrow M$, $\alpha(0)=\beta(0)=p$ {\бф имеют одинаковое направление}, если $\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)=0$. \ео \замечание В силу неравенства треугольника для углов, отношение <<$\alpha\sim \beta$, если $\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)=0$>> задает отношение эквивалентности $\sim$ на множестве всех путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma(0)=p$, имеющих направление. \еза \определение {\бф Пространство направлений} в точке $p$ есть множество классов эквивалентности путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma(0)=p$, имеющих направление, по отношению $\sim$. \ео \утверждение Функция $\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)$ задает метрику на пространстве направлений. \ендпрооф \замечание В силу Замечания \ref{_geode_ugol_Zamechanie_}, кратчайшая всегда имеет направление. Для многих практических целей, полезно определить пространство направлений не так, как определено выше, а как пространство направлений всех кратчайших. В разумной ситуации (скажем, для полиэдральных пространств) эти два определения эквивалентны. \еза Следующее упражнение довольно сложное. \задача Пусть $M$ -- полное, локально компактное пространство с внутренней метрикой. Докажите, что каждый путь, имеющий направление, экивалентен кратчайшей. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Конус пространства с $\diam \leq \pi$ } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Понятие "конуса" соответствует нашему интуитивному представлению о конусе, натянутом на метрическое пространство. Так, например, конус над сферой $S^n$ это $\R^{n+1}$, а если $X\subset S^n$ -- подмножество сферы, то его конус -- объединение всех лучей в $\R^{n+1}$ с началом в 0, проходящих через $X$. Докажите это утверждение после того, как вы прочтете раздел. \определение {\бф Диаметр} метрического пространства $M$ есть число $\diam(M):=\sup_{x,y\in M}d(x,y)$. \ео \определение Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $\diam X\leq \pi$. Рассмотрим топологическое пространство $C(X)$ с топологией фактора, полученное из $X\times [0,\infty[$ склеиванием $X\times\{0\}$ в точку. Определим функцию $d_C:\; C(X)\times C(X)\arrow \R^{>0}$ по формуле \[d(p,q)= \sqrt{t^2+s^2 -2ts\cos(d(x,y))}, \] где $p=(x,t), q=(y,s)$. В скором времени будет доказано, что $d_C$ есть метрика. Пространство $C(X)$ с вышеописанной метрикой называется {\бф метрическим конусом}, или просто {\бф конусом} над $X$. \ео \замечание Это определение имеет следующий геометрический смысл. Если $p, q$ соединены кратчайшей в $X$, мы рисуем кратчайшую $A$ такой же длины на единичной окружности. Ее конус есть угловой сектор в $\R^2$, который высекает $A$. Расстояния в этом секторе определяются обычным образом как на подмножестве в $\R^2$. Если в $X$ нет кратчайшей, соединяющей $p$ и $q$, мы вкладываем лучи $\{p\}\times \R^{\geq 0}$ и $\{q\}\times \R^{\geq 0}$, натянутые на $p$ и $q$, в $\R^2$, таким же образом, и считаем расстояния между $\{p\}\times x$ и $\{q\}\times y$ по той же формуле, как если бы кратчайшая существовала. \еза \теорема Функция $d_C$ удовлетворяет неравенству треугольника. \замечание Проще всего это увидеть, если любые две точки $X$ соединены кратчайшими. В этом случае любые две точки $C(X)$ лежат на конусе над отрезком, который изометричен области в $\R^2$, ограниченной двумя расходящимися лучами, любые три точки лежат на полиэдральном пространстве, полученном склеиванием таких углов по границам, и неравенство треугольника достаточно проверить на этом пространствем где оно очевидно. \еза \дшаг Пусть $(\alpha,t), (\beta,s)$ -- точки в конусе $C(X)$, а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$ -- треугольник сравнения со сторонами $t,s$ и углом $\measuredangle(\bar a,\bar 0,\bar b)=d(\alpha,\beta)$. Тогда $d_C(a,b)=|\bar a, \bar b|$. \хфилл {\бф Шаг 2:} Пусть $a=(\alpha,r), b=(\beta,s), c=(\gamma, t)$ -- три точки на $C(X)$, а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$, $\triangle(\bar 0, \bar b,\bar c)$ соответствующие треугольники сравнения, с общей стороной $[\bar 0,\bar b]$, и отложенные по разные стороны от $(\bar 0, \bar b)$.\\ \centerline{\epsfig{file=cone-inequality.eps,width=0.35\linewidth}}\\ Тогда $d_C(a,c)\leq|\bar a,\bar c|\leq|\bar a, \bar b|+|\bar b, \bar c| =d_C(a,b)+d_C(b,c)$. \ендпрооф \хфилл Следующие свойства конуса очевидны. \begin{enumerate} \item Для каждого $x\in X$, путь $\gamma:\; [0,a] \arrow C(X)$, переводящий $a$ в $(x,a)$ -- кратчайшая. \item Пусть $x,y\in X$, а $\gamma_1:=(x,[0,a])$, $\gamma_2:=(y,[0,b])\subset C(X)$ -- соответствующие кратчайшие в конусе. Тогда $\measuredangle(\gamma_1,0,\gamma_2)=d(x,y)$. \item Конус над отрезком длины $\alpha$ изометричен плоскому углу в $\R^2$ величины $\alpha$. \end{enumerate} \утверждение Предположим, что $X$ -- пространство с внутренней метрикой и кратчайшими.Тогда метрика на $C(X)$ -- тоже внутренняя и с кратчайшими. \hfill \дшаг Для каждой кратчайшей $\gamma \in X$, конус $C(\gamma)$ изометричен плоскому углу, значит, метрика на $C(\gamma)$ внутренняя и с кратчайшими. \hfill {\бф Шаг 2:} Любые две точки на конусе лежат на $C(\gamma)$ для подходящей кратчайшей $\gamma$. \ендпрооф %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Конус пространства с $\diam \geq \pi$ } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Иногда бывает полезно определить конус и для пространства диаметра больше $\pi$. Такой простой геометрической интерпретации, как для $\diam \leq \pi$, у него нет, но группа гомотетий у такого конуса тоже содержит $\R^{>0}$, и многие другие полезные свойства сохраняются. Среди прочего, нетрудно доказать, что каждое полиэдральное метрическое пространство локально изометрично конусу. Докажите это утверждение после того, как вы прочтете раздел, и придумайте пример полиэдрального пространства, для которого конус имеет $\diam \geq \pi$. \замечание Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $a>0$, а $d_a(x,y) = \min(d(x,y),a)$. Тогда $d_a$ -- тоже метрика. Доказательство см. в лекции 2. \еза \определение Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $d_\pi$ -- метрика на $X$, определенная выше. Определим {\бф конус $(C(X),d_C)$} как конус над $(X,d_\pi)$. \ео \утверждение Пусть $(X,d)$ -- пространство с внутренней метрикой и кратчайшими. Тогда метрика $d_C$ на $C(X)$ тоже внутренняя и с кратчайшими. \хфилл \дшаг Для каждой кратчайшей $\gamma \in X$ длины $\alpha\leq \pi$, конус $C(\gamma)$ изометричен плоскому углу величины $\alpha$. Поэтому любые две точки $(a,s)$ и $(b,t)$ с $d(a,b)\leq \pi$ можно соединить кратчайшей. \хфилл {\бф Шаг 2:} Если $(a,s)$ и $(b,t)$ точки, для которых $d_\pi(a,b)=\pi$, расстояние между ними есть $s+t$, а соответствующая кратчайшая -- отображение $\gamma:\; [-s,t]\arrow C(X)$, полученное объединением сегментов \begin{align*}\lambda \mapsto (a, \lambda), &\lambda\in[-s,0]\\ \lambda \mapsto (b, \lambda), &\lambda\in[0,t]. \ \ \ \ендпрооф \end{align*} Такие конусы часто возникают в полиэдральных пространствах. Вырезав из листа бумаги сектор с углом $2х\pi$, $0