\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, url, amssymb, theorem, fancyhdr, russcorr, russlh, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   06.03.2016}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2016,
лекция 5} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
%\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             


\newcommand{\упражнение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\newcommand{\дшаг}{{\бф Доказательство. Шаг 1: }}
\newcommand{\ендпрооф}{{\endproof}}
\newcommand{\доказательство}{{\бф Доказательство: }}


\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\смалл{\small}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ } 

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{4}
\lhead{{\scriptsize Метрическая геометрия, лекция 5: углы и конус}}
\chapter{Метрическая геометрия,  лекция 5:\\  углы и конус}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Углы и конусы: введение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Понятие угла между путями переносится на случай
метрических пространств практически без затруднений.
Эта конструкция принадлежит А. Д. Александрову.

Используя понятие угла, можно определить 
``равнонаправленные пути'' как  пути,
 угол между которыми в данной точке равен нулю.
В этой лекции я докажу, что угол определяет метрику
на ``пространстве направлений'', которое можно определить
как пространство классов эквивалентности равнонаправленных
путей.  

Что интересно, существует и обратная конструкция:
каждое пространство $X$ с диаметром не больше, чем $\pi$,
является пространством направлений для метрического пространства
$C(X)$, которое называется {\бф конусом} $X$ и устроено как
произведение $X$ и луча $[0, \infty[$, с $X\times \{0\}$
стянутым в точку, и с метрикой, такой, что естественное 
действие группы $\R^{>0}$ на $C(X)$ определяет
гомотетию.

В этой лекции я расскажу обе конструкции.
Понятие угла играет центральную роль в геометрии Александрова,
ибо на нем основаны два из множества эквивалентных определений
пространств Александрова, и соответствующая версия CAT-неравенства 
чрезвычайно проста для проверки.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Углы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве
$(M,d)$. Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается
метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой.
{\бф Треугольник сравнения} 
$\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник
в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$,
и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$,
и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, 
существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности).
Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике
$\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$;
он называется {\бф углом сравнения}.
\ео

\определение
Пусть $\gamma_1:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma_2:\; [0,b]\arrow M$ --
два пути в метрическом пространстве $M$, $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p$. 
{\бф Угол} между путями $\gamma_1, \gamma_2$ в $p$ есть число
\[
\measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2):=
\lim_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)),
\]
если такой предел существует (в противном случае, говорится, что
{\бф  угол между $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не существует}).
{\бф Верхний угол} есть
\[
 \measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_2):=
\operatorname{{\lim\sup}}\limits_{t,s\rightarrow 0} 
\theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)),
\]
где  $\lim\sup$ обозначает супремум всех предельных точек
последовательностей $\theta(\gamma_1(t_i), p, \gamma_2(s_j))$,
для всех $t_i, s_j$ сходящихся к 0. 
\ео

\задача
Проверьте, что  угол между гладкими путями в $\R^n$ существует
и равен углу между их касательными.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\замечание\label{_geode_ugol_Zamechanie_}
Пусть  $\gamma:\; :\; [0,a]\arrow M$ -- кратчайшая,
наделенная геодезической параметризацией, а $\gamma(0)=p$.
Тогда угол  $\measuredangle_{\sup}(\gamma, p, \gamma)$ существует
и равен нулю. Действительно, для любой тройки точек $a, b, p$ на
кратчайшей, неравенство треугольника $d(a, p)+ d(a, b)\geq d(p, b)$
превращается в равенство, если $a$ ближе к $p$, чем $b$.
Но в этом случае, в соответствующем треугольнике сравнения
угол при $p$ равен 0, что дает $\theta(a, p, b)=0$.
\еза


\теорема
Пусть $\gamma_i:\; [0,a]\arrow M$ -- пути в $M$, 
Тогда верно {\бф  неравенство треугольника для верхних углов:}
\[\measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_2) + 
   \measuredangle_{\sup}(\gamma_2, p, \gamma_3) \geq 
   \measuredangle_{\sup}(\gamma_1, p, \gamma_3).
\]
\дшаг
Пусть
$\gamma_i(0)=p$, $a=\gamma_1(s), b=\gamma_3(t)$, $c=\gamma_2(u)$.
Рассмотрим треугольники  сравнения $\triangle(\bar p,\bar a,\bar c)$
и $\triangle(\bar p,\bar c,\bar b)$, и нарисуем их на плоскости,
с общей стороной $| \bar p,\bar c|$, чтобы они лежали по разные стороны
от прямой $(\bar p,\bar c)$.\\
\centerline{\epsfig{file=angle-inequality.eps,width=0.35\linewidth}}\\
В силу непрерывности $d(p, \gamma_2(u))$, 
для любых заданных $s,t$, можно подобрать $u$
таким образом, что $\bar c$ лежит на отрезке $[\bar a, \bar b]$.

\хфилл

{\бф  Шаг 2:} Из рассмотрения треугольников сравнения\\
\centerline{\epsfig{file=angle-inequality-flat.eps,width=0.35\linewidth}}\\
убеждаемся, что 
\[ \theta(a,p,b)+\theta(b,p,c)=
   \measuredangle(\bar a,\bar p, \bar c)=
\arccos\left(\frac{s^2+t^2-|\bar a,\bar c|^2}{2st}\right)
\]
где $s=d(p,a)$ и $t=d(p,c)$. 

\хфилл

{\бф  Шаг 3:} 
По определению, $|\bar a,\bar c|= |\bar a,\bar b|+|\bar
b,\bar c|= d(a,b)+d(b,c)\geq d(a,c)$.
В силу монотонности арккосинуса,
получаем
\[
\measuredangle(\bar a,\bar p, \bar c)=
\arccos\left(\frac{s^2+t^2-|\bar a,\bar c|^2}{2st}\right)
\geq \arccos\left(\frac{s^2+t^2-d(a,c)^2}{2st}\right)=
\theta(a,p,c).
\]
{\бф  Шаг 4:}  Сравнивая формулы, полученные в шаге 2
и шаге 3, получаем
$\theta(a,p,b)+\theta(b,p,c)\geq\theta(a,p,c)$;
неравенство для $\measuredangle_{\sup}$ следует немедленно.
\ендпрооф


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Пространство направлений}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\определение
Путь $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ {\бф  имеет направление},
если угол $\measuredangle(\gamma, \gamma(0),\gamma)$
существует. Пути $\alpha, \beta:\;  [0,a]\arrow M$,
$\alpha(0)=\beta(0)=p$ 
{\бф  имеют одинаковое направление}, если
$\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)=0$.
\ео


\замечание
В силу неравенства треугольника
для углов, отношение <<$\alpha\sim \beta$, если
$\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)=0$>>  задает отношение
эквивалентности $\sim$ на множестве всех путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$,
$\gamma(0)=p$, имеющих направление.
\еза


\определение
{\бф Пространство направлений} в точке $p$ есть 
множество классов эквивалентности путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$,
$\gamma(0)=p$, имеющих направление, по отношению $\sim$. 
\ео


\утверждение
Функция $\measuredangle_{\sup}(\alpha, p,\beta)$
задает метрику на пространстве направлений.
\ендпрооф

\замечание
В силу Замечания \ref{_geode_ugol_Zamechanie_},
кратчайшая всегда имеет направление. Для многих
практических целей, полезно определить пространство
направлений не так, как определено выше, а
как пространство направлений всех кратчайших.
В разумной ситуации (скажем, для полиэдральных
пространств) эти два определения эквивалентны.
\еза

Следующее упражнение довольно сложное.

\задача
Пусть $M$ -- полное, локально компактное пространство с 
внутренней метрикой. Докажите, что каждый путь, имеющий
направление, экивалентен кратчайшей.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Конус пространства с $\diam \leq \pi$ }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Понятие "конуса" соответствует нашему интуитивному представлению
о конусе, натянутом на метрическое пространство. Так, например,
конус над сферой $S^n$ это $\R^{n+1}$, а если 
$X\subset S^n$ -- подмножество сферы, то его конус -- объединение
всех лучей в $\R^{n+1}$ с началом в 0, проходящих через $X$.

Докажите это утверждение после того, как вы прочтете раздел.

\определение
{\бф Диаметр} метрического пространства $M$ есть число
$\diam(M):=\sup_{x,y\in M}d(x,y)$.
\ео


\определение
Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $\diam X\leq \pi$.
Рассмотрим топологическое пространство $C(X)$ с топологией фактора,
полученное из $X\times [0,\infty[$ склеиванием $X\times\{0\}$
в точку.  Определим функцию $d_C:\; C(X)\times C(X)\arrow \R^{>0}$ по формуле
\[d(p,q)= \sqrt{t^2+s^2 -2ts\cos(d(x,y))},
\]
где $p=(x,t), q=(y,s)$.
В скором времени будет доказано, что $d_C$ есть метрика.
Пространство $C(X)$ с вышеописанной метрикой называется
{\бф метрическим конусом}, или просто {\бф конусом} над $X$.
\ео

\замечание
Это определение имеет следующий геометрический смысл.
Если $p, q$ соединены кратчайшей в $X$, мы рисуем 
кратчайшую $A$ такой же длины на единичной окружности. Ее 
конус есть угловой сектор в $\R^2$, который высекает $A$.
Расстояния в этом секторе определяются обычным образом
как на подмножестве в $\R^2$. Если в $X$ нет кратчайшей,
соединяющей $p$ и $q$, мы вкладываем лучи $\{p\}\times \R^{\geq 0}$
и $\{q\}\times \R^{\geq 0}$,
натянутые на $p$ и $q$, в $\R^2$, таким же образом,
и считаем расстояния между $\{p\}\times x$ и $\{q\}\times y$ 
по той же формуле, как если бы кратчайшая
существовала.
\еза

\теорема
Функция $d_C$ удовлетворяет неравенству
треугольника.

\замечание
Проще всего это увидеть, если любые две точки $X$ соединены
кратчайшими. В этом случае любые две точки $C(X)$ лежат
на конусе над отрезком, который изометричен 
области в $\R^2$, ограниченной двумя расходящимися лучами,
любые три точки лежат на полиэдральном пространстве, полученном склеиванием
таких углов по границам, и неравенство треугольника
достаточно проверить на этом пространствем где оно очевидно.
\еза

\дшаг
Пусть $(\alpha,t), (\beta,s)$ -- точки в конусе $C(X)$, а 
$\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$ -- треугольник сравнения
со сторонами $t,s$ и углом 
$\measuredangle(\bar a,\bar 0,\bar b)=d(\alpha,\beta)$.
Тогда $d_C(a,b)=|\bar a, \bar b|$.

\хфилл

{\бф Шаг 2:}
Пусть $a=(\alpha,r), b=(\beta,s), c=(\gamma, t)$ -- три точки на $C(X)$,
а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$, $\triangle(\bar 0, \bar b,\bar c)$ 
соответствующие треугольники сравнения, с общей стороной
$[\bar 0,\bar b]$, и отложенные по разные стороны от $(\bar 0, \bar b)$.\\
\centerline{\epsfig{file=cone-inequality.eps,width=0.35\linewidth}}\\
Тогда $d_C(a,c)\leq|\bar a,\bar c|\leq|\bar a, \bar
b|+|\bar b, \bar c| =d_C(a,b)+d_C(b,c)$. \ендпрооф

\хфилл

Следующие свойства конуса очевидны.

\begin{enumerate}

\item Для каждого $x\in X$, 
путь $\gamma:\; [0,a] \arrow C(X)$, переводящий
$a$ в $(x,a)$ -- кратчайшая.

\item Пусть $x,y\in X$, а $\gamma_1:=(x,[0,a])$, 
$\gamma_2:=(y,[0,b])\subset C(X)$ -- соответствующие
кратчайшие в конусе. Тогда 
$\measuredangle(\gamma_1,0,\gamma_2)=d(x,y)$.

\item Конус над отрезком длины $\alpha$ изометричен
плоскому углу в $\R^2$ величины $\alpha$.
\end{enumerate}


\утверждение
Предположим, что $X$ -- пространство с внутренней
метрикой и кратчайшими.Тогда метрика на $C(X)$ --
тоже внутренняя и с кратчайшими.

\hfill

\дшаг Для каждой кратчайшей $\gamma \in X$, конус
$C(\gamma)$ изометричен плоскому углу, значит,
метрика на $C(\gamma)$ внутренняя и с кратчайшими.

\hfill

{\бф  Шаг 2:}  Любые две точки на конусе
лежат на $C(\gamma)$ для подходящей кратчайшей $\gamma$.
\ендпрооф


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Конус пространства с $\diam \geq \pi$ }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Иногда бывает полезно определить конус и для
пространства диаметра больше $\pi$. Такой простой геометрической
интерпретации, как для $\diam \leq \pi$, у него нет, но
группа гомотетий у такого конуса тоже содержит $\R^{>0}$,
и многие другие полезные свойства сохраняются.

Среди прочего, нетрудно доказать, что каждое полиэдральное
метрическое пространство локально изометрично конусу. 

Докажите это утверждение после того, как вы прочтете раздел,
и придумайте пример полиэдрального пространства, для которого
конус имеет $\diam \geq \pi$.

\замечание
Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $a>0$,
а $d_a(x,y) = \min(d(x,y),a)$. Тогда $d_a$ -- тоже метрика.
Доказательство см. в лекции 2.
\еза

\определение
Пусть $(X,d)$ -- метрическое
пространство, $d_\pi$ -- метрика на $X$, определенная
выше. Определим {\бф конус $(C(X),d_C)$} как конус над $(X,d_\pi)$.
\ео


\утверждение
Пусть $(X,d)$ -- пространство с внутренней метрикой и кратчайшими.
Тогда метрика $d_C$ на $C(X)$ тоже внутренняя и с кратчайшими.

\хфилл

\дшаг Для каждой кратчайшей $\gamma \in X$ длины $\alpha\leq \pi$, конус
$C(\gamma)$ изометричен плоскому углу величины $\alpha$.
Поэтому любые две точки $(a,s)$ и $(b,t)$ с $d(a,b)\leq \pi$
можно соединить кратчайшей.

\хфилл

{\бф Шаг 2:} Если $(a,s)$ и $(b,t)$ точки, для которых
$d_\pi(a,b)=\pi$, расстояние между ними есть $s+t$, а
соответствующая кратчайшая -- отображение $\gamma:\; [-s,t]\arrow C(X)$,
полученное объединением сегментов
\begin{align*}\lambda \mapsto (a, \lambda), &\lambda\in[-s,0]\\
\lambda \mapsto (b, \lambda), &\lambda\in[0,t]. \ \ \ \ендпрооф
\end{align*}


Такие конусы часто возникают в полиэдральных пространствах.
Вырезав из листа бумаги сектор с углом $2х\pi$, $0<x<2\pi$, и склеив лучи на границах друг
с другом, можно получить полиэдральное пространство с конической
особенностью. Легко видеть, что это будет конус над окружностью радиуса
$1-х$. Подобные полиэдральные пространства можно получить, склеив
цепочку плоских секторов с углами $2x_1\pi, 2x_2\pi, ..., 2x_n \pi$.
В результате такой склейки получится полиэдральное пространство,
изометричное конусу над окружностью радиуса $\sum x_i$.
Особенность такого пространства называется {\бф конической особенностью
с углом $2\pi\sum x_i$}. Для целого $n$, коническую особенность
с углом $2\pi n$ можно реализовать как график функции $y=z^n$
в комплексной плоскости $\C$. Метрика на таком графике 
индуцируется с проекции на $y$; поскольку эта проекция 
вне нуля -- накрытие, метрика вне нуля плоская.

Конические особенности с углами, кратными $2\pi$, играют важную роль
в комплексном анализе, где их называют {\бф римановыми поверхностями
функций $z\arrow \sqrt[n] z$.} Вот, например, график римановой поверхности
функции $\sqrt z$, она же -- коническая особенность с углом $4\pi$.


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=sqrt_riemann_surface.png,width=0.55\linewidth}\\
{\small \it Риманова поверхность функции $f(z)=\sqrt z$.}
\end{center}
\end{figure}





\end{document}



