\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, url, amssymb, theorem, fancyhdr, russcorr, russlh, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   06.03.2016}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny ���, ����� 2016,
������ 4} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  ���� ���������}}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
%\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{������}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{�����������}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{��������}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{���������}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             


\newcommand{\����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ���������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ��������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������ \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\newcommand{\����}{{\�� ��������������. ��� 1: }}
\newcommand{\��������}{{\endproof}}
\newcommand{\��������������}{{\�� ��������������: }}


\def\�����{\hfill}
\def\��������{\noindent}
\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\�����{\small}
\def\��{\it}
\def\������{\begin{zadacha}}
\def\��{\end{zadacha}}
\def\���������{\begin{zamechanie}}
\def\���{\end{zamechanie}}
\def\��������{\begin{ukazanie}}
\def\��{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\�����������{\begin{opredelenie}}
\def\��{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\����{\begin{enumerate}} 
\def\��{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\����{\item $\bullet$ } 

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{3}
\lhead{{\scriptsize ����������� ���������, ������ 4: ������������� ������������}}
\chapter{����������� ���������,  ������ 4:\\  ������������� ������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\vspace{-2em}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������������� ������������: ��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

������ ��������� (��������������) �������� ����� �� �����������
��������� ���������� �� ������ ������� ������. ��� ������� (``�����''), 
���������� �������������  ���� ���� ������
�������, �� ������� ���������� ���������� �������� ��������
� ���������. ������ �������� (����, �����, ����� � ������)
������������� ��������� (����: ������� �������, � ����
����� ���������� ����������� � �������� ����), ����
(�����: ���������� �������, �������� ������� ������ ���������)
��������� (������ ���� ��������� ������ ������� � ������������) 
� �������� (������). ���������� ���
����������� ������������� ���������, � 12 �������
�� ����� ������ �������, ��������� ������,
��� � ������������ ����. ������ ��� 5 ����������
�������������� ���������� ``��������� ����''.


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=platonic-solids-and-elements1.png,width=0.55\linewidth}\\
\end{center}
\end{figure}



������ ����������� �� ����������� ��������� ���������
���� ������� ���� � ���������: ���� ������ �����
����� ��������� �������������, �������� �������������
� $\R^3$ ����������������� ����������. 

���� ��������� ������������ ��� � ``�������'' �������;
��� �� ��� ������������� ��� ����������� ��������� ��������������,
�� ��������������, �������, �� ����. �������, � 
�������������� ���� ��������� ������, ������������ �
20-� ���� ��������� � �. �. �������������.

����������� �������� ������ ��������������
������ � ��� �����: ������� �� ����������
������� ��� ����������� ���������, � �����
���������� �������� ������� ������������ 
����������. ��� ���� ���� ���������� �������������
� ������� �������� �������� ����������������
���������, �������� ��� ��, ��� �����������
��������� ����������� �������������������
���������. �� ����� ���, ��� �� ������ 
���������� ������� ������� ���������
�������� �����������, �� ������ ���������
���������������� ������� ���������� 
(�������������, ��������) � ��������
����������� ���������. ���� � ���������� CAT-������.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��������� �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $M$ -- �������������� ������������, � $\sim$ --
��������� ���������������. ������������ $U \subset
M/\!\!\!\sim\!$ ��������� ������� $M/\!\!\!\sim\!$ ����������
{\bf ��������}, ���� ��� �������� � $M$ ������.
��� ���������� {\�� ��������� �������} �� $M/\sim$, �������
���������� {\bf ������������������} �� �����������
��������������� $\sim$.
\��


{\bf ���������������:} ������������������ ����� ����
�������������, ���� ���� $M$ �����������.

\�����������
����� $G$ -- ������, ����������� �� ��������������
������������ $M$. {\bf �������������������} �� ��������
������ ���������� ������������ ������� ���������������
$M/\sim$, ��� $x\sim y$, ���� $x$ � $y$ ����� � �����
������ $G$. ����� ������������������ ��������
{\bf ������������ ����� �������� $G$}.
\��

\���������
����� $G$ - ������, ����������� �� ��������������
������������ $M$ ���������������. �����  ������������ ��������
$M\stackrel \pi \arrow M/G$ �������� ��������
������������.\footnote{�������� �����������
���� �����������, ����������� �������� ���������
� ��������}.
\���

� �������� ����������, �� ��������� �������������� ������������
�����.

\�����������
{\bf ������} ���������� ����� ������ � ����� �����,
������ ������� ����� ������������� ��� �������
(��������, ����������), ������� ���������� ��� {\bf 
�������}, ��� {\bf  ������ � �������}, ������
������ ������� �������� ������ ���� �� ������ �� �����.
���� ���� ������ ������������� ���� � ��
�� �������, ��� ����� ���������� {\bf  ��������},
� ������� -- {\bf  ����� ��������} �����.
���� ���������� {\bf  ��������}, ���� �����
��� ����� � ������ �������.
\��


\��������� � ������ ������ ������������� ��������������
������������: ����� ��������, ����������� ����� 
���������� ����� -- ������.
\���

\����������� ����� $\Gamma$ -- ����, � $S$ -- ��������� ��� �����.
���������� $S$ ��� ������������ � ���������� ����������,
� ����� $X:= S \times [0,1]$ -- ��������� �����������
$S$ ����� �������. � ���� ������ $x= s \times \{1\}$ ��� $x= s \times \{0\}$ --
����� $X$, ��������������� ������ ��� ����� �������.
���� � ����� $s_1$ � � ����� $s_2$ ������� ����� �����, �������
$x_1\sim x_2$, ��� $x_i= s_i \times \{1\}$ ��� $x_i= s_i \times \{1\}$
��������������� ����� $X$. {\bf  ��������������
������������� �����} ���������� ������������������
$X/\sim$ �� ������ ��������� ���������������.
\��

\������ ��������, ���
�������������� ������������ ������
����� �����������.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{�����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $d:\; M \times M \arrow \R^{\geq 0}$
�������, �����, ��� ���������:
\begin{description}
\item[��������������:] $d(x,x)=0$.
\item[��������������:]  $d(x,y)=d(y,x)$.
\item[����������� ������������:]  $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$.
\end{description}
����� $d$ ���������� {\bf ������������}.
\��

\���������
�� ����������� ������� ��� ���������� ������
����������� {\�� ������� ���������������:} $d(x,y)=0$
$\Rightarrow$ $x=y$.
\���

\�����������
{\bf �������� ����� � ����������� $d$}
���������� ���������
\[ 
  B_{r,d}(x) = \{ y\in M \ \ | \ \ d(x,y) < r\}.
\]
�������� ���� ������ �� $M$ ���������, �������������,
���� $M$ �� �������.
\��

\���������
������� $d(x,y)=0$ ������ �� $M$
��������� ��������������� (�������� ���).
\���


���� $d(x,y)=0$, ��
\[
d(z,x) + d(x,y) \geq d(y,z), \ \ d(z,y) + d(y,x) \geq d(z,x),
\]
������� $d(z,x) = d(y,z)$. 
�������������, ������� $d$ ��������� ���������� �� 
��������� $\underline M$ ������� ��������������� �� ��������� $d(x,y)=0$.
��� ������ ������� �� $\underline M$.

\�����

\�����������
������ ������������ $(M,d)$ � ������������ �������� ������������
������������ $\pi:\; M \arrow \underline M$
� ����������� ������������ $(\underline M, \underline d)$,
��� ���� 
\begin{equation}\label{_polu_proje_Equation_}
d(x,y) = \underline d(\pi(x), \pi(y)). 
\end{equation}
\��������

\�����

\���������
 ���� ������ ����������� 
$\pi:\; M \arrow \underline M$ � ����������� ������������,  
�� ������� \eqref{_polu_proje_Equation_} ����������
�� $M$ �����������.
\���

\�����������
����� $\sim$ -- ��������� ���������������
�� ����������� ������������ $(X, d)$.
��������� ������� 
$d_\sim:\; X/\!\!\!\sim\! \times X/\!\!\!\sim\! \arrow \R^{\geq 0}$ 
�� ������� $X/\!\!\!\sim\!$ �� ������� 
\[ d_\sim (x,y) = \inf\sum_{i=0}^{n-1} 
   d(p_i, q_{i+1}),
\]
��� ������� ������� �� ���� ������� �����
$p_i, q_i\in X$ �����, ��� $p_0\sim x, q_n \sim y$, � $p_i \sim q_i$.
\��

\�����������
 ��� ������� -- �����������.

\�����

\��������������
������������ ������ ����������� ������������.
�� $d(x,y)$ ���� ������� ����� "�������" $p_0,p_1,q_1,p_2,q_2, ...$
����������� $x$ � $y$, ��� ���������� ����� $p_i\sim q_i$
�������� ������ 0. ���� $x$ �������� � $y$, $y$ � $z$
��������� ��������, �� $x$ �������� � $z$ ������������
���� �������, ��� ���� $d_\sim(x,z) \leq d_\sim(x,y)+d_\sim(y,z)$.
\��������

\�����������
����� $\sim$ -- ��������� ���������������
�� ����������� ������������ $(X, d)$.
������������ ���� ����������� $d_\sim$ �� $X/\!\!\!\sim\!$
���������� {\�� ������������ ������������������}.
{\�� ����������� ������������������} ����������
�� $X/\!\!\!\sim\!$ �������������� ��������������� 
���� ����� $x,y$ �����,
��� $d_\sim(x,y)=0$, � ��������, �������
������������ � $d_\sim$.
\��

\������
����� $G$ -- ������, ����������� �� ����������� ������������
$(X,d)$ �����������, � $x \sim y$, ���� $x$ � $y$ �����
� ����� ������ $G$. �����  $d_\sim(a,b)$ ����
������� ���������� ����� ��������������� $a, b$ � $X$
(�������� ���).

\���������
������� $d_\sim$, ������������ ����, 
��������� $\epsilon$-������� (�������� ���).
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{����������� �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
{\�� ��������� �����������} �����������
����������� $(X_\alpha, d_\alpha)$ ����
$\coprod X_\alpha$ � �������� $d(x,y)$
������� ����� $d_\alpha(x,y)$, ����� $x$ � $y$ �����
� $X_\alpha$, � $\infty$ � ��������� ������.
\��


\�����������
����� $I_\alpha$ -- ����� ��������,
������������ $[0,x_\alpha]$, � $\sim$ -- ���������
���������������, ���������� �������� ��������� ������.
����������� ������ $\coprod_\alpha I_\alpha$
���������� {\�� ����������� ������}.
�� ���������� {\�� �������� ��������}, 
���� ������ ����� ��������������� � ��������
������ �����, � ����� ���� ����� ���������� �����
������ $\epsilon >0$.
\��


\�����������
������� �� ����������� ����� -
������ ����������.

\��������������
������ "�������" $p_0,p_1,q_1,p_2,q_2, ...$,
����������� $x$ � $y$, ����� ����������� ������������
�������� � �����, ����� �� �����. \��������


\���������
����������� ����������� �� ��������������� 
������������ ����� � ����������� ����  --
������������ ��� �������� ��������� �����.
��� �� �������� �������� ������  ��� ����� ����
�� �������, ��� �������, �� �� ������������
(��������� �������).
\���


\�����������
{\��  ����� ����������} ������ $G$ ���� 
��������� ��������� $S$, ���������������� ����������� $G$.
� ����������, �� ����� ������ ������������, ���
$s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.
\��


\�����������
����� $G$ -- ������, $\{s_i\}$ -- ����� ����������.
{\��  ���� ����} ���� $(G, \{s_i\})$ ���� ����, �������
�������� -- �������� $G$, � ����� ��������� ����� ����
$g$ � $gs_i$. ������� ����� ����� ����� ������ 1,
�� ���������� ����������� ������������ ���� ���� ��� 
������� ����.
\��

\������
���� ���� ��� $\Z^n$ � ������� ������� ���������� 
���� ���������� �������.
\begin{center}
\epsfig{file=Cayley_graph_Z^2.png,width=0.55\linewidth}
\end{center}

\������ 
���� ���� ��� ��������� ������ -- ���������� ������
\begin{center}
\epsfig{file=free-group-Cayley-2.png,width=0.8\linewidth}\\[5mm]
{\�� \small ���� ���� ��������� ������ ${\Bbb F}_2$
� ����������� $a$, $b$, $a^{-1}$, $b^{-1}$.}
\end{center}


\������
\begin{center}
\epsfig{file=trunspi.png,width=0.25\linewidth}\\[5mm]
{\�� \small ���� ���� ��� �������������� ������ $S_3$.}
\end{center}

������ $S^3=\langle k, r\ |\ k^2=r^3=(kr)^3=1\rangle$ 
�������� ����������� $k$, 
$r$, � ������������� $k^2=r^3=(kr)^2=1$.

\�����

\������
\begin{center}
\epsfig{file=trunhex.png,width=0.9\linewidth}\\[5mm]
{\�� \����� ���� ���� ��� ������, �������� ����������� $k$, 
$r$, � ������������� $k^2=r^3=(kr)^6=1$.}
\end{center}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������������� ����������� ������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


������������� ����������� ������������ ������������ ����������,
��� ��������� ������� $k$-������ �������� ��������������
� $k-1$-������� �������������� ������������ �� �������.


\�����������
������������� ����������� ������������ ����������� $k$
������������ �� ��������. ������ $k$-������ ������������� �����������
������������ $�$ �������� ������������ ����� {\�� $l$-��������} $K_l$,
$l=1,2,3,..., k$,  ������ $K_k=K$, � ������ �� $K_l$
���� ������������� ����������� ������������ ����������� $l$.
������ $K_k$ �������� �� $K_{k-1}$ ������������� ��������
���������� ��������������, ��������� �������.

����� ������ 
������������� ����������� ������������ $K$ ����������� $k-1$
� ����� �������� ��������������� $V_i$ � $k$-������ ����������
������������. ����� ��� ������� �� $V_i$ ������ ��������������
�������� $\tau_i:\; \partial V_i \arrow �_{k-1}$ ������� $V_i$
� $K_{k-1}$, ����������� $l$-������ ����� $V_i$ � $K_l$.
����������� ������ $K_{k-1}\coprod_i V_i$ �� �����������, ���������
����� �����������, ���������� {\�� ������������� �����������
������������� ����������� $k$.}
\��

\������
��������, ��� ������� �� 
������������� ����������� ������������ - ����������.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��������� ������������ � �������������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ������� �������������� ������������, ���������
�� ������� ����� ������� ����� ���������, ����������
����������� ������ ��� �� ���������� �������������� ������.
��� ��������� ����� ������������� ������, ������� �������
��� (�������� ���). 
��� ������������ ��������, ����������� ������ 
����� ���������� �� ��������������� (��������� �������).

� ����� ��������, �������� �����������
������� ``CW-���������'', ���������� ������������
�� ������ ����������; ����� C �������� �� ������ (cells),
a W �� ������ ��������� (weak).

CW-��������� ���� ���������� ��������� � 1949-� ����.
�� ����������� �� ������� ���������� �� �����������
������������� �����������, ������� ����: ������� 0-������
(���������� ���������), � ���� ������������� 1-������
(����� ���������� ��������),
��� ���� ���� � ��������� � ���� ���������� ���������:
1-������. � 1-������� ������������� ��������� ������ (���������� 
�����) � �������� �� ���� ����� � ��� �����.

``������ ���������'' ��������, ��� ������������
� CW-��������� ������� ����� � ������ �����, ����� ���
����������� � ������ ������� �������. 
��� ������������� ��������� �������, 
������������ � ������ ������.


% https://en.wikipedia.org/wiki/CW_complex
%  Milnor, John, "On spaces having the homotopy type of a CW-complex" Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), 272-280.

\end{document}



