\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, url, amssymb, theorem, fancyhdr, russcorr, russlh, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   22.02.2016}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny ���, ����� 2016,
������ 3} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  ���� ���������}}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
%\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{������}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{�����������}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{��������}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{���������}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             


\newcommand{\����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ���������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ��������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������ \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\newcommand{\����}{{\�� ��������������. ��� 1: }}
\newcommand{\��������}{{\endproof}}


\def\�����{\hfill}
\def\��������{\noindent}
\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\������{\begin{zadacha}}
\def\��{\end{zadacha}}
\def\���������{\begin{zamechanie}}
\def\���{\end{zamechanie}}
\def\��������{\begin{ukazanie}}
\def\��{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\�����������{\begin{opredelenie}}
\def\��{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\����{\begin{enumerate}} 
\def\��{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\����{\item $\bullet$ } 

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{2}
\lhead{{\scriptsize ����������� ���������, ������ 3: �������� ���������� ������}}
\chapter{����������� ���������,  ������ 3:\\  �������� ���������� ������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{���������� ������� � ����������: ��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

�������, ��� ``����������'' � ����������� ������������ $M$, 
����������� $x$ � $y$, $d(x,y)=a$,
���� �������������� ����������� $\gamma$ �� ������� $[0, a]$
� $M$, �����, ��� $\gamma(0)=x$, $\gamma(a)=y$. 
�����������, ������� � ���������� �������� ������ � ���,
��� ��� �������, ����������� ���������� -- ����������,
�� ������� "���������� �������" ������, � �� ���
������������ � ����������� ��������� ���������
����������.

��� ���, �������� ���������� ���������� ������ �������
� ���, ��� ��� {\�� ��������}, �� ���� ��� ������������
� ����������� ���������, ���������� �������������� ������������,
����� "�������" �� ���� �������������. ��� ����������� ������
�������� �� �������������� ���������, ���������� � ��������������,
���������� �� ���������. �������, ���� �� ����� ��������
� �������������� ��������������, �������������� ���������
����� ����� ��������, �������� �� �� ���������� � ���������
����������� ���������.

� �������� � ����������� 
� ���� ������, � � ������� � ���������.

��� ������ ���������� ���������� ������ -- �������
�����-������ � ������������� ����������

������� �����-������ �������� ���������� �����������,
���������� �� ��������� ����� �������: "������� ����
���������, ������������ ������������".  � ����� �����������
������������ ���, �������, �������: ���� ��� �������
����������� ��������� ������������, �� ���� �������
� ������ ����� �����������, ��������� ������� ���������.
����� ���� ����������� �������: ������, �������� $]a, b[$
�������� ���������, ���������, �� ����� �� ���������.

�� � ���� ������� ������������. �������������,
���������� ������������ $\R$ � ������� �������� $d(x,y)=|x-y|$,
� ������� �� �� ���������� ������� $d_1(x,y):= \min(1, d(x,y))$
(������ 2). ������������ $\R$ � ����� �������� -- ������, ������������,
�������� ���������� ������������ (���������), �� ��� �����������.

�����������, ��� ���� ������������ � ���������� ��������
������������� ���� �������� (�������, ��������������, ��������� ������������),
��� ����������� ���������. � ���� � ������� ������� �����-������,
������� � ������ � ���� ������. �� ��� ��� ��������
������� ������� ���������� � ������, �������� ���������� ������������
� ���������� ��������.

�����������, ������������� ���������� �������������� � ���������
��������� ��� ����������� �������, � � ����������� ���������
������������� ���������� (��� �� ������� ����������) ���������������
��� ������������ ������ ����������� "���������� ������". �� ����
��������� �������� � ������������ ������ � ����� ���� ������.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$\epsilon$-��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

�����������, ��� ��� ����� ����� ������� ���������� ������� ����� ��������
�� ������� ����� ������ �������: ������������� $\epsilon$-�������.


\�����������
����� $z$ ���������� {\�� $\epsilon$-���������} ���� $(x,y)$,
���� $|d(x,z)- \frac 1 2 d(x,y)| \leq\epsilon$ � 
$|d(y,z)- \frac 1 2 d(x,y)| \leq\epsilon$.
���������, ��� � $(M,d)$ {\��  ���������� $\epsilon$-��������},
���� ��� ����� $x,y$, � ������ $\epsilon>0$, ����������
$\epsilon$-��������.
\��


\�����������
 � ����� ������������ � ���������� ��������
���������� $\epsilon$-��������.

\�����

\����
����� $r:=d(x, y) + \epsilon$.
 ���� ��������� ���� $\bar B_{r/2}(x)$
� $\bar B_{r/2}(y)$ ������������, �� ��� ��������: ����� 
�� ����������� $z$ � ���� ������� $\epsilon$-��������.
�������������, $d(z, y) \leq r/2$ � $d(z, x) \leq r/2$,
�� ��������� $d(z, x)+d(z, y)\geq d(x,y)$, 
�� $d(z, y)$, �� $d(z, x)$ �� ����� ���� ������, ���
$d(x,y)-r/2= \frac{1}{2} (d(x,y)-\epsilon)$. ��� ����
\[
\frac 1 2 (d(x,y) -\epsilon) \leq d(x,z) \leq \frac r 2= 
\frac 1 2 (d(x,y) +\epsilon).
\]

{\�� ��� 2:} ����� $\gamma:\; [a,b] \arrow M$ -- ����, �����������
��� �������� ����� $x, y$ � ����� �� ������, ���
$d(x, y) + \frac 1 2 \epsilon$. ���� ���� $\bar B_{r/2}(x)$
� $\bar B_{r/2}(y)$ �� ������������, � ������ $\gamma$
�������� ����� $z$, ������� �� ������ �� ��� �� �����������
(� ��������� ������, ������� ����������� � ��������� �����������
\[ [a,b]= \gamma^{-1}(\bar B_{r/2}(y))\coprod \gamma^{-1}(\bar B_{r/2}(y))
\]
���� ��������� ��������, ��� ������������ ��������� �������).
��� ����� �����, $d(x,z) + d(z, y) > r=d(x, y) + \epsilon$,
��� ����������, ������ ��� 
\[ d(x, y) + \frac 1 2 \epsilon
\geq L_d(\gamma) \geq d(x,z) + d(z, y) 
\]
\��������

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�������\label{_dvoichno_rac_v_epsilon_ser_Teorema_}
����� $M$ -- ������������, ��� ���������� $\epsilon$-��������,
� $x_0, x_1\in M$. ����� ��� ������ $\lambda\in [0,1]$,
�������� $x_\lambda\in M$ �����, 
��� $|d(x_0,x_\lambda)- \lambda d(x_0,x_1)| \leq\epsilon$
� $|d(x_1,x_\lambda)- (1-\lambda) d(x_0,x_1)| \leq\epsilon$.

\�����

\����
�������������� �������
\ref{_dvoichno_rac_v_epsilon_ser_Teorema_}
������� ��������� �������. �����
$\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$, $0<\lambda<1$. �������
�� $x_\lambda\in M$ $\frac{\epsilon}{2^{m+1}}$-��������
����� $x_{\frac{n}{2^{m-1}}}$ � $x_{\frac{n-1}{2^{m-1}}}$.
���������������� ��������� �� $m$, ��������
$x_\lambda$ ��� ������� �������-������������� ����� 
$\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$. �� ������ ����, $x_\lambda$,
$\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$ ���������� ��� "��������������� ��������"
�������� ����� $x_{\lambda_1}$, $x_{\lambda_2}$ � 
$\lambda_1= \frac{n}{2^{m-1}}$ � $\lambda_2=\frac{n+1}{2^{m-1}}$.
����� ��������� ��������� ��������� �����������
�� �������-������������ ����� � $M$, ������� �����
"��������������� ����������", � ����� �������
��������� �������.

\�����

{\�� ��� 2:}
��������� ����������� $P$ ����� �������, �����
$P$ ���������� �������-������������ �����
$\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$
� ���� �� ������ ������� � ����� $\frac 1 {2^{m-1}}$,
����������� $\lambda$: $P(\lambda):=\frac{n-1}{2^{m-1}}$. 
�� ���������� ����� $x_\lambda$, �����
\[ \left|d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})- \frac 1 {2^m} d(x_0,x_1)\right|
<\frac{\epsilon}{2^{m+1}}d(x_0,x_1).
\]
����� ���������, ��������� ����������� $\lambda \mapsto
x_\lambda$ �������� ����������, �� ��������� ���
\[  d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)}, x_{P(P(\lambda))}) + ...
\]
� �������� �����, ������� ���������� �� $\lambda d(x_0,x_1)$ �� 
\begin{equation}\label{_iskazhenie_summy_Equation_}
\left|d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)},
x_{P(P(\lambda))}) + ... - \lambda d(x_0,x_1)\right|
\leq \sum_{i=0}^m \frac{\epsilon}{2^{i+1}}\leq\epsilon. 
\end{equation}
������,
\[ d(x_0,x_\lambda)
\leq d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)}, x_{P(P(\lambda))}) + ...
\leq \lambda d(x_0,x_1)+\epsilon.
\]
����������, $d(x_1,x_\lambda) \leq (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon.$

��� �� ����� ��������, ����������� ������, ����������, ���
\begin{equation}\label{_x_mu_x_lambda_distance_Equation_}
d(x_\lambda, x_\mu) \leq |\lambda-\mu|
d(x_0,x_1)+2\epsilon.
\end{equation}


{\�� ��� 3:} 
����� �������� ����������� 
$d(x_\lambda, x_\mu) \geq |\lambda-\mu| d(x_0,x_1)-2\epsilon,$
�� ���������� ������������ ������������:
\[
d(x_\lambda, x_\mu) \geq d(x_0,x_1)- d(x_0,x_\lambda) -
d(x_1,x_\mu)
\geq |\lambda-\mu| d(x_0,x_1)-2\epsilon.
\]
\��������

\�����

\���������\label{_x_lambda_lipshi_Zamechanie_}
������� \eqref{_x_mu_x_lambda_distance_Equation_}
����� �������� ��������� �������.
����� $\lambda=\frac{a}{2^m}$ � $\mu=\frac{b}{2^m}$ ����������� ���������
������� ���� $[\frac k {2^l}, \frac {k+1}{2^l}]$.
� ������� ������� \eqref{_iskazhenie_summy_Equation_},
������� �������� ������� ����� $|\lambda-\mu| d(x_0, x_1)$
� $d(x_\lambda, x_\mu)$, ����� ����������� ������ �����
�� $\frac\epsilon {2^{l+1}}$ �� $\frac\epsilon {2^{m+1}}$,
��� ����
\[ \bigg|d(x_\lambda, x_\mu)- |\lambda-\mu| d(x_0, x_1)\bigg|
\leq \sum_{i=l}^m \frac{\epsilon}{2^{i+1}} \leq \frac{\epsilon}{2^{l}}.
\]
\���

\�����

\���������\label{_x_lambda_1+delta_lipshi_Zamechanie_}
�� ��������� \ref{_x_lambda_lipshi_Zamechanie_}
 �������, ��� �����������
$\lambda\mapsto x_\lambda$ 
�������� $(1+\delta)$-����������, ��� $\delta=\epsilon d(x,y)^{-1}$.
\���

\hfill

��������� ����������� ��������.

\�����

\�����������
����� $X,Y$ -- ����������� ������������,
� $\phi:\; X\arrow Y$ -- $C$-��������� �����������.
����� $\phi$ ������������ �� $C$-���������
����������� ���������� $\bar \phi:\; \bar X\arrow \bar Y$.
\��������

\�����

��� ���������, �������� ��������� �������� �������.

\�����


\�������
����� $M$ -- ������ ����������� ������������, � ������� ����������
$\epsilon$-��������. ����� ������� � $M$ ����������.

\�����

{\�� ��������������:}
� ���� ��������� \ref{_x_lambda_1+delta_lipshi_Zamechanie_}, �����������
$\lambda\mapsto x_\lambda$, ����������� � �������
\ref{_dvoichno_rac_v_epsilon_ser_Teorema_}, ������������ �� 
$d(x_0,x_1)(1+\delta)$-��������� �����������
$[0,1]\stackrel\gamma\arrow M$, �� ���� �� ����,
������������ $x_0$ � $x_1$. ����� ���� ����
���������� $d(x_0,x_1)(1+\delta)$ � ���� ���
������������.
\��������

\�����

\���������\label{_epsilon_serediny_vnu_Sledstvie_}
 ������������� $\epsilon$-������� � $M$ �����������
����, ��� ������� � ��� ���������� $M_1$ ����������.

\�����

{\�� ��������������:}
���� � $M$ ���� $\epsilon$-��������, �� � � $M_1$ ����
$\epsilon$-�������� (�������� ���).
������� ��� ������ $\delta$
���������� $(1+\delta)$-��������� ���� $\gamma:\; [0, d(x, y)]\arrow M_1$,
����������� $x$ � $y$. ������, $\hat d (x, y) < d(x, y)(1+\delta)$.
\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��������� �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��������� ������� -- �������, ������� ������� ��������
����� ������������ �� ����� �������� ��������.
��� ������������ �������, ����������� �� �����������.
��� �������, ������� $\R$ � ������� �������� $d$, � �����
$d_1(x,y):= \min(d(x,y), 1)$ -- �� ��������� (������ 2). 
�� ������ �������� $\R$ ��������� ����� 1, ������� $d$ � $d_1$
�����, �� �� $\R$ ���, ��������, �� �����.

� ������ �������, ���������� �������, ��������,
��������: ����� ��������� ����� ����, ���� �������
����� ��� ������, ���������� �� ������ ��������� ��������
$\{U_i\}$,
� ��� ����� ������� ������ �� ����������� ������� �� $U_i$.

������ �� �� �����, �� ���������.

\�����


\�����������
����� ${\cal S}$ -- ��������� ������ �� ��������� $M$,
� $d_{{\cal S}}(x,y) := \sup\limits_{d_\alpha\in {\cal S}} d_\alpha(x,y)$
-- �������� ���� ������ � ${\cal S}$. 
����� $d_{\cal S}$ -- ���� �������.

\�����

{\�� ��������������:}
��� �� ���� ������ (��������������, ��������������)
��������. ����������� ������������ ������� �� ����,
��� �������� ����� �� ����������� ����� ���������� (��������� ���).
\��������

\�����

\�����������
����� $(M,d)$ -- ����������� ������������, $\{U_i\}$ --
�������� �������� $M$, �� ���� ����� �������� �������� $U_i\subset M$
�����, ��� $M=\bigcup U_i$, � ${\cal S}_{\{U_i\}}$ -- ���������
���� ������ $d'$ �� $M$ �����, ��� $d'\restrict{U_i}\leq d\restrict{U_i}$
��� ������� �������� ��������. ��������� �� $d(\{U_i\})$
�������� ������ � ��������� ${\cal S}_{\{U_i\}}$.
������� $d$ ���������� {\�� ���������},
���� $d(\{U_i\})=d$ ��� ������ �������� $\{U_i\}$.
\��

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�������\label{_vnu_lok_Theorem_}
���������� 
������� ������ ��������.

\�����


\���� ����������� ��������  $\{U_i\}$.
����� $\gamma$ -- ����������� ���� �� $M$.
������� ��������� $\gamma$ � ������� $\gamma([x_l, x_{l+1}])$
����� �������, ��� ������ �� �������� ����� � ����� $U_i$.
����� \[ L_{d(\{U_i\})}(\gamma([x_l, x_{l+1}])) 
   \leq L_d(\gamma([x_l, x_{l+1}])).\] ������, ����������
����� � ������� $d(\{U_i\})$ �� ������, ��� $L_d$.

\�����

{\��  ��� 2:} ������� ���� $\gamma$, �����������
$x$ � $y$, � �����, ��� $L_d(\gamma)\leq d(x,y)-\epsilon$.
����� ���� ����������, ������ ��� $d$ ����������.
�����  \[ d(\{U_i\})(x,y) \leq L_{d(\{U_i\})}(\gamma) 
\leq L_d(\gamma)\leq d(x,y)-\epsilon.\]
��������� $\epsilon$ � 0, �������� $d(\{U_i\})\leq d$.
������, ������� $d\in{\cal S}_{\{U_i\}}$ 
����� ��������� ���� ������ � ${\cal S}_{\{U_i\}}$. \��������

\�����

����������� ����������� ������������� $\epsilon$-�������.

\�����

����� $(M,d)$ -- ����������� ������������.
��������� $d_\epsilon(x,y)$ ��� ������� $\sum d(x_i, x_{i+1})$,
������ �� ���� ������������������� ����� $x_0=x, x_1, ..., x_n=y$
�����, ��� $d(x_i, x_{i+1})<\epsilon$. 

\�����

\����������
���������, ��� $d_\epsilon$ -- ���� �������, $d_\epsilon \geq d$,
� ��� ����� $d$ ��  ����� $\epsilon/2$-����.

\�����

�� ����� ���������� �� �������� ��������� ������� ����������.

\�����

\��������� 
���� $d$ ��������, �� $d_\epsilon=d$ ��� ������ $\epsilon>0$.

\�����

\�����
��� ����� $x, y\in M$, ���������� $z\in M$ �����, ��� 
$d_\epsilon(x,z) -2\epsilon < \frac 1 2 d_\epsilon(x,y)$ �
$d_\epsilon(y,z) -2\epsilon < \frac 1 2 d_\epsilon(x,y)$.

\�����

{\�� ��������������:}
������� ������������������ $x_0=x, x_1, ..., x_n=y$
�����, ��� $d_\epsilon(x, y) \geq \sum d(x_i, x_{i+1})-\epsilon$,
� ����� $z=x_k$ -- ����� ����� �� $x_i$, ��� 
$d_\epsilon(x, x_k) \leq \frac 1 2 \sum d(x_i, x_{i+1})+\epsilon$ � 
$d_\epsilon(y, x_k) \leq \frac 1 2 \sum d(x_i, x_{i+1})+\epsilon$.
����� ����� ������ ����������, ������ ��� $d(x_i, x_{i+1})<\epsilon$.
\��������

\�����

\���������\label{_lokalno_then_epsilon_serediny_Sledstvie_}
��������� ������� ��������� $\epsilon$-��������.

\�����

�� �������� ����� �������.

\����� 

\�������
����� $(M,d)$ -- ����������� ������������.
����� ��������� ������� �����������.
\begin{description}
\item[(i)] ������� $d$ ��������.
\item[(ii)] $(M,d)$ ��������� $\epsilon$-��������.
\item[(iii)] ���������� $M$ -- ������������ � ���������� ��������.
\end{description}

{\�� ��������������:}
���������� (i) $\Rightarrow$ (ii) ���
��������� \ref{_lokalno_then_epsilon_serediny_Sledstvie_}.
�������������� (ii) $\Leftrightarrow$ (iii) ��� 
��������� \ref{_epsilon_serediny_vnu_Sledstvie_}.
�������, ���������� (iii) $\Rightarrow$ (i) ���
������� \ref{_vnu_lok_Theorem_}. \��������


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{�������� ���������� �����������: �����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��������� ����������� ���� ����������� ����� �
���������� ����������� �������������. ����� ��
�������������� ����� ����� � ������ ������.



\�����������
�������������� ������������ $M$ ���������� {\�� ����������������},
���� ������ ����������� $\R$-������� ������� �� $M$ ���������
���������.
\��

\�����������
����������� ������������ ��������� ����� � ������ �����,
����� ��� ���������������.

\�����������
{\�� $\epsilon$-����} � ����������� ������������ $M$
���� ����� ��������� $N\subset M$, ��� �����������
$\epsilon$-����� � �������� � $N$ ����� $M$.
����������� ������������ ���������� {\�� ������ ������������},
���� ��� ������ $\epsilon>0$ � $M$ �������� ��������
$\epsilon$-����.
\��

\�����������
����������� ������������ ��������� ����� � ������ �����,
����� ��� ����� � ������ �����������.

\�����������
����� $M$ -- ����������� ������������.
�������, ��� $M$ {\bf �������� ���������}, ���� ��� ����� �����
$x\in M$ ���������� ����� ����� $\epsilon>0$, ��� ��������� ���
$\overline{B}_\epsilon(x)$ ���������.
\��




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������� �����-������-���-�������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\���������
"������� �����-������" ��������� ���� �� ��������
"������� ���-�������", ������ ��� ��� ��� � ������
������ 1931-�� ����, �� ��� ���� � ������ ���-�������
1935-��. � ���� ������ ���-������ ���������� 
������� �����-������ � ����� �������� (� ������ 
�������� ����������� ������ � ���������
�������������), � ����������� ��� �������.
������, ������� �����-������ ���������� ����
�� �������� ������� �����-������-���-�������;
��������� ��� � ������. 
\���

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=CohnVossen-small.png,width=0.55\linewidth}\\
{\small \it Stefan Cohn-Vossen, 
\\ 28 May 1902 - 25 June 1936}
\end{center}
\end{figure}


"������� ���-�������" �������� ����������
�� ������� \ref{_dvoichno_rac_v_epsilon_ser_Teorema_}.
��� ����������� ������������� $\epsilon$-�������.

\�����

\��������� {\��  ("������� ���-�������")}
����� $M$ -- ����������� ������������, � ������� ����������
$\epsilon$-��������. ����� ��� ����� $x, y \in M$, 
� $r \leq d(x,y)$,
���������� �� ���� $B_r(x)$ �� $y$ ����� $d(x,y)-r$.

\�����

{\�� ��������������:}
������������� �������� \ref{_dvoichno_rac_v_epsilon_ser_Teorema_} � 
������� ����� $z=z_\lambda$ �����, ��� $|d(x,z)-(r-\epsilon)| <\epsilon$
� $|d(y,z)-d(x,y)-r|<\epsilon$.
����� $z\in B_r(x)$ � $d(B_r(x),y)\leq d(y,z)\leq d(x,y)-r+\epsilon$.
\��������

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\���������\label{_vnu_met_Cohn_Vossen_Zamechanie_}
��� ���������, �������� �������� �����������
�� $\epsilon$-���������, � ��������, ��� ��������
$d(x, B_r(y))= d(x,y)-r$ ��� ������ ������������
� ���������� ��������.
���������� ���� $\gamma$, �����������
$x$ � $y$, ����� $L(\gamma) < d(x, y) + \epsilon$.
����� $r'=d(x,y)-r$
���� ���� $B_{r}(y)$ � $B_{r'+\epsilon}(x)$
������������ � ����� $z$, �� ��������, ���
$d(x, B_{r}(y)) \leq d(x, z) \leq d(x,y)-r+\epsilon$.
���� �� ��� �� ������������, �������� �����
$z\in \gamma$, ������� �� ����������� �� ������ �� �����,
� ��� ������������� 
\[ d(x,z) + d(y, z) > r+ r'+\epsilon = d(x,y)+\epsilon
\]
��� ����������, ������ ��� ����� ���� $\gamma$
������, ��� $d(x, y) + \epsilon$.
\���



\�������
����� $M$ -- ������, �������� ���������� ������������,
��� ��������� ������� ���-������� (��� �������� ����, ���
����������� ����, ��� ������� �� $M$ ����������).
����� ������ ��������� ��� � $M$ ���������.

\�����

\����
�������  ���-������� ����� ���������� ���:
��� ����� $r, \epsilon \in \R^{>0}$, $\epsilon$-����������� ����
$\bar B_{r}(m)$ ��� ��� $ B_{r+\epsilon}(m)$
(�������� ���).

\�����

{\�� ��� 2:}
����� $m\in M$ �����, �����, ��� ���� $B_{r-\epsilon}(m)$
������ ����������� ��� ������ $\epsilon >0$. ����� 
$\bar B_{r}(m)$ ���� ������ �����������. �������������,
$\frac 1 2\epsilon$-���� � $B_{r-\frac 1 2\epsilon}(m)$
����� $\epsilon$-����� � $\bar B_{r}(m)$, � ���� ����������� ����.

\�����


{\�� ��� 3:}
��������� ������� �� ����������� ������������ $M$:
\[ \rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ ���������\ }\}.
\]
����� $\rho$ 1-���������, � ���������, ���������� (�������� ���).


\�����

{\�� ��� 4:} 
����� $\bar B_r(m)$ -- ���������� ��� � ��������
���������� ������������. ����� ���������� $\epsilon>0$ �����, ���
������ ��������� ��� ������� $\epsilon$ � � ������� � $\bar B_r(m)$
���������.
�������������, $\rho$ ��������� �������� ���-�� �� $B_r(m)$.

\�����


{\�� ��� 5:}
��� ������ ����, $\bar B_{r+\frac 1 2 \epsilon}(m)$ ���� ���������.
��� ��������������, ���������� ��������
$\frac 1 2 \epsilon$-���� � $\bar B_r(m)$. ����������� $V$
��������� $\epsilon$-����� � �������� � ���� ���� ���������
(�������� ����������� ��������� ���������) � ��������
$\bar B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)$ � ���� ���� 1. �������������,
����� ����� $\bar B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)$ ������� �� ������, ��� 
�� $\frac 1 2\epsilon$ ��  $\bar B_r(m)$, ������, ������� �� ������ ���
�� $\frac 1 2\epsilon$ �� ������-�� ���� $\frac 1 2\epsilon$-����. 
��� ���� $B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)\subset V$.

\�����

{\��  ��� 6:} ����� $r(m)$ -- �������� ���� $r$,
��� ������� ��� $\bar B_{r}(m)$ ���������. � ���� ���� 2,
��� $\bar B_{r(m)}(m)$ ���������. ������, ���
$\bar B_{r(m)+\frac 1 2 \epsilon}(m)$ ���� ���������
(��� 5). ������, $r(m)=\infty$, � ����� ��������� ���
� $M$ ���������.
\��������


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{���������� � ����������� �����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\�����������
����������� ����������� $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$
���������� {\bf ����������}, ���� ��� ����� ����� 
$d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$.
\��

\���������\label{_otre_krat_snova_krat_Zamechanie_}
����� ������� ���������� - ����� ����������.
�������������, ���� ���� $a, b$ -- ��� ����� �� 
���������� $\gamma$, ������� �� $x$ � $y$, 
����������� $d(x, y) \leq d(x,a) + d(a, b)+ d(b, y)$
������������ � ���������, ������ ��� 
\[ d(x,a) + d(a, b)+ d(b, y)\leq L_d(\gamma) = d(x, y).\]
����� ������� �� �������� ���� $\gamma$ �� $x$ �� $a$, �� $a$ �� $b$,
� �� $b$ �� $y$ ����� ���������� 
����� ������� ���� ��������, ��� ����� ���� ���� ����� 
$d(x,a) + d(a, b)+ d(b, y)=d(x,y)$.
\���

\�����������
����� $\phi:\; [a, b] \arrow [c,d]$ -- ����������
�����������, ����������� ����� ������� �
�����. �����������, ���  $\phi \circ\gamma$ ����������.
����� $\phi \circ\gamma$ ���������� {\bf ����������������� ���� $\gamma$}.
{\bf �������������� $\gamma$} --  ����� ���� � ������
�����, ������������� � ��������� �� ����������������.
\��


\�����������
����� $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - ����������,
����������� $x$ � $y$, ������ \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\]
����� ���������� ���������� {\bf  ����������
�������������}, � ��������������� �������������� -
{\bf ������������� ���������������}. 
\��

\���������
 ������������� ���������� �������� ��������������
��������� �� ������� � $M$.
\���

\�����������
����� ���������� ��������� ������������� ��������������.

\�����

{\�� ��������������:} 
����� $\gamma$ -- ���������� ����� $d$, ����������� $x$ � $y$,
� $\gamma_1:\; [0, d] \arrow M$ ���������
$t$ � ����� $\gamma_1(t)\in \im\gamma$ �����, ��� $d(x, \gamma_1(t)) =t$.
����� ����� ����������, ������ ��� ����� ������� ����
�������� ����������� �������� ���������. �����������
$t\arrow \gamma_1(t)$ ����������, ��� ����������
����� $\gamma_1(t)$ � $\gamma_1(t')$ ����� $|t-t'|$,
��� ��� ��� ������� ���������� (��������� 
\ref{_otre_krat_snova_krat_Zamechanie_}).
������, ��� ����������. �������, $\gamma_1$ ��������
�� $\gamma$ �����������������, ��� �����������
$t\arrow d(x, \gamma(t))$ ���������� � ���������.
\��������

\�����

�������������� ��������� ������� �� ����������
�� �������������� ������������� $(1+\delta)$-���������� 
����� � ������ �������������, ����������� $\epsilon$-��������
(������� \ref{_dvoichno_rac_v_epsilon_ser_Teorema_}
� ��������� \ref{_x_lambda_1+delta_lipshi_Zamechanie_}). 
��� ��������� �����, ��� �� ���� ��������� ����������� �����:
� �������� ���������� ��������, ������ ���������� 
������, � �� ������ ��������������� ��������.
� ����� ����, �� ���� 1 ���������� ��������������
�����, ��� ��� ������ $x, y$ �������� $z$
�����, ��� $d(x,z)=d(z,y)$ � $d(x,y)= d(x,z)+d(z,y)$

\�����


\�������
����� $M$ - �������� ����������, ������ ������������,
��� ��������� ������� ���-�������:\footnote{����� ���
������� �����������, ����������, ����� ������� ����
����������, ��. ��������� \ref{_vnu_met_Cohn_Vossen_Zamechanie_}.}
 \[ d(B_r(x), y)=d(x,y)-r,\]
� $x_0, x_1\in M$ -- ����� �����. ����� ���������� ����������
�������������, ����������� $x_0$ � $x_1$.

\�����

\����
����� $d(x_0, x_1)=\alpha$.
� ���� ������������,
� ���� $\bar B_{\alpha/2}(x_1)$ ���� ����� $x_{1/2}$ �����, ���
$d(x_0, x_{1/2}) = d(x_{1/2}, x_1)= \alpha/2.$
� ����� ����, ������� $d(\cdot, x_0):\; \bar B_{\alpha/2}(x_1)\arrow \R$
���������� �� ��������, ������, ��������� ��������,
������� ����� $d(x_0,\bar B_{\alpha/2}(x_1))= \alpha/2$
� ���� ������� ���-�������.

\�����

{\�� ��� 2:} ���������������� ���������, ��� 
������� �������-����\-��������� ����� 
$\lambda = \frac{n}{2^k}$ � $[0,1]$ ������� ���������������
�������� ��������, ����� ����� ����� $x_{\lambda}$ �����, ��� 
$d(x_{\lambda}, x_0)=\alpha|\lambda|$ � $d(x_{\lambda}, �_1)=\alpha|1-\lambda|$.
����� $\lambda, \mu$ -- �������-������������ ����� � $[0,1]$
�� ������������� $2^m$. ����� $x_{\lambda}$, $x_{\mu}$, ����������
������������� �������, ����������� 
������� � ������ ������� ����� $\frac \alpha {2^m}$,
� ����� ���� ������� ����� $|\lambda-\mu| 2^m$. 
��� ���� $d(x_{\lambda}, x_\mu)\leq\alpha|\lambda-\mu|$
� ���� ����������� ������������ (����� ������� �� ������
���������� ����� �������).
� ������ �������, ����� ���� ���� �������� 
\[ 
 \sum_{i=0}^{2^n-1} d\left(x_{\frac{i}{2^n}},x_{\frac{i+1}{2^n}}\right)
\]
����� $\alpha$, ��������������, � ������ �������,
������������ �� ���� ��������, ����������� ������������
�������� ����������. ��� � ����
\[ d(x_{\lambda}, x_\mu)=\alpha|\lambda-\mu|.
\]
{\�� ��� 3:} 
�� �������� ��������������, � ��������� �� �����������
��������� $\alpha$, �������� ��������� �������-������������
����� � $M$. ��������� �� ����������, ������� ���� $\gamma$,
����������� $x_0$ � $x_1$, ����� �������� ����� $d(x_0, x_1)$.
\��������





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������������ �����}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


����������� ����������� ������������ ���� ����������
����� (1905) � ���������� (1913), �� �� ���� ������������
������� �� ��������� �������������. � 1920-� ���������
� ����������� �������������� ����������� �������������
������, �� �� ���� �� ��������� ������������ � 
��������� ���������. ��������������, �� �� �����
�������� ���������� � ���������� �������.

������������� ���������� �� ��������� �������������
���� ������� �������� ������ � �������, ������� ���������� ����������������
����������. ��������� �������� ������������ �����������
����������� ���� �� ������ ����� ���������� � ��������, 2009:
{\scriptsize \url{http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic540503.files/230b09HopfRinow.pdf}}

������ �� 1960-�,
������������ ��������� �� ��������� ���������
���� ����� ��� ������� "La G\'eom\'etrie des espaces de Riemann"
(1928), ����������� � ������������ � 1946. ���� �� ������
������� ���� �����, ������ �������� 

{\�� ...La notion g\'en\'erale de vari\'et\'e est assez difficile \`a d\'efinire
avec pr\'ecision...}

"...� ����� ��������, ������ ����������� ������������ -- ������� �������" 
(�������� 56). � ��������� �� ���������������� ���������, ������
�� ��������� �������� ���������� "������ �� ���������������� ���������"
(1962) �� ���� ������� ����������� ������������, � �� �����������
����������������� ��������� � "�������������� ���������". � ��������
������������ ����� �������, ���� �������� �������� �� ������
���������������, ���������� ��������, �� ��� ������� �����������,
�����������, ���� �� ����. ����������� ������������ ���� ������
�������� ���������, �� �� ������ ������������ 
�������������� ������������. ������ ��� ������ 
����������� �������� ������������ � ���������� �� ���������
��������� � ���������� (1962), � ������������ � ��������
����� "Introduction to differentiable manifolds".


������� �����-������ ���������� ����������,
��� ``������������� �������'' (�������������
���������� �������������) ����������� �����������.
� ���� �������� ���������� ����,
������ �����-������ �� ���������� 
������� ������������� �����������, ��������
� ��������� � ������� ���-�������, ����������
����������� ������ �����, ��� ��� �� �� �����
�������� � ����� �������� ��� �����������
�����������. �� ��� �� ����� � ������,
���������� � ����������� ������������� ������
���� ������ �������, ��� ������������ ����������
����� ������� -- ���������� ``����������� ����� 
���������''. 

������ ������� ����������� ������������ ``��������'',
���� ��� ����� ���� ����� $x, y\in M$ ���� $z$
�����, ��� $d(x,y)=d(y,z)$, � $d(x,z)+d(z,y)=d(x,y)$.
������� � ��������, ���������� � 1953-�, 
������� ����� ������������ ``��������� �� �������'',
�� � ���������� �� ����� �������� ``��������� �� ��������''.
��������� ������������� ��������, ������ �������, ���
��� ����� � �������� �� ������� ������������ �����������
������ ��������� ����������. ������������ ���� ���������
��� ����������� ��� ������������� �������� �������� ����������� �������� 
����������\footnote{Aronszajn, N. Neuer Beweis der Streckenverbundenheit vollst\"andiger konvexer R\"aume, Ergebnisse eines Math. Kolloquiums (Wien) 6 (1935), 45-56}, �������� ����������� � �����. 
��� �������������� �����-����� ��������� ����, �������
� ��� � ���� ������. 

����� ����, ������ ������ �� ����� ���������
������� ���� ������� ``�������� ������-�������''
� �������� ����������������� ���������, ������ ����
������������ �� �����������, ������� �������������, 
����������� � ��������. 

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Karl_Menger_1970_Shimer_College_Wiki.jpg,width=0.50\linewidth}\\
{\small \it Karl Menger Jr.,  
\\ January 13, 1902 - October 5, 1985}
\end{center}
\end{figure}

���������� �����-������ � 
���-������� ���� ������� ��������, �� ������� ����
� ��������� ��������� ������ �������, ����������
��� �������� � ��������� ��������� 
�����������\footnote{Blumenthal L.M. Theory and applications 
of distance geometry (1953).}
������� ���������� ���-������� ��� �����-������ ���.
���-������ ��������� �� �����-������, �� 
��� ������� ������ �� �����. �������, ������������
����������� �����������, ����������� �� ������ ������ ��� 
������� �� ����������� ���������,
��� ������� ������������, ������ ���������, ���� ������������
�� ����� �. �. ������������. � ����������� ��������
���������� �������� ������-�������
����������� �������� �������� �������������-������.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������ ������������ ���-������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

������ ���-������ (28 May 1902 -- 25 June 1936)
������ ����� �������� ��� ������� ��������
������� ������ ``��������� ���������'', ���������� ������ � ����������.
�� ������� �� ��������, � ��� �� ������� ����������� � ������ �������� 22 ����.
��� ������������� ��� ������ ������, ������ ��������� � �������,
������������� ��� ��� �������� ��������� ����������
������� �������, ����������� �� ������������ ������.
���-������ ������� ����������� � ���������� ���
������������ �������, � � 1930-� ���� ������-�������� � ������.
�� ������� ������ � 1933-� ���� 
����� ����, ��� ������� ������� �����, ����������� ����������
��������� �����������. � 1934 ���� ���-������ 
�������� � ����, �� ����������� ������� �����, 
� ���� ����������� �������� ��������������.



%\begin{figure}[ht]
%\begin{center}
%\epsfig{file=Cohn-Vossen2-small.jpg,width=\linewidth}\\
%{\small \it  ������ ���-������}
%\end{center}
%\end{figure}



����  ���������� � ���� � 1929-�� �� 1937-��. �
1937-� ���� �� ��� ������
�� ����, ��� ��������� ��������, � ���������� � ������,
��� ������������� � �������� ������� � ����� �����
�� ��������. ���-������ ���� �� ���������� ������ 
����� 1936-�� ����, � ������, 34 ��� �� ����. 

��� ���, ����� �������, ������ ����������. ���� �����,
������� ���� ���� ����� � ���� ������� ���������, �������������� 
�� ��������� ����� �� �������� � ����, ��� ��������� ���� �
1937-� ����, ������� 25 ���, ���������� ������ 1941-�
� ����. �������� �. �. ��������, ������� �� �������, �����
������� ������������� ��������� ����� ����������� �
������ ������� ���������� ��������� XX ���� ��� �����������
����� ������, � ������������ ��������� ���� �� �����
���� �������� ����������. ����� ����� ������, ������� �
���������, �������: �� ���� ������� � ��������. � ���� �������
� ��� ��� �� ���� ��������� ����������� (������ � ������
������ ����������� ������� ������). ������ �����
�����������, � ����� ������� � ��������, � ������������
��������� ������������ � ���.

���-������ ������������ ����� ��������� �����������
���������������� ���������, ���� �� �����������.
��� ������ ������ ��������� ������������ ������������.
������� ���-������� � �������������� ��������
������������ ���� �������� �. �. ������������� � 
�. �. �����������, ���� ������� ��� �����������
������ ��������� �����-������ � ������������� 
��� ����� � ������������� ������-��. � ������
�� � ������� ������������ ��������� �����-������,
�� ������� ��� ���� ������, ���� ����� ��� ������;
���� �� ��� �� ����������. ����� ���-������
������� �������� ���������� ��������� �����������,
������������ ���������� ���� �����
�� ������ � ��������� ���������� ��������������.


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Elfriede-Cohn-Vossen.jpg,width=0.70\linewidth}\\
{\small \it �������� � ������ ���-������}
\end{center}
\end{figure}



� ������ 1930-� ���-������ ����������
��������� ���������������� ��������� ``� �����''.
�� ���������� ������������� �������������
(������� �����-������-���-�������) � ���������
�� ���������, �������� � ��������� ������������.
��������, �� ����������, ��� ��������� ����������
������������ � ������������� ��������� ��� �����,
� ��� ����������, ��� ���������� ������������ �������������
���������� �������� �� ����� ����� ������������� 
��� ����������� �����, ����� ������������� ���
������������, � �������� �� �������� �������������,
������� ����������� $\R$, �� ���� ������������ � 
��� ������� �����������.


���� �� ����, ��� � 1947-� ���� �. �. �����������
���������� � �������� ���-������� � ���������
������� ����� ��� ������ ����� (� ���������
������������ � ������� ������ ������� �����) -
������� ���-������� �� ���������� ������������
�. �. ������������ (� ����� ���� � �� ���
������� ��������� � XX ����) ���� ������������.

����� ������� �����������, 
���-������ ��� ���������� � ������������.
������� ����� ��������� ���-�������, ��� ���������� 
� ����������� ����������� �� ����� ������������ �����, ���
���-������ ��� ����������� � 1930-1933:
{\scriptsize \url{http://www.mi.uni-koeln.de/home-institut/alle/Personen/HistorischesZumInstitut/Person.de.html&COHN-VOSSEN,Stefan}}

����� ��� ������, ���� ���-������� �������� ����� �����
�� �������� �������, ��������� ��������, �����������
� ������� ����������. � 1930-� ������� ��� ����������
������� ��������� � ��������� �� �������� �������
� �����������, � ����� ����� ����� � ���, ��� ����
������� ����������� � �����������. �������, � �������
�������� ���������� �� ������ ����������: ��� ����
������ ��� ��������� � ���� �������� ����������� ����.

��� ���-������� � �������� -- ��������� ��������-����������
�������� ������ ���-������, ������������ �����������
�������� ���������������� �������.




\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Cohn-Vossen3-small.jpg,width=0.50\linewidth}\\
{\small \it ������ ���-������ � ��������� �������� ������������}
\end{center}
\end{figure}


\end{document}



