\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, url, amssymb, theorem, fancyhdr, russcorr, russlh, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

% version 1.0,\ \   15.02.2016
% version 1.1,\ \   23.02.2016, добавил доказательство того, что
% длина пути на спрямляемых путях непрерывна по t

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   23.02.2016}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2016,
лекция 2} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
%\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\newcommand{\дшаг}{{\бф Доказательство. Шаг 1: }}
\newcommand{\ендпрооф}{{\endproof}}


\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ } 

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{1}
\lhead{{\scriptsize Метрическая геометрия, лекция 2:  внутренние метрики}}
\chapter{Метрическая геометрия,  лекция 2:\\  внутренние метрики}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Общая топология: введение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для удобства читателя, я соберу тут некоторые
определения из общей топологии. В принципе, предполагается,
что читателю они известны; для первого знакомства можно
прорешать первый листочек из этого курса, а еще лучше -- проработать
какой-нибудь учебник с основами топологии.

\определение
Пусть $M$ - множество, а ${\cal U} \subset 2^M$
набор подмножеств, называемых {\bf открытыми}. 
${\cal U}$ {\bf  задает топологию}
на $M$, если 
\begin{description}
\item[(i)] Любое объединение открытых подмножеств открыто.
\item[(ii)] Конечное пересечение открытых подмножеств открыто.
\item[(iii)]  $M$ и пустое множество $\emptyset$ открыты.
\end{description}
Такое $M$ называется {\bf топологическим пространством}.
\ео

\определение
{\бф Замкнутым множеством} называется множество, 
дополнение которого открыто.
\ео

\определение
{\бф Базой топологии}  на $M$ называется
набор ${\cal U}$ подмножеств $M$,
состоящий из открытых множеств, и такой,
что любое открытое подмножество $M$ получено
из элементов ${\cal U}$ взятием
объединений.
\ео

\определение
{\бф Окрестностью} подмножества $Z\subset M$ называется
любое открытое множество, содержащее $Z$. {\bf Замыканием}
подмножества $Z\subset M$ называется пересечение
всех замкнутых подмножеств, содержащих $Z$.
\ео


\определение
Отображение $\phi:\; M \arrow N$ называется
{\bf непрерывным}, если прообраз любого открытого множества открыт.
\ео

\определение
{\bf  Пределом} последовательности $\{x_i\}$ точек $x_i\in M$
называется такая точка $x\in M$, что в любой окрестности
$x$ содержатся почти все элементы $\{x_i\}$.
\ео

\определение
Пусть $M$ - множество. {\bf Метрикой} на $M$ называется
функция $d:\; M\times M\arrow \R^{\geq 0}\cup \infty$, удовлетворяющая
следующим условиям
\begin{description}
\item[Невырожденность:] $d(x,y)=0$ тогда и только тогда,
когда $x=y$.
\item[Симметричность:]  $d(x,y)=d(y,x)$
\item[Неравенство треугольника:]  $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$
\end{description}
для любых точек $x,y,z\in M$.
\ео


\определение
Если $x\in X$ -- точка, а $\epsilon$ -- вещественное число,
множество
\[ B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \  | \ \  d(x,y)< \epsilon\}\]
называется {\bf (открытый) шар радиуса $\epsilon$ с центром в $x$},
или  {\bf  $\epsilon$-шар}.  {\бф  Замкнутый шар} это
\[ \overline B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \  | \ \
d(x,y)\leq \epsilon\}.
\]
\ео

\определение
{\бф  Открытое множество} в метрическом пространстве $M$
есть объединение открытых шаров. 
\ео

\задача
Докажите, что это задает топологию на $M$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Общие метрики и внутренние метрики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Общая метрика не определяется своими локальными свойствами.
Некоторые свойства метрических пространств являются {\бф локальными}.
Например, если каждая точка метрического пространства $M$ имеет
окрестность, замыкание которой полно, $M$ тоже полно. Но восстановить
произвольную метрику из ограничения на элементы покрытия невозможно.

Для иллюстрации этого, рассмотрим метрическое пространство
$(M,d)$, и положим $d_1(x,y):= \min(1, d(x,y))$.
Легко видеть, что $d_1$ удовлетворяет двум из трех
аксиом метрики (симметричность, положительность).
Чтобы убедиться, что $d_1(x, y) \leq d_1(x,z) + d_1(z, y)$,
мы докажем более общее утверждение. 


\хфилл

\лемма
Пусть 
$\tau:\; \R^{\geq 0}\arrow \R^{\geq 0}$ 
монотонное отображение, вогнутое ("выпуклое вверх"), причем
$\tau(0)=0$, а $(M, d)$ -- метрическое пространство.
Тогда $d_\tau(x,y):=\tau(d(x,y))$ тоже метрика.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Вогнутость $\tau$ равносильна тому,
что $\tau(x+y) \leq \tau(x)+\tau(y)$ (проверьте это).
В частности, функция $m_1(a):=\min(1, a)$
вогнута (проверьте). С другой стороны,
неравенство треугольника для $d_\tau$
следует из монотонности и $\tau(x+y) \leq \tau(x)+\tau(y)$ (проверьте)
\ендпрооф



\определение
Рассмотрим метрическое пространство
$(M,d)$, и положим $d_r(x,y):= \min(r, d(x,y))$.
Метрическое пространство $(M, d_r)$, полученное
из $(M,d)$, называется {\бф обрезанным} (cutoff metric space).
\ео

Такое метрическое пространство не "локально":
каждый шар радиуса $\leq \frac 1 2$ в $(M, d)$
изометричен такому же шару в $(M, d_1)$, но эти две
метрики, вообще говоря, не эквивалентны.

Также, в $(M, d_1)$ не верна 
теорема Хопфа-Ринова (см. следующую лекцию):
замкнутые, ограниченные подмножества $(M, d_1)$
не компактны, даже если $(M, d_1)$ локально компактно.

Для многих потребностей метрической геометрии и топологии
без локальности обойтись невозможно. Как известно, основная
конструкция алгебраической топологии -- склейка топологических
пространств; в этой науке, основные примеры топологических пространств
получаются из полиэдров и шаров склейкой границ. 

В метрической геометрии, полиэдральные пространства
играют такую же центральную роль. Но если у нас нет локальности,
операция склейки не имеет смысла: даже если мы знаем
локальное поведение нашей метрики, расстояние на больших
дистанциях не определено. Поэтому воленс-ноленс приходится работать
с локальными метриками.

Самый простой способ добиться локальности -- ограничиться
{\ем внутренними метриками}. В этой лекции я определю внутренние метрики
и объясню, как их строить.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Функционал длины на путях}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Напомню, что {\бф путь} в топологическом пространстве $M$
есть непрерывное отображение из отрезка $[a, b]$ в $M$.
{\бф Концы} пути $\gamma:\; [a, b] \arrow M$ суть точки
$\gamma(a), \gamma(b)$. В такой ситуации также говорится,
что путь $\gamma$ {\бф соединяет точки $a$ и $b$}.

По разным причинам, о которых я расскажу немного погодя,
нам будет удобнее определять метрику в терминах путей и функционала
длины на путях. При таком подходе, мы сначала определяем
"длину пути", а потом определяем расстояние между точками
как инфимум длин всех путей, соединяющих эти точки.

Длину пути можно определить аксиоматически, следующим образом.

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Говорится, что на $M$ {\бф задан класс допустимых путей},
если задано "множество допустимых путей" $[a,b] \arrow M$ и выполнены
следующие условия
\begin{description}
\item[склейка путей]  Для любых двух путей $[a,b] \stackrel {\gamma_1}\arrow M$
и $[b,c] \stackrel {\gamma_2}\arrow M$, удовлетворяющих
$\gamma_1(b)=\gamma_2(b)$, путь $\gamma:\; [a,c]\arrow M$,
равный $\gamma_1$ на $[a,b]$ и $\gamma_2$ на $[b,c]$,
тоже допустим. Такая операция называется {\бф  "склейка путей".}
\item[замена параметра]
Если $\phi:\; [a,b]\arrow [c,d]$ -- линейное отображение,
а путь $\gamma:\; [c,d]\arrow M$ допустим, путь
$\phi\circ\gamma$ тоже допустим.
\item[ограничение]
Для каждого пути $[a,b] \stackrel {\gamma}\arrow M$,
и отрезка $[c,d]\subset [a,b]$, ограничение
$\gamma|_{[c,d]}$ -- тоже допустимый путь.
Здесь, как и везде, $\gamma|_{[c,d]}$
обозначает {\бф ограничение пути,} то есть 
ограничение функции $\gamma:\; [a,b]\arrow \R$
на отрезок $[c,d]\subset [a,b]$.
\end{description}
\ео

\пример
{\бф Кусочно-линейные пути} (ломаные) в $\R^n$ образуют 
допустимый класс путей.

\хфилл

\пример 
{\бф Кусочно-полиномиальный путь} получен склейкой
конечного числа путей $\gamma_i:\; [x_i, x_{i+1}]$,
заданных полиномиальными отображениями.
 Кусочно-полиномиальные пути в $\R^n$ образуют 
допустимый класс путей.

\хфилл

\пример 
{\бф Кусочно-гладкий путь} получен склейкой
конечного числа путей $\gamma_i:\; [x_i, x_{i+1}]$,
заданных гладкими отображениями. 
Кусочно-гладкие пути в $\R^n$ образуют 
допустимый класс путей.


\определение
{\бф $C$-Липшицево отображение} есть отображение метрических
пространств $\phi:\; M \arrow M'$, удовлетворяющее
$Cd(x,y) \geq d(\phi (x), \phi(y))$. {\бф Липшицево
отображение} есть $C$-липшицево с какой-то константой $C$.
\ео

\пример
{\бф  Липшицевы пути} образуют допустимый класс.


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
допустимым классом путей. Функционал $L(\gamma)$, 
отображающий допустимые пути в числа, называется
{\бф функционалом длины}, если он удовлетворяет следующим
условиям.

\begin{description}
\item[1. Аддитивность длины.]
Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, 
и любого $b\in [a,c]$, имеет место 
равенство $L(\gamma)=L(\gamma|_{[a,b]})+
L(\gamma|_{[b,c]})$.
\item[2. Непрерывность длины пути
как функции от параметра.] 
Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, 
функция $L(\gamma\restrict{[a,b]})$
непрерывно зависит от $b\in [a,c]$.
\item[3. Замена параметра.] Если
$\phi:\; [a,b] \arrow [c,d]$ -- гомеоморфизм отрезков,
а $\gamma:\; [c,d] \arrow M$ и $\phi\circ \gamma:\; [a,b] \arrow M$ --
допустимые пути, то $L(\gamma)= L(\phi \circ \gamma)$.
\item[4. Длина пути согласована с топологией.]
Пусть $Z$ -- замкнутое подмножество $M$, а $x\notin Z$
точка, не лежащая на $Z$. Тогда  существует число $\epsilon >0$
такое, что любой путь, соединяющий $x$ с какой-то точкой $Z$,
имеет длину $\geq \epsilon$.
\end{description}
\ео

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины.
{\бф  Метрика путей, связанная с функционалом
длины} $d_L:\;M\times M \arrow \R^{\geq 0}$
определяется как $d_L(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где
инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$.
\ео


\утверждение
 Это метрика.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
 Симметричность $d_L$ следует из замены параметра
$t \arrow (b-t)+a$ в пути $\gamma:\; [a, b]\arrow M$
(из пути, соединяющего $a$ и $b$, получаем путь,
соединяющий $b$ и $a$, той же длины).


 Положительность $d_L(x,y)$, $x\neq y$ следует из условия 4
("Длина пути согласована с топологией"),
примененного к $Z=y$. В самом деле, существует такое
$\epsilon>0$, что любой путь, соединяющий $x$ и $Z$, имеет
длину $\geq \epsilon$.

Неравенство треугольника доказывается
через склейку путей. Пусть $\gamma_1$ -- путь,
соединяющий $x$ и $y$, длины $d_L(x,y)+\epsilon$, а
$\gamma_2$ -- путь,
соединяющий $y$ и $z$, длины $d_L(y,z)+\epsilon$.
Склеив $\gamma_1$ и $\gamma_2$, получим путь
$\gamma$, соединяющий $x$ и $z$, длины
$d_L(x,y)+ d_L(y,z)+2\epsilon$, что дает
\[ d_L(x,y)+d_L(y,z) + 2\epsilon \geq d_L(x,z).\]
\ендпрооф


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Римановы и финслеровы метрики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

На практике большинство метрик
определяются в терминах функционалов длины.

\хфилл

\пример
$M=\R^n$ с обычной топологией, 
класс допустимых путей -- кусочно-линейные
пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, 
а длина пути определяется формулой
$L(\gamma)=\sum |d(x_i,x_{i+1})|$ {\бф ("длина ломаной").}

\хфилл


\утверждение
Построенная по этому функционалу
метрика $d_L$ равна обычной метрике.

{\бф Доказательство:}
Действительно, самая короткая ломаная,
соединяющая две точки -- это отрезок прямой.
\ендпрооф

\хфилл



\пример
{\бф  "переход болота" (конформно плоская метрика):} 
$M=\R^n$, класс допустимых путей - кусочно-линейные
пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, $f:\; \R^n \arrow \R^{>0}$
непрерывная, положительная функция, а длина пути определяется формулой
\[ L(\gamma)=\sum \int_{[x_i, x_{i+1}]} f \] 
(интеграл от $f$ по отрезку
$[x_i, x_{i+1}]$).

\хфилл

\утверждение 
На классе спрямляемых путей, $\gamma \arrow L(\gamma)$
задает функционал длины.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Единственное нетривиальное место -- свойство
2 (непрерывность длины пути как функции его концов).
Пусть $\gamma:\; [a, b]\arrow M$ -- спрямляемый путь. Достаточно
доказать, что \[
\lim\limits_{b_1\rightarrow b} L\left(\gamma\restrict{[b_1,
b]}\right)=0.
\]
Пусть $a=x_1, ..., x_n=b$ -- такое разбиение отрезка $[a, b]$, что
\[ \sum d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1}))\geq
L(\gamma)-\epsilon,\] 
причем последний отрезок имеет длину не больше $\epsilon$: 
\[ d(\gamma(x_{n-1}), \gamma(x_{n}))\leq \epsilon.\]
Тогда для каждого $b_1\in [x_{n-1}, x_n]$, длина 
$L\left(\gamma\restrict{[b_1, b]}\right)$ не больше, чем $\epsilon$ плюс
длина отрезка $\gamma(x_{n-1}), \gamma(x_{n}))$, 
то есть не больше, чем $2\epsilon$. Это значит, что
для каждого $\epsilon >0$, имеем 
$L\left(\gamma\restrict{[b_1, b]}\right)\leq 2\epsilon$
для $b_1$, достаточно близких к $b$.
\ендпрооф

\хфилл

\пример
Длина кусочно-гладкого пути
$\gamma:\; [a,b]\arrow \R^n$ с евклидовой метрикой 
вычисляется по формуле $L(\gamma(t)):= \int_a^b |\gamma'(t)| dt$.

\задача
Докажите, что это функционал длины, и 
соответствующая метрика $L_d$ -- обычная,
плоская.
\ез

\пример
{\бф "Финслерова метрика"} \\
Пусть $U\subset \R^n$ открытое подмножество,
а $\nu_x:\; T_x\R^n\arrow \R$ -- норма на касательном
пространстве, непрерывно зависящая от $x$. Для
кусочно-гладкого пути $\gamma:\; [a,b]\arrow U$, определим
\[ 
 L_\nu(\gamma(t)):= \int_a^b \nu_{\gamma(t)}(\gamma'(t)) dt
\]

\утверждение
Это функционал длины.

{\бф Доказательство:}
Условия аддитивности и непрерывности очевидны.

Чтобы доказать согласованность с топологией,
выберем такую константу $\delta$, что
$\nu_x(v) \geq \delta |v|$ в открытом
$V\ni x$, не пересекающем $Z$. Тогда каждый путь $\gamma$,
соединяющий $x$ и границу $\partial V$, удовлетворяет
$L_\nu(\gamma) \geq \delta L(\gamma)$, где
$L$ -- длина $\gamma$ в евклидовой метрике.
Но $L(\gamma) \geq d(x, \partial V)$, а это число положительно,
так как $\partial V$ замкнуто.

 Инвариантность $L_\nu$ при репараметризации
следует из формулы 
\begin{multline*} 
L_\nu(\phi\circ\gamma)=\int_a^b \nu_{\gamma(\phi(t))}(\phi\circ\gamma)'(t) dt=\\=
   \int_a^b \nu_{\gamma(\phi(t))}(\phi'(t)\gamma'(\phi(t))
   dt= \int_a^b
   \phi'(t)\nu_{\gamma(\phi(t))}(\gamma'(\phi(t)) dt
=\\ = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)}
\nu_{\gamma(\phi(t))}(\gamma'(\phi(t)) d\phi(t) = L_\nu(\gamma)
\end{multline*}
\ендпрооф

\определение
{\бф Финслерова метрика}
на $U$ определяется как внутренняя метрика,
определенная функционалом длины $L_\nu$.
\ео

\определение
Пусть $U\subset \R^n$ -- открытое подмножество,
а норма $\nu_x:\; T_x\R^n\arrow \R$ задается формулой
$\nu_x(v) = \sqrt{g_x(v,v)}$, где $g_x\in \Sym^2 T_x^*
\R^n$ -- положительно определенное скалярное 
произведение, заданное гладким отображением
$U \arrow \Sym^2 \R^n= \Sym^2 T_x^*\R^n$.
В такой ситуации $g_x$ называется {\бф римановой формой}
на $U$, а соответствующая метрика путей
{\бф римановой метрикой} на $U$.
\ео

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Спрямляемые пути и внутренние метрики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Приведенный выше формализм естественно появляется
в ситуации, когда метрика определяется через длину пути.
Оказывается, что длину пути можно определить для любой
метрики; это дает функционал длины, который
называется {\бф внутренним} (intrinsic).
Соответствующая метрика тоже называется
{\бф внутренней}. Не любая метрика внутренняя,
но внутренние метрики образуют важный класс
метрик, замкнутый относительно многих естественных
операций на метрических пространствах.


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение
отрезка $[a,b]= [a,x_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$
Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим
\[ L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).\]
Определим {\бф  длину пути} $\gamma$ формулой
\[ L_d(\gamma):= \sup_{a<x_1< ... <x_{n-1}<b}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}).
\]
где супремум берется по всем разбиениям отрезка.
Путь $\gamma$ называется {\бф спрямляемым}, если
$L_d(\gamma)<\infty$. 
\ео


\пример
Любой липшицев путь -- спрямляемый (докажите это).

\замечание
Любой кусочно гладкий путь -- липшицев 
(докажите это).
\еза

\утверждение
Пусть $M$ -- произвольное метрическое пространство.
 Тогда спрямляемые пути образуют допустимый класс, а
$L_d$ является функционалом длины. 

\задача
Докажите это.
\ез

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
а $L_d$ -- функционал длины на спрямляемых
путях. Обозначим соответствующую внутреннюю
метрику $d_{L_d}$ за $\hat d$. Она называется
{\бф  внутренней метрикой, индуцированной с $d$.}
\ео



\теорема
Для любого метрического пространства, $\hat {\hat d}=\hat d$.

\хфилл

\дшаг 
Длина пути, соединяющего $x$ и $y$, не меньше, чем 
$d(x,y)$, в силу неравенства треугольника.
Поэтому $\hat d\geq d$.

{\бф  Шаг 2:}
Поскольку $\hat d\geq d$, имеем
$L_d(\gamma) \leq L_{\hat d}(\gamma)$ для
любого пути.


{\бф  Шаг 3:}
Пусть $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- спрямляемый путь.
Выберем такое разбиение отрезка $[a,b]$, что  
$L_{\hat d}(\gamma) - \sum 
 \hat d (\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1})) <\epsilon.$
Тогда
\[
L_{\hat d}(\gamma) -\epsilon \leq
\sum_i \hat d\left (\gamma\restrict{[x_i,x_{i+1}]}\right) \leq
\sum_i L_d\left(\gamma\restrict{[x_i,x_{i+1}]}\right)
= L_d(\gamma).
\]
Устремляя $\epsilon$ к нулю, получаем $L_{\hat d}(\gamma) \leq
L_{d}(\gamma)$, что дает $\hat d\leq d$.
\endproof

\хфилл

\определение
Метрика $d$ на $M$ называется {\бф внутренней},
если $\hat d=d$.
\ео

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Внутренние метрики и функционалы длины}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Оказывается, что  метрика путей, полученная из функционала длины,
всегда внутренняя.

\хфилл

\теорема
Пусть $(M, d)$ -- пространство с метрикой путей, построенной
по функционалу длины $L$. Тогда $d$ внутренняя.

\хфилл

\дшаг
Для каждого допустимого пути $\gamma$, соединяющего $a$ и $b$ в $M$,
имеем $d(a,b) \leq L(\gamma)$. С другой стороны,  $L_d(\gamma)$ есть супремум 
$\sum_i d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1}))$ по всем разбиениям пути $\gamma$.
Значит, для каждого $\epsilon>0$ найдется разбиение пути 
$\gamma$ такое, что
\[ L_d(\gamma)\leq \sum_i d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1}))+\epsilon\leq
\sum_i L(\gamma_{[x_i, x_{i+1}]})+\epsilon= L(\gamma) +\epsilon
\]
 Это дает $L_d(\gamma) \leq L(\gamma)$, то есть
 $\hat d \leq d$.

\хфилл

{\бф Шаг 2:} По определению, $\hat d(x,y)$ есть 
инфимум $L_d$-длин всех спрямляемых путей, соединяющих $x$ и
$y$. Значит, для любого заданного $\epsilon >0$,
найдется спрямляемый путь $\gamma$, соединяющий $x$ и $y$,
и его разбиение $\gamma=\bigcup \gamma_{[x_i, x_{i+1}]}$
такое, что
\[ \hat d(x, y) \geq L_d(\gamma)-\epsilon \geq
\sum_i d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1}))-2\epsilon\geq
 d(x, y)-2\epsilon.
\]
Устремляя $\epsilon$ к нулю, получаем $\hat d \geq d$.
\ендпрооф


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Упражнения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Задачи в этом разделе сделаются существенно проще, когда
вы прочтете следующую главу. Пока вы ее не прочли,
имеет смысл поломать над ними голову. Если ничего
не получится -- не огорчайтесь, а читайте дальше.

\задача
Пусть $S^2 \supset \R^3$ -- подмножество $\R^3$ с плоской метрикой $d$.
Ограничим $d$ на $S^2$. Докажите, что полученная метрика не внутренняя.
\ез

\задача В этой же ситуации, рассмотрим 
соответствующую метрику $\hat d$. Докажите, что
$\hat d(x,y)$ равна углу дуги большого круга, проходящего
через $x, y$.
\ез

\определение
{\бф Кратчайшей} называется путь
$\gamma$, соединяющий $x$ и $y$, такой, что $L(\gamma)=d(x,y)$.
\ео

\пример 
На сфере $S^2$ с внутренней метрикой, построенной выше,
кратчайшие суть дуги большого круга длины $\leq \pi$
(докажите это).


\задача
Пусть $M$ -- компактное метрическое
пространство с внутренней метрикой.
 Докажите, что любые две точки можно соединить
кратчайшей.
\ез

\задача
Пусть $M=\R^n$ -- векторное пространство с нормой $\nu$ и метрикой
$d(x,y)=\nu(x-y)$. Докажите, что эта метрика внутренняя,
а отрезки прямых являются кратчайшими.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{История внутренних метрик}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Определение длины отрезка, приведенное выше, принадлежит Буземану
(Herbert Busemann, The geometry of geodesics, 1955), 
но его можно (в совершенно нестрогом изложении) найти в книжке
А. Д. Александрова "Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей"
(1946, издана в 1948). У Александрова также есть неформальное
(но достаточно точное) определение внутренней метрики.
Никакой библиографии (никакой вообще)
у Александрова нет. Возможно, ее удалили по случаю кампании
"борьбы с космополитизмом", а может ее и не было. 
Строгое определение внутренних метрик и функционалов длины
приводится у Громова, "Metric Structures for Riemannian and 
Non-Riemannian Spaces". До Громова, геометры пользовались
понятием "выпуклого метрического пространства",
введенного Карлом Менгером Мл. в 1930-х: метрическое пространство
называется "выпуклым", если любые две точки $x, y$ с $d(x,y)=r$
можно соединить геодезической длины $r$. 


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=AD_Aleksandrov.jpg,width=0.45\linewidth}\\
{\small \it А. Д. Александров, \\ 22.07(4.08).1912, с. Волынь Рязанской губ.  -- \\ 
27.07.1999, Санкт-Петербург}
\end{center}
\end{figure}











\end{document}



