\documentclass[11pt]{book} \usepackage{amsmath, url, amssymb, theorem, fancyhdr, russcorr, russlh, epsfig} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} % version 1.0,\ \ 15.02.2016 % version 1.1,\ \ 23.02.2016, добавил доказательство того, что % длина пути на спрямляемых путях непрерывна по t \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 23.02.2016} \setlength{\headheight}{15pt} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2016, лекция 2} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % equations % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} %\@addtoreset{footnote}{section} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % listki-new.tex % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Spec{\operatorname{\sf Spec}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{upshape} \newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter] \begingroup \gdef\th@generic{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{generic} \newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение} \newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание} \newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание} \renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.} \newcommand{\listok}[2]{% \setcounter{page}{1} \renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil} \renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil} \section*{#2} \refstepcounter{section} \setcounter{section}{#1} } \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Chapter % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\chapter}{% \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred} \def\ChapterNumbered[#1]#2{% \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1} \refstepcounter{chapter} { \vspace{\baselineskip} \chaptermark{#2} { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}} } \vspace{\baselineskip} } \newcommand{\ChapterStarred}[1]{% \refstepcounter{chapter} \chaptermark{#1}% \vspace{\baselineskip}} \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}} \newcommand{\пример}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\лемма}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\теорема}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\утверждение}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\дшаг}{{\бф Доказательство. Шаг 1: }} \newcommand{\ендпрооф}{{\endproof}} \def\хфилл{\hfill} \def\ноиндент{\noindent} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\задача{\begin{zadacha}} \def\ез{\end{zadacha}} \def\замечание{\begin{zamechanie}} \def\еза{\end{zamechanie}} \def\указание{\begin{ukazanie}} \def\еу{\end{ukazanie}} \def\eu{\end{ukazanie}} \def\определение{\begin{opredelenie}} \def\ео{\end{opredelenie}} \def\eo{\end{opredelenie}} \def\goth{\mathfrak} \def\енум{\begin{enumerate}} \def\ее{\end{enumerate}} \def\ee{\end{enumerate}} \def\итем{\item $\bullet$ } \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{1} \lhead{{\scriptsize Метрическая геометрия, лекция 2: внутренние метрики}} \chapter{Метрическая геометрия, лекция 2:\\ внутренние метрики} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Общая топология: введение} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для удобства читателя, я соберу тут некоторые определения из общей топологии. В принципе, предполагается, что читателю они известны; для первого знакомства можно прорешать первый листочек из этого курса, а еще лучше -- проработать какой-нибудь учебник с основами топологии. \определение Пусть $M$ - множество, а ${\cal U} \subset 2^M$ набор подмножеств, называемых {\bf открытыми}. ${\cal U}$ {\bf задает топологию} на $M$, если \begin{description} \item[(i)] Любое объединение открытых подмножеств открыто. \item[(ii)] Конечное пересечение открытых подмножеств открыто. \item[(iii)] $M$ и пустое множество $\emptyset$ открыты. \end{description} Такое $M$ называется {\bf топологическим пространством}. \ео \определение {\бф Замкнутым множеством} называется множество, дополнение которого открыто. \ео \определение {\бф Базой топологии} на $M$ называется набор ${\cal U}$ подмножеств $M$, состоящий из открытых множеств, и такой, что любое открытое подмножество $M$ получено из элементов ${\cal U}$ взятием объединений. \ео \определение {\бф Окрестностью} подмножества $Z\subset M$ называется любое открытое множество, содержащее $Z$. {\bf Замыканием} подмножества $Z\subset M$ называется пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих $Z$. \ео \определение Отображение $\phi:\; M \arrow N$ называется {\bf непрерывным}, если прообраз любого открытого множества открыт. \ео \определение {\bf Пределом} последовательности $\{x_i\}$ точек $x_i\in M$ называется такая точка $x\in M$, что в любой окрестности $x$ содержатся почти все элементы $\{x_i\}$. \ео \определение Пусть $M$ - множество. {\bf Метрикой} на $M$ называется функция $d:\; M\times M\arrow \R^{\geq 0}\cup \infty$, удовлетворяющая следующим условиям \begin{description} \item[Невырожденность:] $d(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$. \item[Симметричность:] $d(x,y)=d(y,x)$ \item[Неравенство треугольника:] $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$ \end{description} для любых точек $x,y,z\in M$. \ео \определение Если $x\in X$ -- точка, а $\epsilon$ -- вещественное число, множество \[ B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \ | \ \ d(x,y)< \epsilon\}\] называется {\bf (открытый) шар радиуса $\epsilon$ с центром в $x$}, или {\bf $\epsilon$-шар}. {\бф Замкнутый шар} это \[ \overline B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \ | \ \ d(x,y)\leq \epsilon\}. \] \ео \определение {\бф Открытое множество} в метрическом пространстве $M$ есть объединение открытых шаров. \ео \задача Докажите, что это задает топологию на $M$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Общие метрики и внутренние метрики} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Общая метрика не определяется своими локальными свойствами. Некоторые свойства метрических пространств являются {\бф локальными}. Например, если каждая точка метрического пространства $M$ имеет окрестность, замыкание которой полно, $M$ тоже полно. Но восстановить произвольную метрику из ограничения на элементы покрытия невозможно. Для иллюстрации этого, рассмотрим метрическое пространство $(M,d)$, и положим $d_1(x,y):= \min(1, d(x,y))$. Легко видеть, что $d_1$ удовлетворяет двум из трех аксиом метрики (симметричность, положительность). Чтобы убедиться, что $d_1(x, y) \leq d_1(x,z) + d_1(z, y)$, мы докажем более общее утверждение. \хфилл \лемма Пусть $\tau:\; \R^{\geq 0}\arrow \R^{\geq 0}$ монотонное отображение, вогнутое ("выпуклое вверх"), причем $\tau(0)=0$, а $(M, d)$ -- метрическое пространство. Тогда $d_\tau(x,y):=\tau(d(x,y))$ тоже метрика. \хфилл {\бф Доказательство:} Вогнутость $\tau$ равносильна тому, что $\tau(x+y) \leq \tau(x)+\tau(y)$ (проверьте это). В частности, функция $m_1(a):=\min(1, a)$ вогнута (проверьте). С другой стороны, неравенство треугольника для $d_\tau$ следует из монотонности и $\tau(x+y) \leq \tau(x)+\tau(y)$ (проверьте) \ендпрооф \определение Рассмотрим метрическое пространство $(M,d)$, и положим $d_r(x,y):= \min(r, d(x,y))$. Метрическое пространство $(M, d_r)$, полученное из $(M,d)$, называется {\бф обрезанным} (cutoff metric space). \ео Такое метрическое пространство не "локально": каждый шар радиуса $\leq \frac 1 2$ в $(M, d)$ изометричен такому же шару в $(M, d_1)$, но эти две метрики, вообще говоря, не эквивалентны. Также, в $(M, d_1)$ не верна теорема Хопфа-Ринова (см. следующую лекцию): замкнутые, ограниченные подмножества $(M, d_1)$ не компактны, даже если $(M, d_1)$ локально компактно. Для многих потребностей метрической геометрии и топологии без локальности обойтись невозможно. Как известно, основная конструкция алгебраической топологии -- склейка топологических пространств; в этой науке, основные примеры топологических пространств получаются из полиэдров и шаров склейкой границ. В метрической геометрии, полиэдральные пространства играют такую же центральную роль. Но если у нас нет локальности, операция склейки не имеет смысла: даже если мы знаем локальное поведение нашей метрики, расстояние на больших дистанциях не определено. Поэтому воленс-ноленс приходится работать с локальными метриками. Самый простой способ добиться локальности -- ограничиться {\ем внутренними метриками}. В этой лекции я определю внутренние метрики и объясню, как их строить. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Функционал длины на путях} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Напомню, что {\бф путь} в топологическом пространстве $M$ есть непрерывное отображение из отрезка $[a, b]$ в $M$. {\бф Концы} пути $\gamma:\; [a, b] \arrow M$ суть точки $\gamma(a), \gamma(b)$. В такой ситуации также говорится, что путь $\gamma$ {\бф соединяет точки $a$ и $b$}. По разным причинам, о которых я расскажу немного погодя, нам будет удобнее определять метрику в терминах путей и функционала длины на путях. При таком подходе, мы сначала определяем "длину пути", а потом определяем расстояние между точками как инфимум длин всех путей, соединяющих эти точки. Длину пути можно определить аксиоматически, следующим образом. \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство. Говорится, что на $M$ {\бф задан класс допустимых путей}, если задано "множество допустимых путей" $[a,b] \arrow M$ и выполнены следующие условия \begin{description} \item[склейка путей] Для любых двух путей $[a,b] \stackrel {\gamma_1}\arrow M$ и $[b,c] \stackrel {\gamma_2}\arrow M$, удовлетворяющих $\gamma_1(b)=\gamma_2(b)$, путь $\gamma:\; [a,c]\arrow M$, равный $\gamma_1$ на $[a,b]$ и $\gamma_2$ на $[b,c]$, тоже допустим. Такая операция называется {\бф "склейка путей".} \item[замена параметра] Если $\phi:\; [a,b]\arrow [c,d]$ -- линейное отображение, а путь $\gamma:\; [c,d]\arrow M$ допустим, путь $\phi\circ\gamma$ тоже допустим. \item[ограничение] Для каждого пути $[a,b] \stackrel {\gamma}\arrow M$, и отрезка $[c,d]\subset [a,b]$, ограничение $\gamma|_{[c,d]}$ -- тоже допустимый путь. Здесь, как и везде, $\gamma|_{[c,d]}$ обозначает {\бф ограничение пути,} то есть ограничение функции $\gamma:\; [a,b]\arrow \R$ на отрезок $[c,d]\subset [a,b]$. \end{description} \ео \пример {\бф Кусочно-линейные пути} (ломаные) в $\R^n$ образуют допустимый класс путей. \хфилл \пример {\бф Кусочно-полиномиальный путь} получен склейкой конечного числа путей $\gamma_i:\; [x_i, x_{i+1}]$, заданных полиномиальными отображениями. Кусочно-полиномиальные пути в $\R^n$ образуют допустимый класс путей. \хфилл \пример {\бф Кусочно-гладкий путь} получен склейкой конечного числа путей $\gamma_i:\; [x_i, x_{i+1}]$, заданных гладкими отображениями. Кусочно-гладкие пути в $\R^n$ образуют допустимый класс путей. \определение {\бф $C$-Липшицево отображение} есть отображение метрических пространств $\phi:\; M \arrow M'$, удовлетворяющее $Cd(x,y) \geq d(\phi (x), \phi(y))$. {\бф Липшицево отображение} есть $C$-липшицево с какой-то константой $C$. \ео \пример {\бф Липшицевы пути} образуют допустимый класс. \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное допустимым классом путей. Функционал $L(\gamma)$, отображающий допустимые пути в числа, называется {\бф функционалом длины}, если он удовлетворяет следующим условиям. \begin{description} \item[1. Аддитивность длины.] Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, и любого $b\in [a,c]$, имеет место равенство $L(\gamma)=L(\gamma|_{[a,b]})+ L(\gamma|_{[b,c]})$. \item[2. Непрерывность длины пути как функции от параметра.] Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, функция $L(\gamma\restrict{[a,b]})$ непрерывно зависит от $b\in [a,c]$. \item[3. Замена параметра.] Если $\phi:\; [a,b] \arrow [c,d]$ -- гомеоморфизм отрезков, а $\gamma:\; [c,d] \arrow M$ и $\phi\circ \gamma:\; [a,b] \arrow M$ -- допустимые пути, то $L(\gamma)= L(\phi \circ \gamma)$. \item[4. Длина пути согласована с топологией.] Пусть $Z$ -- замкнутое подмножество $M$, а $x\notin Z$ точка, не лежащая на $Z$. Тогда существует число $\epsilon >0$ такое, что любой путь, соединяющий $x$ с какой-то точкой $Z$, имеет длину $\geq \epsilon$. \end{description} \ео \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное классом допустимых путей и функционалом длины. {\бф Метрика путей, связанная с функционалом длины} $d_L:\;M\times M \arrow \R^{\geq 0}$ определяется как $d_L(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где инфимум берется по всем путям, соединяющим $x$ и $y$. \ео \утверждение Это метрика. \хфилл {\бф Доказательство:} Симметричность $d_L$ следует из замены параметра $t \arrow (b-t)+a$ в пути $\gamma:\; [a, b]\arrow M$ (из пути, соединяющего $a$ и $b$, получаем путь, соединяющий $b$ и $a$, той же длины). Положительность $d_L(x,y)$, $x\neq y$ следует из условия 4 ("Длина пути согласована с топологией"), примененного к $Z=y$. В самом деле, существует такое $\epsilon>0$, что любой путь, соединяющий $x$ и $Z$, имеет длину $\geq \epsilon$. Неравенство треугольника доказывается через склейку путей. Пусть $\gamma_1$ -- путь, соединяющий $x$ и $y$, длины $d_L(x,y)+\epsilon$, а $\gamma_2$ -- путь, соединяющий $y$ и $z$, длины $d_L(y,z)+\epsilon$. Склеив $\gamma_1$ и $\gamma_2$, получим путь $\gamma$, соединяющий $x$ и $z$, длины $d_L(x,y)+ d_L(y,z)+2\epsilon$, что дает \[ d_L(x,y)+d_L(y,z) + 2\epsilon \geq d_L(x,z).\] \ендпрооф %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Римановы и финслеровы метрики} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% На практике большинство метрик определяются в терминах функционалов длины. \хфилл \пример $M=\R^n$ с обычной топологией, класс допустимых путей -- кусочно-линейные пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, а длина пути определяется формулой $L(\gamma)=\sum |d(x_i,x_{i+1})|$ {\бф ("длина ломаной").} \хфилл \утверждение Построенная по этому функционалу метрика $d_L$ равна обычной метрике. {\бф Доказательство:} Действительно, самая короткая ломаная, соединяющая две точки -- это отрезок прямой. \ендпрооф \хфилл \пример {\бф "переход болота" (конформно плоская метрика):} $M=\R^n$, класс допустимых путей - кусочно-линейные пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, $f:\; \R^n \arrow \R^{>0}$ непрерывная, положительная функция, а длина пути определяется формулой \[ L(\gamma)=\sum \int_{[x_i, x_{i+1}]} f \] (интеграл от $f$ по отрезку $[x_i, x_{i+1}]$). \хфилл \утверждение На классе спрямляемых путей, $\gamma \arrow L(\gamma)$ задает функционал длины. \хфилл {\бф Доказательство:} Единственное нетривиальное место -- свойство 2 (непрерывность длины пути как функции его концов). Пусть $\gamma:\; [a, b]\arrow M$ -- спрямляемый путь. Достаточно доказать, что \[ \lim\limits_{b_1\rightarrow b} L\left(\gamma\restrict{[b_1, b]}\right)=0. \] Пусть $a=x_1, ..., x_n=b$ -- такое разбиение отрезка $[a, b]$, что \[ \sum d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1}))\geq L(\gamma)-\epsilon,\] причем последний отрезок имеет длину не больше $\epsilon$: \[ d(\gamma(x_{n-1}), \gamma(x_{n}))\leq \epsilon.\] Тогда для каждого $b_1\in [x_{n-1}, x_n]$, длина $L\left(\gamma\restrict{[b_1, b]}\right)$ не больше, чем $\epsilon$ плюс длина отрезка $\gamma(x_{n-1}), \gamma(x_{n}))$, то есть не больше, чем $2\epsilon$. Это значит, что для каждого $\epsilon >0$, имеем $L\left(\gamma\restrict{[b_1, b]}\right)\leq 2\epsilon$ для $b_1$, достаточно близких к $b$. \ендпрооф \хфилл \пример Длина кусочно-гладкого пути $\gamma:\; [a,b]\arrow \R^n$ с евклидовой метрикой вычисляется по формуле $L(\gamma(t)):= \int_a^b |\gamma'(t)| dt$. \задача Докажите, что это функционал длины, и соответствующая метрика $L_d$ -- обычная, плоская. \ез \пример {\бф "Финслерова метрика"} \\ Пусть $U\subset \R^n$ открытое подмножество, а $\nu_x:\; T_x\R^n\arrow \R$ -- норма на касательном пространстве, непрерывно зависящая от $x$. Для кусочно-гладкого пути $\gamma:\; [a,b]\arrow U$, определим \[ L_\nu(\gamma(t)):= \int_a^b \nu_{\gamma(t)}(\gamma'(t)) dt \] \утверждение Это функционал длины. {\бф Доказательство:} Условия аддитивности и непрерывности очевидны. Чтобы доказать согласованность с топологией, выберем такую константу $\delta$, что $\nu_x(v) \geq \delta |v|$ в открытом $V\ni x$, не пересекающем $Z$. Тогда каждый путь $\gamma$, соединяющий $x$ и границу $\partial V$, удовлетворяет $L_\nu(\gamma) \geq \delta L(\gamma)$, где $L$ -- длина $\gamma$ в евклидовой метрике. Но $L(\gamma) \geq d(x, \partial V)$, а это число положительно, так как $\partial V$ замкнуто. Инвариантность $L_\nu$ при репараметризации следует из формулы \begin{multline*} L_\nu(\phi\circ\gamma)=\int_a^b \nu_{\gamma(\phi(t))}(\phi\circ\gamma)'(t) dt=\\= \int_a^b \nu_{\gamma(\phi(t))}(\phi'(t)\gamma'(\phi(t)) dt= \int_a^b \phi'(t)\nu_{\gamma(\phi(t))}(\gamma'(\phi(t)) dt =\\ = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} \nu_{\gamma(\phi(t))}(\gamma'(\phi(t)) d\phi(t) = L_\nu(\gamma) \end{multline*} \ендпрооф \определение {\бф Финслерова метрика} на $U$ определяется как внутренняя метрика, определенная функционалом длины $L_\nu$. \ео \определение Пусть $U\subset \R^n$ -- открытое подмножество, а норма $\nu_x:\; T_x\R^n\arrow \R$ задается формулой $\nu_x(v) = \sqrt{g_x(v,v)}$, где $g_x\in \Sym^2 T_x^* \R^n$ -- положительно определенное скалярное произведение, заданное гладким отображением $U \arrow \Sym^2 \R^n= \Sym^2 T_x^*\R^n$. В такой ситуации $g_x$ называется {\бф римановой формой} на $U$, а соответствующая метрика путей {\бф римановой метрикой} на $U$. \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Спрямляемые пути и внутренние метрики} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Приведенный выше формализм естественно появляется в ситуации, когда метрика определяется через длину пути. Оказывается, что длину пути можно определить для любой метрики; это дает функционал длины, который называется {\бф внутренним} (intrinsic). Соответствующая метрика тоже называется {\бф внутренней}. Не любая метрика внутренняя, но внутренние метрики образуют важный класс метрик, замкнутый относительно многих естественных операций на метрических пространствах. \определение Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение отрезка $[a,b]= [a,x_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$ Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим \[ L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).\] Определим {\бф длину пути} $\gamma$ формулой \[ L_d(\gamma):= \sup_{a0$ найдется разбиение пути $\gamma$ такое, что \[ L_d(\gamma)\leq \sum_i d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1}))+\epsilon\leq \sum_i L(\gamma_{[x_i, x_{i+1}]})+\epsilon= L(\gamma) +\epsilon \] Это дает $L_d(\gamma) \leq L(\gamma)$, то есть $\hat d \leq d$. \хфилл {\бф Шаг 2:} По определению, $\hat d(x,y)$ есть инфимум $L_d$-длин всех спрямляемых путей, соединяющих $x$ и $y$. Значит, для любого заданного $\epsilon >0$, найдется спрямляемый путь $\gamma$, соединяющий $x$ и $y$, и его разбиение $\gamma=\bigcup \gamma_{[x_i, x_{i+1}]}$ такое, что \[ \hat d(x, y) \geq L_d(\gamma)-\epsilon \geq \sum_i d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1}))-2\epsilon\geq d(x, y)-2\epsilon. \] Устремляя $\epsilon$ к нулю, получаем $\hat d \geq d$. \ендпрооф %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Упражнения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Задачи в этом разделе сделаются существенно проще, когда вы прочтете следующую главу. Пока вы ее не прочли, имеет смысл поломать над ними голову. Если ничего не получится -- не огорчайтесь, а читайте дальше. \задача Пусть $S^2 \supset \R^3$ -- подмножество $\R^3$ с плоской метрикой $d$. Ограничим $d$ на $S^2$. Докажите, что полученная метрика не внутренняя. \ез \задача В этой же ситуации, рассмотрим соответствующую метрику $\hat d$. Докажите, что $\hat d(x,y)$ равна углу дуги большого круга, проходящего через $x, y$. \ез \определение {\бф Кратчайшей} называется путь $\gamma$, соединяющий $x$ и $y$, такой, что $L(\gamma)=d(x,y)$. \ео \пример На сфере $S^2$ с внутренней метрикой, построенной выше, кратчайшие суть дуги большого круга длины $\leq \pi$ (докажите это). \задача Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство с внутренней метрикой. Докажите, что любые две точки можно соединить кратчайшей. \ез \задача Пусть $M=\R^n$ -- векторное пространство с нормой $\nu$ и метрикой $d(x,y)=\nu(x-y)$. Докажите, что эта метрика внутренняя, а отрезки прямых являются кратчайшими. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{История внутренних метрик} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Определение длины отрезка, приведенное выше, принадлежит Буземану (Herbert Busemann, The geometry of geodesics, 1955), но его можно (в совершенно нестрогом изложении) найти в книжке А. Д. Александрова "Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей" (1946, издана в 1948). У Александрова также есть неформальное (но достаточно точное) определение внутренней метрики. Никакой библиографии (никакой вообще) у Александрова нет. Возможно, ее удалили по случаю кампании "борьбы с космополитизмом", а может ее и не было. Строгое определение внутренних метрик и функционалов длины приводится у Громова, "Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces". До Громова, геометры пользовались понятием "выпуклого метрического пространства", введенного Карлом Менгером Мл. в 1930-х: метрическое пространство называется "выпуклым", если любые две точки $x, y$ с $d(x,y)=r$ можно соединить геодезической длины $r$. \begin{figure}[ht] \begin{center} \epsfig{file=AD_Aleksandrov.jpg,width=0.45\linewidth}\\ {\small \it А. Д. Александров, \\ 22.07(4.08).1912, с. Волынь Рязанской губ. -- \\ 27.07.1999, Санкт-Петербург} \end{center} \end{figure} \end{document}