\documentclass[11pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   10.12.2012
%version 1.1,\ \   13.12.2012, popravki ot Sashi Anan'ina
%version 2.0,\ \   14.12.2012, много ошибок прямо на экзамене
%version 1.0: 2016 exam, many changes, 28.05.2016
%version 1.1: нашли ошибки на экзамене - 28.05.2016

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   28.05.2016}
\newcommand{\firstdate}{в день экзамена: 28.05.2016}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{1}{Метрическая геометрия: задачи для экзамена}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\scriptsize
Каждому студенту выдается
по $t$ задач, где $t=\min(12-0.2*k,4)$, а $k$ количество
баллов за листки и контрольные (если какие-то листки сданы частично, 
сумма баллов дополнительно округляется вверх, и $k$ увеличивается,
по усмотрению экзаменатора, то есть меня).
Задачи выдаются из тех разделов, которые студент 
мало сдавал. Каждая сданная на экзамене задача приносит 5 баллов.
Суммарная оценка за курс 
выставляется по формуле $3+\lceil 0.1b\rceil$ (10-балльная
система) и $\lceil 1.5+ 0.05b\rceil$ (5-балльная),
$b$ -- сумма баллов.

Задачи сдаются устно, но студент должен приготовить краткую
запись решения.

Можно пользоваться любой литературой, но требуется
знать в общих чертах доказательство любого используемого
утверждения и все подробности определений.
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Метрические пространства и внутренние метрики
(листки 1-2, 4)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\задача
%Докажите, что каждое метрическое пространство
%допускает изометрическое вложение в нормированное
%векторное пространство.
%\ез

%\задача
%Пусть $M$ -- метрическое пространство.
%Постройте метрику $d'$ на $M$, индуцирующую
%ту же топологию, и такую, что $\diam(d')<\infty$.
%\ез


%\определение
%{\бф Гильбертово пространство} есть полное 
%нормированное векторное пространство с евклидовой метрикой 
%$L^2$ (гильбертово пространство может быть бесконечномерным
%или конечномерным).
%\ео
%
%\задача
%Пусть $M\stackrel \phi \arrow M'$ -- изометрия 
%(вещественных) гильбертовых пространств.
%Докажите, что $\phi$ есть композиция линейной изометрии и сдвига.
%\ез

%\задача
%Пусть $L^1$ есть норма на $\R^n$, заданная 
%суммой модулей координат. Докажите, что $(\R^n, L^1)$
%не изометрично $(\R^n, L^2)$ для $n>1$.
%\ез

%\задача
%Пусть $X$ -- топологическое пространство,
%а $\{d_i\}$ -- набор метрик, согласованных с топологией.
%Предположим, что $d_i:\; X\times X \arrow \R^{\geq 0}$ 
%равномерно сходится к $d:\; X\times X \arrow \R^{\geq 0}$.
%Докажите, что $d$ индуцирует на $X$ ту же самую топологию.
%\ез


\задача
Пусть $(M,d)$ -- пространство с внутренней метрикой,
$A\subset M$ -- связное открытое подмножество. Докажите, что
на $A$ существует внутренняя метрика $d'$, такая, что 
у каждой точки $a\in A$ есть окрестность $U$, такая,
что $d'\restrict U= d\restrict U$.
\ез

\задача
Пусть $X$ -- компактное топологическое пространство,
а $\{d_i\}$ -- набор метрик, согласованных с топологией.
Предположим, что $d_i:\; X\times X \arrow \R^{\geq 0}$ 
равномерно сходится к $d:\; X\times X \arrow \R^{\geq 0}$,
а все метрики $d_i$ внутренние. Докажите, что $d$ --
тоже внутренняя метрика.
\ез


%\задача
%Пусть $X$ -- пространство с внутренней метрикой,
%гомеоморфное отрезку. Докажите, что оно изометрично
%отрезку.
%\ез

%\задача
%Пусть $X$ -- пространство с внутренней метрикой, гомеоморфное
%окружности. Докажите, что не существует изометрического
%вложения $X \arrow \R^n$.
%\ез

%\задача
%Пусть $f:\; M \arrow N$ -- отображение пространств
%с внутренней метрикой, которое сохраняет длины любых путей.
%Докажите, что это изометрия, или найдите контрпример.
%\ез

\задача
Докажите, что каждое компактное метрическое пространство
можно изометрично вложить в компактное пространство с внутренней
метрикой.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $f:\; M \arrow M$ -- отображение метрических компактов, такое,
что $d(f(x), f(y))\geq d(x,y)$. Докажите, что это изометрия.
\ез

\задача
{\бф Неравенство неархимеда} есть неравенство
$d(x,y) \leq \max (d(x,z), d(y,z))$. Метрическое пространство,
в котором выполнено это неравенство для всех $x,y,z$, 
называется {\бф неархимедовым}. Пусть $M$ -- 
бесконечное неархимедово метрическое пространство.
Докажите, что $M$ несвязно.
\ез


\задача
Дана выпуклая функция на бесконечномерном нормированном
пространстве. Всегда ли она непрерывна?
\ез

\задача 
Докажите, что норма $|\cdot|$ на векторном пространстве
является евклидовой тогда и только тогда, когда
$|v+w|^2+|v-w|^2=2(|v|^2+|w|^2)$ для всех $v, w$.
\ез

\задача
Приведите пример полного пространства с внутренней
метрикой, в котором не существует кратчайших между
некоторыми точками.
\ез


\задача
Приведите пример кривой $\gamma:\; [0, \infty[\arrow \R^2$ 
такой, что угол между $\gamma$ и $\gamma$ не существует.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Метрические графы и метрика слов на группе
(листки 3, 9)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\определение
Отображение $f:\; X \arrow Y$ называется {\бф билипшицевым с константой $C$},
или просто {\бф билипшицевым}, если это биекция, причем $f$ и $f^{-1}$
$C$-липшицевы (то есть удовлетворяют $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)$).
\ео


\определение
{\бф $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$
есть такое множество $N\subset M$, что объединение
$\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$.
\ео

\определение
Пространства $X$ и $Y$ {\бф квазиизометричны}, если для какого-то $\epsilon$
в $X$ и в $Y$ существуют $\epsilon$-сети $X_\epsilon$ и $Y_\epsilon$,
между которыми есть билипшицево отображение.
\ео



\определение
Пусть $G$ -- группа.
Множество $S\subset G$ называется {\бф набором
образующих}, если все элементы $G$ выражаются
через произведения элементов $x_i, x_j^{-1}$, для
каких-то $x_i, x_j \in S$. Каждое такое произведение
называется {\бф словом} от $x_i, x_j^{-1}$.
В дальнейшем, мы будем предполагать по умолчанию,
что любой набор образующих $S$ содержит $x^{-1}$
вместе с каждым $x\in S$. 
\ео


\определение
Пусть $G$ -- группа, а $S\subset G$ -- набор
образующих. {\бф Граф Кэли $G$} есть метрический граф,
полученный следующим образом.  Вершины графа Кэли
суть элементы $G$, а ребра соединяют две вершины $g, g'$,
если $g'=gs$, где $s\in S$. Длины всех ребер графа Кэли
равны 1.
\ео

\определение
Пусть $G$ -- группа, а $S\subset G$ -- набор
образующих. {\бф Метрика слов} $d_S$ на группе есть
метрика на $G$ как на множестве вершин графа Кэли.
\ео

\определение
Две группы с заданными наборами образующих
называются {\бф квазиизометричными}, если квазиизометричны
их графы Кэли.
\ео

\задача
Докажите, что $\Z^n$ с метрикой слов не квазиизометрична $\Z^m$,
для $n\neq m$. Докажите, что $\Z^2$ не квазиизометрична свободной группе.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $A=\langle a,b \ \ |\ \ aba^{-1}b^{-1}=b\rangle$ -- 
группа, заданная образующими $a,b$ и соотношением $aba^{-1}b^{-1}=b$.
Докажите, что количество вершин $|B_r(1)|$ в шаре радиуса $r$
растет быстрее любого полинома от $r$. Выведите из этого,
что $A$ не квазиизометрична $\Z^n$ для любых $n$.
\ез

\задача
Пусть $\Gamma_0\subset \Gamma$  -- подгруппа конечного
индекса.  Докажите, что $\Gamma_0$ квазиизометрична $\Gamma$.
Выведите из этого, что свободная группа ${\Bbb F}_3$ от трех
образующих квазиизометрична ${\Bbb F}_2$.
\ез

\указание
Реализуйте ${\Bbb F}_3$ как подгруппу конечного индекса в ${\Bbb F}_2$.
\еу 

\задача
Докажите, что 
$\R^2$ не квазиизометрично гиперболической плоскости 
(плоскости Лобачевского) ${\Bbb H}^2$.
\ез

\задача
Докажите, что бесконечномерное гильбертово пространство
не квазиизометрично ${\Bbb H}^2$.
\ез


%\задача
%Пусть конечно-порожденная
%группа $\Gamma$ свободно и собственно действует
%изометриями на геодезическом пространстве $X$, а фактор
%$X/\Gamma$ компактен. Докажите, что $X$ квазиизометрично
%$\Gamma$ с метрикой слов.
%\ез

\определение
Напомню, что {\бф расстояние Громова-Хаусдорфа} между
метрическими пространствами $X,Y$ есть инфимум всех $\epsilon$
таких, что $X$ и $Y$ изометрично вкладываются в метрическое
пространство $M$, причем образ $X$ содержится в $\epsilon$-окрестности
образа $Y$, а образ $Y$ содержится в $\epsilon$-окрестности
образа $X$.
\ео

\задача
Докажите, что всякое компактное метрическое пространство
с внутренней метрикой можно получить как предел
Громова-Хаусдорфа последовательности метрических графов.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Пространства Александрова (листки 5-7)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки в пространстве $(M,d)$ со строго 
внутренней метрикой,
а $\gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow M$ -- кратчайшая с геодезической
параметризацией, соединяющая точки $a,b$.
Рассмотрим функцию $d_c:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$, 
переводящую $t$ в $d(c,\gamma(t))$.
Пусть 
$\triangle(\bar a,\bar b, \bar c)\subset \R^2$ --
треугольник сравнения, 
а $d_{\bar c}:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$ --
функция, переводящая $t$ в $d(\bar c, \bar \gamma(t))$,
где $\bar \gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^2$ обозначает
сторону треугольника сравнения с нормальной
параметризацией. Функция $d_{\bar c}$
называется {\бф функцией сравнения}.
Пространство $M$ называется {\бф пространством
неотрицательной/непо\-ложительной кривизны в целом}, если
для любых $a,b,c$, функция сравнения удовлетворяет
неравенству $d_c\geq d_{\bar c}$ (соответственно, 
$d_c\leq d_{\bar c}$). Пространство $M$ называется 
{\бф пространством Александрова
неотрицательной/непо\-ложительной кривизны}, если
у каждой точки есть окрестность
неотрицательной/не\-положительной 
кривизны в целом.  Пространства 
неположительной кривизны в целом также называются 
{\бф CAT(0)-пространствами} (в честь Эли
Картана, Д. А. Александрова и В. А. Топоногова;
это название принадлежит М. Громову).
\ео

\задача
Докажите, что конус над метрическим графом $\Gamma$
является пространством неположительной кривизны тогда
и только тогда, когда в $\Gamma$ нет циклов короче $2\pi$.
\ез

\задача
Докажите, что $\R^n$ с нормой $L^1$ не имеет
ни неотрицательной, ни неположительной кривизны.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- векторное пространство с нормой,
которое является пространством неотрицательной
кривизны. Докажите, что эта норма евклидова.
\ез

%\определение
%Пусть $(X,d_X)$ и $(Y,d_Y)$ -- метрические пространства.
%Рассмотрим метрику вида
%$d:\; (X\times Y)\times (X\times Y)\arrow \R^{\geq 0}\cup\infty$:
%\[ d((x_1,y_1), (x_2,y_2))=\sqrt{d_X(x_1,x_2)^2 + d_Y(y_1,y_2)^2}.
%\] 
%Эта метрика называется {\бф метрикой произведения},
%а пространство $(X\times Y,d)$ -- {\бф произведением}
%метрических пространств.
%\ео
%
%\задача
%Докажите, что произведение пространств 
%неотрицательной кривизны -- пространство
%неотрицательной кривизны.
%\ез
%
%\задача
%Пусть $\R^2\vee \R$ -- букет евклидовых
%пространств $\R^2$ и $\R$ с метрикой, полученной
%склейкой. Докажите, что это пространство неположительной
%кривизны.
%\ез

\задача
Пусть $M\subset \R^2$ -- евклидова плоскость с вырезанным
из нее кругом. Докажите, что $M$ -- пространство неположительной
кривизны.
\ез 

\определение
{\бф Геодезическое пространство} есть пространство, 
любые две точки которого соединяются кратчайшей. 
{\бф Пространство Адамара} есть полное, односвязное пространство
Александрова неположительной кривизны, которое геодезично.
\ео

\определение
{\бф Выпуклая функция} на геодезическом пространстве
есть функция, которая выпукла на любой кратчайшей.
{\бф Выпуклое подмножество} есть подмножество, которое
содержит вместе с любой парой точек любую соединяющую их
кратчайшую. 
\ео


\определение
Функция $f:\; M \arrow \R$ на метрическом пространстве
называется {\бф $\lambda$-выпуклая}, если для любой
геодезической $\gamma:\; [0,t]\arrow M$, 
фукция $u \arrow f(\gamma(u))-\lambda u^2$
выпукла.
\ео


\задача[2 балла]
Докажите, что в пространстве
Адамара расстояние до выпуклого множества  -- выпуклая функция.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $\lambda >0$.
Докажите, что любая $\lambda$-выпуклая
функция на полном геодезическом пространстве имеет минимум.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- геодезическое пространство. Обозначим за $K_4(M)\subset \R^6$
подмножество в $\R^6$, образованное числами $|ab|,|ac|,|ad|,|bc|,|bd|,|cd|$
для всех четверок $\{a,b,c,d\}\subset M$. Предположим, что
$K_4(M)\subset K_4(\R^2)$. Постройте изометрию между
$M$ и выпуклым подмножеством $\R^2$.
\ез

%\задача
% Предположим, что
%$K_4(M)\subset K_4({\Bbb H}^2)$. 
%Постройте изометрическое вложение из $M$ в гиперболическую
%плоскость ${\Bbb H}^2$.
%\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Пространства, гиперболические по Громову
(листок 8)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
{\бф Геодезический треугольник} $\triangle(abc)$  в метрическом
пространстве есть треугольник, составленный из трех 
вершин $a,b,c$, соединенных кратчайшими, которые я буду
обозначать за $[a,b],[b,c]$ и $[c,a]$.
{\бф Талия} треугольника есть супремум
расстояния от точки $z$, лежащей на одной из сторон,
до объединения двух других. Треугольник называется
{\бф $\delta$-тонким (по Рипсу)}, если его талия не больше $\delta$.
Иначе говоря, каждая сторона такого треугольника лежит в $\delta$-
окрестности двух других.
\ео

\определение
Метрическое пространство $X$ с внутренней метрикой
называется {\бф $\delta$-гиперболическим} (по Рипсу),
если все геодезические треугольники $\delta$-тонкие.
Будем говорить, что $X$ {\бф гиперболично}, если оно
$\delta$-гиперболично для какой-то константы $\delta$.
\ео

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- геодезическое пространство,
такое, что любая петля может быть стянута в точку
внутри своей $\delta$-окрестности. Докажите, что $M$
гиперболично.
\ез

\задача
Пусть $a,b, c,d$ -- четыре точки в $\delta$-гиперболическом
геодезическом пространстве, а $D$ -- объединение всех отрезков, соединяющих
эти точки. Докажите, что
существует дерево $T$ из пяти геодезических сегментов, соединяющих
$a,b,c$ и $d$, такое, что $D$ лежит
в $2\delta$-окрестности $T$, a $T$ лежит в $2\delta$-окрестности $D$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M$ $\delta$-гиперболическое,
а $D$ -- геодезический $2^n$-угольник.
Докажите, что каждая его сторона лежит в $n\delta$-окрестности
остальных сторон.
\ез

\определение
{\бф $\epsilon$-квазивыпуклое} подмножество геодезического
пространства есть такое подмножество $Z\subset M$, что 
кратчайшая, соединяющая любые две точки $Z$,
лежит в $\epsilon$-окрестности $Z$.
\ео

\задача
Пусть $M$ -- $\delta$-гиперболическое пространство,
а $B_r(x)$ -- шар радиуса $r$. Докажите, что он
 $\delta$-квазивыпуклый.
\ез

\задача
Пусть $x,y, z$ -- точки на границе шара $B_r(s)$
в $\delta$-гиперболическом пространстве, причем
расстояние $|xy|=|yz| =d< \frac 1 {10} r$. 
Докажите, что $|xz|\leq d +4 \delta$.
\ез

\задача
Пусть $\gamma_1, \gamma_2:\; \R\arrow M$ -- бесконечные
кратчайшие в $\delta$-гиперболическом пространстве, причем
какая-то точка $\gamma_1$ отстоит от $\gamma_2$ на
расстояние больше $2\delta$.
Докажите, что $\lim\limits_{t \mapsto \infty}d(\gamma_1(t), \gamma_2(t))=\infty$,
или $\lim\limits_{t \mapsto -\infty}d(\gamma_1(t), \gamma_2(t))=\infty$.
\ез

\end{document}
