\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 01.12.2010
% version 2.0, 03.12.2010

\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   03.12.2010}

\begin{document}

\listok{1}{Теория Меры: Задачи для устного экзамена}

{\small
Можно свободно пользоваться всеми
задачами и теоремами из листков и лекций, но
надо быть готовым предъявить доказательство 
для каждого утверждения. 

Каждому студенту выдаются задачи
на $k:=12-2N-N'$ баллов, где $N$ -- число сданных листков,
а $N'$ -- число несданных листков, в которых сдана
половина задач со звездочкой/факториалом или половина
задач простых и с факториалом. Для получения
оценки $l+3$ необходимо набрать $k-8+2l$ баллов.
}

Все топологические пространства в задачах предполагаются хаусдорфовыми.


\subsection{ Задачи к листку 1}

\задача 
Докажите, что существуют два полиэдра одного объема в $\R^4$,
которые не равносоставлены.
\ез

%\задача
%Докажите, что любая призма равносоставлена кубу.
%\ез

\задача [2 балла]
{\бф Полусфера} есть часть сферы $S^2=\{x,y,z\ \ | \ \ x^2 + y^2+z^2=1\}$,
конгруэнтная $\{(x,y,z)\in S^2 \ \ |\ \ x\geq 0\}$.
{\бф Двуугольник} на сфере $S^2$ есть пересечение двух полусфер.
{\бф Кольцо сферических многоугольников} на сфере есть кольцо,
порожденное полусферами. {\бф Треугольник}
есть пересечение трех полусфер. Равносоставленность
сферических многоугольников определяется
так же, как и для плоских многоугольников.
Верно ли, что любой сферический 
треугольник равносоставлен
двуугольнику?
\ез

\задача [2 балла]
Пусть $A$ есть $n$-угольник на сфере,
$\alpha$ сумма его углов, а $\delta(A)$ есть $(n-2)\pi-\alpha$.
Докажите, что $\delta(A)$ задает конечно-аддитивную
меру на кольце сферических многоугольников.
\ез

\задача
Пусть $\mu$ -- аддитивная, $O(3)$-инвариантная, неотрицательная 
мера на алгебре сферических многоугольников, 
причем такая, что некоторый двуугольник
имеет конечную меру. Докажите, что 
граница полусферы 
имеет меру нуль. Докажите, что $\mu(S^2)< \infty$.
\ез


\задача
Рассмотрим кольцо $R$ многоугольников в $\R^2$ (кольцо,
порожденное замкнутыми треугольниками).
Пусть на $R$ задана функция $\lambda$ со значениями в $[0, \infty[$,
удовлетворяющая следующим свойствам

\енум
\итем $\lambda(I)=0$, где $I$ это отрезок, интервал или полуинтервал

\итем $\lambda(A)=\lambda(B)$, если $A$ может быть
получено из $B$ параллельным переносом.
\итем $\lambda$ аддитивна: $\lambda(A\coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$.
\ее

Докажите, что $\lambda$ задается этими свойствами
однозначно, с точностью до постоянного множителя.
\ез

\задача
Пусть $H$ -- гильбертово пространство, ${\goth S}$
множество ограниченных, открытых подмножеств $H$, а 
$\mu:\; {\goth S}\arrow [0, \infty[$ -- полуаддитивная,
монотонная функция, инвариантная относительно сдвигов. 
Докажите, что $\mu=0$.
\ез


\subsection{ Задачи к листку 2}

\задача 
Докажите, что множество измеримых подмножеств $\R$
имеет размерность больше континуума. Докажите, что
множество борелевских подмножеств в $\R$ континуально.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- локально компактное пространство,
$A_o$ - алгебра подмножеств, порожденная открытыми,
$A_c$ - алгебра подмножеств, порожденная компактами.
Всегда ли $A_o$ равно $A_c$? 
\ез

\задача
Пусть $f$ -- монотонно неубывающая функция на $\R$.
Докажите, что найдется мера $\mu_f$ такая,
что $\mu_f(]a,b[) = 
\lim_{\epsilon \rightarrow +0} f(b-\epsilon) - f (a+\epsilon)$.
\ез

\задача 
Докажите, что каждая мера на такая,
что $\nu([a,b]) < \infty$ для любых $a,b$, 
получается таким образом. 
\ез


\задача [2 балла]
{\бф Множество Витали} есть подмножество $Q \subset \R^n$
такое, что $\R^n$ представляется в виде объединения
счетного числа непересекающихся подмножеств $Q_0, Q_1, ..., Q_n, ...$
конгруэнтных $Q$, причем у каждой точки $x$ есть набор окрестностей
$U_i$ таких, что $Q_i\cap U_i$ конгруэнтны для всех $i$. 
Докажите, что множество Витали существует, для
любого $n$. Докажите, что оно неизмеримо.
\ез

\задача
Постройте гомеомофизм $S^1$ в себя, переводящий
множество меры нуль в множество ненулевой меры.
\ез

\subsection{ Задачи к листку 3}

\задача
Найдите последовательность непрерывных функций на
$\R^n$, которая сходится в $L^1$, но не сходится
равномерно. Найдите последовательность непрерывных функций на
$\R^n$, которая сходится равномерно, но не сходится в $L^1$.
\ез

\задача
Найдите последовательность непрерывных функций
на $[0,1]$, которая сходится поточечно, но не сходится
в $L^1$. 
\ез

\определение
{\бф Измеримая функция} на $\R^n$ есть такая, что
прообраз борелевского измерим (по Лебегу).
{\бф Борелевская функция} есть такая,
что прообраз борелевского множества борелевский.
\ео

\задача [2 балла]
Докажите, что множество измеримых функций на $\R$
имеет размерность больше континуума. Докажите, что
множество борелевских функций на $\R$ континуально.
\ез

\задача
Докажите, что любая измеримая функция
равна некоторой борелевской функции 
вне некоторого множества меры 0.
\ез

\задача
Докажите, что произведение измеримых функций измеримо.
Пусть $f$ -- измеримая функция на $\R^n$ такая,
что $\int_M fg=0$ для любой непрерывной функции
с компактным носителем. Докажите, что 
$f=0$ почти всюду.
\ез

\subsection{ Задачи к листку 4}

\задача
Пусть $f$ -- неотрицательная функция на на $\R^n$, а
$D_f$ -- подмножество в $\R^{n+1}$, состоящее из точек
$\{(x_1, ..., x_n, t) \ \ |\ \ 0 < t < f(x_1, ..., x_n)\}$.
Докажите, что $f$ интегрируема тогда и только тогда,
когда $D_f$ измеримо и имеет конечную меру.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $\nu$ -- локально конечная мера на $\R^n$,
$\mu$ -- мера Лебега. Докажите, что 
$\nu \preccurlyeq \mu$ вне множества меры нуль.
\ез

\задача [2 балла]
Пусть $f$ -- монотонно неубывающая функция на $\R$.
Докажите, что $f$ дифференцируема вне
множества меры 0.
\ез

\задача [2 балла]
Функция $\phi:\; \R \arrow\R$ называется {\бф выпуклой},
если множество $\{(x, y)\ \ |\ \ y\geq f(x) \}$ выпукло.
Докажите, что любая выпуклая функция непрерывна, 
дифференцируема вне множества меры 0, и ее производная
монотонна на ее множестве определения.
\ез


\задача
Докажите, что в $\R^n$ не существует измеримого множества
$A$ такого, что $\mu(A\cap B)=\frac 1 2 \mu(B)$ для любого куба
$B$ ($\mu$ - мера Лебега).
\ез


\задача
{\бф Континуум-гипотеза} утверждает, что 
на континууме $C$ можно задать отношение полного
порядка $\preccurlyeq$, такое, что каждый собственный отрезок $C$
счетный. Предположим, что такое
отношение полного порядка есть, и 
рассмотрим в $\R^2$ подмножество $\{(x,y)\ \  |\ \ x\preccurlyeq y\}$.
Докажите, что оно неизмеримо.
\ез


\subsection{ Задачи к листкам 5-6}

\задача
Постройте подмножество меры 0 в $\R$, которое имеет
хаусдорфову размерность 1.
\ез


\задача
Число $c\in \R$ называется {\бф числом Лиувилля},
если для каждого $n>0$ существует
$p,q\in \Z$, такие, что $|c- p/q| < q^{-n}$.
Докажите, что множество чисел Лиувилля имеет нулевую
размерность Хаусдорфа.
\ез

\задача
Докажите, что каждое измеримое подмножество $\R^n$ положительной меры 
содержит несчетное компактное подмножество.
\ез

\задача [2 балла]
{\бф Множество Бернштейна} есть подмножество $A\subset \R^n$
такое, что для любого несчетного компакта $K$, множества
$A \cap K$ и  $K\backslash A$ непусты. 
Докажите, что множества Бернштейна существуют.
Докажите, что они неизмеримы.
\ез 

\задача [2 балла]
Найдите локально компактную хаусдорфову 
топологическую группу, у которой правая мера Хаара не
пропорциональна левой.
\ез

\задача
Пусть $V$ есть $n$-мерное комплексное пространство
с невырожденной эрмитовой метрикой с сигнатурой $(n,1)$,
а $B\subset {\Bbb P}V$ проективизация множества всех
векторов с отрицательным квадратом. Докажите, что
$B$ гомеоморфно шару, и снабжено транзитивным
действием группы $G=U(n,1)$ унитарных эндоморфизмов
пространства $V$. Постройте нетривиальную
$G$-инвариантную меру на $B$.
\ез

\задача
Постройте транзитивное действие $U(n+1)$ на $\C P^n$.
Постройте нетривиальную $U(n+1)$-инвариантную меру на $\C P^n$.
\ез

\задача
Постройте нетривиальную $O(n+1)$-инвариантную меру на $n$-мерной
сфере со стандартным действием $O(n+1)$.
Докажите, что такая мера единственна с точностью до константы.
\ез

\определение
{\бф Борелевской алгеброй} называется алгебра 
подмножеств топологического пространства, порожденная
компактами.
\ео

\задача[2 балла]
Пусть $G$ -- компактная группа, непрерывно действующая
на топологическом пространстве $M$. Докажите, что
на $M$ существует нетривиальная $G$-инвариантная
борелевская мера.
\ез






\end{document}

