\documentclass[10pt]{article} \input{listki.tex} % version 1.0, 01.12.2010 % version 2.0, 03.12.2010 \newcommand{\version}{version 2.0,\ \ 03.12.2010} \begin{document} \listok{1}{Теория Меры: Задачи для устного экзамена} {\small Можно свободно пользоваться всеми задачами и теоремами из листков и лекций, но надо быть готовым предъявить доказательство для каждого утверждения. Каждому студенту выдаются задачи на $k:=12-2N-N'$ баллов, где $N$ -- число сданных листков, а $N'$ -- число несданных листков, в которых сдана половина задач со звездочкой/факториалом или половина задач простых и с факториалом. Для получения оценки $l+3$ необходимо набрать $k-8+2l$ баллов. } Все топологические пространства в задачах предполагаются хаусдорфовыми. \subsection{ Задачи к листку 1} \задача Докажите, что существуют два полиэдра одного объема в $\R^4$, которые не равносоставлены. \ез %\задача %Докажите, что любая призма равносоставлена кубу. %\ез \задача [2 балла] {\бф Полусфера} есть часть сферы $S^2=\{x,y,z\ \ | \ \ x^2 + y^2+z^2=1\}$, конгруэнтная $\{(x,y,z)\in S^2 \ \ |\ \ x\geq 0\}$. {\бф Двуугольник} на сфере $S^2$ есть пересечение двух полусфер. {\бф Кольцо сферических многоугольников} на сфере есть кольцо, порожденное полусферами. {\бф Треугольник} есть пересечение трех полусфер. Равносоставленность сферических многоугольников определяется так же, как и для плоских многоугольников. Верно ли, что любой сферический треугольник равносоставлен двуугольнику? \ез \задача [2 балла] Пусть $A$ есть $n$-угольник на сфере, $\alpha$ сумма его углов, а $\delta(A)$ есть $(n-2)\pi-\alpha$. Докажите, что $\delta(A)$ задает конечно-аддитивную меру на кольце сферических многоугольников. \ез \задача Пусть $\mu$ -- аддитивная, $O(3)$-инвариантная, неотрицательная мера на алгебре сферических многоугольников, причем такая, что некоторый двуугольник имеет конечную меру. Докажите, что граница полусферы имеет меру нуль. Докажите, что $\mu(S^2)< \infty$. \ез \задача Рассмотрим кольцо $R$ многоугольников в $\R^2$ (кольцо, порожденное замкнутыми треугольниками). Пусть на $R$ задана функция $\lambda$ со значениями в $[0, \infty[$, удовлетворяющая следующим свойствам \енум \итем $\lambda(I)=0$, где $I$ это отрезок, интервал или полуинтервал \итем $\lambda(A)=\lambda(B)$, если $A$ может быть получено из $B$ параллельным переносом. \итем $\lambda$ аддитивна: $\lambda(A\coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$. \ее Докажите, что $\lambda$ задается этими свойствами однозначно, с точностью до постоянного множителя. \ез \задача Пусть $H$ -- гильбертово пространство, ${\goth S}$ множество ограниченных, открытых подмножеств $H$, а $\mu:\; {\goth S}\arrow [0, \infty[$ -- полуаддитивная, монотонная функция, инвариантная относительно сдвигов. Докажите, что $\mu=0$. \ез \subsection{ Задачи к листку 2} \задача Докажите, что множество измеримых подмножеств $\R$ имеет размерность больше континуума. Докажите, что множество борелевских подмножеств в $\R$ континуально. \ез \задача Пусть $M$ -- локально компактное пространство, $A_o$ - алгебра подмножеств, порожденная открытыми, $A_c$ - алгебра подмножеств, порожденная компактами. Всегда ли $A_o$ равно $A_c$? \ез \задача Пусть $f$ -- монотонно неубывающая функция на $\R$. Докажите, что найдется мера $\mu_f$ такая, что $\mu_f(]a,b[) = \lim_{\epsilon \rightarrow +0} f(b-\epsilon) - f (a+\epsilon)$. \ез \задача Докажите, что каждая мера на такая, что $\nu([a,b]) < \infty$ для любых $a,b$, получается таким образом. \ез \задача [2 балла] {\бф Множество Витали} есть подмножество $Q \subset \R^n$ такое, что $\R^n$ представляется в виде объединения счетного числа непересекающихся подмножеств $Q_0, Q_1, ..., Q_n, ...$ конгруэнтных $Q$, причем у каждой точки $x$ есть набор окрестностей $U_i$ таких, что $Q_i\cap U_i$ конгруэнтны для всех $i$. Докажите, что множество Витали существует, для любого $n$. Докажите, что оно неизмеримо. \ез \задача Постройте гомеомофизм $S^1$ в себя, переводящий множество меры нуль в множество ненулевой меры. \ез \subsection{ Задачи к листку 3} \задача Найдите последовательность непрерывных функций на $\R^n$, которая сходится в $L^1$, но не сходится равномерно. Найдите последовательность непрерывных функций на $\R^n$, которая сходится равномерно, но не сходится в $L^1$. \ез \задача Найдите последовательность непрерывных функций на $[0,1]$, которая сходится поточечно, но не сходится в $L^1$. \ез \определение {\бф Измеримая функция} на $\R^n$ есть такая, что прообраз борелевского измерим (по Лебегу). {\бф Борелевская функция} есть такая, что прообраз борелевского множества борелевский. \ео \задача [2 балла] Докажите, что множество измеримых функций на $\R$ имеет размерность больше континуума. Докажите, что множество борелевских функций на $\R$ континуально. \ез \задача Докажите, что любая измеримая функция равна некоторой борелевской функции вне некоторого множества меры 0. \ез \задача Докажите, что произведение измеримых функций измеримо. Пусть $f$ -- измеримая функция на $\R^n$ такая, что $\int_M fg=0$ для любой непрерывной функции с компактным носителем. Докажите, что $f=0$ почти всюду. \ез \subsection{ Задачи к листку 4} \задача Пусть $f$ -- неотрицательная функция на на $\R^n$, а $D_f$ -- подмножество в $\R^{n+1}$, состоящее из точек $\{(x_1, ..., x_n, t) \ \ |\ \ 0 < t < f(x_1, ..., x_n)\}$. Докажите, что $f$ интегрируема тогда и только тогда, когда $D_f$ измеримо и имеет конечную меру. \ез \задача[2 балла] Пусть $\nu$ -- локально конечная мера на $\R^n$, $\mu$ -- мера Лебега. Докажите, что $\nu \preccurlyeq \mu$ вне множества меры нуль. \ез \задача [2 балла] Пусть $f$ -- монотонно неубывающая функция на $\R$. Докажите, что $f$ дифференцируема вне множества меры 0. \ез \задача [2 балла] Функция $\phi:\; \R \arrow\R$ называется {\бф выпуклой}, если множество $\{(x, y)\ \ |\ \ y\geq f(x) \}$ выпукло. Докажите, что любая выпуклая функция непрерывна, дифференцируема вне множества меры 0, и ее производная монотонна на ее множестве определения. \ез \задача Докажите, что в $\R^n$ не существует измеримого множества $A$ такого, что $\mu(A\cap B)=\frac 1 2 \mu(B)$ для любого куба $B$ ($\mu$ - мера Лебега). \ез \задача {\бф Континуум-гипотеза} утверждает, что на континууме $C$ можно задать отношение полного порядка $\preccurlyeq$, такое, что каждый собственный отрезок $C$ счетный. Предположим, что такое отношение полного порядка есть, и рассмотрим в $\R^2$ подмножество $\{(x,y)\ \ |\ \ x\preccurlyeq y\}$. Докажите, что оно неизмеримо. \ез \subsection{ Задачи к листкам 5-6} \задача Постройте подмножество меры 0 в $\R$, которое имеет хаусдорфову размерность 1. \ез \задача Число $c\in \R$ называется {\бф числом Лиувилля}, если для каждого $n>0$ существует $p,q\in \Z$, такие, что $|c- p/q| < q^{-n}$. Докажите, что множество чисел Лиувилля имеет нулевую размерность Хаусдорфа. \ез \задача Докажите, что каждое измеримое подмножество $\R^n$ положительной меры содержит несчетное компактное подмножество. \ез \задача [2 балла] {\бф Множество Бернштейна} есть подмножество $A\subset \R^n$ такое, что для любого несчетного компакта $K$, множества $A \cap K$ и $K\backslash A$ непусты. Докажите, что множества Бернштейна существуют. Докажите, что они неизмеримы. \ез \задача [2 балла] Найдите локально компактную хаусдорфову топологическую группу, у которой правая мера Хаара не пропорциональна левой. \ез \задача Пусть $V$ есть $n$-мерное комплексное пространство с невырожденной эрмитовой метрикой с сигнатурой $(n,1)$, а $B\subset {\Bbb P}V$ проективизация множества всех векторов с отрицательным квадратом. Докажите, что $B$ гомеоморфно шару, и снабжено транзитивным действием группы $G=U(n,1)$ унитарных эндоморфизмов пространства $V$. Постройте нетривиальную $G$-инвариантную меру на $B$. \ез \задача Постройте транзитивное действие $U(n+1)$ на $\C P^n$. Постройте нетривиальную $U(n+1)$-инвариантную меру на $\C P^n$. \ез \задача Постройте нетривиальную $O(n+1)$-инвариантную меру на $n$-мерной сфере со стандартным действием $O(n+1)$. Докажите, что такая мера единственна с точностью до константы. \ез \определение {\бф Борелевской алгеброй} называется алгебра подмножеств топологического пространства, порожденная компактами. \ео \задача[2 балла] Пусть $G$ -- компактная группа, непрерывно действующая на топологическом пространстве $M$. Докажите, что на $M$ существует нетривиальная $G$-инвариантная борелевская мера. \ез \end{document}