Теория Меры: Задачи для устного экзамена  Миша Вербицкий

Теория Меры: Задачи для устного экзамена

Можно свободно пользоваться всеми задачами и теоремами из листков и лекций, но надо быть готовым предъявить доказательство для каждого утверждения.

Каждому студенту выдаются задачи на k := 12 − 2N − N′ баллов, где N – число сданных листков, а N′

– число несданных листков, в которых сдана половина задач со звездочкой/факториалом или половина задач простых и с факториалом. Для получения оценки l + 3 необходимо набрать k − 8 + 2l баллов.

Все топологические пространства в задачах предполагаются хаусдорфовыми.

1.1. Задачи к листку 1

Задача 1.1. Докажите, что существуют два полиэдра одного объема в ℝ^{4}, которые не равносоставлены.

Задача 1.2 (2 балла). Полусфера есть часть сферы S^{2} = {x, y, z | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}, конгруэнтная {(x, y, z) ∈ S^{2} | x ⩾ 0}. Двуугольник на сфере S^{2} есть пересечение двух полусфер. Кольцо сферических многоугольников на сфере есть кольцо, порожденное полусферами. Треугольник есть пересечение трех полусфер. Равносоставленность сферических многоугольников определяется так же, как и для плоских многоугольников. Верно ли, что любой сферический треугольник равносоставлен двуугольнику?

Задача 1.3 (2 балла). Пусть A есть n-угольник на сфере, α сумма его углов, а δ(A) есть (n − 2)π − α. Докажите, что δ(A) задает конечно-аддитивную меру на кольце сферических многоугольников.

Задача 1.4. Пусть μ – аддитивная, O(3)-инвариантная, неотрицательная мера на алгебре сферических многоугольников, причем такая, что некоторый двуугольник имеет конечную меру. Докажите, что граница полусферы имеет меру нуль. Докажите, что μ(S^{2}) < ∞.

Задача 1.5. Рассмотрим кольцо R многоугольников в ℝ^{2} (кольцо, порожденное замкнутыми треугольниками). Пусть на R задана функция λ со значениями в [0, ∞[, удовлетворяющая следующим свойствам

а. λ(I) = 0, где I это отрезок, интервал или полуинтервал

б. λ(A) = λ(B), если A может быть получено из B параллельным переносом.

в. λ аддитивна: λ(A ∐ B) = λ(A) + λ(B).

Докажите, что λ задается этими свойствами однозначно, с точностью до постоянного множителя.

Задача 1.6. Пусть H – гильбертово пространство, 𝔖 множество ограниченных, открытых подмножеств H, а μ : 𝔖 ⟶ [0, ∞[ – полуаддитивная, монотонная функция, инвариантная относительно сдвигов. Докажите, что μ = 0.

1.2. Задачи к листку 2

Задача 1.7. Докажите, что множество измеримых подмножеств ℝ имеет размерность больше континуума. Докажите, что множество борелевских подмножеств в ℝ континуально.

Задача 1.8. Пусть M – локально компактное пространство, A_{o} - алгебра подмножеств, порожденная открытыми, A_{c} - алгебра подмножеств, порожденная компактами. Всегда ли A_{o} равно A_{c}?

Задача 1.9. Пусть f – монотонно неубывающая функция на ℝ. Докажите, что найдется мера μ_{f} такая, что μ_{f}(]a, b[) = lim_{ε→+0} f(b − ε) − f(a + ε).

Задача 1.10. Докажите, что каждая мера на такая, что ν([a, b]) < ∞ для любых a, b, получается таким образом.

Задача 1.11 (2 балла). Множество Витали есть подмножество Q ⊂ ℝ^{n} такое, что ℝ^{n} представляется в виде объединения счетного числа непересекающихся подмножеств Q_{0}, Q_{1}, ..., Q_{n}, ... конгруэнтных Q, причем у каждой точки x есть набор окрестностей U_{i} таких, что Q_{i} ∩ U_{i} конгруэнтны для всех i. Докажите, что множество Витали существует, для любого n. Докажите, что оно неизмеримо.

Задача 1.12. Постройте гомеомофизм S^{1} в себя, переводящий множество меры нуль в множество ненулевой меры.

1.3. Задачи к листку 3

Задача 1.13. Найдите последовательность непрерывных функций на ℝ^{n}, которая сходится в L^{1}, но не сходится равномерно. Найдите последовательность непрерывных функций на ℝ^{n}, которая сходится равномерно, но не сходится в L^{1}.

Задача 1.14. Найдите последовательность непрерывных функций на [0, 1], которая сходится поточечно, но не сходится в L^{1}.

Определение 1.1. Измеримая функция на ℝ^{n} есть такая, что прообраз борелевского измерим (по Лебегу). Борелевская функция есть такая, что прообраз борелевского множества борелевский.

Задача 1.15 (2 балла). Докажите, что множество измеримых функций на ℝ имеет размерность больше континуума. Докажите, что множество борелевских функций на ℝ континуально.

Задача 1.16. Докажите, что любая измеримая функция равна некоторой борелевской функции вне некоторого множества меры 0.

Задача 1.17. Докажите, что произведение измеримых функций измеримо. Пусть f – измеримая функция на ℝ^{n} такая, что ∫_{M} fg = 0 для любой непрерывной функции с компактным носителем. Докажите, что f = 0 почти всюду.

1.4. Задачи к листку 4

Задача 1.18. Пусть f – неотрицательная функция на на ℝ^{n}, а D_{f} – подмножество в ℝ^{n+1}, состоящее из точек {(x_{1}, ..., x_{n}, t) | 0 < t < f(x_{1}, ..., x_{n})}. Докажите, что f интегрируема тогда и только тогда, когда D_{f} измеримо и имеет конечную меру.

Задача 1.19 (2 балла). Пусть ν – локально конечная мера на ℝ^{n}, μ – мера Лебега. Докажите, что ν ≼ μ вне множества меры нуль.

Задача 1.20 (2 балла). Пусть f – монотонно неубывающая функция на ℝ. Докажите, что f дифференцируема вне множества меры 0.

Задача 1.21 (2 балла). Функция ϕ : ℝ ⟶ ℝ называется выпуклой, если множество {(x, y) | y ⩾ f(x)} выпукло. Докажите, что любая выпуклая функция непрерывна, дифференцируема вне множества меры 0, и ее производная монотонна на ее множестве определения.

Задача 1.22. Докажите, что в ℝ^{n} не существует измеримого множества A такого, что μ(A∩B) = \frac{1}{2}μ(B) для любого куба B (μ - мера Лебега).

Задача 1.23. Континуум-гипотеза утверждает, что на континууме C можно задать отношение полного порядка ≼, такое, что каждый собственный отрезок C счетный. Предположим, что такое отношение полного порядка есть, и рассмотрим в ℝ^{2} подмножество {(x, y) | x ≼ y}. Докажите, что оно неизмеримо.

1.5. Задачи к листкам 5-6

Задача 1.24. Постройте подмножество меры 0 в ℝ, которое имеет хаусдорфову размерность 1.

Задача 1.25. Число c ∈ ℝ называется числом Лиувилля, если для каждого n > 0 существует p, q ∈ ℤ, такие, что |c − p/q| < q^{−n}. Докажите, что множество чисел Лиувилля имеет нулевую размерность Хаусдорфа.

Задача 1.26. Докажите, что каждое измеримое подмножество ℝ^{n} положительной меры содержит несчетное компактное подмножество.

Задача 1.27 (2 балла). Множество Бернштейна есть подмножество A ⊂ ℝ^{n} такое, что для любого несчетного компакта K, множества A ∩ K и K\A непусты. Докажите, что множества Бернштейна существуют. Докажите, что они неизмеримы.

Задача 1.28 (2 балла). Найдите локально компактную хаусдорфову топологическую группу, у которой правая мера Хаара не пропорциональна левой.

Задача 1.29. Пусть V есть n-мерное комплексное пространство с невырожденной эрмитовой метрикой с сигнатурой (n, 1), а B ⊂ ℙV проективизация множества всех векторов с отрицательным квадратом. Докажите, что B гомеоморфно шару, и снабжено транзитивным действием группы G = U(n, 1) унитарных эндоморфизмов пространства V. Постройте нетривиальную G-инвариантную меру на B.

Задача 1.30. Постройте транзитивное действие U(n + 1) на ℂP^{n}. Постройте нетривиальную U(n + 1)- инвариантную меру на ℂP^{n}.

Задача 1.31. Постройте нетривиальную O(n + 1)-инвариантную меру на n-мерной сфере со стандартным действием O(n + 1). Докажите, что такая мера единственна с точностью до константы.

Определение 1.2. Борелевской алгеброй называется алгебра подмножеств топологического пространства, порожденная компактами.

Задача 1.32 (2 балла). Пусть G – компактная группа, непрерывно действующая на топологическом пространстве M. Докажите, что на M существует нетривиальная G-инвариантная борелевская мера.