Теория Меры 6: Мера Хаара  Миша Вербицкий

Теория Меры 6: Мера Хаара

6.1. Топологические группы

Определение 6.1. Пусть G – хаусдорфово топологическое пространство, снабженное структурой группы. G называется топологической группой, если отображение G ⟶^{g ↦ g^{−1}} G непрерывно, и отображение G × G ⟶^{f, g ↦ fg} G тоже непрерывно.

Задача 6.1. В этой ситуации, докажите, что отображение G ⟶^{g ↦ g^{−1}} G это гомеоморфизм. Докажите, что отображение G × G ⟶^{f, g ↦ f, fg} G × G это гомеоморфизм.

Задача 6.2. Пусть G – топологическое пространство, снабженное структурой группы, таким образом, что G × G ⟶^{f, g ↦ f, fg} G × G это гомеоморфизм. Докажите, что G - топологическая группа.

Задача 6.3. Докажите, что (ℤ_{p}, +), (1 + ℤ_{p}, ∗) компактные топологические группы (ℤ_{p} обозначает p-адические числа)

Задача 6.4. Рассмотрим группу обратимых матриц GL(n, ℝ), группу ортогональных матриц O(n), группу SL(n) матриц с детерминантом 1, с топологией, индуцированной из вложение в пространство матриц. Докажите, что это локально компактные топологические группы.

Задача 6.5. Рассмотрим группу GL(n, ℚ_{p}) с топологией, индуцированной из вложения

GL(n, ℚ_{p}) ↪ Mat_{n}(ℚ_{p}) ≅ ℚ_{p}^{n^{2}}.

Докажите, что это локально компактная топологическая группа.

Задача 6.6 (*). Пусть G_{1} ⊂ G_{2} замкнутая нормальная подгруппа локально компактной топологической группы. Введем на факторгруппе G_{1}/G_{2} топологию таким образом, что U ⊂ G_{1}/G_{2} открыто тогда и только тогда, когда его прообраз в G_{1} открыт. Докажите, что G_{1}/G_{2} - локально компактная топологическая группа.

Задача 6.7. Постройте нетривиальный непрерывный гомоморфизм ℤ_{p} ⟶ S^{1}, либо докажите, что такого не существует.

6.2. Мера Хаара

Определение 6.2. Пусть (M, μ), (N, ν) - пространства с мерой. Морфизмом пространств с мерой называется измеримое отображение ϕ : M ⟶ N такое, что ϕ_{∗}μ = ν. Изоморфизмом пространств с мерой называется такой морфизм ϕ : M ⟶ N, что существует морфизм ψ : N ⟶ M, причем ψ ∘ ϕ и ϕ ∘ ψ тождественные.

Задача 6.8. Докажите, что композиция изоморфизмов - опять изоморфизм.

Задача 6.9 (*). Постройте изоморфизм отрезка с мерой Лебега и квадрата.

Задача 6.10 (*). Пусть на ℝ^{n} задана мера ν = fμ, где f гладкая функция, принимающая значения в [ε, ∞[, ε > 0, а μ - мера Лебега. Постройте изоморфизм (ℝ^{n}, ν) и (ℝ^{n}, μ).

Задача 6.11. Решите приведенную выше задачу в случае n = 1.

Определение 6.3. Пусть группа G действует на пространстве (M, μ) с мерой. Мы говорим, что μ G-инвариантна, если для любого g ∈ G, отображение m ⟶ g(m) задает изоморфизм из (M, μ) в себя.

Определение 6.4. Мера μ называется локально конечной, если у каждой точки есть окрестность U, которая удовлетворяет μ(U) < ∞.

Пусть G это группа. Левое действие группы на себе задается формулой g, x ⟶ gx, правое действие - g, x ⟶ xg. (Левая) мера Хаара это ненулевая, локально конечная мера Бореля на G, инвариантная относительно левого действия группы, и положительная на каждом непустом открытом множестве. Правая мера Хаара – мера, инвариантная относительно правого действия.

Задача 6.12. Пусть G – компактная топологическая группа, а μ – мера Хаара. Докажите, что μ(G) конечно.

Задача 6.13 (!). Пусть G топологическая группа, а μ, ν меры Хаара, такие, что μ(G) < ∞, ν(G) < ∞.

а. Докажите, что ν ≪ μ + ν.

б. Воспользовавшись теоремой Радона-Никодима, докажите, что ν = f(μ + ν), для какой-то измеримой функции f : G ⟶ ℝ^{⩾0}.

в. Докажите, что f постоянна вне μ + ν-пренебрежимого множества.

г. Выведите из этого, что ν = cμ, для какой-то константы c.

Определение 6.5. Напомним, что подмножество V ⊂ M хаусдорфова топологического пространства называется ограниченным, или предкомпактным, если V содержится в компактном множестве.

Задача 6.14. Докажите, что V ⊂ M предкомпактно тогда и только тогда, когда замыкание V компактно.

Определение 6.6. Топологическое пространство M называется пространством со счетной базой, если есть счетный набор открытых множеств {U_{i}} такой, что любое открытое множество представляется в виде объединения U_{i}.

Задача 6.15. а. Докажите, что в ℝ^{n} есть счетная база.

б. Докажите, что у компактного многообразия есть счетная база.

в. Пусть ℤ_{p} – кольцо p-адических чисел, с обычной топологией. Докажите, что у ℤ_{p} есть счетная база.

Задача 6.16 (*). Пусть E - борелевское множество в локально компактной, хаусдорфовой группе G, со счетной базой, а μ - мера Хаара на G. Обозначим за E^{−1} множество элементов вида g^{−1}, g ∈ E. Докажите, что E имеет меру нуль тогда и только тогда, когда E^{−1} имеет меру нуль.

Задача 6.17 (!). Пусть G - локально компактная топологическая группа со счетной базой, μ, ν меры Хаара, а U предкомпактная окрестность единицы.

а. Докажите, что существует измеримая функция f : U ⟶ ℝ^{⩾0} такая, что ν = f(μ + ν).

б. Докажите, что вне μ + ν-пренебрежимого подмножества U, f равна константе: f = c.

в. Выведите из этого, что

ν|_{U} = cμ|_{U} ,  (6.1)

для какой-то константы c ∈ ℝ, и для любой предкомпактной окрестности единицы в G.

г. Воспользовавшись наличием счетной базы, выведите из (6.1) равенство ν(A) = cμ(A) для любого борелевского A.

Указание. (к последнему пункту): воспользовавшись наличием счетной базы, докажите, что каждое борелевское подмножество G есть объединение счетного числа компактов.

Замечание. Мы доказали, что на локально компактной топологической группе со счетной базой (левая) мера Хаара единственна, с точностью до константы.

Задача 6.18 (!). Пусть r(g) : G ⟶ G – действие группы (с счетной базой) справа на себя. Докажите, что для левой меры Хаара, r(g)_{∗}μ тоже левоинвариантная мера Хаара, пропорциональная исходной, r(g)_{∗}μ = λ_{g}(μ). Докажите, что g ⟶ λ_{g} есть гомоморфизм группы в ℝ^{∗}.

Задача 6.19 (*). Постройте группу, для которой этот гомоморфизм нетривиален.

Задача 6.20 (!). Докажите, что для компактной группы, мера Хаара инвариантна слева и справа.

6.3. Построение меры Хаара

Замечание. Как следует из результатов листка 5, чтобы сконструировать меру Хаара на локально компактной топологической группе G, достаточно сконструировать левоинвариантный объем λ : C ⟶ ℝ^{⩾0} на компактных подмножествах G.

Определение 6.7. Пусть E ⊂ G предкомпактное подмножество, F ⊂ G подмножество с непустой внутренностью. F -сеть на E это такой конечный набор точек {x_{i}} ⊂ G (называемых узлами F -сети), что ⋃ x_{i}F покрывает E. Минимальное число узлов в F -сети обозначается E : F.

Задача 6.21. Докажите, что в этих условиях F -сеть всегда существует.

Задача 6.22. Пусть A предкомпактное и с непустой внутренностью. Докажите, что (E : A)(A : F) ⩾ E : F.

Задача 6.23. Зафиксируем предкомпактное подмножество A ⊂ G с непустой внутренностью. Для заданного открытого подмножества U ⊂ G, определим функцию λ_{U} : C ⟶ ℝ на множестве всех компактов C ⊂ G, λ_{U}(C) := \frac{C:U}{A:U} . Докажите, что эта функция счетно-полуаддитивна, левоинвариантна, и для любых C, D, таких, что CU^{−1} ∩ DU^{−1} = ∅, верно

λ_{U}(C ∪ D) = λ_{U}(C) + λ_{U}(D)

Указание. Воспользуйтесь тем, что для каждого x такого, что C пересекает xU, D не пересекает xU.

Задача 6.24 (*). В условиях предыдущей задачи, рассмотрим произведение K := ∏_{C∈C} I_{C} отрезков I_{C} := [0, C : A], проиндексированное всеми компактными множествами C ∈ C, с топологией тихоновского произведения. Можно рассматривать K как пространство функций f : C ⟶ ℝ, принимающих значения в [0, C : A], с топологией поточечной сходимости. Это пространство компактно, по теореме Тихонова.

Обозначим за Δ_{U} множество всех λ_{V} ∈ K таких, что V ⊂ U.

а. Докажите, что ⋂ Δ_{U_{i}} = Δ_{∩U_{i}}, где пересечение берется по конечному набору окрестностей единицы U_{i} ⊂ G. Докажите, что это множество непусто.

б. Обозначим за \overline{Δ_{U}} замыкание Δ_{U} в C. Это множество компактно, по теореме Тихонова. Докажите, что ⋂_{U} \overline{Δ_{U}} непусто, где пересечение берется по всем открытым окрестностям единицы в G.

в. Пусть λ : C ⟶ ℝ лежит в ⋂_{U} \overline{Δ_{U}}. Докажите, что λ - ненулевой, левоинвариантный, регулярный объем на C

Указание. Проверьте, что левоинвариантность, монотонность и полуаддитивность это замкнутые условия в K. Выведите из этого, что им удовлетворяют все f ∈ \overline{Δ_{U}}. Чтобы доказать, что λ это объем, надо проверить аддитивность. Из локальной компактности выведите, что для любых непересекающихся компактов C и D существует окрестность U единицы в G такая, что CU^{−1} не пересекается с DU^{−1}. Условие f(C ∐ D) = f(C) + f(D) замкнутое, и ему в силу задачи 6.23 удовлетворяют все f ∈ Δ_{U}. Выведите из этого, что λ тоже удовлетворяет этому условию.

Задача 6.25. Пусть μ - мера Хаара на локально компактной топологической группе G. Докажите, что μ(e) ≠ 0 тогда и только тогда, когда G дискретна.

Задача 6.26. Рассмотрим мультипликативную группу ℝ^{>0} как локально компактную топологическую группу. Докажите, что мера Хаара λ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега μ на ℝ^{>0}. Выведите из этого соотношение λ = fμ и найдите функцию f.

Задача 6.27. Решите такую же задачу для мультипликативной группы ℂ^{∗} ненулевых комплексных чисел.

Задача 6.28 (*). Рассмотрим группу GL(n, ℝ) ⊂ Mat(n, ℝ) с топологией и мерой Лебега μ, индуцированной из Mat(n, ℝ). Докажите, что мера Хаара λ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на GL(n, ℝ). Выведите из этого соотношение λ = fμ и найдите функцию f.

Задача 6.29 (*). То же самое для GL(n, ℂ) ⊂ Mat(n, ℂ).