\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}


% version 1.0, 04.11.2010
% version 1.1, 13.11.2010, мелкие ошибки поправил
% version 1.2, 28.01.2012, исправления от Саши Ананьина

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   28.01.2012}

\begin{document}


\listok{5}{Теория Меры 5: Внешняя мера}

\subsection{Мера и объем}

На протяжении этого листа, $M$ есть 
хаусдорфово топологическое пространство, а ${\bf C}$ -
множество компактных подмножеств $M$. 

\определение
{\бф Алгеброй борелевских множеств на $M$}  называется
$\sigma$-алгебра ${\bf S}$, порожденная ${\bf C}$. 
{\bf Мера Бореля} - это мера на $(M, {\bf S})$.
\ео

\задача
Предположим, что $M$ - локально компактно и 
имеет счетную базу открытых
множеств. Докажите, что ${\bf S}$ -- $\sigma$-алгебра, 
порожденная открытыми множествами.
\ез

\задача
Предположим, что любое замкнутое подмножество в 
$M$ может быть получено как счетное объединение
компактов (в такой ситуации, говорится, что
$M$ {\бф $\sigma$-компактно}).  Докажите, что  
${\bf S}$ - $\sigma$-алгебра, 
порожденная открытыми множествами.
\ез

\задача[*]
\енум
\итем[*]
Приведите пример связного хаусдорфова топологического
пространства, которое локально компактно, но не $\sigma$-компактно. 

\итем[*]
Вытекает ли из $\sigma$-компактности локальная компактность?
\ее
\ез


\определение
Пусть задана функция 
$\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$,
где ${\bf C}$ есть множество компактных подмножеств $M$.
Мы говорим, что $\lambda$
\енум
\item {\бф Монотонна}, если $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ для $A\subset B$
\item {\бф аддитивна}, если $\lambda(A \coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$
\item {\бф полуаддитивна}, если $\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$
\ее
В таком случае, $\lambda$ называется {\бф объемом}.
\ео

\определение
Пусть на $M$ задан объем 
$\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
{\bf Внутренним объемом} подмножества $S\subset M$
называется число $\lambda_*(S):= \sup\limits_C \lambda(C)$,
где супремум берется по всем компактным $C\subset S$.
{\бф Внешней мерой} подмножества $S\subset M$
называется число $\lambda^*(S):= \inf\limits_U \lambda_*(U)$,
где инфимум берется по всем открытым множествам $U$,
содержащим $S$.
\ео

\задача
Докажите, что для любого открытого множества
$U\subset M$, $\lambda_*(U)=\lambda^*(U)$.
\ез

\определение
Напомним, что {\бф внутренностью} подмножества $A\subset M$
называется множество всех $x\in A$ таких, что некоторая
окрестность $x$ содержится в $A$.
\ео

\задача
Докажите, что внутренность любого множества открыта.
Докажите, что внутренность $A\subset M$ совпадает
с $M\backslash \overline{(M\backslash A)}$,
где $\overline{(M\backslash A)}$ обозначает
замыкание $M\backslash A$ в $M$.
\ез

\задача
Докажите, что для любого компактного подмножества
$C\subset M$, 
\[ \lambda^*(C)\geq \lambda(C) \geq \lambda_*(C_0),
\]
где $C_0$ обозначает внутренность $C$.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ локально компактно и имеет счетную базу. Докажите, что
$C= \bigcap U_i$, для некоторой последовательности
открытых множеств, содержащих $C$. 
\ез

\задача[*]
В этих условиях, предположим, что 
$\lambda(\bigcap C_i) = \lim \lambda(C_i)$
для любой последовательности компактных множеств
$C_0\supset C_1\supset ...$ такой, что $\bigcap C_i$
компактно. Докажите,
что для любого компактного подмножества
$C\subset M$, $\lambda^*(C)=\lambda(C)$, 
\ез

\задача[!]
Пусть  $M\subset \R^n$.
Докажите, что мера Лебега на $M$ задает объем 
\[ \lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}. \]
Докажите, что в такой ситуации  
$\lambda^*(C)=\lambda(C)$
для любого компактного подмножества $C\subset M$.
\ез

\задача
Пусть $M$ - хаусдорфово топологическое пространство,
на котором  задан объем $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
Предположим, что $C\subset U\cup V$
компактное подмножество объединения открытых
множеств $U$ и $V$. Докажите, что найдутся
компактные подмножества $C_U\subset U$,
$C_V\subset V$ такие, что $C_U\cup C_V = C$.
\ез

\указание
Докажите, что два непересекающихся компактных
подмножества хаусдорфова пространства имеют
непересекающиеся окрестности. Воспользуйтесь
этим, чтобы найти непересекающиеся открытые
окрестности $U_1$ у $C\backslash V$ и
$V_1$ у $C\backslash U$. Докажите, что
$C_V:=C\backslash U_1$, $C_U:=C\backslash V_1\subset U$
удовлетворяют условиям задачи.
\еу

\задача[!]
Пусть $M$ - хаусдорфово топологическое пространство,
на котором  задан объем $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
Пусть $U, V$ открытые множества. Докажите, что
$\lambda_*(U\cup V) \leq \lambda_*(U)+\lambda_*(V)$.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Выведите из этого, что $\lambda^*$ полуаддитивна, то есть
$\lambda^*(\bigcup A_i) \leq \sum \lambda^*(A_i)$
для любого конечного набора $A_i\subset M$.
\ез


\задача[!]
Докажите, что $\lambda^*$ счетно полуаддитивно, то есть
удовлетворяет $\lambda^*(\bigcup A_i) \leq \sum \lambda^*(A_i)$
для любого счетного набора $A_i\subset M$.
\ез

\указание Сведите утверждение к 
$\lambda_*(\bigcup U_i) \leq \sum \lambda^*(U_i)$, где $U_i$ все
открыты. Если $C\subset \bigcup U_i$ компакт, то
$C$ покрывается конечным набором $U_i$. 
Следовательно, 
\[ \lambda^*\left(\bigcup U_i\right)\leq \lambda^*(U_1\cup U_2 \cup ... U_n)
\]
для конечного поднабора. Воспользуйтесь предыдущей
задачей, чтобы получить
$\lambda^*(U_1\cup U_2 \cup ... U_n)\leq \sum_{i=1}^n\lambda^*(U_i)$.
\еу

\задача[!]
Пусть $U$ открыто, $C$ компактно. Докажите, что
\[ \lambda^*(U) = \lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U\cap C).\]
\ез

\указание
В силу уже доказанного, достаточно установить
\[ \lambda^*(U) \geq \lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U\cap C).\]
$\lambda_*(U\backslash C)$ есть 
$\sup \lambda(D)$, где супремум берется по всем компактным 
$D$, лежащим в $U\backslash C$. Для каждого такого $D$, 
$U\backslash D$ это окрестность $C\cap U$, и 
$\lambda^*(C\cap U)\leq \lambda_*(U\backslash D) =\sup\lambda(E)$,
где супремум берется по всем компактам $E$, лежащим в
$U\backslash D$. По построению $D$ и $E$ не пересекаются.
Докажите, что
\[ 
  \lambda^*(U\backslash C)+\lambda^*(U\cap C)=
  \sup_{D} \lambda(D) + \lambda^*(U\cap C)
    \leq \sup_{D,E}\lambda(E)+\lambda(D)= 
    \sup_{D,E}\lambda(D\cup E) \leq \lambda^*(U) 
\]
\еу

\определение
Пусть $M$ - хаусдорфово топологическое пространство,
на котором  задан объем $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
Подмножество $A\subset M$ называется {\бф $\lambda^*$-измеримым},
или же {\бф измеримым по Каратеодори}, если 
\[ 
\lambda^*(B) = \lambda^*(B\backslash A) + \lambda^*(B\cap A)
\]
для любого подмножества $B\subset M$.
\ео

\задача[!]
Пусть 
\begin{equation}\label{_izmerimo_otn_otkr_Equation_}
\lambda^*(U) = \lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U\cap A)
\end{equation}
для любого открытого $U\subset M$.
Докажите, что $A$ $\lambda^*$-измеримо.
\ез

\указание
$\lambda^*(B)= \inf\lambda^*(V)$, где инфимум берется
по всем открытым окрестностям $V\supset B$. Поэтому из 
\eqref{_izmerimo_otn_otkr_Equation_} следует
\[
\lambda^*(B)= \inf_V\lambda^*(V)= 
\inf_V \bigg(\lambda^*(V\backslash A) + \lambda^*(V\cap A)\bigg)
\leq \lambda^*(V\backslash A)+\lambda^*(V\cap A)\leq
\lambda^*(B\backslash A) + \lambda^*(B\cap A)
\]
Обратное неравенство вытекает из полуаддитивности.
\еу

\задача[!]
Докажите, что $\lambda^*$-измеримые множества образуют алгебру.
\ез

\указание
Если $\lambda^*(X\coprod Y)= \lambda^*(X) + \lambda^*(Y)$,
то $\lambda^*(X\coprod Y)= \lambda^*(X\backslash A) + 
\lambda^*(X\cap A)+ \lambda^*(Y\backslash
A)+\lambda^*(Y\cap A)$, для любого $\lambda^*$-измеримого 
множества $A$. 
\еу

\задача
\label{_limit_them_measura_Zadacha_}
Пусть $A= \coprod_{i=1}^\infty A_i$ -- счетное
объединение непересекающихся $\lambda^*$-измеримых
множеств. Предположим, что для любого
множества $X$ с $\lambda^*(X)< \infty$, имеем
$\lim_N \lambda^*(X\cap \coprod_{i=N}^\infty A_i)=0$.
Докажите, что $A$ тоже $\lambda^*$-измеримо.
\ез

\указание
Докажите, что 
\[ \lambda^*(A\cap X) = 
\lambda^*\left (X\cap \coprod_{i=1}^{N-1} A_i\right)+\lambda^*\left(X\cap
\coprod_{i=N}^\infty A_i\right),
\]
\[\lambda^*(X\backslash A) \leq  
\lambda^*\left( X \backslash\left(\coprod_{i=1}^{N-1} A_i\right)\right),
\]
и выведите
\[
\lambda^*(A\cap X)+ \lambda^*(Х\backslash A)\leq 
\lambda^*(X) + \lambda^*\left(X\cap \coprod_{i=N}^\infty A_i\right).
\]
\еу


\задача \label{_union_then_limit_Zadacha_}
Пусть $X$ измеримо, $\lambda^*(X\cap A)< \infty$,
где  $A= \coprod_{i=1}^\infty A_i$ -- счетное
объединение непересекающихся $\lambda^*$-измеримых
множеств. Докажите, что $\lim_N \lambda^*(X\cap \coprod_{i=N}^\infty A_i)=0$.
\ез

\указание
Заменив $X$ на  $X\cap A$, 
а $A_i$ на $A_i\cap X$, можно считать, что 
$X=A$ и $\lambda^*(X)<\infty$. Пусть $U_i$ --
окрестности $A_i$, такие, что 
$\lambda^*(U_i) \leq \lambda^*(A_i) + \frac 1 {2^i}\epsilon$.
Докажите, что $\lambda^*(U_i\backslash A_i) \leq \frac 1
{2^i}\epsilon$. Найдите в $\bigcup_i U_i$ компакт $K$,
такой, что $\lambda^*(A) = \lambda(K) -\epsilon$, и пусть
$U_1, ..., U_N$ -- конечное покрытие $K$.  Выведите, что
\[
\lambda^*(A) -\epsilon \leq 
\lambda^*\left (\bigcup_{i=1}^N U_i\right) 
\leq \sum_{i=1}^N \lambda^*(A_i) +
\lambda^*(U_i\backslash A_i) \leq \sum_{i=1}^N
\lambda^*(A_i)+ \epsilon.
\]
Воспользовавшись $\lambda^*(A) =\sum_{i=1}^N
\lambda^*(A_i) +\lambda^*\left(\coprod_{i=N}^\infty
A_i\right)$,
убедитесь, что $\lambda^*\left(\coprod_{i=N}^\infty
A_i\right)\leq 2\epsilon$.
\еу

\задача
Докажите, что счетное объединение $\lambda^*$-измеримых
множеств можно представить как счетное объединение
непересекающихся $\lambda^*$-измеримых множеств.
\ез

\задача[!]
Докажите, что счетное объединение $\lambda^*$-измеримых
множеств $\lambda^*$-измеримо. Выведите из этого,
что любое борелевское множество $\lambda^*$-измеримо.
Докажите, что $\lambda^*$ задает меру
на алгебре борелевских множеств.
\ез

\указание
Замените $\bigcup A_i$ на счетное объединение 
непересекающихся $\lambda^*$-измеримых
множеств, и примените задачи
\ref{_limit_them_measura_Zadacha_} и 
\ref{_union_then_limit_Zadacha_}.
\еу

\определение
Эта мера называется {\бф борелевской мерой, связанной
с объемом $\lambda :\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$}.
\ео

\определение
Объем $\lambda$ называется {\бф регулярным},
если для каждого компактного множества $K$,
$\inf_{U\supset K} \lambda^*(U) = \lambda(K)$.
\ео

\задача[!]
Пусть $M=\R^n$, а $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$
это мера Лебега.  Докажите, что $\lambda$ -- регулярный
объем. Докажите, что соответствующая ему внешняя мера 
$\lambda^*$ на борелевских множествах равна мере Лебега.
\ез

\задача[!]
Докажите, что измеримое по Лебегу подмножество $\R^n$ измеримо
по Каратеодори.
\ез

\задача[**]
Докажите, что измеримое по Каратеодори подмножество $\R^n$
измеримо по Лебегу.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Размерность Хаусдорфа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M$ -- метрическое пространство. {\бф Диаметр}
$\diam(M)\in [0, \infty]$ есть число $\sup_{x,y\in M} d(x,y)$
\ео

\определение
{\бф Шаром} с центром в $x$ радиуса $\epsilon$
в метрическом пространстве называется множество
$B_\epsilon(x)$ всех точек $y$ с $d(x,y)<\epsilon$.
\ео

\задача
Чему может быть равен диаметр шара радиуса $\epsilon$
в метрическом пространстве?
\ез

\задача
Пусть $M$ -- метрическое пространство, $\epsilon >0$.
Докажите, что у $M$ есть покрытие, состоящее
из шаров диаметра $\leq \epsilon$.
\ез


\определение
Пусть $\{S_i\}$ -- покрытие пространства $M$,
состоящее из шаров радиуса $r$ с $r < \epsilon$.
Определим $\mu_{d, \epsilon} \in [0, \infty]$ как
\[
\mu_{d, \epsilon}:= \inf_{\{S_i\}} \sum_i (\diam S_i)^d
\]
где инфимум берется по всем таким покрытиям.
Предел $\mu_d(M):= \sup \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\mu_{d,
   \epsilon}(M)$
называется {\бф $d$-мерной мерой Хаусдорфа} 
пространства $M$.
\ео

\задача[!]
Докажите, что для любого метрического
пространства, $\mu_d(M)$ -- монотонно
невозрастающая функция от $d$, причем она 
 равна нулю или бесконечности
всюду, кроме, быть может, одного значения $d$.
\ез

\указание
Докажите, что для любого покрытия шарами
с диаметром $\leq \epsilon$, имеем
$\sum_i (\diam S_i)^d\leq \epsilon^{d-d'}\sum_i (\diam S_i)^{d'}$
для $d> d'$. Выведите из этого, что
$\mu_{d}(M)\leq \epsilon^{d-d'}\sum_i (\diam S_i)^{d'}$,
а из этого -- что $\mu_d(M) \leq \epsilon^{d-d'}\mu_{d'}(M)$
\еу

\определение
{\бф Размерность Хаусдорфа} $\dim_h(M)$ метрического
пространства есть супремум $\sup\  \{ d\in \R \  |\ 
\mu_d(M)=\infty\}$. {\бф Мера Хаусдорфа} $\Vol_h(M)$
есть его мера Хаусдорфа размерности $\dim_h(M)$.
\ео 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Мера Хаусдорфа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача 
Докажите, что $\dim_h([0,1])=1$.
\ез

\задача[*]
Пусть $M_1$, $M_2$ - компактные метрические пространства. 
Докажите, что 
\[ \dim_h(M_1\times M_2) = \dim_h(M_1) + \dim_h(M_2).
\]
\ез

\задача[*]
Найдите размерность Хаусдорфа единичного куба в $\R^n$.
\ез

\задача[*]
Определим канторово множество как подмножество $K\subset [0,1]$,
состоящее из всех точек, в троичном разложении которых нет 1.
Найдите $\dim_h(K)$.
\ез

\задача[**]
Постройте метрическое пространство бесконечной
размерности Хаусдорфа.
\ез


\задача
Предположим, $M$ - локально компактное
метрическое пространство хаусдорфовой размерности
$d$, причем соответствующая $d$-мерная мера 
$\mu_d(K)$ конечна для любого компакта.
Докажите, что $\mu_d(K)$  является объемом, в смысле
определения, данного в начале листка.
\ез


\задача[*]
Пусть $M=\R^n$, с обычной метрикой. 
Докажите, что объем $\Vol_h(K)$ на компактных подмножествах $M$
пропорционален мере Лебега.
\ез


\end{document}