Теория Меры 5: Внешняя мера  Миша Вербицкий

Теория Меры 5: Внешняя мера

5.1. Мера и объем

На протяжении этого листа, M есть хаусдорфово топологическое пространство, а C - множество компактных подмножеств M.

Определение 5.1. Алгеброй борелевских множеств на M называется σ-алгебра S, порожденная C. Мера Бореля - это мера на (M, S).

Задача 5.1. Предположим, что M - локально компактно и имеет счетную базу открытых множеств. Докажите, что S – σ-алгебра, порожденная открытыми множествами.

Задача 5.2. Предположим, что любое замкнутое подмножество в M может быть получено как счетное объединение компактов (в такой ситуации, говорится, что M σ-компактно). Докажите, что S - σ-алгебра, порожденная открытыми множествами.

Задача 5.3 (*). а. [*] Приведите пример связного хаусдорфова топологического пространства, которое локально компактно, но не σ-компактно.

б. [*] Вытекает ли из σ-компактности локальная компактность?

Определение 5.2. Пусть задана функция λ : C ⟶ ℝ^{⩾0}, где C есть множество компактных подмножеств M. Мы говорим, что λ

а. Монотонна, если λ(A) ⩽ λ(B) для A ⊂ B

б. аддитивна, если λ(A ∐ B) = λ(A) + λ(B)

в. полуаддитивна, если λ(A ∪ B) ⩽ λ(A) + λ(B)

В таком случае, λ называется объемом.

Определение 5.3. Пусть на M задан объем λ : C ⟶ ℝ^{⩾0}. Внутренним объемом подмножества S ⊂ M называется число λ_{∗}(S) := sup_{C} λ(C), где супремум берется по всем компактным

C ⊂ S. Внешней мерой подмножества S ⊂ M называется число λ^{∗}(S) := inf_{U} λ_{∗}(U), где инфимум берется по всем открытым множествам U, содержащим S.

Задача 5.4. Докажите, что для любого открытого множества U ⊂ M, λ_{∗}(U) = λ^{∗}(U).

Определение 5.4. Напомним, что внутренностью подмножества A ⊂ M называется множество всех x ∈ A таких, что некоторая окрестность x содержится в A.

Задача 5.5. Докажите, что внутренность любого множества открыта. Докажите, что внутренность A ⊂ M совпадает с M\\overline{(M\A)}, где \overline{(M\A)} обозначает замыкание M\A в M.

Задача 5.6. Докажите, что для любого компактного подмножества C ⊂ M,

λ^{∗}(C) ⩾ λ(C) ⩾ λ_{∗}(C_{0}),

где C_{0} обозначает внутренность C.

Задача 5.7 (*). Пусть M локально компактно и имеет счетную базу. Докажите, что C = ⋂ U_{i}, для некоторой последовательности открытых множеств, содержащих C.

Задача 5.8 (*). В этих условиях, предположим, что λ(⋂ C_{i}) = lim λ(C_{i}) для любой последовательности компактных множеств C_{0} ⊃ C_{1} ⊃ ... такой, что ⋂ C_{i} компактно. Докажите, что для любого компактного подмножества C ⊂ M, λ^{∗}(C) = λ(C),

Задача 5.9 (!). Пусть M ⊂ ℝ^{n}. Докажите, что мера Лебега на M задает объем

λ : C ⟶ ℝ^{⩾0}.

Докажите, что в такой ситуации λ^{∗}(C) = λ(C) для любого компактного подмножества C ⊂ M.

Задача 5.10. Пусть M - хаусдорфово топологическое пространство, на котором задан объем λ : C ⟶ ℝ^{⩾0}. Предположим, что C ⊂ U ∪ V компактное подмножество объединения открытых множеств U и V. Докажите, что найдутся компактные подмножества C_{U} ⊂ U, C_{V} ⊂ V такие, что C_{U} ∪ C_{V} = C.

Указание. Докажите, что два непересекающихся компактных подмножества хаусдорфова пространства имеют непересекающиеся окрестности. Воспользуйтесь этим, чтобы найти непересекающиеся открытые окрестности U_{1} у C\V и V_{1} у C\U. Докажите, что C_{V} := C\U_{1}, C_{U} := C\V_{1} ⊂ U удовлетворяют условиям задачи.

Задача 5.11 (!). Пусть M - хаусдорфово топологическое пространство, на котором задан объем λ : C ⟶ ℝ^{⩾0}. Пусть U, V открытые множества. Докажите, что λ_{∗}(U ∪ V) ⩽ λ_{∗}(U) + λ_{∗}(V).

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 5.12. Выведите из этого, что λ^{∗} полуаддитивна, то есть λ^{∗}(⋃ A_{i}) ⩽ ∑ λ^{∗}(A_{i}) для любого конечного набора A_{i} ⊂ M.

Задача 5.13 (!). Докажите, что λ^{∗} счетно полуаддитивно, то есть удовлетворяет λ^{∗}(⋃ A_{i}) ⩽ ∑ λ^{∗}(A_{i}) для любого счетного набора A_{i} ⊂ M.

Указание. Сведите утверждение к λ_{∗}(⋃ U_{i}) ⩽ ∑ λ^{∗}(U_{i}), где U_{i} все открыты. Если C ⊂ ⋃ U_{i} компакт, то C покрывается конечным набором U_{i}. Следовательно,

λ_{∗} (⋃ U_{i}) ⩽ λ_{∗}(U_{1} ∪ U_{2} ∪ ...U_{n})

для конечного поднабора. Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы получить λ_{∗}(U_{1} ∪ U_{2} ∪ ...U_{n}) ⩽ ∑_{i=1}^{n} λ_{∗}(U_{i}).

Задача 5.14 (!). Пусть U открыто, C компактно. Докажите, что

λ^{∗}(U) = λ^{∗}(U\C) + λ^{∗}(U ∩ C).

Указание. В силу уже доказанного, достаточно установить

λ^{∗}(U) ⩾ λ^{∗}(U\C) + λ^{∗}(U ∩ C).

λ_{∗}(U\C) есть sup λ(D), где супремум берется по всем компактным D, лежащим в U\C. Для каждого такого D, U\D это окрестность C ∩ U, и λ^{∗}(C ∩ U) ⩽ λ_{∗}(U\D) = sup λ(E), где супремум берется по всем компактам E, лежащим в U\D. По построению D и E не пересекаются. Докажите, что

λ^{∗}(U\C) + λ^{∗}(U ∩ C) = sup_{D} λ(D) + λ^{∗}(U ∩ C) ⩽ sup_{D,E} λ(E) + λ(D) = sup_{D,E} λ(D ∪ E) ⩽ λ^{∗}(U)

Определение 5.5. Пусть M - хаусдорфово топологическое пространство, на котором задан объем λ : C ⟶ ℝ^{⩾0}. Подмножество A ⊂ M называется λ^{∗}-измеримым, или же измеримым по Каратеодори, если

λ^{∗}(B) = λ^{∗}(B\A) + λ^{∗}(B ∩ A)

для любого подмножества B ⊂ M.

Задача 5.15 (!). Пусть

λ^{∗}(U) = λ^{∗}(U\A) + λ^{∗}(U ∩ A)  (5.1)

для любого открытого U ⊂ M. Докажите, что A λ^{∗}-измеримо.

Указание. λ^{∗}(B) = inf λ^{∗}(V), где инфимум берется по всем открытым окрестностям V ⊃ B. Поэтому из (5.1) следует

λ^{∗}(B) = inf_{V} λ^{∗}(V) = inf_{V} (λ^{∗}(V \A) + λ^{∗}(V ∩ A)) ⩽ λ^{∗}(V \A) + λ^{∗}(V ∩ A) ⩽ λ^{∗}(B\A) + λ^{∗}(B ∩ A)

Обратное неравенство вытекает из полуаддитивности.

Задача 5.16 (!). Докажите, что λ^{∗}-измеримые множества образуют алгебру.

Указание. Если λ^{∗}(X ∐ Y) = λ^{∗}(X) + λ^{∗}(Y), то λ^{∗}(X ∐ Y) = λ^{∗}(X\A) + λ^{∗}(X ∩ A) + λ^{∗}(Y \A) + λ^{∗}(Y ∩ A), для любого λ^{∗}-измеримого множества A.

Задача 5.17. Пусть A = ∐_{i=1}^{∞} A_{i} – счетное объединение непересекающихся λ^{∗}-измеримых множеств. Предположим, что для любого множества X с λ^{∗}(X) < ∞, имеем lim_{N} λ^{∗}(X ∩ ∐_{i=N}^{∞} A_{i}) = 0. Докажите, что A тоже λ^{∗}-измеримо.

Указание. Докажите, что

λ^{∗}(A ∩ X) = λ^{∗} (X ∩ ∐_{i=1}^{N} A_{i}) + λ^{∗} (X ∩ ∐_{i=N}^{∞} A_{i}) ,

λ^{∗}(X\A) ⩽ λ^{∗} (X\ (∐_{i=1}^{N} A_{i})) ,

и выведите

λ^{∗}(A ∩ X) + λ^{∗}(\A) ⩽ λ^{∗}(X) + λ^{∗} (X ∩ ∐_{i=N}^{∞} A_{i}) .

Задача 5.18. Пусть λ^{∗}(X ∩ A) < ∞, где A = ∐_{i=1}^{∞} A_{i} – счетное объединение непересекающихся λ^{∗}-измеримых множеств. Докажите, что lim_{N} λ^{∗}(X ∩ ∐_{i=N}^{∞} A_{i}) = 0.

Указание. Заменив X на открытое множество, содержащее X ∩A и с λ^{∗}(X) < ∞, а A_{i} на A_{i}∩X, можно считать, что X = A и λ^{∗}(X) < ∞. Пусть U_{i} – окрестности A_{i}, такие, что λ^{∗}(U_{i}) ⩽ λ^{∗}(A_{i})+ \frac{1}{2^{i}} ε. Докажите, что λ^{∗}(U_{i}\A_{i}) ⩽ \frac{1}{2^{i}} ε. Найдите в ⋃_{i} U_{i} компакт K, такой, что λ^{∗}(A) = λ(K) − ε, и пусть U_{1}, ..., U_{N} – конечное покрытие K. Выведите, что

λ^{∗}(A) − ε ⩽ λ^{∗} (⋃_{i=1}^{N} U_{i}) ⩽ ∑_{i=1}^{N} λ^{∗}(A_{i}) + λ^{∗}(U_{i}\A_{i}) ⩽ ∑_{i=1}^{N} λ^{∗}(A_{i}) + ε.

Воспользовавшись λ^{∗}(A) = ∑_{i=1}^{N} λ^{∗}(A_{i}) + λ^{∗} (∐_{i=N}^{∞} A_{i}), убедитесь, что λ^{∗} (∐_{i=N}^{∞} A_{i}) ⩽ 2ε.

Задача 5.19. Докажите, что счетное объединение λ^{∗}-измеримых множеств можно представить как счетное объединение непересекающихся λ^{∗}-измеримых множеств.

Задача 5.20 (!). Докажите, что счетное объединение λ^{∗}-измеримых множеств λ^{∗}-измеримо. Выведите из этого, что любое борелевское множество λ^{∗}-измеримо. Докажите, что λ^{∗} задает меру на алгебре борелевских множеств.

Указание. Замените ⋃ A_{i} на счетное объединение непересекающихся λ^{∗}-измеримых множеств, и примените задачи 5.17 и 5.18.

Определение 5.6. Эта мера называется борелевской мерой, связанной с объемом λ : C ⟶ ℝ^{⩾0}.

Определение 5.7. Объем λ называется регулярным, если для каждого компактного множества K inf_{U} λ^{∗}(U) = λ(K).

Задача 5.21 (!). Пусть M = ℝ^{n}, а λ : C ⟶ ℝ^{⩾0} это мера Лебега. Докажите, что λ – регулярный объем. Докажите, что соответствующая ему внешняя мера λ^{∗} на борелевских множествах равна мере Лебега.

Задача 5.22 (!). Докажите, что измеримое по Лебегу подмножество ℝ^{n} измеримо по Каратеодори.

Задача 5.23 (**). Докажите, что измеримое по Каратеодори подмножество ℝ^{n} измеримо по Лебегу.

5.2. Размерность Хаусдорфа

Определение 5.8. Пусть M – метрическое пространство. Диаметр diam(M) ∈ [0, ∞] есть число sup_{x,y∈M} d(x, y)

Определение 5.9. Шаром с центром в x радиуса ε в метрическом пространстве называется множество B_{ε}(x) всех точек y с d(x, y) < ε.

Задача 5.24. Чему может быть равен диаметр шара радиуса ε в метрическом пространстве?

Задача 5.25. Пусть M – метрическое пространство, ε > 0. Докажите, что у M есть покрытие, состоящее из шаров диаметра ⩽ ε.

Определение 5.10. Пусть {S_{i}} – покрытие пространства M, состоящее из шаров радиуса r с r < ε. Определим μ_{d,ε} ∈ [0, ∞] как

μ_{d,ε} := inf_{{S_{i}}} ∑_{i}(diam S_{i})^{d}

где инфимум берется по всем таким покрытиям. Предел μ_{d}(M) := sup lim_{ε→0} μ_{d,ε}(M) называется d-мерной мерой Хаусдорфа пространства M.

Задача 5.26 (!). Докажите, что для любого метрического пространства, μ_{d}(M) – монотонно невозрастающая функция от d, причем она равна нулю или бесконечности всюду, кроме, быть может, одного значения d.

Указание. Докажите, что для любого покрытия шарами с диаметром ⩽ ε, имеем ∑_{i}(diam S_{i})^{d} ⩽ ε^{d−d′} ∑_{i}(diam S_{i})^{d′} для d > d′. Выведите из этого, что μ_{d}(M) ⩽ ε^{d−d′} ∑_{i}(diam S_{i})^{d′}, а из этого – что μ_{d}(M) ⩽ ε^{d−d′}μ_{d′}(M)

Определение 5.11. Размерность Хаусдорфа dim_{h}(M) метрического пространства есть супремум sup {d ∈ ℝ | μ_{d}(M) = ∞}. Мера Хаусдорфа Vol_{h}(M) есть его мера Хаусдорфа размерности dim_{h}(M).

5.3. Мера Хаусдорфа

Задача 5.27. Докажите, что dim_{h}([0, 1]) = 1.

Задача 5.28 (*). Пусть M_{1}, M_{2} - компактные метрические пространства. Докажите, что

dim_{h}(M_{1} × M_{2}) = dim_{h}(M_{1}) + dim_{h}(M_{2}).

Задача 5.29 (*). Найдите размерность Хаусдорфа единичного куба в ℝ^{n}.

Задача 5.30 (*). Определим канторово множество как подмножество K ⊂ [0, 1], состоящее из всех точек, в троичном разложении которых нет 1. Найдите dim_{h}(K).

Задача 5.31 (**). Постройте метрическое пространство бесконечной размерности Хаусдорфа.

Задача 5.32. Предположим, M - локально компактное метрическое пространство хаусдорфовой размерности d, причем соответствующая d-мерная мера μ_{d}(K) конечна для любого компакта. Докажите, что μ_{d}(K) является объемом, в смысле определения, данного в начале листка.

Задача 5.33 (*). Пусть M = ℝ^{n}, с обычной метрикой. Докажите, что объем Vol_{h}(K) на компактных подмножествах M пропорционален мере Лебега.