Теория Меры 4: Теорема Радона-Никодима и теорема Фубини  Миша Вербицкий

Теория Меры 4: Теорема Радона-Никодима и теорема Фубини

4.1. Разложение Хана

Определение 4.1. Напомним, что зарядом называется счетно-аддитивная функция на σ-ал-гебре, принимающая значения в ℝ.

Задача 4.1 (!). Пусть ρ - заряд на сигма-алгебре 𝔘 ⊂ 2^{S}, а β := inf ρ(B_{α}), где inf берется по всем B_{α} таким, что ρ(B_{α}) < 0.

а. Докажите, что β > −∞.

б. Пусть E измеримое множество, такое, что ρ(E) ⩽ β + ε. Докажите, что для любого E′ ⊂ S\E, ρ(E′) ⩾ −ε.

в. Пусть E_{1}, E_{2} измеримые множества, причем ρ(E_{i}) ⩽ β + ε_{i}. Докажите, что ρ(E_{1}△E_{2}) ⩾ −ε_{1} − ε_{2}. Выведите из этого, что ρ(E_{1} ∪ E_{2}) ⩽ β + ε_{1} + ε_{2} и ρ(E_{1} ∩ E_{2}) ⩽ β + ε_{1} + ε_{2}.

г. Пусть E_{i} - последовательность измеримых множеств, такая, что ρ(E_{i}) ⩽ β + \frac{1}{2^{i}}. Докажите, что последовательность B_{j} := ∪_{i>j}E_{j} обладает тем же свойством.

д. В этих условиях, покажите, что ρ(B) = β, где B = ⋂ B_{i}.

Задача 4.2. В условиях предыдущей задачи, обозначим S\B за A. Докажите, что ρ(V) ⩾ 0 для любого измеримого V ⊂ A.

Определение 4.2. В этой ситуации говорится, что заряд ρ положителен на A, обозначается ρ ⩾ 0. Ясно, что в таком случае ρ|_{A} является мерой. Если −ρ положителен, говорится, что ρ отрицателен на A. Если же ρ(V) = 0 для любого измеримого V ⊂ A, говорится, что множество A ρ-пренебрежимо.

Задача 4.3 (!). В условиях Задачи 4.1, докажите, что ρ отрицателен на B, положителен на A := S\B, и разложение S = A ∐ B определено однозначно с точностью до ρ-пренебрежимого множества.

Определение 4.3. Это разложение называется разложением Хана.

4.2. Абсолютная непрерывность

Определение 4.4. Пусть S - пространство с сигма-алгеброй, а μ и ν две меры. Мы говорим, что ν абсолютно непрерывна относительно μ (обозначается ν ≪ μ) если для любого измеримого множества A, из μ(A) = 0 следует ν(A) = 0.

Замечание. Алгебру измеримых (по Лебегу) подмножеств ℝ^{n} мы предполагаем фиксированной. Когда говорится о мере на ℝ^{n}, всегда речь идет о мере на этой алгебре.

Задача 4.4. Приведите пример меры на ℝ^{n}, не равномерно непрерывной относительно меры Лебега Задача 4.5. Найдите бесконечный набор M мер на ℝ^{n}, таких, что никакая мера μ ∈ M не равномерно непрерывна относительно другой μ′ ∈ M.

Задача 4.6. Пусть μ мера на пространстве с сигма-алгеброй, а f - интегрируемая функция со значениями в ℝ^{⩾0}. Определим меру fμ как A ⟶ ∫_{A} fμ. Докажите, что fμ ≪ μ.

Задача 4.7 (!). Пусть на пространстве S с сигма-алгеброй заданы меры ν ≪ μ, причем ν(S) < ∞. Докажите, что для любого δ > 0 найдется ε > 0 такой, что из μ(V) < ε вытекает ν(V) < δ.

Замечание. Довольно часто это свойство предлагается в качестве определения абсолютной непрерывности.

Задача 4.8 (*). Найдите контрпример к утверждению предыдущей задачи, в ситуации, когда ν(S) = ∞.

Задача 4.9. В условиях задачи 4.7, предположим, что μ(S) < ∞ и ν(S) > 0. Рассмотрим заряд ν − εμ, где ε > 0, и пусть S = A_{ε} ∐ B_{ε} соответствующее ему разложение Хана.

а. Докажите, что ν(B_{ε}) ⩽ εμ(S), и lim_{ε ⟶ 0} ν(B_{ε}) = 0.

б. Выведите из этого, что ν(A_{ε}) > \frac{1}{2}ν(S) для достаточно маленьких ε.

в. Докажите, что μ(A_{ε}) > 0 для какого-то ε

Задача 4.10 (!). Пусть на пространстве S с сигма-алгеброй заданы меры ν ≪ μ, причем 0 < ν(S) < ∞ и μ(S) < ∞. Докажите, что для какого-то измеримого множества A с μ(A) > 0, и какого-то ε > 0 заряд ν − εμ положителен на A.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей

Задача 4.11 (!). Приведите контрпример к утверждению задачи 4.10, где μ мера Лебега на единчном кубе S ⊂ ℝ^{n}, а ν не обязательно удовлетворяет ν ≪ μ.

Задача 4.12. Пусть на пространстве S с с сигма-алгеброй заданы меры ν ≪ μ, причем μ(S) < ∞ и ν(S) < ∞. Рассмотрим множество F интегрируемых функций f : S ⟶ ℝ^{⩾0} таких, что ∫_{E} fμ ⩽ ν(E) для любого измеримого множества E ⊂ S. Пусть α есть супремум sup_{f∈F} ∫_{S} fμ.

Докажите, что α = ∫_{S} ν, и этот супремум реализуется для измеримой функции f ∈ F.

Указание. Рассмотрим последовательность {f_{i}} ∈ F таких, что

lim_{i} ∫_{S} f_{i}μ = α.

Докажите, что f := sup f_{i} это измеримая функция, лежащая в F и удовлетворяющая α = ∫_{S} fμ. Воспользовавшись задачей 4.10, найдите A, μ(A) > 0 и ε такие, что ν′ > εμ на A, где ν′ := ν −fμ. Функция f′ := f + εχ_{A} принадлежит F и удовлетворяет ∫_{S} f′ > ∫_{S} f.

Замечание. На протяжении этого листка полезно пользоваться следующей леммой. Пусть {f_{i}} - монотонно убывающая или возрастающая последовательность интегрируемых функций, ограниченная по норме | · |_{1}. Тогда {f_{i}} это последовательность Коши в смысле L_{1}-топологии, (топологии, заданной нормой | · |_{1}), и сходится (в смысле L_{1}-топологии) к поточечному пределу f_{i}. Докажите ее.

Задача 4.13 (!). (теорема Радона-Никодима) Пусть на пространстве S с сигма-алгеброй заданы меры ν ≪ μ, причем μ(S) < ∞ и ν(S) < ∞. Докажите, что существует интегрируемая функция f : S ⟶ ℝ^{⩾0} такая, что ν = fμ.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 4.14 (*). Определите абсолютную непрерывность для зарядов. Сформулируйте и докажите теорему Радона-Никодима в такой ситуации.

4.3. Прямой образ меры

Определение 4.5. Пусть M, N пространства с заданными на них сигма-алгебрами 𝔘_{M} и 𝔘_{N}, а f : M ⟶ N - измеримое отображение. Определим прямой образ меры f_{∗}μ : 𝔘_{N} ⟶ ℝ посредством

f_{∗}μ(Z) := μ(f^{−1}(Z))).

Задача 4.15. Докажите, что это определение задает меру на N.

Задача 4.16 (!). Рассмотрим измеримую функцию f : I ⟶ I, и пусть π : I ×I ⟶ I проекция на первый множитель. Рассмотрим K ⊂ I × I состоящий из всех

{x, y ∈ I × I | f(x) ⩾ y}.

K следует рассматривать как область под графиком f в I × I. В предположении, что мера произведения на I × I σ-аддитивна, докажите, что K измеримо, а π_{∗}μ = fμ, где μ это мера Лебега.

Определение 4.6. Пусть M, N топологические пространства, 𝔘_{M} и 𝔘_{N} алгебры борелевских множеств, а f : M ⟶ N - непрерывное отображение. Пусть на M задана мера μ. Определим прямой образ меры f_{∗}μ : 𝔘_{N} ⟶ ℝ так:

f_{∗}μ(Z) := μ(f^{−1}(Z))).

Прямой образ меры Лебега при непрерывном отображении компактных подмножеств из ℝ^{n} продолжается до меры на алгебре измеримых множеств. Полученная мера называется прямым образом меры Лебега.

Задача 4.17. Приведите пример непрерывного отображения f : M ⟶ N открытых подмножеств ℝ^{n} такого, что прямой образ меры Лебега не абсолютно непрерывен по отношению к мере Лебега на N.

Задача 4.18 (!). Пусть L : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n} невырожденный линейный оператор. Докажите, что L_{∗}μ = | det L|μ.

Задача 4.19 (*). Пусть ϕ : [0, 1] ⟶ [0, 1] × [0, 1] - отображение Пеано (непрерывное сюрьективное отображение из отрезка в квадрат, построенное в листке Геометрия 8). Докажите, что ϕ_{∗}μ = μ, где μ это мера Лебега.

Задача 4.20 (*). Пусть (A, μ_{A}), (B, μ_{B}) пространства с мерой, а ϕ : A ⟶ B, ψ : B ⟶ A инъективные измеримые отображения, которые удовлетворяют ψ_{∗}μ_{B} = μ_{A}, ϕ_{∗}μ_{A} = μ_{B}. Предположим, что образ ψ и ϕ также измерим, и обратные отображения (определенные на образе) измеримы. Докажите, что есть биекция ξ : A ⟶ B, которая удовлетворяет ξ_{∗}μ_{A} = μ_{B}.

Задача 4.21 (*). Пусть (A, μ_{A}), (B, μ_{B}) - единичные кубы в ℝ^{n} и в ℝ^{m}, с мерой Лебега. Постройте измеримую биекцию ξ : A ⟶ B, которая удовлетворяет ξ_{∗}μ_{A} = μ_{B}, ξ_{∗}^{−1}μ_{B} = μ_{A}.

4.4. Теорема Фубини

Определение 4.7. Пусть (X, μ_{X}) и (Y, μ_{Y}) пространства с σ-алгеброй и счетно-аддитивной мерой. Напомним, что цилиндрическим множеством называется подмножество вида A×B ⊂ X×Y, где A и B измеримы в X, Y. Рассмотрим алгебру, порожденную цилиндрическими подмножествами в X ×Y, и положим μ(A×B) := μ_{X}(A)μ_{Y} (B). Пусть L(X ×Y) - пополнение этой алгебры, по внешней мере μ^{∗}, связанной с μ, определенное в листке 2.

Задача 4.22. В этих условиях, обозначим за π : X × Y ⟶ Y естественную проекцию. Рассмотрим измеримое подмножество A ⊂ X × Y, и пусть π_{∗}μ_{A} := π_{∗}(χ_{A}μ^{∗}) прямой образ меры с A. Предположим, что X является счетным объединением подмножеств конечной меры (такие пространства называются σ-конечными). Докажите, что π_{∗}μ_{A} абсолютно непрерывно относительно μ_{Y}.

Замечание. Согласно теореме Радона-Никодима, π_{∗}μ_{A} = f_{A}μ_{Y}, для какой-то измеримой функции f_{A} на Y.

Задача 4.23. Пусть A ⊂ X × Y - цилиндрическое измеримое множество, представленное в виде счетного объединения цилиндрических: A = ∐ A_{i}. Докажите, что π_{∗}(χ_{A}μ) = ∑ π_{∗}(χ_{A_{i}}μ). Выведите из этого, что мера μ на X × Y σ-аддитивна.

Задача 4.24. Пусть A ⊂ X×Y – множество меры нуль. Докажите, что f_{A} = 0, где f_{A} - функция, определенная выше

Указание. Воспользуйтесь тем, что ∫_{Y} f_{A}μ_{Y} = ∫_{A} μ^{∗} = 0.

Задача 4.25. Пусть задана последовательность Коши измеримых множеств A_{i} ⊂ X × Y, сходящаяся к A ⊂ X × Y, а f_{A_{i}}, f_{A} - функции на Y, построенные выше. Докажите, что f_{A_{i}} сходится к f_{A} в метрике, заданной | · |_{1}.

Указание. Если μ(B) = ε, то ∫_{Y} f_{B}μ_{Y} = ε.

Определение 4.8. Пусть A ⊂ X ×Y измеримо. Рассмотрим функцию f_{A} на Y (Замечание 4.4). Подмножество A ⊂ X ×Y называется π-измеримым, если A_{y} := A∩π^{−1}(y) ⊂ X ×{y} измеримо для почти всех y ∈ Y (т.е. вне множества меры нуль на Y), и μ_{X}(A_{y}) = f_{A}(y) почти везде.

Задача 4.26 (!). Докажите, что цилиндрические множества π-измеримы. Докажите, что конечные объединения и пересечения π-измеримых множеств π-измеримы. Докажите, что множества меры нуль π-измеримы.

Определение 4.9. Последовательность подмножеств {A_{i}} ⊂ S называется монотонной, если A_{i} ⊂ A_{j} для всех j > i, либо A_{i} ⊃ A_{j} для всех j > i. В первом случае говорится, что {A_{i}} возрастающая последовательность, во втором случае - убывающая.

Задача 4.27. а. Пусть задана монотонная последовательность A_{i} ⊂ X × Y π-измеримых множеств. Докажите, что функция y ⟶ μ_{X}(A_{i}_{y}) сходится к y ⟶ μ_{X}(A_{y}), где A = ⋃ A_{i} для возрастающей последовательности и A = ⋂ A_{i} для убывающей последовательности.

б. Выведите из этого, что монотонная последовательность Коши π-измеримых множеств сходится к π-измеримому множеству

Задача 4.28 (!). Докажите, что все измеримые подмножества в X × Y π-измеримы.

Указание. Докажите, что любое измеримое множество приближается последовательностью Коши вида ⋃_{j} ⋂_{i>j} A_{i}, где все A_{i} - конечные объединения цилиндрических. Выведите из этого, что любое измеримое подмножество (с точностью до множества меры нуль) получается монотонными пределами из π-измеримых множеств.

Задача 4.29 (*). Пусть I есть единичный интервал, а ϕ : I ⟶ I^{n} отображает число x с десятичной записью 0, a_{1}a_{2}, ... в (x_{1}, ...x_{n}), где x_{i} записывается в десятичном виде как 0, a_{i}a_{i+n}a_{i+2n}.... Обозначим за μ_{I} меру Лебега на I^{n}. Докажите, что ϕ_{∗}μ_{I} есть мера Лебега на кубе I^{n}

Задача 4.30 (!). (теорема Фубини) Пусть ϕ – интегрируемая функция на X × Y, с мерой, заданной выше. Для y ∈ Y, рассмотрим ограничение ϕ на X × {y} как функцию ϕ_{y} : X ⟶ ℝ. Докажите, что ϕ_{y} измеримо для почти всех y ∈ Y, и

∫_{X×Y} fμ = ∫_{Y} (∫_{X} ϕ_{y}μ_{X}) μ_{Y} .

Задача 4.31 (*). Приведите пример неизмеримой функции f : ℝ ⟶ ℝ, график которой измерим.

Задача 4.32 (**). Существует ли функция f : ℝ ⟶ ℝ, график которой неизмерим?