\documentclass[12pt]{article} \usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr} \input{listki.tex} % version 1.0, 17.09.2010 % version 1.1, 10.10.2010, определение борелевской меры % version 1.2, 20.11.2010, много мелких опечаток % version 1.3, 20.01.2012, опечатки от Саши Ананьина \newcommand{\version}{version 1.3,\ \ 20.01.2012} \begin{document} \listok{3}{Теория Меры 3: Интегрирование} \subsection{Измеримые функции} \определение Пусть дано пространство $M$ с заданной на нем $\sigma$-алгеброй ${\goth U}$. Мы говорим, что подмножество $M$ {\бф измеримо}, если оно лежит в ${\goth U}$. Пусть $М$ -- топологическое пространство. {\бф Алгебра борелевских множеств} -- это сигма-алгебра, порожденная открытыми подмножествами. Множество называется измеримым по Борелю, если оно лежит в этой алгебре, то есть получено счетными объединениями и пересечениями открытых и замкнутых множеств. {\бф Борелевская мера} есть счетно-аддитивная мера на этой сигма-алгебре. Пусть $M_1$, $M_2$ -- пространства с заданными на них $\sigma$-алгебрами ${\goth U}_1$ и ${\goth U_2}$. Функция $f:\; M_1 \arrow M_2$ называется {\бф измеримой}, если прообраз каждого измеримого множества измерим, то есть \[ f^{-1}(U)\subset {\goth U}_1,\] для любого $U\subset {\goth U_2}$. Если $M$ -- пространство с сигма-алгеброй, а $f:\; M \arrow \R$ вещественно значная функция, мы говорим, что $f$ измерима, если прообраз измеримого по Борелю множества измерим. \ео \задача Пусть $M$ -- пространство с борелевской мерой, а $f:\; M \arrow \R$ непрерывная функция. Докажите, что $f$ измерима. \ез \задача Пусть $M$ -- пространство с заданной на нем $\sigma$-алгеброй ${\goth U}$, а $f:\; M \arrow \R$ произвольная функция. Докажите, что следующие свойства равносильны \енум \item $f^{-1}[a,b]$ измеримо для любого отрезка $[a,b]$ \item $f^{-1}]a,b[$ измеримо для любого интервала $]a,b[$ \item $f^{-1}]-\infty,b]$ измеримо для любого луча $]-\infty,b]$ \item Функция $f$ измерима. \ее \ез \задача[*] Пусть $M= \Z_p$ -- пространство целых $p$-адических чисел, а ${\goth U}$ -- алгебра открытозамкнутых подмножеств. Докажите, что любая непрерывная функция на $M$ измерима относительно ${\goth U}$. \ез \задача[!] Пусть \[ f_1, f_2:\; M \arrow \R\] некоторые функции на пространстве с сигма-алгеброй. Докажите, что эти функции измеримы тогда и только тогда, когда функция \[ f_1\times f_2:\; M\arrow \R^2\] измерима по отношению к борелевской сигма-алгебре на $\R^2$. \ез \задача Докажите, что сумма и произведение измеримых функций $f_1, f_2:\; M \arrow \R$ измеримо. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Докажите, что пространство измеримых функций на $\R$ по мощности больше континуума. \ез \определение Функция $f:\; M \arrow \R$ называется {\бф ступенчатой}, если она принимает не более чем счетное количество разных значений \ео \замечание Иногда при определении ступенчатой функции также требуют, чтобы все множества вида $f^{-1}(c)$ были измеримы. \еза \задача \енум \итем Докажите, что ступенчатая функция измерима тогда и только тогда, когда $f^{-1}(a)$ измеримо для любого $a\in \R$. \итем[*] Приведите пример неизмеримой (и неступенчатой) функции, для которой это выполняется. \ее \ез \определение Пусть $f_i:\; M \arrow \R$ -- последовательность функций. Напомним, что $f_i$ {\бф равномерно сходится} к $f:\; M \arrow \R$, если для каждого $\epsilon>0$ найдется $N$ такой, что $|f-f_i|<\epsilon$ при $i>N$. \ео \задача \label{_predel_via_[]_Zadacha_} Для функции $f:\; M \arrow \R$, обозначим за $f_n$ функцию вида $x\mapsto \frac 1 n [nf(x)]$, где $[...]$ обозначает целую часть. Докажите, что $\{f_n\}$ равномерно сходится к $f$. \ез \задача[!] Дана измеримая функция $f:\; M \arrow \R$. Докажите, что $f$ есть предел равномерно сходящейся последовательности ступенчатых измеримых функций \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $f$ -- предел равномерно сходящейся последовательности измеримых функций. Докажите, что $f$ измерима. \ез \указание Докажите, что счетное объединение измеримых множеств измеримо. Представьте $f^{-1}(]-\infty, c[)$ как объединение прообразов вида $\bigcup f_i^{-1}(]-\infty, c-\epsilon[)$, где $|f-f_i|<\epsilon$. \еу \задача Пусть $f_i:\; M \arrow \R$ невозрастающая последовательность измеримых функций. Докажите, что предел $\lim f_i$ измерим (если он существует). \ез \указание Докажите, что $f^{-1}(]-\infty, c[) = \cup f^{-1}_i(]-\infty, c[)$. \еу \задача Убедитесь, что функция $x_1,x_2, ..., \mapsto \sup_i (x_i)$ из $]-\infty, c[^\infty$ в $]-\infty, c[$ непрерывна. Выведите из этого такое следствие. Пусть $f_i$ счетный набор измеримых функций. Докажите, что функции $\sup_i \{f_i\}$ и $\inf_i \{f_i\}$ также измеримы (если они определены). \ез \указание Докажите, что максимум и минимум конечного числа измеримых функций измерим. Затем напишите \[ \inf\limits_i \{f_i\} = \lim\limits_{j\arrow\infty}\inf\limits_{ii} \{f_j\}. \] \еу \определение Пусть $f_i:\; M \arrow \R$ последовательность измеримых функций на множестве с мерой. Мы говорим, что $\{f_i\}$ {\бф сходится почти всюду} к $f$, еслу $f_i$ поточечно сходится к $f$ вне множества меры 0. \ео \задача[!] Пусть $\{f_i:\; \R^n \arrow \R\}$ -- последовательность измеримых по Лебегу функций, которая сходится почти всюду к $f$. Докажите, что $f$ измеримо. \ез \задача[*] (Теорема Егорова) Пусть $(M, \mu)$ пространство, снабженное $\sigma$-алгеброй и мерой, а $\{f_i:\; M\arrow \R\}$ последовательность измеримых функций, которая сходится почти всюду к $f$. Предположим, что $\mu(M)<\infty$. Докажите, что для любого $\epsilon$ найдется измеримое подмножество $E_\epsilon\subset M$, $\mu(E_\epsilon)\leq \epsilon$, такое, что $\{f_i\}$ равномерно сходится вне $E_\epsilon$ к $f$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Интегрируемые функции} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $f:\; M\arrow \R$ -- ступенчатая функция, а $\{\alpha_i\}$ множество ее значении. Запишем $f$ в виде $f = \sum \alpha_i \chi_{U_i}$, где $U_i:= f^{-1}(\alpha_i)$, а $\chi_{U_i}$ характеристическая функция множества $U_i$. \определение Пусть $M$ пространство, снабженное $\sigma$-алгеброй и мерой $\mu$, а $f = \sum \alpha_i \chi_{U_i}$ ступенчатая измеримая функция. Функция $f$ называется {\бф ступенчатой интегрируемой}, если ряд $\sum |\alpha_i| \mu(U_i)$ сходится.\footnote{Если $\alpha_i=0$, а $\mu(U_i)=\infty$, мы полагаем $|\alpha_i| \mu(U_i)=0$: интеграл от фукции, тождественно равной нулю, нулевой.} \ео \задача[!] Докажите, что интегрируемые ступенчатые функции образуют линейное пространство \ез \определение Пусть $f$ -- измеримая функция. Мы говорим, что $f$ {\бф равна нулю почти везде}, если $f=0$ вне множества меры нуль. Мы говорим, что измеримые функции $f$ и $g$ {\бф эквивалентны}, если $f-g$ равна нулю почти везде, В этом случае говорится, что {\бф $f$ равно $g$ почти всюду.} \ео \замечание В теории меры функции, эквивалентные почти всюду, отождествляются. В тех случаях, когда понятно, о чем речь, мы не будем специально оговаривать этого. \еза \задача[!] Рассмотрим такую функцию на пространстве интегрируемых ступенчатых функций: \[ |f|_1:= \sum |\alpha_i| \mu(U_i). \] Докажите, что эта функция -- норма на пространстве классов эквивалентности ступенчатых интегрируемых функций. \ез \задача Пусть $f$ -- измеримая функция на $\R$, а $\{f_i\}$ -- последовательность измеримых функций, равномерно сходящихся к $f$. Всегда ли $\{f_i\}$ будет последовательностью Коши относительно метрики, заданной нормой $|\cdot |_1$? \ез \задача Пусть $f$ -- измеримая функция на $\R$, а $\{f_i\}$ последовательность измеримых функций, такая, что $\{f_i\}$ последовательность Коши относительно $|\cdot |_1$, сходящаяся к $f$. Верно ли, что $\{f_i\}$ равномерно сходится к $f$? \ез \определение Пусть $f$ -- функция на топологическом пространстве $M$. Мы говорим, что $f$ -- {\бф функция с компактным носителем}, если $f=0$ вне компактного подмножества $M$. \ео \задача[!] Пусть $f$ -- измеримая функция с компактным носителем на $\R^n$. \енум \итем Рассмотрим последовательность ступенчатых функций $\{f_i\}$, определенную в Задаче \ref{_predel_via_[]_Zadacha_}. Докажите, что $\{f_i\}$ -- это последовательность Коши относительно метрики, заданной нормой $|\cdot |_1$. \итем Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность интегрируемых ступенчатых функций с носителем в компактном множестве $K$, равномерно сходящаяся к $f$. Докажите, что $\{f_i\}$ это последовательность Коши относительно метрики, заданной нормой $|\cdot |_1$. \ее \ез \задача[*] Пусть $M$ -- пространство с $\sigma$-алгеброй, наделенное мерой $\mu$ такой, что $M = \bigcup U_i$, где $U_0\subset U_1\subset U_2\subset ... $ -- измеримые множества конечной меры. Пусть задана измеримая функция $f:\; M \arrow \R$. Докажите, что существует последовательность $\{g_i\}$ ступенчатых измеримых функций, которая равномерно сходится к $f$, причем $\{g_i\}$ это последовательность Коши относительно $|\cdot |_1$. \ез \указание Пусть мера $U_i\backslash U_{i-1}$ равна $a_i$, а $\{f_i\}$ -- последовательность, построенная из $f$ как в Задаче \ref{_predel_via_[]_Zadacha_}. Положим $g_k$ на $U_l\backslash U_{l-1}$ равным $f_{2^l[k a_l]+1}$. Докажите, что $\{g_i\}$ равномерно сходится к $f$, и $\lim |f-g_i|_1 =0$. \еу \определение Пусть последовательность Коши\footnote{Относительно $L_1$-метрики} интегрируемых измеримых ступенчатых функций равномерно сходится к функции $f$. Тогда $f$ называется {\бф интегрируемой функцией}. Пространство таких функций (определенных с точностью до равенства почти всюду) называется {\бф пространством $L_1$-интегрируемых функций}, и обозначается $L_1(M)$. \ео \замечание На протяжении этого листочка, "последовательность Коши" всегда означает последовательность Коши относительно $L_1$-метрики. \еза \задача Пусть $M$ пространство с мерой такое, что $\mu(M) <\infty$. Докажите, что любая измеримая ограниченная функция на $M$ интегрируема. \ез \задача[!] Пусть $\{f_i\}$, $\{g_i\}$ последовательности Коши ступенчатых функций, равномерно сходящихся к одной и той же функции $h$. Докажите, что $\lim \bigg |f_i\restrict A -g_i\restrict A \bigg|_1=0$ на каждом измеримом подмножестве $A\subset M$ конечной меры. Докажите, что $h$ однозначно определяется классом эквивалентности $\{f_i\}$. \ез \замечание В этой ситуации мы говорим, что $h$ есть предел последовательности $f_i$. \еза \определение Пусть $f$ -- ступенчатая измеримая интегрируемая функция, $f = \sum \alpha_i \chi_{U_i}$. {\bf Интеграл $f$} -- это число \[ \int_M f\mu := \sum \alpha_i \mu(U_i). \] \ео \задача Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность Коши интегрируемых ступенчатых функций. Докажите, что $\int_M f_i\mu$ сходится. \ез \определение Пусть $f$ -- интегрируемая функция, полученная как предел последовательности Коши $\{f_i\}$. Определим {\bf интеграл Лебега $f$} как \[ \int f\mu\; :=\lim\int_M f_i\mu. \] \eo \задача Докажите, что это определение корректно. Докажите, что интеграл задает непрерывный (в $L_1$-топологии) линейный функционал на пространстве интегрируемых функций. \ез \задача Пусть $f:\; M \arrow \R$ -- неотрицательная интегрируемая функция. Докажите, что $\int f\mu\geq 0$, и равенство достигается только если $f=0$ почти всюду. \ез \задача Пусть $f$, $g$ измеримые функции, причем $f\geq |g|$, а $f$ интегрируема. Докажите, что $g$ также интегрируема, и $\int f\mu \geq\int g\mu$. \ез \задача Пусть $f:\; M \arrow \R$ интегрируемая функция. Докажите, что $f\restrict{M'}$ интегрируема, для любого измеримого подмножества $M'\subset M$. \ез \задача[!] Пусть $f:\; M \arrow \R$ -- произвольная функция. Докажите, что $f$ интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируем $|f|$. \ез \определение Пусть $M$ -- произвольное множество. $\sigma$-кольцо ${\goth U}\subset 2^M$ на $M$ есть кольцо подмножеств, замкнутое относительно счетных объединений. {\бф Зарядом}, или {\бф обобщенной мерой} на ${\goth U}$ называется счетно-аддитивная (не обязательно положительная) функция ${\goth U}\arrow \R$. \ео \задача Пусть $\sigma$ -- заряд на $\sigma$-кольце ${\goth U}\subset 2^M$, а $E_i\in {\goth U}$ -- последовательность непересекающихся множеств. Докажите, что ряд $\sum \sigma(E_i)$ абсолютно сходится. \ез \задача[*] (разложение Жордана) Определим $\sigma^+(E)$ как супремум $\sup_{F^+\subset E} \sigma(F^+)$ по всем измеримым подмножествам $F^+\subset E$, и $\sigma^-(E)$ как $-\inf_{F^-\subset E} \sigma'(F^-)$. Докажите, что $\sigma^+$, $\sigma^-$ - это неотрицательные меры на $(M, {\goth U})$, и $\sigma = \sigma^+-\sigma^-$. \ез \задача[*] (разложение Хана) В условиях предыдущей задачи, докажите, что \[ \sup_{F^+\subset E} \sigma(F^+)\] и \[ \inf_{F^-\subset E} \sigma'(F^-)\] реализуются на подмножествах $F^-$ и $F^+$. Более того, можно выбрать их таким образом, что $F^-\coprod F^+=E$. \ез \end{document}