\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}


% version 1.0, 17.09.2010
% version 1.1, 10.10.2010, определение борелевской меры
% version 1.2, 20.11.2010, много мелких опечаток
% version 1.3, 20.01.2012, опечатки от Саши Ананьина

\newcommand{\version}{version 1.3,\ \   20.01.2012}


\begin{document}

\listok{3}{Теория Меры 3: Интегрирование}


\subsection{Измеримые функции}

\определение
Пусть дано пространство $M$ 
с заданной на нем $\sigma$-алгеброй ${\goth U}$.
Мы говорим, что подмножество $M$ {\бф измеримо},
если оно лежит в ${\goth U}$.

Пусть $М$ -- топологическое пространство.
{\бф Алгебра борелевских множеств} -- это сигма-алгебра,
порожденная открытыми подмножествами. Множество
называется измеримым по Борелю, если оно лежит
в этой алгебре, то есть получено счетными
объединениями и пересечениями открытых и 
замкнутых множеств. {\бф Борелевская мера}
есть счетно-аддитивная мера на этой
сигма-алгебре.

Пусть $M_1$, $M_2$ -- пространства с заданными на
них $\sigma$-алгебрами ${\goth U}_1$ и ${\goth U_2}$.
Функция $f:\; M_1 \arrow M_2$ называется {\бф измеримой},
если прообраз каждого измеримого множества измерим,
то есть \[ f^{-1}(U)\subset {\goth U}_1,\] для любого
$U\subset {\goth U_2}$.

Если $M$ -- пространство с сигма-алгеброй, а 
$f:\; M \arrow \R$ вещественно значная функция,
мы говорим, что $f$ измерима, если прообраз
измеримого по Борелю множества измерим.
\ео


\задача
Пусть $M$ -- пространство с борелевской мерой, а
$f:\; M \arrow \R$ непрерывная функция.
Докажите, что $f$ измерима.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- пространство
с заданной на нем $\sigma$-алгеброй 
${\goth U}$, а $f:\; M \arrow \R$ 
произвольная функция. Докажите, что
следующие свойства равносильны
\енум
\item $f^{-1}[a,b]$ измеримо для любого
отрезка $[a,b]$

\item $f^{-1}]a,b[$ измеримо для любого
интервала $]a,b[$

\item $f^{-1}]-\infty,b]$ измеримо
для любого луча $]-\infty,b]$

\item Функция $f$ измерима.
\ее
\ез


\задача[*]
Пусть $M= \Z_p$ -- пространство целых $p$-адических
чисел, а ${\goth U}$ -- алгебра открытозамкнутых
подмножеств. Докажите, что любая непрерывная
функция на $M$ измерима относительно ${\goth U}$.
\ез


\задача[!]
Пусть \[ f_1, f_2:\; M \arrow \R\] некоторые функции
на пространстве с сигма-алгеброй. Докажите, что эти
функции измеримы тогда и только тогда, когда
функция \[ f_1\times f_2:\; M\arrow \R^2\]
измерима по отношению к борелевской 
сигма-алгебре на $\R^2$.
\ез

\задача
Докажите, что сумма и произведение
измеримых функций $f_1, f_2:\; M \arrow \R$ измеримо.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Докажите, что пространство измеримых  функций на $\R$
по мощности больше континуума.
\ез

\определение
Функция $f:\; M \arrow \R$ называется
{\бф ступенчатой}, если она принимает не более
чем счетное количество разных значений
\ео

\замечание 
Иногда при определении ступенчатой функции
также требуют, чтобы все множества вида $f^{-1}(c)$
были измеримы.
\еза

\задача
\енум
\итем 
Докажите, что ступенчатая функция измерима тогда и только тогда,
когда $f^{-1}(a)$ измеримо для любого $a\in \R$.

\итем[*]
Приведите пример неизмеримой (и неступенчатой)
функции, для которой это выполняется.
\ее
\ез

\определение
Пусть $f_i:\; M \arrow \R$ -- последовательность функций.
Напомним, что $f_i$ {\бф равномерно сходится} к $f:\; M \arrow \R$,
если для каждого $\epsilon>0$ найдется $N$ такой, что
$|f-f_i|<\epsilon$ при $i>N$.
\ео

\задача
\label{_predel_via_[]_Zadacha_}
Для функции $f:\; M \arrow \R$,
обозначим за $f_n$ функцию вида
$x\mapsto \frac 1 n [nf(x)]$, где $[...]$ обозначает
целую часть. Докажите, что $\{f_n\}$ равномерно
сходится к $f$.
\ез

\задача[!]
Дана измеримая функция $f:\; M \arrow \R$.
Докажите, что $f$ есть предел равномерно
сходящейся последовательности ступенчатых
измеримых функций
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача
Пусть $f$ -- предел равномерно сходящейся последовательности
измеримых функций. Докажите, что $f$ измерима.
\ез

\указание
Докажите, что счетное объединение измеримых множеств измеримо.
Представьте $f^{-1}(]-\infty, c[)$ как объединение прообразов вида
$\bigcup f_i^{-1}(]-\infty, c-\epsilon[)$,
где $|f-f_i|<\epsilon$.
\еу


\задача 
Пусть $f_i:\; M \arrow \R$ невозрастающая
последовательность измеримых функций.
Докажите, что предел $\lim f_i$ измерим
(если он существует). 
\ез


\указание
Докажите, что
$f^{-1}(]-\infty, c[) = \cup f^{-1}_i(]-\infty, c[)$.
\еу

\задача
Убедитесь, что функция
$x_1,x_2, ...,  \mapsto \sup_i (x_i)$ из
$]-\infty, c[^\infty$ в $]-\infty, c[$ непрерывна.
Выведите из этого такое следствие.
Пусть $f_i$ счетный набор измеримых функций.
Докажите, что функции $\sup_i \{f_i\}$ и $\inf_i \{f_i\}$
также измеримы (если они определены).
\ез

\указание Докажите, что максимум и минимум
конечного числа измеримых функций измерим.
Затем напишите 
\[ \inf\limits_i \{f_i\} = 
\lim\limits_{j\arrow\infty}\inf\limits_{i<j}\{f_i\}
\]
и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача[!]
Пусть $f$ -- предел поточечно сходящейся последовательности
$\{f_i\}$ измеримых функций. Докажите, что $f$ измерима.
\ез

\указание
Сведите задачу к случаю, когда $f_i$ монотонно возрастает,
с помощью
\[
\lim f_i = \lim\limits_{i\arrow \infty} 
                \sup\limits_{j>i} \{f_j\}.
\]
\еу

\определение
Пусть $f_i:\; M \arrow \R$ последовательность 
измеримых функций на множестве с мерой. Мы говорим, что
$\{f_i\}$ {\бф сходится почти всюду} к $f$,
еслу $f_i$ поточечно сходится к $f$
вне множества меры 0.
\ео



\задача[!]
Пусть $\{f_i:\; \R^n \arrow \R\}$ -- последовательность
измеримых по Лебегу функций, которая сходится почти всюду к $f$.
Докажите, что $f$ измеримо. 
\ез

\задача[*]
(Теорема Егорова)
Пусть $(M, \mu)$ пространство, снабженное
$\sigma$-алгеброй и мерой, а
$\{f_i:\; M\arrow \R\}$ последовательность измеримых функций,
которая сходится почти всюду к $f$.
Предположим, что $\mu(M)<\infty$.
Докажите, что для любого
$\epsilon$ найдется измеримое подмножество
$E_\epsilon\subset M$, $\mu(E_\epsilon)\leq \epsilon$,
такое, что $\{f_i\}$ равномерно сходится вне $E_\epsilon$
к $f$. 
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Интегрируемые функции}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $f:\; M\arrow \R$ -- ступенчатая функция,
а $\{\alpha_i\}$ множество ее значении. 
Запишем $f$ в виде $f = \sum \alpha_i \chi_{U_i}$,
где $U_i:= f^{-1}(\alpha_i)$, а $\chi_{U_i}$
характеристическая функция множества $U_i$.

\определение
Пусть $M$ пространство, снабженное 
$\sigma$-алгеброй и мерой $\mu$, а
$f = \sum \alpha_i \chi_{U_i}$ ступенчатая 
измеримая функция.
Функция $f$ называется {\бф ступенчатой 
интегрируемой}, если  ряд $\sum |\alpha_i| \mu(U_i)$ 
сходится.\footnote{Если $\alpha_i=0$,
а $\mu(U_i)=\infty$, мы полагаем $|\alpha_i| \mu(U_i)=0$: интеграл
от фукции, тождественно равной нулю, нулевой.}

\ео

\задача[!]
Докажите, что интегрируемые ступенчатые функции 
образуют линейное пространство
\ез

\определение
Пусть $f$ -- измеримая функция.
Мы говорим, что $f$ {\бф равна нулю почти везде},
если $f=0$ вне множества меры нуль.
Мы говорим, что измеримые функции
$f$ и $g$ {\бф эквивалентны}, если 
$f-g$ равна нулю почти везде, В этом
случае говорится, что {\бф $f$ равно $g$
почти всюду.}
\ео

\замечание
В теории меры функции, эквивалентные почти 
всюду, отождествляются. В тех случаях,
когда понятно, о чем речь, мы не будем специально
оговаривать этого.
\еза

\задача[!]
Рассмотрим такую функцию на пространстве
интегрируемых ступенчатых функций:
\[ 
|f|_1:= \sum |\alpha_i| \mu(U_i).
\]
Докажите, что эта функция -- норма 
на пространстве классов эквивалентности 
ступенчатых интегрируемых функций.
\ез



\задача
Пусть $f$ -- измеримая функция на $\R$, 
а $\{f_i\}$ -- последовательность 
измеримых функций, равномерно сходящихся
к $f$. Всегда ли $\{f_i\}$ будет
последовательностью Коши относительно метрики, заданной нормой 
$|\cdot |_1$?
\ез

\задача
Пусть $f$ -- измеримая функция на $\R$, 
а $\{f_i\}$ последовательность 
измеримых функций, такая, что
$\{f_i\}$ последовательность Коши
относительно $|\cdot |_1$, 
сходящаяся к $f$. Верно ли, что
 $\{f_i\}$ равномерно сходится к $f$?
\ез

\определение
Пусть $f$ -- функция на топологическом пространстве $M$.
Мы говорим, что $f$ -- {\бф функция с компактным носителем},
если $f=0$ вне компактного подмножества $M$.
\ео

\задача[!]
Пусть $f$ -- измеримая функция с компактным носителем
на $\R^n$. 
\енум
\итем Рассмотрим последовательность ступенчатых
функций $\{f_i\}$, определенную в Задаче
\ref{_predel_via_[]_Zadacha_}.  Докажите, что 
$\{f_i\}$ -- это последовательность Коши
относительно метрики, заданной нормой 
$|\cdot |_1$.

\итем Пусть  $\{f_i\}$ -- последовательность 
интегрируемых ступенчатых
функций с носителем в компактном множестве $K$,
равномерно сходящаяся к $f$. Докажите, что
$\{f_i\}$ это последовательность Коши
относительно метрики, заданной нормой 
$|\cdot |_1$.
\ее
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- пространство с $\sigma$-алгеброй, 
наделенное  мерой $\mu$ такой, что
$M = \bigcup U_i$, где 
$U_0\subset U_1\subset U_2\subset ... $ -- измеримые множества конечной меры.
Пусть задана измеримая функция $f:\; M \arrow \R$. 
Докажите, что существует последовательность
$\{g_i\}$ ступенчатых измеримых функций, 
которая равномерно сходится к $f$, причем 
$\{g_i\}$ это последовательность Коши
относительно $|\cdot |_1$.
\ез

\указание
Пусть мера $U_i\backslash U_{i-1}$ равна $a_i$,
а $\{f_i\}$ -- последовательность, построенная из $f$
как в Задаче \ref{_predel_via_[]_Zadacha_}.
Положим $g_k$ на $U_l\backslash U_{l-1}$
равным $f_{2^l[k a_l]+1}$.
Докажите, что $\{g_i\}$ равномерно сходится 
к $f$, и $\lim |f-g_i|_1 =0$.
\еу


\определение
Пусть последовательность 
Коши\footnote{Относительно $L_1$-метрики}  интегрируемых
измеримых ступенчатых функций равномерно
сходится к функции $f$. Тогда $f$ называется
{\бф интегрируемой функцией}.
Пространство таких функций (определенных
с точностью до равенства почти всюду)
называется {\бф пространством 
$L_1$-интегрируемых функций}, и обозначается
$L_1(M)$.
\ео

\замечание
На протяжении этого листочка, "последовательность Коши"
всегда означает последовательность Коши относительно 
$L_1$-метрики. 
\еза

\задача
Пусть $M$ пространство с мерой такое, что
$\mu(M) <\infty$. Докажите, что любая
измеримая ограниченная функция 
на $M$ интегрируема.
\ез

\задача[!]
Пусть $\{f_i\}$, $\{g_i\}$
последовательности Коши ступенчатых
функций, равномерно сходящихся к 
одной и той же функции $h$.
Докажите, что $\lim \bigg |f_i\restrict A -g_i\restrict A \bigg|_1=0$
на каждом измеримом подмножестве $A\subset M$
конечной меры. Докажите, что $h$ однозначно
определяется классом эквивалентности
$\{f_i\}$.
\ез

\замечание
В этой ситуации мы говорим, что $h$ есть предел 
последовательности $f_i$.
\еза

\определение
Пусть $f$ -- ступенчатая измеримая интегрируемая
функция, $f = \sum \alpha_i \chi_{U_i}$. {\bf Интеграл $f$} -- 
это число
\[
\int_M f\mu :=  \sum \alpha_i \mu(U_i).
\]
\ео

\задача 
Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность Коши
интегрируемых ступенчатых функций. 
Докажите, что $\int_M f_i\mu$ сходится.
\ез

\определение
Пусть $f$ -- интегрируемая функция,
полученная как предел последовательности
Коши $\{f_i\}$. Определим
{\bf интеграл Лебега $f$} как
\[
\int f\mu\; :=\lim\int_M f_i\mu.
\]
\eo

\задача
Докажите, что это определение корректно.
Докажите, что интеграл задает непрерывный (в $L_1$-топологии)
линейный функционал на пространстве интегрируемых
функций.
\ез

\задача
Пусть $f:\; M \arrow \R$ -- неотрицательная 
интегрируемая функция.
Докажите, что $\int f\mu\geq 0$, и
равенство достигается только если 
$f=0$ почти всюду.
\ез

\задача
Пусть $f$, $g$ измеримые функции,
причем $f\geq |g|$, а $f$ интегрируема.
Докажите, что $g$ также интегрируема,
и $\int f\mu \geq\int g\mu$.
\ез

\задача
Пусть $f:\; M \arrow \R$
интегрируемая функция. Докажите, что
$f\restrict{M'}$ интегрируема, для
любого измеримого подмножества $M'\subset M$.
\ез

\задача[!]
Пусть $f:\; M \arrow \R$ -- произвольная
функция. Докажите, что $f$ интегрируема
тогда и только тогда, когда интегрируем $|f|$.
\ез

\определение
Пусть $M$ -- произвольное множество.
$\sigma$-кольцо ${\goth U}\subset 2^M$ на $M$ есть кольцо 
подмножеств, замкнутое относительно счетных объединений.
{\бф Зарядом}, или {\бф обобщенной мерой} на ${\goth U}$  называется
счетно-аддитивная (не обязательно положительная)
функция ${\goth U}\arrow \R$.
\ео

\задача
Пусть $\sigma$ -- заряд на $\sigma$-кольце
${\goth U}\subset 2^M$, а $E_i\in {\goth U}$ -- последовательность
непересекающихся множеств. Докажите, что ряд
$\sum \sigma(E_i)$ абсолютно сходится.
\ез

\задача[*]
(разложение Жордана)
Определим $\sigma^+(E)$ как супремум
$\sup_{F^+\subset E} \sigma(F^+)$ по всем измеримым 
подмножествам $F^+\subset E$, и $\sigma^-(E)$
как $-\inf_{F^-\subset E} \sigma'(F^-)$.
Докажите, что $\sigma^+$, $\sigma^-$ -
это неотрицательные меры на $(M, {\goth U})$,
и $\sigma = \sigma^+-\sigma^-$.
\ез

\задача[*]
(разложение Хана)
В условиях предыдущей задачи, докажите, 
что \[ \sup_{F^+\subset E} \sigma(F^+)\]
и \[ \inf_{F^-\subset E} \sigma'(F^-)\]
реализуются на подмножествах $F^-$ и $F^+$.
Более того, можно выбрать их таким образом,
что $F^-\coprod F^+=E$.
\ез

\end{document}
