Теория Меры 3: Интегрирование  Миша Вербицкий

Теория Меры 3: Интегрирование

3.1. Измеримые функции

Определение 3.1. Пусть дано пространство M с заданной на нем σ-алгеброй 𝔘. Мы говорим, что подмножество M измеримо, если оно лежит в 𝔘.

Пусть – топологическое пространство. Алгебра борелевских множеств – это сигмаалгебра, порожденная открытыми подмножествами. Множество называется измеримым по Борелю, если оно лежит в этой алгебре, то есть получено счетными объединениями и пересечениями открытых и замкнутых множеств. Борелевская мера есть счетно-аддитивная мера на этой сигма-алгебре.

Пусть M_{1}, M_{2} – пространства с заданными на них σ-алгебрами 𝔘_{1} и 𝔘_{2}. Функция f : M_{1} ⟶ M_{2} называется измеримой, если прообраз каждого измеримого множества измерим, то есть

f^{−1}(U) ⊂ 𝔘_{1},

для любого U ⊂ 𝔘_{2}.

Если M – пространство с сигма-алгеброй, а f : M ⟶ ℝ вещественно значная функция, мы говорим, что f измерима, если прообраз измеримого по Борелю множества измерим.

Задача 3.1. Пусть M – пространство с борелевской мерой, а f : M ⟶ ℝ непрерывная функция. Докажите, что f измерима.

Задача 3.2. Пусть M – пространство с заданной на нем σ-алгеброй 𝔘, а f : M ⟶ ℝ произвольная функция. Докажите, что следующие свойства равносильны

а. f^{−1}[a, b] измеримо для любого отрезка [a, b]

б. f^{−1}[a, b] измеримо для любого интервала ]a, b[

в. f^{−1}] − ∞, b] измеримо для любого луча ] − ∞, b]

г. Функция f измерима

Задача 3.3 (*). Пусть M = ℤ_{p} – пространство целых p-адических чисел, а 𝔘 – алгебра открытозамкнутых подмножеств. Докажите, что любая непрерывная функция на M измерима относительно 𝔘.

Задача 3.4 (!). Пусть

f_{1}, f_{2} : M ⟶ ℝ

некоторые функции на пространстве с сигма-алгеброй. Докажите, что эти функции измеримы тогда и только тогда, когда функция

f_{1} × f_{2} : M ⟶ ℝ^{2}

измерима по отношению к борелевской сигма-алгебре на ℝ^{2}.

Задача 3.5. Докажите, что сумма и произведение измеримых функций f_{1}, f_{2} : M ⟶ ℝ измеримо.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей Задача 3.6 (*). Докажите, что пространство измеримых функций на ℝ по мощности больше континуума. Определение 3.2. Функция f : M ⟶ ℝ называется ступенчатой, если она принимает не более чем счетное количество разных значений Задача 3.7. а. Докажите, что ступенчатая функция измерима тогда и только тогда, когда

f^{−1}(a) измеримо для любого a ∈ ℝ. б. [*] Приведите пример неизмеримой (и неступенчатой) функции, для которой это выполня-

ется Определение 3.3. Пусть f_{i} : M ⟶ ℝ – последовательность функций. Напомним, что f_{i} равномерно сходится к f : M ⟶ ℝ, если для каждого ε > 0 найдется N такой, что |f − f_{i}| < ε при i > N. Задача 3.8. Для функции f : M ⟶ ℝ, обозначим за f_{n} функцию вида x ⟶ \frac{1}{n}[nf(x)], где [...] обозначает целую часть. Докажите, что {f_{n}} равномерно сходится к f. Задача 3.9 (!). Дана измеримая функция f : M ⟶ ℝ. Докажите, что f есть предел равномерно сходящейся последовательности ступенчатых измеримых функций Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей Задача 3.10. Пусть f – предел равномерно сходящейся последовательности измеримых функций. Докажите, что f измерима. Указание. Докажите, что счетное объединение измеримых множеств измеримо. Представьте f^{−1}(] − ∞, c[) как объединение ⋃ f_{i}^{−1}(] − ∞, c − ε[, где |f − f_{i}| < ε. Задача 3.11. Пусть f_{i} : M ⟶ ℝ невозрастающая последовательность измеримых функций. Докажите, что предел lim f_{i} измерим (если он существует). Указание. Докажите, что f^{−1}(] − ∞, c[) = ∪f_{i}^{−1}(] − ∞, c[). Задача 3.12. Пусть f_{i} счетный набор измеримых функций. Докажите, что функции sup{f_{i}} и inf{f_{i}} также измеримы. Указание. Докажите, что максимум и минимум конечного числа измеримых функций измерим. Затем напишите

inf_{i}{f_{i}} = lim_{j ⟶ ∞} inf_{i<j}{f_{i}}

и воспользуйтесь предыдущей задачей. Задача 3.13 (!). Пусть f предел поточечно сходящейся последовательности {f_{i}} измеримых функций. Докажите, что f измерима.

Указание. Сведите задачу к случаю, когда f_{i} монотонно возрастает, с помощью

lim f_{i} = lim_{i ⟶ ∞} sup_{j>i}{f_{j}}

Определение 3.4. Пусть f_{i} : M ⟶ ℝ последовательность измеримых функций. Мы говорим, что {f_{i}} сходится почти всюду к f, еслу f_{i} поточечно сходится к f вне множества меры 0.

Задача 3.14 (!). Пусть {f_{i}} сходится почти всюду к f. Докажите, что f измеримо (по Лебегу).

Задача 3.15 (*). (Теорема Егорова) Пусть (M, μ) пространство, снабженное σ-алгеброй и мерой, а {f_{i} : M ⟶ ℝ} последовательность функций, которая сходится почти всюду к f. Предположим, что μ(M) < ∞. Докажите, что для любого ε найдется подмножество E_{ε} ⊂ M, μ(E_{ε}) ⩽ ε, такое, что {f_{i}} равномерно сходится вне E_{ε} к f.

3.2. Интегрируемые функции

Пусть f : M ⟶ ℝ – ступенчатая функция, а {α_{i}} множество ее значении. Запишем f в виде f = ∑ α_{i}χ_{U_{i}}, где U_{i} := f^{−1}(α_{i}), а χ_{U_{i}} характеристическая функция множества U_{i}.

Определение 3.5. Пусть M пространство, снабженное σ-алгеброй и мерой μ, а f = ∑ α_{i}χ_{U_{i}} ступенчатая измеримая функция. Функция f называется ступенчатой интегрируемой, если ряд ∑ |α_{i}|μ(U_{i}) сходится.

Задача 3.16 (!). Докажите, что интегрируемые ступенчатые функции образуют линейное пространство

Определение 3.6. Пусть f – измеримая функция. Мы говорим, что f равна нулю почти везде, если f = 0 вне множества меры нуль. Мы говорим, что измеримые функции f и g эквивалентны, если f − g равна нулю почти везде, В этом случае говорится, что f равно g почти всюду.

Замечание. В теории меры функции, эквивалентные почти всюду, отождествляются. В тех случаях, когда понятно, о чем речь, мы не будем специально оговаривать этого.

Задача 3.17 (!). Рассмотрим такую функцию на пространстве интегрируемых ступенчатых функций:

|f|_{1} := ∑ |α_{i}|μ(U_{i}).

Докажите, что эта функция – норма на пространстве классов эквивалентности ступенчатых интегрируемых функций.

Задача 3.18. Пусть f – измеримая функция на ℝ, а {f_{i}} – последовательность измеримых функций, равномерно сходящихся к f. Всегда ли {f_{i}} будет последовательностью Коши относительно метрики, заданной нормой | · |_{1}?

Задача 3.19. Пусть f – измеримая функция на ℝ, а {f_{i}} последовательность измеримых функций, такая, что {f_{i}} последовательность Коши относительно | · |_{1}, сходящаяся к f. Верно ли, что {f_{i}} равномерно сходится к f?

Определение 3.7. Пусть f – функция на топологическом пространстве M. Мы говорим, что f – функция с компактным носителем, если f = 0 вне компактного подмножества M.

Задача 3.20 (!). Пусть f – измеримая функция с компактным носителем на ℝ^{n}.

а. Рассмотрим последовательность ступенчатых функций {f_{i}}, определенную в Задаче 3.8. Докажите, что {f_{i}} – это последовательность Коши относительно метрики, заданной нормой | · |_{1}.

б. Пусть {f_{i}} – последовательность ступенчатых функций с носителем в компактном множестве K, равномерно сходящаяся к f. Докажите, что {f_{i}} это последовательность Коши относительно метрики, заданной нормой | · |_{1}.

Задача 3.21 (*). Пусть M – пространство с σ-алгеброй, наделенное мерой μ такой, что M = ⋃ U_{i}, где U_{0} ⊂ U_{1} ⊂ U_{2} ⊂ ... – измеримые множестvа конечной меры. Пусть задана измеримая функция f : M ⟶ ℝ. Докажите, что существует последовательность {g_{i}} ступенчатых измеримых функций, которая равномерно сходится к f, причем {g_{i}} это последовательность Коши относительно | · |_{1}.

Указание. Пусть мера U_{i}\U_{i−1} равна a_{i}, а {f_{i}} – последовательность, построенная из f как в Задаче 3.8. Положим g_{k} на U_{l}\U_{l−1} равным f_{2^{l}[ka_{l}]+1}. Докажите, что {g_{i}} равномерно сходится к f, и lim |f − g_{i}|_{1} = 0.

Определение 3.8. Пусть последовательность Коши интегрируемых измеримых ступенчатых функций равномерно сходится к функции f. Тогда f называется интегрируемой функцией. Пространство таких функций (определенных с точностью до равенства почти всюду) называется пространством L_{1}-интегрируемых функций, и обозначается L_{1}(M).

Задача 3.22. Пусть M пространство с мерой такое, что μ(M) < ∞. Докажите, что любая измеримая ограниченная функция на M интегрируема.

Задача 3.23 (!). Пусть {f_{i}}, {g_{i}} последовательности Коши ступенчатых функций, равномер-

но сходящихся к одной и той же функции h. Докажите, что lim |f_{i}|_{A} − g_{i}|_{A} |_{1} = 0 на каждом

измеримом подмножестве A ⊂ M конечной меры. Докажите, что h однозначно определяется классом эквивалентности {f_{i}}.

Замечание. В этой ситуации мы говорим, что h есть предел последовательности f_{i}

Определение 3.9. Пусть f – ступенчатая измеримая интегрируемая функция, f = ∑ α_{i}χ_{U_{i}}. Интеграл f – это число

∫_{M} fμ := ∑ α_{i}μ(U_{i}).

Задача 3.24. Пусть {f_{i}} – последовательность Коши интегрируемых ступенчатых функций. Докажите, что ∫_{M} f_{i}μ сходится Определение 3.10. Пусть f – интегрируемая функция, полученная как предел последовательности Коши {f_{i}}. Определим интеграл Лебега f как

∫ fμ := lim ∫_{M} f_{i}μ.

Задача 3.25. Докажите, что это определение корректно. Докажите, что интеграл задает непрерывный линейный функционал на пространстве интегрируемых функций.

Задача 3.26. Пусть f : M ⟶ ℝ – неотрицательная интегрируемая функция. Докажите, что ∫ fμ ⩾ 0, и равенство достигается только если f = 0 почти всюду.

Задача 3.27. Пусть f, g измеримые функции, причем f ⩾ |g|, а f интегрируема. Докажите, что g также интегрируема, и ∫ fμ ⩾ ∫ gμ.

Задача 3.28. Пусть f : M ⟶ ℝ интегрируемая функция. Докажите, что f|_{M′} интегрируема, для любого измеримого подмножества M′ ⊂ M.

Задача 3.29 (!). Пусть f : M ⟶ ℝ – произвольная функция. Докажите, что f интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируем |f|.

Определение 3.11. Пусть M – произвольное множество. σ-кольцо 𝔘 ⊂ 2^{M} на M есть кольцо подмножеств, замкнутое относительно счетных объединений. Зарядом, или обобщенной мерой на 𝔘 называется счетно-аддитивная (не обязательно положительная) функция 𝔘 ⟶ ℝ.

Задача 3.30. Пусть σ – заряд на σ-кольце 𝔘 ⊂ 2^{M}, а E_{i} ∈ 𝔘 – последовательность непересекающихся множеств. Докажите, что ряд ∑ σ(E_{i}) абсолютно сходится.

Задача 3.31 (*). (разложение Жордана) Определим σ^{+}(E) как супремум sup_{F^{+}⊂E} σ(F^{+}) по всем измеримым подмножествам F^{+} ⊂ E, и σ^{−}(E) как − inf_{F^{−}⊂E} σ′(F^{−}). Докажите, что σ^{+}, σ^{−}

- это неотрицательные меры на (M, 𝔘), и σ = σ^{+} − σ^{−}.

Задача 3.32 (*). (разложение Хана) В условиях предыдущей задачи, докажите, что

sup_{F^{+}⊂E} σ(F^{+})

и

inf_{F^{−}⊂E} σ′(F^{−})

реализуются на подмножествах F^{−} и F^{+}. Более того, можно выбрать их таким образом, что F^{−} ∐ F^{+} = E.