\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

% version 1.0, 17.09.2010
% version 1.1, 10.10.2010 - опечатка в задаче 2.22
% version 2.0, 20.11.2010 - неправильно в задаче 2.41 и 
% в определении измеримого множества
% version 2.1, 26.11.2010, исправления от Саши Ананьина

\newcommand{\version}{version 2.1,\ \   26.11.2010}

\input{listki.tex}

\begin{document}

\listok{2}{Теория Меры 2: мера Лебега}


\subsection{Булевы алгебры}

\определение
{\bf Решетка}  это множество $L$, наделенное алгебраическими
бинарными операциями $\wedge$ и 
$\vee:\; L\times L \arrow L$, которые
удовлетворяют следующим условиям.

\енум
\item Идемпотентность:
$a\wedge a = a \vee a =a$.
\item Коммутативность:
$a\wedge b = b\wedge a, a\vee b = b\vee a$.
\item Ассоциативность:
$a\wedge (b\wedge c) = (a\wedge b)\wedge c$, 
$a\vee (b\vee c) = (a\vee b)\vee c$.
\item Абсорбция: $a \vee (a\wedge b) = a$,
$a \wedge (a\vee b) = a$.
\ее
\ео

\задача
\label{_chasti_upo_reshe_Zadacha_}.
Пусть $(S, \preceq)$ частично упорядоченное множество,
такое, что для любых $x, y$, задана {\бф точная 
верхняя грань} (такой элемент $(x\vee y)\succeq x, y$, что
любой $z\succeq x, y$ удовлетворяет $z\succeq(x\vee y)$)
и {\бф точная 
нижняя грань} (такой элемент $(x\wedge y)\preceq x, y$, что
любой $z\preceq x, y$ удовлетворяет $z\preceq(x\wedge y)$).
Докажите, что это решетка.
\ез

\задача[!]
Пусть $L$ решетка. Введем на $L$ соотношение
$x\preceq y$, если $x\wedge y = x$.
\енум
\итем Докажите, что $x\preceq y$ тогда и только
тогда, когда $x\vee y = y$. 
\итем Докажите, что $x\preceq y$  есть соотношение
частичного порядка.
\итем Рассмотрим $(L, \preceq)$ как частично
упорядоченное множество. Докажите, что в нем
есть точная верхняя и нижняя грань.
Докажите, что они выражаются как $(x\vee y)$,
$(x \wedge y)$.
\итем Докажите, что любую решетку можно
получить из частично упорядоченного
множества способом, описанным в задаче 
\ref{_chasti_upo_reshe_Zadacha_}.
\ее
\ез

\задача
Пусть $R$ факториальное кольцо. Постройте
решетку, пользуясь операцией взятия наименьшего
общего кратного и наибольшего общего делителя.
\ез

\задача
Рассмотрим такое соотношение частичного порядка
на $2^S$: $ x\preceq y$, если $x\subset y$.
Докажите, что в $(2^S, \preceq)$ существуют точная верхняя и нижняя
грань. Докажите, что соответствующие операции
это пересечение и объединение множеств.
\ез


\определение
Булева алгебра это способ аксиоматизации операций
пересечения и объединения в алгебре подмножеств.
Булевы алгебры названы так по имени английского
математика Джорджа Буля, 1815-1864.

\hfill

{\бф Булева алгебра} $(A,\vee, \wedge)$ это решетка,
удовлетворяющая следующим условиям

\енум
\item Ограниченность снизу: в $A$ есть элемент
$0$ такой, что $x\wedge 0=0$.
\item Ограниченность сверху: в $A$ есть элемент
$1$ такой, что $x\vee 1=1$.
\item Дистрибутивность:
$(a\vee b)\wedge c = (a\wedge c) \vee (a\wedge c)$.
\item Существование дополнений:
для любого $x\in A$ существует $\neg x$
такой, что $x\wedge \neg x=0$, $x\vee \neg x=1$.
\ее
\ео

\задача
Докажите, что 0, 1, $\neg x$ однозначно определяются
структурой решетки на $A$.
\ез

\задача
Докажите, что $\neg 0=1$, $\neg 1=0$.
\ез

\задача
Докажите законы де Моргана:
$\neg(a\vee b) = (\neg a) \wedge (\neg b)$, 
$\neg(a\wedge b) = (\neg a) \vee (\neg b)$.
\ез

\задача
(двойственность булевых алгебр)
Дана булева алгебра  $(A,\vee, \wedge)$.
Рассмотрим операции $\vee_1:=\wedge$,
$\wedge_1:=\vee$. Докажите, что $(A,\wedge, \vee)$
это тоже булева алгебра.
\ез

\задача
Постройте булеву алгебру из двух элементов.
\ез

\задача
\label{_idempo_boolean_Zadacha_}
Пусть $R$ (коммутативное) кольцо, а $V$ множество идемпотентов
(элементов, удовлетворяющих $a^2=a$).
Рассмотрим операции $e\vee f= e+f-ef$, 
$e\wedge f= ef$. Докажите, что это
булева алгебра.
\ез



\определение
{\бф Симметрическая разность}
в булевой алгебре задается по формуле
$a\triangle b:= (a\vee b) \wedge \neg (a\wedge b)$.
\ео

\задача[!]
\енум

\итем 
Докажите, что симметрическая разность ассоциативна.

\итем 
Докажите, что операция 
$\wedge$ дистрибутивна относительно симметрической
разности. 

\итем Докажите, что $(A, \wedge, \triangle)$
это кольцо (роль сложения выполняется
$\triangle$, роль умножения - $\wedge$).

\итем Докажите, что все элементы полученного
кольца суть идемпотенты.
\ее
\ез

\задача[!]
Дано коммутативное кольцо $R$ над $\Z/2\Z$,
все элементы которого суть идемпотенты.
Рассмотрим структуру булевой алгебры на множестве
идемпотентов, определенную в задаче \ref{_idempo_boolean_Zadacha_}.
Докажите, что $R$ получается вышеописанным
способом из этой булевой алгебры. 
\ез

\определение
{\бф Идеалом} булевой алгебры называется
замкнутое относительно операции $\vee$ подмножество
$I\subset A$,  которое удовлетворяет $a\wedge i\in I$
для любого $a\in A, i\in I$.
\ео

\задача
Дана  булева алгебра $A$, у которой больше
двух элементов. Докажите, что в $A$ есть нетривиальный
идеал. 
\ез

\задача[!]
Пусть $(A,\wedge, \vee)$ булева алгебра, а
$I\subset A$ идеал. Определим такое соотношение:
$a\sim_I b$, если $a\triangle b\in I$.
Докажите, что это соотношение эквивалентности.
Докажите, что операции $\wedge$ и $\vee$
сохраняют классы эквивалентности, 
и индуцируют на множесте $A'$ классов эквивалентности 
структуру булевой алгебры.
\ез

\определение
В этих условиях $A'$ называется
{\бф факторалгеброй}, и обозначается $A/I$.
Идеал называется {\бф максимальным}, если
фактор по нему - булева алгебра из двух элементов.
\ео

\задача[*]
Дан нетривиальный идеал булевой алгебры.
Докажите, что он содержится в максимальном.
\ез


\определение
{\bf Представлением}, или же
{\бф инъективным представлением} булевой алгебры $A$ называется
инъективный гомоморфизм $A\arrow 2^S$, определенный для какого-то
множества $S$. Иначе говоря, представление булевой алгебры есть
реализация ее в качестве подалгебры множеств.
\ео


\задача[*] 
\енум 
\итем Докажите, что любая булева алгебра допускает
инъективное представление.
\итем 
Дана конечная булева алгебра. Докажите, что в ней $2^n$
элементов. Докажите, что она изоморфна алгебре всех
подмножеств $S$, где $S$ конечное множество из $n$
элементов.
\ее
\ез

\subsection{Внешняя мера}

Вплоть до окончания этого листка, $S$ это множество, 
а ${\goth U}\subset 2^S$ кольцо подмножеств,
содержащее $S$ (такое кольцо называется 
{\бф алгеброй подмножеств}, или же 
{\бф подалгеброй подмножеств в $2^S$}). 
Рассмотрим $2^S$ как булеву алгебру,
с операциями $\vee=\cup$ и $\wedge=\cap$.
Очевидно, ${\goth U}$ это булева 
подалгебра $2^S$.

Рассмотрим функцию
$\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$. 
На множестве $\R  \cup \{\infty\}$
определена операция
сложения, таким образом, что $x+\infty = \infty$
и $\infty + \infty = \infty$. 

\определение
Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$
называется {\бф конечно-аддитивной мерой},
если для любых непересекающихся 
$A, B\in {\goth U}$, $\mu(A\coprod B) = \mu(A)+\mu(B)$.
Мера называется {\бф неотрицательной}, если
к тому же $\mu(A)\geq 0$, для любого $A$.
\ео

\определение
В этих предположениях,
пусть $X\subset S$ любое подмножество.
Определим {\бф внешнюю меру} $\mu^*(X)$ как
\[  
   \mu^*(X):= \inf_{\{A_i\}}\sum \mu(A_i)
\]
где инфимум берется по всем счетным 
наборам $\{A_i\}\subset {\goth U}$,
покрывающим $X$. Мы говорим, что $X$
{\бф множество меры 0}, если
$\mu^*(X)=0$. Мы говорим, что
$\mu$ $\sigma$-аддитивна, если
$\mu^*(A)=\mu(A)$ для любого
$A\in {\goth U}$.
\ео

\задача 
Докажите, что $\mu^*(A\cup B) \leq \mu^*(A)+\mu^*(B)$.
\ез

\задача[*]
Приведите пример, когда внешняя мера неаддитивна
(то есть не удовлетворяет $\mu^*(A\coprod B) = \mu^*(A)+\mu^*(B)$).
\ез

\задача[!]
Пусть $A$ множество меры нуль.
Докажите, что $\mu^*(A\cup B)=\mu^*(B\backslash A) =
\mu^*(B)$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что счетное объединение
множеств меры нуль имеет меру нуль
\ез

\задача Докажите, что множества меры нуль
образуют булев идеал в булевой алгебре $2^S$.
\ез


\задача[*]
Приведите пример континуального
подмножества меры нуль на отрезке.
\ез

\задача
Задан диффеоморфизм из отрезка в отрезок,
гладкий, в том числе, и на концах отрезка.
Докажите, что он переводит множества меры нуль
в множества меры нуль.
\ез

\задача
Задан диффеоморфизм из интервала в прямую.
Докажите, что он переводит множества меры нуль
в множества меры нуль.
\ез

\subsection{Измеримые множества}

\определение
Рассмотрим множества меры нуль как булев идеал
в булевой алгебре $2^S$. Если для $A, B \subset S$
имеет место $\mu^*(A\triangle B)=0$, мы говорим
{\бф $A$ и $B$ совпадают почти всюду}.

 Факторалгебра по идеалу множеств меры ноль
называется {\бф алгебра подмножеств $S$ с точностью до
подмножеств меры нуль}. На протяжении этого листка
мы будем обозначать эту алгебру как $2^S/\sim$.
\ео


\задача Зафиксируем $x\in S$. Предположим,
что $\{ x\}\in {\goth U}$.
Пусть мера подмножества $X\subset S$ задается
$\mu(X)=1$ если $x\in X$ и $\mu(X)=0$ в противном случае.
Найдите ${\goth U}/\sim$.
\ез


\задача[!]
Определим функцию $d:\; 2^S \times 2^S\arrow \R$
как $d(A, B):= \mu^*(A\triangle B)$. Докажите, что
эта функция удовлетворяет неравенству треугольника:
$d(A,B)\leq d(A, C) + d(B, C)$.
\ез

\задача [!]
Пусть $\mu^*(A_1\triangle A_2)=0$.
Докажите, что $\mu^*(A_1\triangle B)=\mu^*(A_2\triangle B)$,
для любого $B\in 2^S$. 
\ез

\замечание Из этой задачи следует, что
функция $d(A, B)= \mu^*(A\triangle B)$ 
корректно определена на множестве
$2^S/\sim$.
\еза

\определение
На протяжении этих лекций, {\бф метрика}
на множестве $M$ есть отображение $M\times M \arrow [0, \infty]$
удовлетворяющее стандартным условиям (симметричность, неравенство
треугольника, и $d(x,y) > 0$ для $x\neq y$. От обычного
определения, это отличается только тем,
что мы разрешаем $d(x,y)$ принимать значение $\infty$.
\ео


\задача
Докажите, что функция 
$d(A, B)= \mu^*(A\triangle B)$ 
задает метрику на $2^S/\sim$.
\ез

\задача[!]
Рассмотрим пополнение $2^S/\sim$
относительно этой метрики. 
Докажите, что это тоже булева алгебра.
\ез

\определение
Пусть $\{X_i\}$ последовательность подмножеств в $S$.
{\бф Обратный предел} $\{X_i\}$ это
множество 
\[ \lim\limits_{\leftarrow}\{X_i\}:= \bigcup_i \left(\cap_{j>i} X_j\right)
\]
\eo

\задача
Докажите, что обратный предел 
последовательности $X_{1}, X_{2}, X_{3}, ...$ 
равен обратному пределу $X_{n}, X_{n+1}, X_{n+2}, ...$,
для любого $n\neq 1$.
\ез

\задача
Пусть $A\in 2^S$ и $\{X_i\}\subset 2^S$,
а $d(A, X_i) = \lambda_i$. Докажите, что
\[ d(A, \lim\limits_{\leftarrow}\{X_i\}) \leq \sum \lambda_i.\]
\ез

\задача[!]
Пусть задана последовательность Коши
$\{X_i\}$ в $2^S/\sim$. Докажите, что
она сходится к $\lim\limits_{\leftarrow}\{X_i\}$.
\ез

\указание Заменив $\{X_i\}$ на подпоследовательность,
добейтесь того, чтобы \[ d(X_i, X_j)< 2^{-\min(i,j)}.\]
Воспользовавшись предыдущей задачей, убедитесь, что
\[ 
  d(X_i,\lim\limits_{\leftarrow}\{X_i\}) \leq \frac 1
  {2^{i-1}}. 
\]
\еу

\определение
Множество $X\subset S$ называется {\бф измеримым},
если оно лежит в пополнении ${\goth U}/\sim$
относительно метрики, определенной выше.
\ео

\задача[!]
Докажите, что измеримые множества образуют
подалгебру в $2^S$.
\ез

\задача[**]
Воспользовавшись аксиомой выбора,
приведите пример неизмеримого \\ подмножества в $[0,1]$
(со стандартной мерой).
\ез

\задача[!]
(теорема Лебега) Докажите, что на измеримых множествах
функция $\mu^*$ конечно аддитивна (удовлетворяет
$\mu^*(A\coprod B) = \mu^*(A)+\mu^*(B)$).
\ез

\указание Воспользуйтесь тем, что 
алгебра измеримых множеств является
пополнением ${\goth U}/(\sim\cap {\goth U})$, а там $\mu=\mu^*$ и аддитивна.
\еу

\определение
Пусть $\mu$ $\sigma$-аддитивна. В таком случае
функция $\mu^*$ на алгебре измеримых множеств называется
{\бф продолжением} меры $\mu$. Мы обозначаем ее за $\mu$.
\ео

\задача[!]
Пусть $\{A_i\}\subset {\goth U}$ счетная последовательность
непересекающихся множеств, такая, что ряд $\sum \mu(A_i)$ сходится. 
Докажите, что объединение $\bigcup A_i$ измеримо.
\ез

\задача[!]
Докажите, что на измеримых множествах функция $\mu^*$ 
{\бф счетно аддитивна}, то есть удовлетворяет
$\mu^*(\coprod X_i)=\sum \mu^*(X_i)$, если $\sum \mu^*(X_i)<\infty$.
\ез

\subsection{Мера Лебега}

\определение
Пусть ${\goth W}\subset S$ - алгебра подмножеств.
${\goth W}$ называется {\бф $\sigma$-алгеброй},
если она замкнута относительно счетных объединений:
для любого счетного набора подмножеств
 $\{X_i\}\subset {\goth W}$, объединение
$\bigcup X_i$ принадлежит ${\goth W}$.
\ео

\задача[!]
Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - алгебра подмножеств,
снабженная счетно-аддитивной и неотрицательной мерой
$\mu:\; {\goth U}\arrow [0, \infty[$.
Докажите, что алгебра измеримых подмножеств
является $\sigma$-алгеброй.
\ез

\определение
{\bf Мерой на $\sigma$-алгебре} ${\goth W}\subset S$ называется
счетно-аддитивная, неотрицательная функция
${\goth W}\arrow \R \cup\{\infty\}$.
\ео

\задача[*]
Приведите пример конечно-аддитивного, но не
счетно-аддитивного отображения 
${\goth W}\stackrel \mu \arrow [0, \infty]$. Докажите, что
$\mu$ счетно-аддитивно тогда и только тогда, когда
$\mu^*(A)=\mu(A)$ для любого $A\in {\goth W}$.
\ез



\задача
Пусть $S_1$, $S_2$ множества, снабженные
алгебрами  \[ {\goth U_i}\subset 2^{S_i}, \ \ i = 1,2 \]
и  конечно-аддитивной неотрицательной мерой
\[ \mu_i:\; {\goth U_i}\arrow [0, \infty].\]
Рассмотрим подалгебру ${\goth U_1}\times {\goth U_2}$
в $2^{S_1\times S_2}$, 
порожденную подмножествами вида $A_1\times A_2$,
где $A_i\in {\goth U_i}$. На каждом таком
подмножестве определим 
\[ \mu(A_1\times A_2) := \mu_1(A_1)\mu_2(A_2).
\]
\енум
\итем[!] Докажите, что $\mu$ можно продолжить до
 конечно-аддитивной неотрицательной меры на кольце
${\goth U_1}\times {\goth U_2}$. 
\итем[**] Докажите, что это продолжение 
$\sigma$-аддитивно, если $\mu_i$ $\sigma$-аддитивны. 
\ее
\ез



\определение
{\бф Параллелепипед} есть подмножество $\R^n$,
вида $I_1\times I_2\times ... I_n$, где $I_k$ - интервалы.
Рассмотрим подалгебру ${\goth U} \subset 2^{\R^n}$, порожденную
счетными объединениями непересекающихся параллелепипедов.
Мы будем называть эту алгебру множеств {\бф алгеброй,
порожденной параллелепипедами}. 
Продолжим функцию 
\[ \mu(I_1\times I_2\times ... I_n) \arrow \prod |I_k|
\]
до конечно-аддитивной неотрицательной меры $\mu$ на ${\goth U}$.
Пусть ${\goth M}$ обозначает пополнение ${\goth U}$
относительно $d(A, B):= \mu^*(A\triangle B)$,
т.е. множество измеримых множеств, соответствующих
${\goth U}$ и $\mu$. Элементы ${\goth M}$ 
называются {\бф измеримыми по Лебегу}, а продолжение
$\mu^*$ на ${\goth M}$ - {\bf мерой Лебега}.
\ео

\задача[!]
\енум
\итем Докажите, что мера Лебега $\sigma$-аддитивна
на алгебре, порожденной параллелепипедами.
\итем Докажите, что каждое открытое
подмножество $\R^n$ измеримо.
\ее
\ез

\определение
Рассмотрим $\sigma$-алгебру, порожденную
открытыми подмножествами $\R^n$. Ее элементы называются
{\бф борелевскими подмножествами}.
\ео

\задача[!]
Докажите, что борелевские подмножества в $\R^n$ измеримы по Лебегу.
\ез

\задача[!]
Докажите, что для каждого измеримого множества $A\subset \R^n$
найдется борелевское множество $B\subset \R^n$, такое,
что $\mu(B\triangle A)=0$.
\ез

\задача[*]
Пусть $V\subset B\subset \R^n$ -- ограниченное подмножество
открытого шара. Докажите, что $V$ измеримо 
тогда и только тогда, когда $\mu^*(V)+\mu^*(B\backslash
V)= \mu(B)$.
\ез


\end{document}
