\documentclass[12pt]{article} \usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr} % version 1.0, 17.09.2010 % version 1.1, 10.10.2010 - опечатка в задаче 2.22 % version 2.0, 20.11.2010 - неправильно в задаче 2.41 и % в определении измеримого множества % version 2.1, 26.11.2010, исправления от Саши Ананьина \newcommand{\version}{version 2.1,\ \ 26.11.2010} \input{listki.tex} \begin{document} \listok{2}{Теория Меры 2: мера Лебега} \subsection{Булевы алгебры} \определение {\bf Решетка} это множество $L$, наделенное алгебраическими бинарными операциями $\wedge$ и $\vee:\; L\times L \arrow L$, которые удовлетворяют следующим условиям. \енум \item Идемпотентность: $a\wedge a = a \vee a =a$. \item Коммутативность: $a\wedge b = b\wedge a, a\vee b = b\vee a$. \item Ассоциативность: $a\wedge (b\wedge c) = (a\wedge b)\wedge c$, $a\vee (b\vee c) = (a\vee b)\vee c$. \item Абсорбция: $a \vee (a\wedge b) = a$, $a \wedge (a\vee b) = a$. \ее \ео \задача \label{_chasti_upo_reshe_Zadacha_}. Пусть $(S, \preceq)$ частично упорядоченное множество, такое, что для любых $x, y$, задана {\бф точная верхняя грань} (такой элемент $(x\vee y)\succeq x, y$, что любой $z\succeq x, y$ удовлетворяет $z\succeq(x\vee y)$) и {\бф точная нижняя грань} (такой элемент $(x\wedge y)\preceq x, y$, что любой $z\preceq x, y$ удовлетворяет $z\preceq(x\wedge y)$). Докажите, что это решетка. \ез \задача[!] Пусть $L$ решетка. Введем на $L$ соотношение $x\preceq y$, если $x\wedge y = x$. \енум \итем Докажите, что $x\preceq y$ тогда и только тогда, когда $x\vee y = y$. \итем Докажите, что $x\preceq y$ есть соотношение частичного порядка. \итем Рассмотрим $(L, \preceq)$ как частично упорядоченное множество. Докажите, что в нем есть точная верхняя и нижняя грань. Докажите, что они выражаются как $(x\vee y)$, $(x \wedge y)$. \итем Докажите, что любую решетку можно получить из частично упорядоченного множества способом, описанным в задаче \ref{_chasti_upo_reshe_Zadacha_}. \ее \ез \задача Пусть $R$ факториальное кольцо. Постройте решетку, пользуясь операцией взятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя. \ез \задача Рассмотрим такое соотношение частичного порядка на $2^S$: $ x\preceq y$, если $x\subset y$. Докажите, что в $(2^S, \preceq)$ существуют точная верхняя и нижняя грань. Докажите, что соответствующие операции это пересечение и объединение множеств. \ез \определение Булева алгебра это способ аксиоматизации операций пересечения и объединения в алгебре подмножеств. Булевы алгебры названы так по имени английского математика Джорджа Буля, 1815-1864. \hfill {\бф Булева алгебра} $(A,\vee, \wedge)$ это решетка, удовлетворяющая следующим условиям \енум \item Ограниченность снизу: в $A$ есть элемент $0$ такой, что $x\wedge 0=0$. \item Ограниченность сверху: в $A$ есть элемент $1$ такой, что $x\vee 1=1$. \item Дистрибутивность: $(a\vee b)\wedge c = (a\wedge c) \vee (a\wedge c)$. \item Существование дополнений: для любого $x\in A$ существует $\neg x$ такой, что $x\wedge \neg x=0$, $x\vee \neg x=1$. \ее \ео \задача Докажите, что 0, 1, $\neg x$ однозначно определяются структурой решетки на $A$. \ез \задача Докажите, что $\neg 0=1$, $\neg 1=0$. \ез \задача Докажите законы де Моргана: $\neg(a\vee b) = (\neg a) \wedge (\neg b)$, $\neg(a\wedge b) = (\neg a) \vee (\neg b)$. \ез \задача (двойственность булевых алгебр) Дана булева алгебра $(A,\vee, \wedge)$. Рассмотрим операции $\vee_1:=\wedge$, $\wedge_1:=\vee$. Докажите, что $(A,\wedge, \vee)$ это тоже булева алгебра. \ез \задача Постройте булеву алгебру из двух элементов. \ез \задача \label{_idempo_boolean_Zadacha_} Пусть $R$ (коммутативное) кольцо, а $V$ множество идемпотентов (элементов, удовлетворяющих $a^2=a$). Рассмотрим операции $e\vee f= e+f-ef$, $e\wedge f= ef$. Докажите, что это булева алгебра. \ез \определение {\бф Симметрическая разность} в булевой алгебре задается по формуле $a\triangle b:= (a\vee b) \wedge \neg (a\wedge b)$. \ео \задача[!] \енум \итем Докажите, что симметрическая разность ассоциативна. \итем Докажите, что операция $\wedge$ дистрибутивна относительно симметрической разности. \итем Докажите, что $(A, \wedge, \triangle)$ это кольцо (роль сложения выполняется $\triangle$, роль умножения - $\wedge$). \итем Докажите, что все элементы полученного кольца суть идемпотенты. \ее \ез \задача[!] Дано коммутативное кольцо $R$ над $\Z/2\Z$, все элементы которого суть идемпотенты. Рассмотрим структуру булевой алгебры на множестве идемпотентов, определенную в задаче \ref{_idempo_boolean_Zadacha_}. Докажите, что $R$ получается вышеописанным способом из этой булевой алгебры. \ез \определение {\бф Идеалом} булевой алгебры называется замкнутое относительно операции $\vee$ подмножество $I\subset A$, которое удовлетворяет $a\wedge i\in I$ для любого $a\in A, i\in I$. \ео \задача Дана булева алгебра $A$, у которой больше двух элементов. Докажите, что в $A$ есть нетривиальный идеал. \ез \задача[!] Пусть $(A,\wedge, \vee)$ булева алгебра, а $I\subset A$ идеал. Определим такое соотношение: $a\sim_I b$, если $a\triangle b\in I$. Докажите, что это соотношение эквивалентности. Докажите, что операции $\wedge$ и $\vee$ сохраняют классы эквивалентности, и индуцируют на множесте $A'$ классов эквивалентности структуру булевой алгебры. \ез \определение В этих условиях $A'$ называется {\бф факторалгеброй}, и обозначается $A/I$. Идеал называется {\бф максимальным}, если фактор по нему - булева алгебра из двух элементов. \ео \задача[*] Дан нетривиальный идеал булевой алгебры. Докажите, что он содержится в максимальном. \ез \определение {\bf Представлением}, или же {\бф инъективным представлением} булевой алгебры $A$ называется инъективный гомоморфизм $A\arrow 2^S$, определенный для какого-то множества $S$. Иначе говоря, представление булевой алгебры есть реализация ее в качестве подалгебры множеств. \ео \задача[*] \енум \итем Докажите, что любая булева алгебра допускает инъективное представление. \итем Дана конечная булева алгебра. Докажите, что в ней $2^n$ элементов. Докажите, что она изоморфна алгебре всех подмножеств $S$, где $S$ конечное множество из $n$ элементов. \ее \ез \subsection{Внешняя мера} Вплоть до окончания этого листка, $S$ это множество, а ${\goth U}\subset 2^S$ кольцо подмножеств, содержащее $S$ (такое кольцо называется {\бф алгеброй подмножеств}, или же {\бф подалгеброй подмножеств в $2^S$}). Рассмотрим $2^S$ как булеву алгебру, с операциями $\vee=\cup$ и $\wedge=\cap$. Очевидно, ${\goth U}$ это булева подалгебра $2^S$. Рассмотрим функцию $\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$. На множестве $\R \cup \{\infty\}$ определена операция сложения, таким образом, что $x+\infty = \infty$ и $\infty + \infty = \infty$. \определение Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$ называется {\бф конечно-аддитивной мерой}, если для любых непересекающихся $A, B\in {\goth U}$, $\mu(A\coprod B) = \mu(A)+\mu(B)$. Мера называется {\бф неотрицательной}, если к тому же $\mu(A)\geq 0$, для любого $A$. \ео \определение В этих предположениях, пусть $X\subset S$ любое подмножество. Определим {\бф внешнюю меру} $\mu^*(X)$ как \[ \mu^*(X):= \inf_{\{A_i\}}\sum \mu(A_i) \] где инфимум берется по всем счетным наборам $\{A_i\}\subset {\goth U}$, покрывающим $X$. Мы говорим, что $X$ {\бф множество меры 0}, если $\mu^*(X)=0$. Мы говорим, что $\mu$ $\sigma$-аддитивна, если $\mu^*(A)=\mu(A)$ для любого $A\in {\goth U}$. \ео \задача Докажите, что $\mu^*(A\cup B) \leq \mu^*(A)+\mu^*(B)$. \ез \задача[*] Приведите пример, когда внешняя мера неаддитивна (то есть не удовлетворяет $\mu^*(A\coprod B) = \mu^*(A)+\mu^*(B)$). \ез \задача[!] Пусть $A$ множество меры нуль. Докажите, что $\mu^*(A\cup B)=\mu^*(B\backslash A) = \mu^*(B)$. \ез \задача[!] Докажите, что счетное объединение множеств меры нуль имеет меру нуль \ез \задача Докажите, что множества меры нуль образуют булев идеал в булевой алгебре $2^S$. \ез \задача[*] Приведите пример континуального подмножества меры нуль на отрезке. \ез \задача Задан диффеоморфизм из отрезка в отрезок, гладкий, в том числе, и на концах отрезка. Докажите, что он переводит множества меры нуль в множества меры нуль. \ез \задача Задан диффеоморфизм из интервала в прямую. Докажите, что он переводит множества меры нуль в множества меры нуль. \ез \subsection{Измеримые множества} \определение Рассмотрим множества меры нуль как булев идеал в булевой алгебре $2^S$. Если для $A, B \subset S$ имеет место $\mu^*(A\triangle B)=0$, мы говорим {\бф $A$ и $B$ совпадают почти всюду}. Факторалгебра по идеалу множеств меры ноль называется {\бф алгебра подмножеств $S$ с точностью до подмножеств меры нуль}. На протяжении этого листка мы будем обозначать эту алгебру как $2^S/\sim$. \ео \задача Зафиксируем $x\in S$. Предположим, что $\{ x\}\in {\goth U}$. Пусть мера подмножества $X\subset S$ задается $\mu(X)=1$ если $x\in X$ и $\mu(X)=0$ в противном случае. Найдите ${\goth U}/\sim$. \ез \задача[!] Определим функцию $d:\; 2^S \times 2^S\arrow \R$ как $d(A, B):= \mu^*(A\triangle B)$. Докажите, что эта функция удовлетворяет неравенству треугольника: $d(A,B)\leq d(A, C) + d(B, C)$. \ез \задача [!] Пусть $\mu^*(A_1\triangle A_2)=0$. Докажите, что $\mu^*(A_1\triangle B)=\mu^*(A_2\triangle B)$, для любого $B\in 2^S$. \ез \замечание Из этой задачи следует, что функция $d(A, B)= \mu^*(A\triangle B)$ корректно определена на множестве $2^S/\sim$. \еза \определение На протяжении этих лекций, {\бф метрика} на множестве $M$ есть отображение $M\times M \arrow [0, \infty]$ удовлетворяющее стандартным условиям (симметричность, неравенство треугольника, и $d(x,y) > 0$ для $x\neq y$. От обычного определения, это отличается только тем, что мы разрешаем $d(x,y)$ принимать значение $\infty$. \ео \задача Докажите, что функция $d(A, B)= \mu^*(A\triangle B)$ задает метрику на $2^S/\sim$. \ез \задача[!] Рассмотрим пополнение $2^S/\sim$ относительно этой метрики. Докажите, что это тоже булева алгебра. \ез \определение Пусть $\{X_i\}$ последовательность подмножеств в $S$. {\бф Обратный предел} $\{X_i\}$ это множество \[ \lim\limits_{\leftarrow}\{X_i\}:= \bigcup_i \left(\cap_{j>i} X_j\right) \] \eo \задача Докажите, что обратный предел последовательности $X_{1}, X_{2}, X_{3}, ...$ равен обратному пределу $X_{n}, X_{n+1}, X_{n+2}, ...$, для любого $n\neq 1$. \ез \задача Пусть $A\in 2^S$ и $\{X_i\}\subset 2^S$, а $d(A, X_i) = \lambda_i$. Докажите, что \[ d(A, \lim\limits_{\leftarrow}\{X_i\}) \leq \sum \lambda_i.\] \ез \задача[!] Пусть задана последовательность Коши $\{X_i\}$ в $2^S/\sim$. Докажите, что она сходится к $\lim\limits_{\leftarrow}\{X_i\}$. \ез \указание Заменив $\{X_i\}$ на подпоследовательность, добейтесь того, чтобы \[ d(X_i, X_j)< 2^{-\min(i,j)}.\] Воспользовавшись предыдущей задачей, убедитесь, что \[ d(X_i,\lim\limits_{\leftarrow}\{X_i\}) \leq \frac 1 {2^{i-1}}. \] \еу \определение Множество $X\subset S$ называется {\бф измеримым}, если оно лежит в пополнении ${\goth U}/\sim$ относительно метрики, определенной выше. \ео \задача[!] Докажите, что измеримые множества образуют подалгебру в $2^S$. \ез \задача[**] Воспользовавшись аксиомой выбора, приведите пример неизмеримого \\ подмножества в $[0,1]$ (со стандартной мерой). \ез \задача[!] (теорема Лебега) Докажите, что на измеримых множествах функция $\mu^*$ конечно аддитивна (удовлетворяет $\mu^*(A\coprod B) = \mu^*(A)+\mu^*(B)$). \ез \указание Воспользуйтесь тем, что алгебра измеримых множеств является пополнением ${\goth U}/(\sim\cap {\goth U})$, а там $\mu=\mu^*$ и аддитивна. \еу \определение Пусть $\mu$ $\sigma$-аддитивна. В таком случае функция $\mu^*$ на алгебре измеримых множеств называется {\бф продолжением} меры $\mu$. Мы обозначаем ее за $\mu$. \ео \задача[!] Пусть $\{A_i\}\subset {\goth U}$ счетная последовательность непересекающихся множеств, такая, что ряд $\sum \mu(A_i)$ сходится. Докажите, что объединение $\bigcup A_i$ измеримо. \ез \задача[!] Докажите, что на измеримых множествах функция $\mu^*$ {\бф счетно аддитивна}, то есть удовлетворяет $\mu^*(\coprod X_i)=\sum \mu^*(X_i)$, если $\sum \mu^*(X_i)<\infty$. \ез \subsection{Мера Лебега} \определение Пусть ${\goth W}\subset S$ - алгебра подмножеств. ${\goth W}$ называется {\бф $\sigma$-алгеброй}, если она замкнута относительно счетных объединений: для любого счетного набора подмножеств $\{X_i\}\subset {\goth W}$, объединение $\bigcup X_i$ принадлежит ${\goth W}$. \ео \задача[!] Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - алгебра подмножеств, снабженная счетно-аддитивной и неотрицательной мерой $\mu:\; {\goth U}\arrow [0, \infty[$. Докажите, что алгебра измеримых подмножеств является $\sigma$-алгеброй. \ез \определение {\bf Мерой на $\sigma$-алгебре} ${\goth W}\subset S$ называется счетно-аддитивная, неотрицательная функция ${\goth W}\arrow \R \cup\{\infty\}$. \ео \задача[*] Приведите пример конечно-аддитивного, но не счетно-аддитивного отображения ${\goth W}\stackrel \mu \arrow [0, \infty]$. Докажите, что $\mu$ счетно-аддитивно тогда и только тогда, когда $\mu^*(A)=\mu(A)$ для любого $A\in {\goth W}$. \ез \задача Пусть $S_1$, $S_2$ множества, снабженные алгебрами \[ {\goth U_i}\subset 2^{S_i}, \ \ i = 1,2 \] и конечно-аддитивной неотрицательной мерой \[ \mu_i:\; {\goth U_i}\arrow [0, \infty].\] Рассмотрим подалгебру ${\goth U_1}\times {\goth U_2}$ в $2^{S_1\times S_2}$, порожденную подмножествами вида $A_1\times A_2$, где $A_i\in {\goth U_i}$. На каждом таком подмножестве определим \[ \mu(A_1\times A_2) := \mu_1(A_1)\mu_2(A_2). \] \енум \итем[!] Докажите, что $\mu$ можно продолжить до конечно-аддитивной неотрицательной меры на кольце ${\goth U_1}\times {\goth U_2}$. \итем[**] Докажите, что это продолжение $\sigma$-аддитивно, если $\mu_i$ $\sigma$-аддитивны. \ее \ез \определение {\бф Параллелепипед} есть подмножество $\R^n$, вида $I_1\times I_2\times ... I_n$, где $I_k$ - интервалы. Рассмотрим подалгебру ${\goth U} \subset 2^{\R^n}$, порожденную счетными объединениями непересекающихся параллелепипедов. Мы будем называть эту алгебру множеств {\бф алгеброй, порожденной параллелепипедами}. Продолжим функцию \[ \mu(I_1\times I_2\times ... I_n) \arrow \prod |I_k| \] до конечно-аддитивной неотрицательной меры $\mu$ на ${\goth U}$. Пусть ${\goth M}$ обозначает пополнение ${\goth U}$ относительно $d(A, B):= \mu^*(A\triangle B)$, т.е. множество измеримых множеств, соответствующих ${\goth U}$ и $\mu$. Элементы ${\goth M}$ называются {\бф измеримыми по Лебегу}, а продолжение $\mu^*$ на ${\goth M}$ - {\bf мерой Лебега}. \ео \задача[!] \енум \итем Докажите, что мера Лебега $\sigma$-аддитивна на алгебре, порожденной параллелепипедами. \итем Докажите, что каждое открытое подмножество $\R^n$ измеримо. \ее \ез \определение Рассмотрим $\sigma$-алгебру, порожденную открытыми подмножествами $\R^n$. Ее элементы называются {\бф борелевскими подмножествами}. \ео \задача[!] Докажите, что борелевские подмножества в $\R^n$ измеримы по Лебегу. \ез \задача[!] Докажите, что для каждого измеримого множества $A\subset \R^n$ найдется борелевское множество $B\subset \R^n$, такое, что $\mu(B\triangle A)=0$. \ез \задача[*] Пусть $V\subset B\subset \R^n$ -- ограниченное подмножество открытого шара. Докажите, что $V$ измеримо тогда и только тогда, когда $\mu^*(V)+\mu^*(B\backslash V)= \mu(B)$. \ез \end{document}