Теория Меры 2: мера Лебега  Миша Вербицкий

Теория Меры 2: мера Лебега

2.1. Булевы алгебры

Определение 2.1. Решетка это множество L, наделенное алгебраическими бинарными операциями ∧ и ∨ : L × L ⟶ L, которые удовлетворяют следующим условиям.

а. Идемпотентность: a ∧ a = a ∨ a = a.

б. Коммутативность: a ∧ b = b ∧ a, a ∨ b = b ∨ a.

в. Ассоциативность: a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c, a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c.

г. Абсорбция: a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a.

Задача 2.1. . Пусть (S, ⪯) частично упорядоченное множество, такое, что для любых x, y, задана точная верхняя грань (такой элемент (x ∨ y) ⪰ x, y, что любой z ⪰ x, y удовлетворяет z ⪰ (x ∨ y)) и точная нижняя грань (такой элемент (x ∧ y) ⪯ x, y, что любой z ⪯ x, y удовлетворяет z ⪯ (x ∧ y)). Докажите, что это решетка.

Задача 2.2 (!). Пусть L решетка. Введем на L соотношение x ⪯ y, если x ∧ y = x.

а. Докажите, что x ⪯ y тогда и только тогда, когда x ∨ y = y.

б. Докажите, что x ⪯ y есть соотношение частичного порядка.

в. Рассмотрим (L, ⪯) как частично упорядоченное множество. Докажите, что в нем есть точная верхняя и нижняя грань. Докажите, что они выражаются как (x ∨ y), (x ∧ y).

г. Докажите, что любую решетку можно получить из частично упорядоченного множества способом, описанным в задаче 2.1.

Задача 2.3. Пусть R факториальное кольцо. Постройте решетку, пользуясь операцией взятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя.

Задача 2.4. Рассмотрим такое соотношение частичного порядка на 2^{S}: x ⪯ y, если x ⊂ y. Докажите, что в (2^{S}, ⪯) существуют точная верхняя и нижняя грань. Докажите, что соответствующие операции это пересечение и объединение множеств.

Определение 2.2. Булева алгебра это способ аксиоматизации операций пересечения и объединения в алгебре подмножеств. Булевы алгебры названы так по имени английского математика Джорджа Буля, 1815-1864.

Булева алгебра (A, ∨, ∧) это решетка, удовлетворяющая следующим условиям

а. Ограниченность снизу: в A есть элемент 0 такой, что x ∧ 0 = 0.

б. Ограниченность сверху: в A есть элемент 1 такой, что x ∨ 1 = 1.

в. Дистрибутивность: (a ∨ b) ∧ c = (a ∧ c) ∨ (a ∧ c). г. Существование дополнений: для любого x ∈ A существует ¬x такой, что x ∧ ¬x = 0,

x ∨ ¬x = 1.

Задача 2.5. Докажите, что 0, 1, ¬x однозначно определяются структурой решетки на A.

Задача 2.6. Докажите, что ¬0 = 1, ¬1 = 0.

Задача 2.7. Докажите законы де Моргана: ¬(a ∨ b) = (¬a) ∧ (¬b), ¬(a ∧ b) = (¬a) ∨ (¬b).

Задача 2.8. (двойственность булевых алгебр) Дана булева алгебра (A, ∨, ∧). Рассмотрим операции ∨_{1} := ∧, ∧_{1} := ∨. Докажите, что (A, ∧, ∨) это тоже булева алгебра.

Задача 2.9. Постройте булеву алгебру из двух элементов.

Задача 2.10. Пусть R (коммутативное) кольцо, а V множество идемпотентов (элементов, удовлетворяющих a^{2} = a). Рассмотрим операции e ∨ f = e + f − ef, e ∧ f = ef. Докажите, что это булева алгебра.

Определение 2.3. Симметрическая разность в булевой алгебре задается по формуле a△b := (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b).

Задача 2.11 (!). а. Докажите, что симметрическая разность ассоциативна.

б. Докажите, что операция ∧ дистрибутивна относительно симметрической разности.

в. Докажите, что (A, ∧, △) это кольцо (роль сложения выполняется △, роль умножения - ∧).

г. Докажите, что все элементы полученного кольца суть идемпотенты.

Задача 2.12 (!). Дано коммутативное кольцо R над ℤ/2ℤ, все элементы которого суть идемпотенты. Рассмотрим структуру булевой алгебры на множестве идемпотентов, определенную в задаче 2.10. Докажите, что R получается вышеописанным способом из этой булевой алгебры.

Определение 2.4. Идеалом булевой алгебры называется замкнутое относительно операции ∨ подмножество I ⊂ A, которое удовлетворяет a ∧ i ∈ I для любого a ∈ A, i ∈ I.

Задача 2.13. Дана булева алгебра A, у которой больше двух элементов. Докажите, что в A есть нетривиальный идеал.

Задача 2.14 (!). Пусть (A, ∧, ∨) булева алгебра, а I ⊂ A идеал. Определим такое соотношение: a ∼_{I} b, если a△b ∈ I. Докажите, что это соотношение эквивалентности. Докажите, что операции ∧ и ∨ сохраняют классы эквивалентности, и индуцируют на множесте A′ классов эквивалентности структуру булевой алгебры.

Определение 2.5. В этих условиях A′ называется факторалгеброй, и обозначается A/I. Идеал называется максимальным, если фактор по нему - булева алгебра из двух элементов.

Задача 2.15 (*). Дан нетривиальный идеал булевой алгебры. Докажите, что он содержится в максимальном.

Определение 2.6. Представлением, или же инъективным представлением булевой алгебры A называется инъективный гомоморфизм A ⟶ 2^{S}, определенный для какого-то множества S. Иначе говоря, представление булевой алгебры есть реализация ее в качестве подалгебры множеств.

Задача 2.16 (*). а. Докажите, что любая булева алгебра допускает инъективное представление.

б. Дана конечная булева алгебра. Докажите, что в ней 2^{n} элементов. Докажите, что она изоморфна алгебре всех подмножеств S, где S конечное множество из n элементов.

2.2. Внешняя мера

Вплоть до окончания этого листка, S это множество, а 𝔘 ⊂ 2^{S} кольцо подмножеств, содержащее S (такое кольцо называется алгеброй подмножеств, или же подалгеброй подмножеств в 2^{S}). Рассмотрим 2^{S} как булеву алгебру, с операциями ∨ = ∪ и ∧ = ∩. Очевидно, 𝔘 это булева подалгебра 2^{S}.

Рассмотрим функцию μ : 𝔘 ⟶ ℝ ∪ {∞}. На множестве ℝ ∪ {∞} определена операция сложения, таким образом, что x + ∞ = ∞ и ∞ + ∞ = ∞.

Определение 2.7. Функция μ : 𝔘 ⟶ ℝ∪{∞} называется конечно-аддитивной мерой, если для любых непересекающихся A, B ∈ 𝔘, μ(A ∐ B) = μ(A) + μ(B). Мера называется неотрицательной, если к тому же μ(A) ⩾ 0, для любого A.

Определение 2.8. В этих предположениях, пусть X ⊂ S любое подмножество. Определим внешнюю меру μ^{∗}(X) как

μ^{∗}(X) := inf_{{A_{i}}} ∑ μ(A_{i})

где инфимум берется по всем счетным наборам {A_{i}} ⊂ 𝔘, покрывающим X. Мы говорим, что X множество меры 0, если μ^{∗}(X) = 0. Мы говорим, что μ σ-аддитивна, если μ^{∗}(A) = μ(A) для любого A ∈ 𝔘.

Задача 2.17. Докажите, что μ^{∗}(A ∪ B) ⩽ μ^{∗}(A) + μ^{∗}(B).

Задача 2.18 (*). Приведите пример, когда внешняя мера неаддитивна (то есть не удовлетворяет μ^{∗}(A ∐ B) = μ^{∗}(A) + μ^{∗}(B)).

Задача 2.19 (!). Пусть A множество меры нуль. Докажите, что μ^{∗}(A ∪ B) = μ^{∗}(B\A) = μ^{∗}(B).

Задача 2.20 (!). Докажите, что счетное объединение множеств меры нуль имеет меру нуль

Задача 2.21. Докажите, что множества меры нуль образуют булев идеал в булевой алгебре 2^{S}.

Задача 2.22 (*). Приведите пример континуального подмножества меры нуль на отрезке.

Задача 2.23. Задан диффеоморфизм из отрезка в отрезок, гладкий, в том числе, и на концах отрезка. Докажите, что он переводит множества меры нуль в множества меры нуль.

Задача 2.24. Задан диффеоморфизм из интервала в прямую. Докажите, что он переводит множества меры нуль в множества меры нуль.

2.3. Измеримые множества

Определение 2.9. Рассмотрим множества меры нуль как булев идеал в булевой алгебре 2^{S}. Если для A, B ⊂ S имеет место μ^{∗}(A△B) = 0, мы говорим A и B совпадают почти всюду.

Факторалгебра по идеалу множеств меры ноль называется алгебра подмножеств S с точностью до подмножеств меры нуль. На протяжении этого листка мы будем обозначать эту алгебру как 2^{S}/ ∼.

Задача 2.25. Зафиксируем x ∈ S. Предположим, что {x} ∈ 𝔘. Пусть мера подмножества X ⊂ S задается μ(X) = 1 если x ∈ X и μ(X) = 0 в противном случае. Найдите 𝔘/ ∼.

Задача 2.26 (!). Определим функцию d : 2^{S} × 2^{S} ⟶ ℝ как d(A, B) := μ^{∗}(A△B). Докажите, что эта функция удовлетворяет неравенству треугольника: d(A, B) ⩽ d(A, C) + d(B, C).

Задача 2.27 (!). Пусть μ^{∗}(A_{1}△A_{2}) = 0. Докажите, что μ^{∗}(A_{1}△B) = μ^{∗}(A_{2}△B), для любого B ∈ 2^{S}.

Замечание. Из этой задачи следует, что функция d(A, B) = μ^{∗}(A△B) корректно определена на множестве 2^{S}/ ∼.

Определение 2.10. На протяжении этих лекций, метрика на множестве M есть отображение M × M ⟶ [0, ∞] удовлетворяющее стандартным условиям (симметричность, неравенство треугольника, и d(x, y) > 0 для x ≠ y. От обычного определения, это отличается только тем, что мы разрешаем d(x, y) принимать значение ∞.

Задача 2.28. Докажите, что функция d(A, B) = μ^{∗}(A△B) задает метрику на 2^{S}/ ∼.

Задача 2.29 (!). Рассмотрим пополнение 2^{S}/ ∼ относительно этой метрики. Докажите, что это тоже булева алгебра.

Определение 2.11. Пусть {X_{i}} последовательность подмножеств в S. Обратный предел {X_{i}} это множество

lim_{←}{X_{i}} := ⋃_{i} (∩_{j>i}X_{j})

Задача 2.30. Докажите, что обратный предел последовательности X_{1}, X_{2}, X_{3}, ... равен обратному пределу X_{n}, X_{n+1}, X_{n+2}, ..., для любого n ≠ 1.

Задача 2.31. Пусть A ∈ 2^{S} и {X_{i}} ⊂ 2^{S}, а d(A, X_{i}) = λ_{i}. Докажите, что

d(A, lim_{←}{X_{i}}) ⩽ ∑ λ_{i}.

Задача 2.32 (!). Пусть задана последовательность Коши {X_{i}} в 2^{S}/ ∼. Докажите, что она сходится к lim_{←}{X_{i}}.

Указание. Заменив {X_{i}} на подпоследовательность, добейтесь того, чтобы

d(X_{i}, X_{j}) < 2^{− min(i,j)}.

Воспользовавшись предыдущей задачей, убедитесь, что

d(X_{i}, lim_{←}\{X_{i}\}) ⩽ \frac{1}{2^{i−1}} .

Определение 2.12. Множество X ⊂ S называется измеримым, если оно лежит в пополнении 𝔘/ ∼ относительно метрики, определенной выше.

Задача 2.33 (!). Докажите, что измеримые множества образуют подалгебру в 2^{S}.

Задача 2.34 (**). Воспользовавшись аксиомой выбора, приведите пример неизмеримого подмножества в [0, 1] (со стандартной мерой).

Задача 2.35 (!). (теорема Лебега) Докажите, что на измеримых множествах функция μ^{∗} конечно аддитивна (удовлетворяет μ^{∗}(A ∐ B) = μ^{∗}(A) + μ^{∗}(B)).

Указание. Воспользуйтесь тем, что алгебра измеримых множеств является пополнением 𝔘/(∼ ∩𝔘), а там μ = μ^{∗} и аддитивна.

Определение 2.13. Пусть μ σ-аддитивна. В таком случае функция μ^{∗} на алгебре измеримых множеств называется продолжением меры μ. Мы обозначаем ее за μ.

Задача 2.36 (!). Пусть {A_{i}} ⊂ 𝔘 счетная последовательность непересекающихся множеств, такая, что ряд ∑ μ(A_{i}) сходится. Докажите, что объединение ⋃ A_{i} измеримо.

Задача 2.37 (!). Докажите, что на измеримых множествах функция μ^{∗} счетно аддитивна, то есть удовлетворяет μ^{∗}(∐ X_{i}) = ∑ μ^{∗}(X_{i}), если ∑ μ^{∗}(X_{i}) < ∞.

2.4. Мера Лебега

Определение 2.14. Пусть 𝔚 ⊂ S - алгебра подмножеств. 𝔚 называется σ-алгеброй, если она замкнута относительно счетных объединений: для любого счетного набора подмножеств {X_{i}} ⊂ 𝔚, объединение ⋃ X_{i} принадлежит 𝔚.

Задача 2.38 (!). Пусть 𝔘 ⊂ 2^{S} - алгебра подмножеств, снабженная счетно-аддитивной и неотрицательной мерой μ : 𝔘 ⟶ [0, ∞[. Докажите, что алгебра измеримых подмножеств является σ-алгеброй.

Определение 2.15. Мерой на σ-алгебре 𝔚 ⊂ S называется счетно-аддитивная, неотрицательная функция 𝔚 ⟶ ℝ ∪ {∞}.

Задача 2.39 (*). Приведите пример конечно-аддитивного, но не счетно-аддитивного отображения 𝔚 ⟶^{μ} [0, ∞]. Докажите, что μ счетно-аддитивно тогда и только тогда, когда μ^{∗}(A) = μ(A) для любого A ∈ 𝔚.

Задача 2.40. Пусть S_{1}, S_{2} множества, снабженные алгебрами

𝔘_{i} ⊂ 2^{S_{i}}, i = 1, 2

и конечно-аддитивной неотрицательной мерой

μ_{i} : 𝔘_{i} ⟶ [0, ∞].

Рассмотрим подалгебру 𝔘_{1}×𝔘_{2} в 2^{S_{1}×S_{2}}, порожденную подмножествами вида A_{1}×A_{2}, где A_{i} ∈ 𝔘_{i}. На каждом таком подмножестве определим

μ(A_{1} × A_{2}) := μ_{1}(A_{1})μ_{2}(A_{2}).

а. [!] Докажите, что μ можно продолжить до конечно-аддитивной неотрицательной меры на кольце 𝔘_{1} × 𝔘_{2}.

б. [**] Докажите, что это продолжение σ-аддитивно, если μ_{i} σ-аддитивны.

Определение 2.16. Параллелепипед есть подмножество ℝ^{n}, вида I_{1} × I_{2} × ...I_{n}, где I_{k} - интервалы. Рассмотрим подалгебру 𝔘 ⊂ 2^{ℝ^{n}}, порожденную счетными объединениями непересекающихся параллелепипедов. Мы будем называть эту алгебру множеств алгеброй, порожденной параллелепипедами. Продолжим функцию

μ(I_{1} × I_{2} × ...I_{n}) ⟶ ∏ |I_{k}|

до конечно-аддитивной неотрицательной меры μ на 𝔘. Пусть 𝔐 обозначает пополнение 𝔘 относительно d(A, B) := μ^{∗}(A△B), т.е. множество измеримых множеств, соответствующих 𝔘 и μ. Элементы 𝔐 называются измеримыми по Лебегу, а продолжение μ^{∗} на 𝔐 - мерой Лебега.

Задача 2.41 (!). а. Докажите, что мера Лебега σ-аддитивна на алгебре, порожденной параллелепипедами.

б. Докажите, что каждое открытое подмножество ℝ^{n} измеримо.

Определение 2.17. Рассмотрим σ-алгебру, порожденную открытыми подмножествами ℝ^{n}. Ее элементы называются борелевскими подмножествами.

Задача 2.42 (!). Докажите, что борелевские подмножества в ℝ^{n} измеримы по Лебегу.

Задача 2.43 (!). Докажите, что для каждого измеримого множества A ⊂ ℝ^{n} найдется борелевское множество B ⊂ ℝ^{n}, такое, что μ(B△A) = 0.

Задача 2.44 (*). Пусть V ⊂ B ⊂ ℝ^{n} – ограниченное подмножество открытого шара. Докажите, что V измеримо тогда и только тогда, когда μ^{∗}(V) + μ^{∗}(B\V) = μ(B).