\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 09.09.2010
% version 2.0, 23.09.2010, ����� ������
% version 2.1, 24.09.2010, ��� ���������
% version 2.2, 10.10.2010, ������ �������� � 1.19 �� ����� ������ �� ���������,
% ������� ��������� �� 1.19
% version 2.3, 26.11.2010, ����������� �� ���� ��������

\newcommand{\version}{version 2.3,\ \   26.11.2010}

\begin{document}


��� ������ �� ������� ������ ���� ����� ��� ������ �� �����������,
���� ��� ������ ��� ���������. ������ � ����� �����������
����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� 
�� ���� �� ��������. ������, ������������ (!),
������� ������� ����.

\listok{1}{������ ���� 1: ������ ��������������}

\subsection{������ ����������� � �������-���������� ����}

\�����������
����� ������ ��������� $S$. ��������� ���� �����������
$S$ ������������ $2^S$. ����� ${\goth U}\subset 2^S$ - ��������� �����
����������� $S$. $\goth U$ ���������� {\�� �������},
���� ��� ����� $A, B\in {\goth U}$, ����������� $A\cup B$,
����������� $A\cap B$ � ���������� $A\backslash B$
����������� ${\goth U}$. � ���� ������ ${\goth U}$
���������� {\�� ����������} � $2^S$. 
\��

\������
����� $S$ �������. ������� ���
��������� � $2^S$ � ������� �� �����
��� $|S|=5$ (��������� �� 5 ���������).
\��

\�����������
������������������ �������� ������������ $U\subset S$ 
���������� ������� 
\begin{align*}
\chi_U:\; S \arrow \{0,1\}\ \ |\ \ & \chi_U(x) =1, \ \ \text{����}
\ \ x\in U
& \chi_U(x) =0, \ \ \text{����}
\ \ x\notin U.
\end{align*}
\��

\������
����� ${\goth U}\subset 2^S$ - ����� �����������,
� $R_{\goth U}=\{\chi_U\}$ ��������� ���� ������������������
������� ��� ���� $U\in {\goth U}$. ���������� $\{0,1\}$
��� ���� �� ���� ���������. ��� ������ ������������ ����������
� ����������������� ��������� �� ��������� ����
����������� �� $S$ � $\{0,1\}$ (����������
�������� � ���������). ��������, ��� 
$R_{\goth U}$ �������� ������ (��������, ��� �������)
�o��� � ������ �����, ����� ${\goth U}$ ��� ������.
\��

\�����������
����� ${\goth V}\subset 2^S$ - ������������
����� �����������. ����������� ��������� � $2^S$,
���������� ${\goth V}$, ���������� 
{\�� ����������, ����������� ${\goth V}$}.
\��

\������[**]
����� � ${\goth V} \subset 2^S$ $N$ ���������.
����� ������������ �������� �����
���� � ���������, ������������ ${\goth V}$?
\��

\�����������
����� ������ ������������ $S\subset \R^n$.
{\�� �������� ���������} $S$ ����������
���������� �������� ������������, ���������� $S$.
\��

\������
\���� ��������, ��� �������� �������� 
$S$ ��� ��������� ���� �������� ����
$\sum \alpha_i s_i$, ��� $\{s_i\}$
��� �������� ����� ����� �� $S$, �
$\alpha_i$ ������������ �����,
$0\leq\alpha_i\leq 1$, $\sum \alpha_i=1$.
\����[*] ��������, ��� ����� ������
� �������� �������� $S\subset \R^n$,
�������������� � ����
$\sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i s_i$, 
��� $s_1, ... s_{n+1}$ - ����� $S$,
� $0\leq\alpha_i\leq 1$, $\sum \alpha_i=1$.

\��

\�����������
{\�� ����������} � $\R^n$ ���������� ��������
�������� ��������� $\{ x_0, ... x_n\}$ �� $n+1$ ����� � $\R^n$. 
����� �������� ���������� {\�� ��������� �� �����
$x_0, ... x_n$}.
\��

\������
����������� ��� ������ ������������� 
���������� � $\R$, $\R^2$, $\R^3$.
\��

\�����������
����� $\Delta(x_0, ... x_n)$ - ��������, ��������� ��
����� $\{ x_0, ... x_n\}$. {\�� ������}
$\Delta$ ����������� $k$ ���������� 
�������� �������� $k+1$ ����� �� $\{ x_0, ... x_n\}$. 
\��

\������ 
����� (���������� �����) $n$-������� ���������
$\Delta(x_0, ... x_n)$ �������� ����. �����������,
��� ������������ ��������� $\Delta(x_0, ... x_n)$
�� ������. ������� ����� � ���� �����? ���������� ���.
������� ������ $k$-������ ������ ���� �
$\Delta(x_0, ... x_n)$?
\��

\�����������
������ ��������� (��������������) ����
������ ����������� � $\R^n$, �����������
���������� �����������. �������������� ���������� 
������� ����� ������.
\��

\������
��������, ��� ������ ��������� ������������ ����� ����������� � ����
��������� ����������� ����������, �������������� �� ������
(����� ��������� ���������� {\�� �������������} �������������).
\��

\������[*]
��������, ��� ������ ��������, ��������� ������������ ����� ����������� � ����
��������� ����������� ����������.
\��

\�����������
��� ������������� $A$, $B$ ���������� {\�� ������������������},
���� �� ����� ���������������, �������� �� ��������� 
$A_1, ... A_k$, $B_1, ... B_k$ �����
�������, ��� $A_i$ ����������� $B_i$ ��� ������ $i$.
\��

\������
��������, ��� ������������������� ��� �����������
���������������.
\��

\������
��������, ��� ����� ����������� $A$ ��������������
��������������� � ����� �� ���������� � �������
� �������� ������ $A$.
\��

\������
��������, ��� ����� �������������� ��������������
�������������� � ����� �� ���������� � �� �������.
\��

\������[*]
��������, ��� �������������
�� ��������� $a$ � $b$ � �������������
�� ��������� $c$ � $d$ ���������������,
��� ������� $ab=cd$. 
\��


\�����������
����� ${\goth U}\subset 2^S$ ������ �����������.
����������� $\mu:\; {\goth U}\arrow \R$ ����������
{\�� ������� ���������� �����}, ��� ��
{\�� ���������� �������� ���������}, ��� {\�� ���������},
���� ��� �����
$A, B\in {\goth U}$, 
\[ 
   \mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B).
\]
�������� ���������� {\�� ���������������},
���� ��� ��������� ��������������� ��������.
��������, �������� �������� �������� ������������
��� $\R$.
\��

\������
����� $S$ ��� ������� $[0,1]$, � ${\goth U}$
��������� �������� ����������� ��������, ����������
� ��������������.
��������, ��� ${\goth U}$ ��� ������.
��������, ��� �����������
$\coprod_i A_i \arrow \sum |A_i|$
(��������� ����������� �������� �����������
� ����� �� ����)
��� ��������������� �������-���������� ����.
\��

\������[!]
����� ${\goth U} = 2^S$, ��� $S$ ��� ��������
���������. ��������� �� $L$ �������� ������������
���� �������-���������� ��� �� ${\goth U}$. 
������� ����������� $L$ ��� $\R$.
\��

\������
����� ��� $\Q$-�������� ����������� $\R\stackrel \xi\arrow
\R$,\footnote{����� $\R$ ��������������� ��� ���������
������������ ��� $\Q$.}
��������� $S$ � ������ ����������� ${\goth U}\subset 2^S$.
��������, ��� ��� ����� �������-���������� ���� $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$,
���������� $\mu\circ\xi$ ��� ����� �������-���������� ����.
\��

\������
����� ������ ����� $x\in S$,  
������ ����������� ${\goth U}\subset 2^S$,
� ������� $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$, �����������
�������� $\mu(U)=1$ ��� $x\in U$ � $\mu(U)=0$ ���
$x\notin U$. ��������, ��� ��� �������-���������� ����.
\��


\���������
��������, ��� ��������� � $\R^n$ 
(��� ����� ������ ����������� ������������)
���������� ����� �������������� �������.
��� ������������ ���������� {\�� �������������},
���� ���� � ������  ����� ��������� 
���������.
\���


\�����������
����� ${\goth U}\subset 2^{\R^n}$
��������� ������ ��������. 
�������-���������� ���� 
$\mu:\; {\goth U}\arrow\R$
���������� {\�� ������������}, ����
$\mu(A)=\mu(B)$ ��� ������������
����� $A, B\subset \R^n$.
\��

\������
����� ${\goth U}\subset 2^{\R^n}$
������ ��������������, � ����� 
$\mu:\; {\goth U}\arrow\R$
������������ ��������������� 
�������-���������� ����.
\����
\���� {\�� ����������� ��������} -- 
��� ��������, ������� ������
�����-�� ��������������. ��������,
��� �������� $\Delta(x_0, x_1, ... x_n)$ 
����������� ����� � ������ �����, ����� 
������� $x_1-x_0, x_2-x_0, ... x_n -x_0$
������� ��������.

\���� 
��������, ��� $\mu(I)=0$, ��� $I$ 
��� ����������� ��������.

\����
��������, ��� $\mu(A) = \mu(\bar A)$,
��� $A$ ������������, � $\bar A$ - ���
���������.

\����
��������, ��� $\mu(A)= \mu(B)$,
���� $A$ � $B$ ���������������.
\��
\��



\subsection{�����}

\�����������
����� $V$ $n$-������ ��������� ������������ ��� $\R$.
���������� ���������� ��������� ������������
$\Lambda^n(V)$ ����-������������ ���� �������
�������. ��� ������������ ����� ����������
{\�� ������������� ���� ������}.

����������� ��������� ������ $\nu \in \Lambda^n(V)$.

���� � $V$ ����� �������� $\Delta = \Delta(x_0, .... x_n)$,
{\�� �������} $\Delta$ ���������� ��������������� ������������ 
�����
\[ \int_\Delta \nu:= |\nu (x_1-x_0, x_2 - x_0, ... x_n-x_0)|.
\]
\��

\������ \label{_integral_basic_Zadacha_}
� ���� ��������, ��������, ��� 
\����
\���� $\int_\Delta \nu > 0$ ����� � ������ �����, �����
$\Delta$ ����������.

\���� [!]
\[ 
\int_{\Delta(x_0, .... x_n)} \nu= 
 \int_{\Delta(x_{\sigma_0}, .... x_{\sigma_n})}\nu,
\]
��� $(x_0, .... x_n) \arrow (x_{\sigma_0}, .... x_{\sigma_n})$
������������ ������������.

\����[!] ���� ��������� $\Delta$ � $\Delta'$ �����������, ��
$\int_\Delta \nu=\int_{\Delta'} \nu$.

\����[*] ���� �������� $\Delta$ ����������� � ���� �����������
���������������� ���������� $\Delta = \Delta_1 \coprod \Delta_2$,
�� 
\[ 
\int_\Delta \nu= \int_{\Delta_1} \nu+ \int_{\Delta_2}\nu.
\]
\��
\��



\������[*]
����� �������� $\Delta$ ����������� � ���� �����������
���������������� ���������� $\Delta =\coprod_i \Delta_i$.
��������, ��� 
\[ 
\int_\Delta \nu= \sum \int_{\Delta_i} \nu.
\]
\��


\������[*]
��������, ��� �������� ������, �������������
� ������ \ref{_integral_basic_Zadacha_}, ������ �����������
$\Delta \arrow \int_\Delta \nu$ ������������ �������, � ���������
�� ����������� �������������� ���������.
\��

\������[*]
����� ����� ������������ $C\subset V$, � 
$C= \coprod A_i = \coprod B_i$ ��� ���������
�� ���������������� ���������. ��������, ���
\[
\sum \int_{A_i}\nu = \sum \int_{B_i}\nu.
\]
��� ����� ���������� {\�� ������� ������������� $C$},
� ������������ $\int_C\nu$.
��������, ��� ��� ������� ������
���������������, ������������ �������-���������� ����
�� ������ ��������������.
\��

\������[*]
����� $V$ ��������� ��������� ������������,
� $C$ ��������� ��� (��� � ������ 1).\footnote{��� ����� ����������,
��������, ��������� �������. ������� ��������������
����� $\{ \xi_1, ... \xi_n\}$ � $V$. ����������
��������� �������� ���������� ���� $\sum \alpha_i \xi_i$,
��� $0\leq\alpha_i\leq 1$. ��� ��������� ����������
{\�� ��������� ���} � $V$.}
��������, ��� ���������� ������������
������������ ��������������� �������-���������� ���� $\mu$ �� 
������ ��������������, �����, ���
$\mu(C)=1$. �������� �� ����.
\��

\�����������
��� �������-���������� ���� ���������� {\�� �������� ����� �������������}.
\��

\subsection{������ �������� ���������}

\�����������
��� ������������� ���������� {\�� �������������},
���� ��� ����� ���������� �����. ����� ������,
��� ����������������� ������������� �����������.
\��

{\�� ������ �������� ���������:}
��������� ��� ������������ �������������,
������� �� ���������������.


\hfill

\������[*]
����� $A$ � $B$ ������������ ������������� �� ���������
(������������� �� ��������� ����������
{\�� ��������������}, ��� {\�� ��������}).
��������, ��� ��� ���������������.
\��

\��������� ��� ����������� ����������
{\�� ������� �����-�������}.
\���

\���������
�����������, ��� ����������
�������-���������� ���� $\mu:\; {\goth U} \arrow \R$
�� ������ ��������������, �����, ���
$\mu(A)\neq \mu(B)$, � $A$ � $B$ �����������.
����� $A$ � $B$ �� ���������������.
\���

\������[!]
�������� �� ������� �����-������� ��������� �����������.
����� ������ �������-���������� ���� $\mu:\; {\goth U} \arrow \R$,
��� ${\goth U}$ - ������ ���������������
(�������������� � $\R^2$).
��������, ��� $\mu=\Vol \circ \xi$,
��� $\Vol:\; {\goth U} \arrow \R$
�������-���������� ����, �������� �������, � 
$\xi:\; \R\arrow \R$ - $\Q$-��������
����������� �������� �����.
\��

\������
��������� ������������� (�� $\R$-��������)
$\Q$-�������� ����������� $\xi:\; \R\arrow \R$.
����������� ������� ������.
\��

\������[!]
��������, ��� ����� ����������� ����������� ���������
��������� ������������� ����� � �������������.
\��

\�����������
����� ����� $\Q$-�������� ����������� $\phi:\; \R \arrow \R$,
����������� $\pi$ � 0, � $C$ - ������������ � $\R^3$,
� ������� ����� $d_1, ... d_n$ � ����������� ��
����������� ������, ����������� (� ��������)
��� $\alpha_1, ... \alpha_n$. ��������� ����
$D_\phi(C)$ ������������ ���
\[
D_\phi(C):= \sum_{i=1}^n d_i \phi(\alpha_i).
\]
\��

\������[!]
��������, ��� ������������ $\Q$-��������
�������������, ����������� $\pi$ � 0, 
�� �����, � ��� �������� ������ ����������.
\��

\�����������
��� ��������� ���������� ����������
���������� ������������ ��� $\R$:
\[ \lambda(\phi)(c)= \lambda\phi(c).
\]
��� ���������� {\�� ������������� 
����������� ����}.
\��

\������
��������, ��� ������������ ����������� ����
��������������� ��� $\R$. ��������, ���
��� ������ ����� $\lambda\in R$
���������� ����������� $\phi:\; \R \arrow \R$,
�����, ��� $\phi(\lambda)\neq 0$, 
��� �������, ��� $\lambda/\pi$ �������������.
�������������� �������� ������.
\��


\������[!]
����� �������� $\Delta$ ����������� � ���� �����������
���������� $\Delta =\bigcup_i \Delta_i$, �������������� �� ������.
��������, ��� 
\[
D_\phi(\Delta) = \sum_i D_\phi(\Delta_i)
\]
\��

\������[*]
��������, ���
��������� ���� $D_\phi$ 
�������� �������-���������� ����� �� ������������ 
�������������� � $\R^3$.
\��

\������
���������� ���������� ��������. ��������, ���
��� ���������� ���� ����� $\operatorname{arccos}(1/3)$.
\��

\������
����� $\cos(\pi \alpha) = 1/n$, � $\alpha$ �����������.
�������� �� �����, ��� 
\[ e^{\1\pi k\alpha} = \left(\frac 1 n + \1 \frac{\sqrt{n^2-1}} n\right)^k =1.
\]
��� ������-�� ������ $k>0$.
\��

\������[*]
����� $n=3$, � $\left(\frac 1 n + \1 \frac{\sqrt{n^2-1}} n\right)^k =1$.
��������, ��� $k=0$. 
\��

\�������� �������� �������������
���������� �� ��������� � ������ $\Z[\sqrt {-2}]$
� �������������� ��.
\��

\������[*] ��������� �� $\alpha$ ����������
���� ����������� ���������.
��������, ��� $\frac{\alpha}{\pi}$ �������������.
\��

\������[*]
������� ����� $D_\phi$ � ������������ ����������� ����
��� $D_\phi(\alpha)\neq 0$, ��� $\alpha$ - ����������
���� ����������� ���������.
\��

\������[*]
� �������� ���������� ������, ��������, ���
$D_\phi(\Delta)\neq 0$, ��� $\Delta$ ���� ����������
��������.
\��

\������
��������, ��� $D_\phi(C)=0$ ��� ������ 
���������������.
\��

\������[*] 
��������, ��� ������������
���������� �������� � ����������
��� �� ���������������.
\��

\������[**]
(������� ����-�������)
����� ��� ������������� $A$ � $B$ � $\R^3$ �����������,
� $D_\phi(A)=D_\phi(B)$ ��� ������ ���������� ����.
��������, ��� $A$ � $B$ ���������������.
\��

\end{document}

