Теория меры 1: Объемы многогранников  Миша Вербицкий

Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим k задач с двумя звездочками разрешается не сдавать 2k задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

Теория меры 1: Объемы многогранников

1.1. Кольца подмножеств и конечно-аддитивные меры

Определение 1.1. Пусть задано множество S. Множество всех подмножеств S обозначается 2^{S}. Пусть 𝔘 ⊂ 2^{S} - некоторый набор подмножеств S. 𝔘 называется кольцом, если для любых A, B ∈ 𝔘, объединение A ∪ B, пересечение A ∩ B и дополнение A\B принадлежит 𝔘. В этом случае 𝔘 называется подкольцом в 2^{S}.

Задача 1.1. Пусть S конечно. Опишите все подкольца в 2^{S} и найдите их число для |S| = 5 (множества из 5 элементов).

Определение 1.2. Характеристической функцией подмножества U ⊂ S называется функция

χ_{U} : S ⟶ {0, 1} | χ_{U}(x) = 1, если x ∈ U  χ_{U}(x) = 0, если x ∉ U.

Задача 1.2. Пусть 𝔘 ⊂ 2^{S} - набор подмножеств, а R_{𝔘} = {χ_{U}} множество всех характеристических функций для всех U ∈ 𝔘. Рассмотрим {0, 1} как поле из двух элементов. Это задает естественную аддитивную и мультипликативную структуру на множестве всех отображений из S в {0, 1} (поточечное сложение и умножение). Докажите, что R_{𝔘} образует кольцо (возможно, без единицы) тoгда и только тогда, когда 𝔘 это кольцо.

Определение 1.3. Пусть 𝔙 ⊂ 2^{S} - произвольный набор подмножеств. Минимальное подкольцо в 2^{S}, содержащее 𝔙, называется подкольцом, порожденным 𝔙.

Задача 1.3 (**). Пусть в 𝔙 ⊂ 2^{S} N элементов. Какая максимальная мощность может быть у подкольца, порожденного 𝔙?

Определение 1.4. Пусть задано подмножество S ⊂ ℝ^{n}. Выпуклой оболочкой S называется наименьшее выпуклое подмножество, содержащее S.

Задача 1.4.

Докажите, что выпуклая оболочка S это множество всех векторов вида ∑ α_{i}s_{i}, где {s_{i}} это конечный набор точек из S, а α_{i} вещественные числа, 0 ⩽ α_{i} ⩽ 1, ∑ α_{i} = 1.

[*] Докажите, что любой вектор в выпуклой оболочке S ⊂ ℝ^{n}, представляется в виде ∑_{i=1}^{n+1} α_{i}s_{i}, где s_{1}, ...s_{n+1} - точки S, а 0 ⩽ α_{i} ⩽ 1, ∑ α_{i} = 1.

Определение 1.5. Симплексом в ℝ^{n} называется выпуклая оболочка множества {x_{0}, ...x_{n}} из n + 1 точек в ℝ^{n}. Такой симплекс называется натянутым на точки x_{0}, ...x_{n}.

Задача 1.5. Перечислите все классы гомеоморфизма симплексов в ℝ, ℝ^{2}, ℝ^{3}.

Определение 1.6. Пусть Δ(x_{0}, ...x_{n}) - симплекс, натянутый на точки {x_{0}, ...x_{n}}. Гранью Δ размерности k называется выпуклая оболочка k + 1 точек из {x_{0}, ...x_{n}}.

Задача 1.6. Ребра (одномерные грани) n-мерного симплекса Δ(x_{0}, ...x_{n}) образуют граф. Предположим, что внутренность симплекса Δ(x_{0}, ...x_{n}) не пустая. Сколько ребер в этом графе? Изобразите его. Сколько разных k-мерных граней есть у Δ(x_{0}, ...x_{n})?

Определение 1.7. Кольцо полиэдров (многогранников) есть кольцо подмножеств в ℝ^{n}, порожденное замкнутыми симплексами. Многогранником называется элемент этого кольца.

Задача 1.7. Докажите, что каждый замкнутый многогранник можно представить в виде конечного объединения симплексов, пересекающихся по граням (такое разбиение называется триангуляцией многогранника).

Задача 1.8 (*). Докажите, что каждый выпуклый, замкнутый многогранник можно представить в виде конечного пересечения симплексов.

Определение 1.8. Два многогранника A, B называются равносоставленными, если их можно триангулировать, разрезав на симплексы A_{1}, ...A_{k}, B_{1}, ...B_{k} таким образом, что A_{i} конгруэнтен B_{i} для любого i.

Задача 1.9. Докажите, что равносоставленность это соотношение эквивалентности.

Задача 1.10. Докажите, что любой треугольник A равносоставлен паралеллограмму с таким же основанием и высотой в половину высоты A.

Задача 1.11. Докажите, что любой паралеллограмм равносоставлен прямоугольнику с таким же основанием и же высотой.

Задача 1.12 (*). Докажите, что прямоугольник со сторонами a и b и прямоугольник со сторонами c и d равносоставлены, при условии ab = cd.

Определение 1.9. Пусть 𝔘 ⊂ 2^{S} кольцо подмножеств. Отображение μ : 𝔘 ⟶ ℝ называется конечно аддитивной мерой, или же аддитивной функцией множества, или валюацией, если для любых A, B ∈ 𝔘,

μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) − μ(A ∩ B).

Валюация называется неотрицательной, если она принимает неотрицательные значения. Очевидно, валюации образуют линейное пространство над ℝ.

Задача 1.13. Пусть S это отрезок [0, 1], а 𝔘 множество конечных объединений отрезков, интервалов и полуинтервалов. Докажите, что 𝔘 это кольцо. Докажите, что отображение ∐_{i} A_{i} ⟶ ∑ |A_{i}| (несвязное объединение отрезков переводится в сумму их длин) это неотрицательная конечноаддитивная мера.

Задача 1.14 (!). Пусть 𝔘 = 2^{S}, где S это конечное множество. Обозначим за L линейное пространство всех конечно-аддитивных мер на 𝔘. Найдите размерность L над ℝ.

Задача 1.15. Пусть дан ℚ-линейный гомоморфизм ℝ ⟶^{ξ} ℝ,^{1} множество S и кольцо подмножеств 𝔘 ⊂ 2^{S}. Докажите, что для любой конечно-аддитивной меры μ : 𝔘 ⟶ ℝ, композиция μ ∘ ξ это опять конечно-аддитивная мера.

Задача 1.16. Пусть задана точка x ∈ S, кольцо подмножеств 𝔘 ⊂ 2^{S}, и функция μ : 𝔘 ⟶ ℝ, принимающая значения μ(U) = 1 для x ∈ U и μ(U) = 0 для x ∉ U. Докажите, что это конечноаддитивная мера.

Замечание. Напомним, что движением в ℝ^{n} (или любом другом метрическом пространстве) называется любая изометрическая биекция. Два подмножества называются конгруэнтными, если одно в другое можно перевести движением.

Определение 1.10. Пусть 𝔘 ⊂ 2^{ℝ^{n}} некоторое кольцо множеств. Конечно-аддитивная мера μ : 𝔘 ⟶ ℝ называется инвариантной, если μ(A) = μ(B) для конгруэнтных фигур A, B ⊂ ℝ^{n}.

Задача 1.17. Пусть 𝔘 ⊂ 2^{ℝ^{n}} кольцо многогранников, и пусть μ : 𝔘 ⟶ ℝ инвариантная неотрицательная конечно-аддитивная мера.

а. Вырожденный симплекс – это симплекс, лежащий внутри какой-то гиперплоскости. Докажите, что симплекс Δ(x_{0}, x_{1}, ...x_{n}) вырожденный тогда и только тогда, когда вектора x_{1} − x_{0}, x_{2} − x_{0}, ...x_{n} − x_{0} линейно зависимы.

б. Докажите, что μ(I) = 0, где I это вырожденный симплекс.

в. Докажите, что μ(A) = μ(Ā), где A многогранник, а Ā - его замыкание.

г. Докажите, что μ(A) = μ(B), если A и B равносоставлены.

1.2. Объем

Определение 1.11. Пусть V n-мерное векторное пространство над ℝ. Рассмотрим одномерное векторное пространство Λ^{n}(V) анти-симметричных форм старшей степени. Это пространство также называется пространством форм объема.

Зафиксируем ненулевой вектор ν ∈ Λ^{n}(V).

Если в V задан симплекс Δ = Δ(x_{0}, ....x_{n}), объемом Δ называется неотрицательное вещественное число

∫_{Δ} ν := |ν(x_{1} − x_{0}, x_{2} − x_{0}, ...x_{n} − x_{0})|.

Задача 1.18. В этих условиях, докажите, что

а. ∫_{Δ} ν > 0 тогда и только тогда, когда Δ невырожден.

б. [!]

∫_{Δ(x_{0},....x_{n})} ν = ∫_{Δ(x_{σ_{0}},....x_{σn})} ν,

где (x_{0}, ....x_{n}) ⟶ (x_{σ_{0}}, ....x_{σ_{n}}) произвольная перестановка. в. [!] Если симплексы Δ и Δ′ конгруэнтны, то ∫_{Δ} ν = ∫_{Δ′} ν.

1Здесь ℝ рассматривается как векторное пространство над ℚ.

г. [*] Если симплекс Δ представлен в виде объединения непересекающихся симплексов Δ = Δ_{1} ∐ Δ_{2}, то

∫_{Δ} ν = ∫_{Δ_{1}} ν + ∫_{Δ_{2}} ν.

Задача 1.19 (*). Пусть симплекс Δ представлен в виде объединения непересекающихся симплексов Δ = ∐_{i} Δ_{i}. Докажите, что

∫_{Δ} ν = ∑ ∫_{Δ_{i}} ν.

Задача 1.20 (*). Докажите, что свойства объема, перечисленные в задаче 1.18, задают отображение Δ ⟶ ∫_{Δ} ν единственным образом, с точностью до постоянного положительного множителя.

Задача 1.21 (*). Пусть задан многогранник C ⊂ V, и C = ∐ A_{i} = ∐ B_{i} его разбиение на непересекающиеся симплексы. Докажите, что

∑ ∫_{A_{i}} ν = ∑ ∫_{B_{i}} ν.

Это число называется объемом многогранника C, и обозначается ∫_{C} ν. Докажите, что эта функция задает неотрицательную, инвариантную конечно-аддитивную меру на кольце многогранников.

Задача 1.22 (*). Пусть V евклидово векторное пространство, а C единичный куб (куб с ребром 1).^{2} Докажите, что существует единственная инвариантная неотрицательная конечно-аддитивная мера μ на кольце многогранников, такая, что μ(C) = 1. Запишите ее явно.

Определение 1.12. Эта конечно-аддитивная мера называется евклидов объем многогранника.

1.3. Третья проблема Гильберта

Определение 1.13. Два многогранника называются равновеликими, если они имеют одинаковый объем. Легко видеть, что равносоставленные многогранники равновелики.

Третья проблема Гильберта: Постройте два равновеликих многогранника, которые не равносоставлены.

Задача 1.23 (*). Пусть A и B равновеликие многогранники на плоскости (многогранники на плоскости называются многоугольники, или полигоны). Докажите, что они равносоставлены.

2Куб можно определить, например, следующим образом. Выберем ортонормальный базис {ξ_{1}, ...ξ_{n}} в V. Рассмотрим множество линейных комбинаций вида ∑ α_{i}ξ_{i}, где 0 ⩽ α_{i} ⩽ 1. Это множество называется единичный куб в V.

Замечание. Это утверждение называется теорема Бойяи-Гервина.

Замечание. Предположим, что существует конечно-аддитивная мера μ : 𝔘 ⟶ ℝ на кольце многогранников, такая, что μ(A) ≠ μ(B), а A и B равновелики. Тогда A и B не равносоставлены.

Задача 1.24 (!). Выведите из теоремы Бойяи-Гервина следующее утверждение. Пусть задана конечно-аддитивная мера μ : 𝔘 ⟶ ℝ, где 𝔘 - кольцо многоугольников (многогранников в ℝ^{2}). Докажите, что μ = Vol ∘ξ, где Vol : 𝔘 ⟶ ℝ конечно-аддитивная мера, заданная объемом, а ξ : ℝ ⟶ ℝ - ℚ-линейный гомоморфизм абелевых групп.

Задача 1.25. Постройте нетривиальный (не ℝ-линейный) ℚ-линейный гомоморфизм ξ : ℝ ⟶ ℝ. Используйте аксиому выбора.

Задача 1.26 (!). Докажите, что такой гомоморфизм обязательно переводит некоторые положительные числа в отрицательные.

Определение 1.14. Пусть задан ℚ-линейный гомоморфизм ϕ : ℝ ⟶ ℝ, переводящий π в 0, а C - многогранник в ℝ^{3}, с ребрами длины d_{1}, ...d_{n} и прилежащими им двугранными углами, выраженными (в радианах) как α_{1}, ...α_{n}. Инвариант Дена D_{ϕ}(C) записывается как

D_{ϕ}(C) := ∑_{i=1}^{n} d_{i}ϕ(α_{i}).

Задача 1.27 (!). Докажите, что пространство ℚ-линейных гомоморфизмов, переводящих π в 0, не пусто, и его мощность больше континуума.

Определение 1.15. Это множество наделяется структурой векторного пространства над ℝ:

λ(ϕ)(c) = λϕ(c).

Оно называется пространством инвариантов Дена.

Задача 1.28. Докажите, что пространство инвариантов Дена бесконечномерно над ℝ. Докажите, что для любого числа λ ∈ R существует гомоморфизм ϕ : ℝ ⟶ ℝ, такой, что ϕ(λ) ≠ 0, при условии, что λ/π иррационально. Воспользуйтесь аксиомой выбора.

Задача 1.29 (!). Пусть симплекс Δ представлен в виде объединения симплексов Δ = ⋃_{i} Δ_{i}, пересекающихся по граням. Докажите, что

D_{ϕ}(Δ) = ∑_{i} D_{ϕ}(Δ_{i})

Задача 1.30 (*). Докажите, что инвариант Дена D_{ϕ} является конечно-аддитивной мерой на пространстве многогранников в ℝ^{3}.

Задача 1.31. Рассмотрим правильный тетраэдр. Докажите, что его двугранные углы равны arccos(1/3).

Задача 1.32. Пусть cos(πα) = 1/n, а α рационально. Выведите из этого, что

e^{\sqrt{−1}πkα} = (\frac{1}{n} + \sqrt{−1}\frac{\sqrt{n^{2} − 1}}{n})^{k} = 1.

для какого-то целого k > 0.

Задача 1.33 (*). Пусть n = 3, а (\frac{1}{n} + \sqrt{−1}\frac{\sqrt{n^{2}−1}}{n})^{k} = 1. Докажите, что k = 0.

Указание. Докажите однозначность разложения на множители в кольце ℤ[\sqrt{−2}] и воспользуйтесь ею.

Задача 1.34 (*). Обозначим за α двугранный угол правильного тетраэдра. Докажите, что \frac{α}{π} иррационально.

Задача 1.35 (*). Найдите такое D_{ϕ} в пространстве инвариантов Дена что D_{ϕ}(α) ≠ 0, где α - двугранный угол правильного тетраэдра.

Задача 1.36 (*). В условиях предыдущей задачи, докажите, что D_{ϕ}(Δ) ≠ 0, где Δ есть правильный тетраэдр.

Задача 1.37. Докажите, что D_{ϕ}(C) = 0 для любого параллелепипеда.

Задача 1.38 (*). Докажите, что равновеликие правильный тетраэдр и правильный куб не равносоставлены.

Задача 1.39 (**). (теорема Дена-Сидлера) Пусть два многогранника A и B в ℝ^{3} равновелики, и D_{ϕ}(A) = D_{ϕ}(B) для любого инварианта Дена. Докажите, что A и B равносоставлены.