\documentclass[11pt]{book}

\input{lectures.sty}


% version 1.0, 10.11.2010
% version 1.1, 28.01.2012, ����������� �� ���� ��������


\renewcommand{\version}{version 1.1,\ \   28.01.2012}

\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny ���, ����� 2010, ������ ����, ������ 7} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  ���� ���������}}

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{6}
\lhead{{\scriptsize  ������ ����, ������ 7}}
\chapter{������ ����, ������ 7: ������� ����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{����������� ���� � �����}

\subsection{���� � �����}

� ���������� �������, �� ������� �����-����������
���� �� ����������� ����������, ������ �� ��� ��������
���������� ���� �� ������ ��������������, �������
��������� �����-������� ����������� ��������.

���� ������ �������������� ��������, ����� 
������� ������� �������� � ���������� �����
���. ����� �� ���������, ���������� ���� ��������
������� ``������'' �� ���������� �������������
��������������� ������������.

�������� �������� ``������'' �������� ���������������
�����������, ���������� ���� ����� ������������ �����
� �������� ��������� ��� ���������� �����������.
��������� �������, �� ���������� ``������� ����''
��� �� ``���� �����������'' �� ����������� ����������, 
� ����� ���������� �� ������������. 

��� �������� ������������� ���������, � 
��� ���������� ���� ������ �� ��������� ������������
��� �� ������������ �� ����� ��������. ���� ��
�������� � ����� ������ �������� �����������
��������������, ��� ������������� ���� �����������
�������� ����������. ��������, ��� ����� ���
���������� ���� ����� �� �������� ����������
�������������� ������.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������� ����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� �������������� ������������ �� ����������
���� ������ �������������� �������������.

\�����������
����� $M$ -- ����������� �������������� ������������.
{\�� ������� ����������� ��������} ���� �����-�������,
����������� ����������� �������������� $M$. 
\��

\�����������
\label{_obem_Opredelenie_}
����� ${\bf C}$ -- ��������� ���������� ����������� $M$.
{\�� �����} ���� ������� $\lambda:\; {\bf C}\arrow [0,\infty]$
������� ������������� ��������� ��������.
\begin{description}
\item[������������:] $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ ��� $A\subset B$.
\item[������������:] $\lambda(A \coprod B) =
\lambda(A)+\lambda(B)$, ��� $\coprod$ ���������� �����������
�����������.
\item[����������������:] $\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$.
\end{description}
\��

\������
����� $\lambda(C)$ ���� 
����� ����� ����� � ���������� ������������
$C\subset \R^n$. ��� �����.

\�����

\����������
����� $M$ -- ����������� ������������,
� $N_\epsilon(C)$ ���� ���������� �����
$\epsilon$-�����, �������� ����� ������� $C$.
���������� �����-������ ��������� ������������ �������
$\phi(\epsilon):\; ]0, \infty[ \arrow ]0, \infty[$,
��� $\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \phi(\epsilon)=0$.
��������, ��� 
\[
\lambda(C):=\lim_{\epsilon\rightarrow
0}\sup\frac{N_\epsilon(C)}{\phi(\epsilon)}
\]
������ �����.

\���������
� ��������� ����������, ������������ ������
�������� ������������ $\lambda$. ��� ����� ���������
�� ����������� 
\[ 
  N_\epsilon(A)+ N_\epsilon(B) = N_\epsilon\left(A \coprod B\right),
\]
������� �����, ����� $d(A,B) > 2\epsilon$
(�� ������ \ref{_Haus_meas_Section_}).
\���

\�����������
����� �� �������������� ������������ $M$ ����� ����� $\lambda$.
��������� {\�� ���������� ����} ��������� ��������� $U$
��� $\lambda_*(U):=\sup_{K\subset U}\lambda(K)$, ��� �������� �������
�� ���� ��������� � $U$. ��������� {\�� ������� ����}
��������� $A$ ��� $\lambda^*(A):= \inf_{U\supset
A}\lambda_*(U)$, ��� ������� ������� �� ���� 
�������� ������������
$A$.
\��

\�����
����� $\lambda$ ���� ���� ������ �� $\R^n$. �����
$\lambda^*(K)=\lambda(K)$ ��� ������ �������� $X\subset \R^n$. 

\�����

{\�� ��������������:} 
����������� $\lambda^*(K)\geq \lambda(K)$ ��������.
�� �������������� ����� ��������,
��� $K = \bigcap_{U\supset K} U$ (���������
���).  ����� $\lambda^*(K)= \lim_i \lambda(K_i)$, ���
$U_1\supset U_2 \supset U_3 \supset ...$ --
������������������  ������������ $K$, ���������������
$\bigcap_i U_i=K$, �
$K_i \subset U_i$ -- ���������� ������������������ ����������
�����������. ������� $K_n$ �� $K\cup \bigcap_{i=1}^n K_i$,
����� �������, ��� ������ $K_i$ �������� $K$
� $\bigcap K_i = K$. ����� $\lim_i\lambda(K_i)=
\lambda(K)$ � ���� $\sigma$-������������ ���� ������.
\��������

\�����

�������� ��������� ���� ������ ���� �������
����������� � ����������� ������� ����
(``Caratheodory extension theorem''). � ������ �� 
� ����� ����� �������.

\�����

\�������\label{_Karate_Theorem_}
(������� ����������� � ����������� ����)
����� $M$ -- ����������� �������������� ������������, �
$\lambda$ -- �����, ��������������� ��������
����������� \ref{_obem_Opredelenie_}.
����� ������� ���� $\lambda^*$ ����� ����������
�� ������-���������� ���� �� �����������
����������.

\�����

��������� ��� ����� �����, ����� �������� ����������������
������� ����.

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����\label{_compa_nepere_okre_Lemma_}
����� $M$ -- ����������� �������������� ������������,
� $A, B$ -- ���������������� ���������� ���������.
����� � $A$ � $B$ ���� ���������������� �������� �����������.

\�����

{\�� ��������������. ��� 1:} 
���������� ��������, ��� � $A$ ���� �����������,
��������� ������� �� ������������ � $B$ (�������� ���).

\�����

{\�� ��� 2:} ����� $x\in B$. ��� ������� $z\in A$, ������� �����������
$U_z\ni z$, ��������� ������� $\overline {U_z}$ �� �������� $x$ (�����
����������� ���������� � ���� �������������� --- ��������).
��������� $A$ ���������, � $U_z$ --- �������� ��������
$A$, �� ���� ����� ������� �������� �����������
$U_1, ..., U_n$. ��������� ��������� $\bigcup U_i$
�� �������� $x$, ������ ��� 
\begin{equation}\label{_zamy_kone_union_Equation_}
\overline{\bigcup_{i=1}^n  U_i} = \bigcup_{i=1}^n \overline {U_i}.
\end{equation}
�� ��������, ��� � $A$ ���� �����������,
��������� ������� �� �������� $x\in B$.

\�����

{\�� ��� 3:} �� ����� �������, ��� � ������
$x\in B$ ���� ����������� $V_x$, ������� �� ���������� 
�������� ����������� $U_x\supset A$. ��������� $V_x$
��������� $B$; � ���� ������������, ����� �������
�������� ����������� $\{V_i\}$. ��������� ���������������
�������� ����������� $A$ �� $U_i$. ����� $\bigcup V_i$
���� �������� ����������� $B$, ������� �� ����������
$\bigcap U_i$. \endproof

\hfill 

\�����
����� $C\subset U \cup V$ ���������� ������������ �����������
���� �������� ��������. ����� ���������� ���������� ������������
$C_U \subset U$ � $C_V\subset V$, �����, ��� $C_U\cup C_V=C$.

\�����

{\�� ��������������:}
$C\backslash U$ � $C \backslash V$ -- 
��������� ������������ ��������, ������, ��� ���������.
��������� ��� �� ������������, � ��� ���� ����������������
�����������, $V_1$ � $U_1$. ��������� $C_U:= C\backslash V_1$
� $C_V:= C\backslash U_1$ ����� ��������� � ����� � $U$ � $V$,
��������������, �� �����������
���� ��� $C$, ��� ����� �� ����������� �����������.
\begin{center}
\epsfig{file=semiadditi.eps,width=0.45\linewidth}\\
{\em\scriptsize ��������� �������� $C$ � ����������� ���������
$C_U$ � $C_V$.}
\end{center}
\��������

\�����

\�����������
������� ���� �������������:
$\lambda^*(A\cup B) \leq \lambda^*(A) + \lambda^*(B)$.

\�����

{\�� ��������������. ��� 1:} 
���� $A=U,B=V$ -- �������� ���������, ����� $\lambda^*(U\cup V)= 
\sup_{C\subset U\cup V}\lambda(C)\leq \lambda(C_U) + \lambda(C_V)$,
��� $C_U$, $C_V$ -- ���������� ���������, ����������� � ����������
�����. � ������ �������, $\lambda(C_U)\leq \lambda^*(U)$ � 
$\lambda(C_V)\leq \lambda^*(V)$ �� ����������� ������� ����.

\�����

{\�� ��� 2:} ��� ������������ $A, B$, � ������ $\epsilon >0$, �����
$\lambda^*(A) + \lambda^*(B) \geq \lambda^*(U) + \lambda^*(V)-\epsilon$
��� ���������� ������������ $U\supset A$ � $V\supset B$.
���������������� ���������� �����, ��������
\[
\lambda^*(A) + \lambda^*(B) \geq \lambda^*(U) + \lambda^*(V)-\epsilon
\geq \lambda^*(U\cup V) - \epsilon \geq \lambda^*(A\cup B)- \epsilon.
\]
��������� $\epsilon$ ������������, ��� ���� 
$\lambda^*(A\cup B) \leq \lambda^*(A) + \lambda^*(B)$.
\��������

\�����


\�����������
������� ���� $\sigma$-�������������:
$\lambda^*(\bigcup A_i) \leq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i)$.

\�����

{\�� ��������������. ��� 1:} ��������� �����������
$\bigcup A_i$ �� $A$.
����� ��� $A_i$ �������.
����� $\lambda^*(A)= \sup_{K\subset A}\lambda(K)$,
��� �������� ������� �� ���� ���������, ������������ � $A$.
������ ����� ������� ����� �������� �����������,
$K\subset \bigcup_{i=1}^N A_i$, ��� ���� 
$\lambda(K)\leq \lambda^*(K) \leq \sum_{i=1}^N \lambda^*(A_i)$ � ����
����������������. ��������:
\[
\lambda^*(A)= \sup_{K\subset A}\lambda(K) \leq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i).
\]

{\�� ��� 2:} ��� ������������ $A_i$, � ������ $\epsilon >0$, �����
$\sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i)\geq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(U_i)-\epsilon$
��� ���������� ������������ $U_i \supset A_i$ (��������� ���).
���������������� ���������� �����, ��������
\[
\sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i)
\geq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(U_i)-\epsilon \geq \lambda^*\left(\bigcup U_i\right)-\epsilon
\geq \lambda^*(A)-\epsilon.
\]
\��������


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������� �� �����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
����� $M$ -- �������������� ������������, $\lambda$ -- �����, �
$\lambda^*$ -- ��������������� ��� ������� ����. ������������
$A\subset M$ ���������� {\�� ��������� �� �����������}, ����
��� ������ $X\subset M$, �����
$\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) =\lambda^*(X)$.
\��

\���������
������� $\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) =\lambda^*(X)$
���������� ��������� ��� �������� $X$. �������������, �����
$U\supset X$ -- �������, � ��� ���� ����� $U$, �����
$\lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U \cap A) =\lambda^*(U)$.
����� 
\[
\lambda^*(X) = \inf_{U\supset X} \lambda^*(U) = 
\inf_{U\supset X}\big[\lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U \cap A)\big] 
\geq \lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A).
\]
��� ���� $\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) \leq \lambda^*(X)$.
��������������� ����������� ������� �� ����������������.
\���

\����������� 
����� ���������� ��������� �������� �� �����������. 

\�����

{\�� ��������������:} ����� $C$ -- ����������, � $U$ �������.
� ���� ����������� ���������, ���������� ���������, ��� 
$\lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U \cap C) =\lambda^*(U)$.
������� ���������� ������������ $D\subset U\backslash C$,
� ����� $V_D\supset C$ -- �������� 
�����������, ��������� ������� �� ���������� $D$
(��� ���������� � ���� ����� \ref{_compa_nepere_okre_Lemma_}).
\begin{center}
\epsfig{file=cara-measu-co.eps,width=0.45\linewidth}\\
{\em\scriptsize ���������� $\lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U
\cap C)$, ��� $C$ -- �������, $U$ -- �������� ���������.}
\end{center}
����� 
\[ 
  \lambda^*(U\cap C) \leq \lambda^*(U \cap V_D)= 
\sup_{E\subset U \cap V_D} \lambda(E),
\]
��� $E$ -- �������, ������� � $U_D:=U \cap V_D$.
��� ����
\begin{equation}\label{_compact_measu_cara_Equation_}
\lambda^*(U\cap C) + \lambda^*(U\backslash C)
\leq \sup_{D\subset U\backslash C}\lambda(D) +
\sup_{E\subset U_D} \lambda(E).
\end{equation}
��������� $E$ � $D$ -- ���������������� ��������,
������� � $U$, �����
\[ \lambda(D) + \lambda(E) = \lambda(E\cup D) \leq \lambda^*(U).
\]
������ � \eqref{_compact_measu_cara_Equation_},
��� ���� $\lambda^*(U\cap C) + \lambda^*(U\backslash
C)\leq \lambda^*(U)$. �������� �����������
������� �� ����������������. \endproof

\hfill

\�����������
�����������, �����������, ���������� ��������,
��������� �� �����������, ����� �������� �� �����������.

\�����

{\�� ��������������:} ��� ���������� $A_1:=M\backslash A$ ���
�������� ��������, ������ ��� $X\backslash A= X \cap A_1$,
� $X\cap A= X\backslash A_1$. ����� ��������, ��� 
$A \cap B$ ��������, �������, ���
\[
X = \bigg( (X\backslash A)\backslash B\bigg) 
\coprod  \bigg((X\backslash A)\cap B\bigg)
\coprod  \bigg((X\cap A)\backslash B\bigg) \coprod  \bigg((X\cap A)\cap B\bigg)
\]
� � ���� ����������� $A$ � $B$ ��� ����
\begin{equation}\label{_X_razbito_via_A,B_Equation_}
\lambda^*(X) = \lambda^*((X\backslash A)\backslash B) + 
\lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B) +\lambda^*( (X\cap A)\cap B).
\end{equation}
��������� $X \backslash (A \cap B) = \bigg( (X\backslash A)\backslash B\bigg) 
\coprod  \bigg((X\backslash A)\cap B\bigg)
\coprod  \bigg((X\cap A)\backslash B\bigg)$,
�� ���������������� �������
\[
\lambda^*(X \backslash (A \cap B)) \leq  
\lambda^*((X\backslash A)\backslash B)+
\lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B).
\]
��������� ��� � \eqref{_X_razbito_via_A,B_Equation_},
��������
\begin{align*}
\lambda^*(X) & =  \lambda^*(X\backslash (A \cap B)) +\lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B) +\lambda^*( (X\cap A)\cap B)\\ & \geq
\lambda^*(X\backslash (A \cap B)) +\lambda^*(X \cap (A \cap B)).
\end{align*}
��������������� ����������� ������� �� ����������������
������ ����.
�������������� ��� $A\cup B$ ����������.
\endproof

\hfill

�� ��������, ��� ��������� �� ����������� ���������
�������� �������. �����������, ��� ����� �������� $\sigma$-�������.

\�����


\�����������
������� ����������� ��������,
��������� �� �����������, ����� �������� �� �����������.

\�����

{\�� ��������������:} ����� $\{A_i, i = 1, 2, 3, ...\}$ -- 
������� ����� ��������, ��������� �� �����������. �������
������ $A_i$ �� ���������� �� ���� ����������, �����
� ������ ������ �������, ��� ��� ������� �� ������������. 

���������� ����� ��������� $X$, �
����� $U$ -- ����������� $A\cap X$, ��� $A:= \bigcup A_i$
���������� ����� ������������ $U_i \supset A_i\cap X$, 
������������ � $U$. ��� ������ �������� $K\subset A\cap X$,
$K$ ���������� � �������� ����������� $U_i$, ��� ����
\[
  \lambda^*(A\cap X) \geq 
   \lim_N \lambda^*\left(\bigcup_{i=0}^N U_i\right)
  \geq \lim_N\lambda^*\left(\bigcup_{i=0}^N A_i\cap X\right) =
  \lim_N\sum_{i=1}^N \lambda^*(A_i\cap X)
\]
(��������� ��������� �������� �� ����������� $A_i$).
�� ����� ������� 
$\lambda^*(A\cap X)\geq \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X)$;
��������������� ����������� �������� �� $\sigma$-������������
������� ����. �� ��������, ��� ��� ������ �������� ������
������� ���������������� ��������, ��������� �� �����������,
����� ����� ���������
\begin{equation}\label{_sigma_additi_na_kara_Equation_}
\lambda^*\left(\left(\coprod A_i\right)\cap X\right)
= \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X).
\end{equation}
��� ���� 
\[ \lambda^*(A\cap X) = \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X)=
    \lambda^*(X) -
  \lim_N\lambda^*\left(X\backslash \left(\coprod_{i=1}^N A_i\right)\right) 
  \leq  \lambda^*(X) - \lambda^*(X\backslash A)
\]
(��������� ����������� ������� �� ������������ ������� ����). 
�������� $\lambda^*(A\cap X)+ \lambda^*(X\backslash A)\leq \lambda^*(X)$;
��������������� ����������� ������� �� ����������������, ���
���� $\lambda^*(A\cap X)+ \lambda^*(X\backslash A)= \lambda^*(X)$.
\��������

\�����

� ���� ���� ���������� �����������, ���������
�� ����������� ��������� �������� �����-�������.
��������� �������� ��������, ��� �����-������� ��������
�����-������� ����������� ��������. �������
������� ����������� � ����������� (������� \ref{_Karate_Theorem_})
���������� �������� �� ���������� �����������.

\�����

\�����������
���������� ������� ���� $\lambda^*$ ��� ������� �� 
�����-������� ��������, ��������� �� �����������.
����� $\lambda^*$ ��������� � $\sigma$-���������.

\�����

{\�� ��������������:} 
������������ $\lambda^*$ ������� ���������������
�� ����������� ����������� �� ����������� (��������� ���).
$\sigma$-������������ ���� ��������� \eqref{_sigma_additi_na_kara_Equation_}.
\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{���� ���������}
\label{_Haus_meas_Section_}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� $M$ --  ����������� ������������.
�������, ��� {\�� �������� ��� ������� $r$ � ������� � $x$}
���� ���������
\[
B_r(x):= \{ y \in M \ \ | \ \ d(x,y) < r\}.
\]
��� ������ ������������ $A\subset M$, ���������
����� $\mu_{d,\epsilon}(A)$ ��������
\[
\mu_{d,\epsilon}(A):= \inf_{U_i} \sum_i r(U_i)^d,
\]
��� ������� ������� �� ���� ��������� $A$ ������ 
$U_i$ ������� $< \epsilon$, � $r(U_i)$ -- ������ ����.

����� ������, ��� $\mu_{d, \epsilon}$  
��������� ������������ ��� ������� $\epsilon$,
������, ������ 
\[ \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \mu_{d, \epsilon}(A) \in [0, \infty]
\]
������ ���������.

\�����������
����� $A$ ���������.
{\�� $d$-������ ���� ��������� $A$} ���� 
\[ \mu_d(A):=\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \mu_{d, \epsilon}(A)\]
\��

\�����������
$\mu_d(A)$ ������������� �������� �� �����������
\ref{_obem_Opredelenie_}, �� ���� �������� �������.

\�����

{\�� ��������������:}
������������ � ���������������� �������� �� �����������,
� ������ ������������ ��������� � ��������.
����� $A, B \subset M$ -- ���������������� ��������.
������� ������ ����������� ������� $d:\; A\times B \arrow \R$
�� ������������ ���� ���������, ������� ���� ���������.
�������������, $d:\; A\times B \arrow \R$
��������� ��������, ������� ������������ $d(A,B)$;
��� ����� ���������� {\�� ����������� ����� $A$ � $B$}
��������� $A\cap B=\emptyset$, ���������� $d(A,B)$ ������������.
��� ������� $\epsilon < \frac 1 2 d(A,B)$,
������� $\epsilon$-��� �� ����� ���������� $A$
� $B$ (��������� ���). ������, 
\[ \mu_{d, \epsilon}(A\cup B) = \mu_{d, \epsilon}(A)
+ \mu_{d, \epsilon}(B).
\]
��� ���������� ������������ $\mu_d$.
\��������

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\���������
�� ������� �����������, � ������� $\mu_d(A)$ �������
������-���������� ���� �� ����������� ����������.
��� ���� ���� ���������� {\�� $d$-������ ����� ���������.}
\���

\���������
����� $d\leq d'$, a $\{U_i\}$ -- ����� ��������
$A$ ������ ������� $< \epsilon$, ������ �������������
$\mu_{d', \epsilon}(A) \geq \sum_i r(U_i)^{d'}-\delta$,
��� ��������� $\delta >0$.
�����
\[
  \mu_{d, \epsilon}(A) \geq \sum_i r(U_i)^{d} - \delta
  = \sum_i r(U_i)^{d'} r(U_i)^{d-d'} - \delta \geq 
 \sum_i r(U_i)^{d'} \epsilon^{d-d'}  - \delta\geq 
 \epsilon^{d-d'}\mu_{d', \epsilon}(A) - \delta
\]
������ ��� ��� $r(U_i)< \epsilon$, ��� ����
$r(U_i)^{d-d'} > \epsilon^{d-d'}$.
� ���� �������������� ������ $\delta$, 
�������� 
$\mu_{d, \epsilon}(A) \geq \epsilon^{d-d'}\mu_{d',
\epsilon}(A)$
��� ������ $d < d'$. 
\���

�������� � �������, �����aem ����� �����������
(���������).

\�����

\�����������
��� ������ $d < d'$, � ������ 
$\epsilon >0$, ����� $\mu_{d}(A) \geq \epsilon^{d-d'}\mu_{d'}(A)$
\endproof

\hfill

�������������, $\mu_d(A)$ ���� ��������������
������� $d$, ����������� �������� $\infty$ ����
0 �����, �����, ��������, ����� ����� (��������� ���).

\�����

\�����������
{\�� ����������� ���������} $\dim_h(A)$ ������������
�������� $\dim_h(A):= \inf\{ d\in [0,\infty]\ \ | \mu_d(A)=0\}$
\��

\���������
����������� ��������� ����� ������ �������, ��������
�� ��������� ����������� ����������. 
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{���������� �����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����������� ������� � ������� � 1873-� ����.
��� ���� �������� ����������� ���
�������� ��������������� ������ � ��������. ������ �����
�������� �������, �������� ����������� ��� ��������
������ � ������� � �������� �
��������.


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=caratheodory.eps,width=0.40\linewidth}\\
Constantin Carath\'eodory\\ (September 13, 1873 -- February 2, 1950)
\end{center}
\end{figure}



���������� ����������� ���������� ��
���������� ����� ��������� ������ 
� ����������, ������ �� ��������������.
��� ���������� ������� ��������� ����������� 
���� ��� ��������� ����������� ���
��������� �������, � �����������
������ �� ���������� ��������� � 
1878-� ����, �� ������� ������ �������� 
����� ����� ��� �����, ����������
� ���������� ��������� ������ ��������.

��� ����������� �����������, ���� ����������, ��� 
���������� �������� ������ � �����������.
�� ���������� � ��������� ����������� �����
� ������� ����� � ������ � �����. �����
�� ����������� ���, ��� ������ � ��������,
����������� ������������ ��������, ������
����� � ������� ����������; ������� �����.

���������� ����������� ����� � ������� 
����������� �  ��������. �� � ������������ ���� 
��������� ����������� ������, ��������������� � ������, 
� ������ ������� ������ ����� �� �������������� 
�������������� ���������.

�� ����� �������� ������� � ������, �����������
���������� � ������������ ����������� (1864-1936), 
���������� �������������� � ������������
������������ ���������� �����������.

�� ����� �����-��������
����� 1897-�� ����, ����������� ��������� ������,
��� ��������� ��� ����, ��������� ���������
�������������, � ��������� ���������. � ����������
����������� ������� ������ �������� ����������
������������ ������; �� ������ ��������� ���
� ������, ������ �������� ������, � �������
����� �� �������������. � 1900-� ���� �����������
�������� � ���������� �����������, ��� ������
������ ���������� � �������� ������, ��������������
������������ ����-������ (��� �� ����-������������)
� ������ ������ �� ������������ �������.

� ������ ������� ����������� ���������� � ���������,
��� �� ������� ����������� � ������������ ����������
��� ������������ �����������. ������� �����������������
����� � ������������� �����, ��������� � �������, ��
�������� � ���������, � 1913-� ����, � ���� �����������, 
����� �������������� ������� ������� ������.

� ������������ � ���������� ��� �����, ��������������
����������������� �����, ����������� ������� �� ����� 
����� ���������, ������� ����
������ ��� �� 12 ���.

� ������ ������� ����� ����������� ��� � 
�������� � �� ������, ������ ������ �� 
�������������� (������ ������� �� ������� 
�������). ����� ����� �� �������� � ������,
�� ������� ����������� ����������, ������� ����������
�������� ����� ������������ � ������ � ���������,
��� ������������ �����������. 

����������� ��� ���������� �������� �������� 
������������ � ������, �� ����� ���������� �� 
���������� �������. ������ ����� ����������
���� � ������� (�� ����������� ��������
��� ������ ��������),\footnote{�������� ������ �������,
10 ������� 1920.} ��������� ������ ���������,
��������� �����������, ��� ������ ����������, � 25 ������� ����
�� ��������� �����. ����� ����� ���� ���������
������, �� ������� ������ ���������� ���������
�������������� ���������. ��������� ���� �������
��������� �� ������� ����������� �����������,
���� �����, �������� �� ��� � �����������, ����������� � ������. 
� ������ ������ ������ ����-������������,
������� ������� �������� ���������, ����������
� ��� �������� � ����������, � ����������
����� � �������, � ������� ��������� ���
������ ����������. �������� ����������
��� � �� ���� ��������������, �� 
������� (��� ��� ��� ���������
������������ ���������), �� �������.

������� �������
������ �� ������ ������ ������ ����������
"��������� ����, ������� ���� 250,000 �������".
����������� ������� �������� ����-���������� ���� ������
������� ������ � ������ ���� �������������
�� �������� ���������� � ����� ����������. 
%� ����� ������ �� ������ ��������, 6 �������,
%�� ��������� � ������������� ������ (� 
%��������� �������� �������� -- �������� 
%������ ������, ����� ����������
%������ -- �� �� ������� ������ 
%�� �������).
����� �������, ����� ��������� ������, 
������ ����� � �������� ������ ����
������. �����������, ���������� ������������ ���������
������������, �����-�� ����� ��������� ����������� � 
������, � � 1924-� ���� ���������� � ������
�� �������, �������������� �� ����������
(������� ������, ����������� ����������������� $\pi$).
��� �� ���������������� �� ����� ������ � 1950-� ����.

����� ����������� � ������ ����������� ������
��� ������������ ���������� � 1928-� ����, 
����������� ����� ��������� ��������� ��������� �����.
�� ������� ����������� � ���������, �������
���������� � �������� ��������� ������������,
� ����������� ������ � ��������� ���������� 
���������.



\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=caratheodory-mfo.eps,width=0.41\linewidth}\\
Constantin Carath\'eodory (���������� ������� ������,
1932, ��������)
\end{center}
\end{figure}

����������� ������ ����� �������� ������ ��������
�� ������ ���� � �������������.
�� ��� ������, ��� �������� ������� ������ ���� 
� �������������� ����� ������, �� ������������
������� �������.  �����������
������� ��������������� ����������
�������������, ����������� ������������ 
�� ��� ���. ����� ����,
����������� ������ ���� ������� �����������
�������, ������ ������ � ���������� ���������
� ������ ���������� (�� ����� ��������
������� �����-�����������).
����� ����������� ���������
������� � �����������, � ����������� 
������ �� ����������� ����������� ���������.

����������� ������ ������� �������
�� ���������, ������� ����� ���������� �����������
�� ������ � ���������� ����� ������ ���������������.


\end{document}
