\documentclass[11pt]{book} \input{lectures.sty} % version 1.0, 10.11.2010 % version 1.1, 28.01.2012, исправления от Саши Ананьина \renewcommand{\version}{version 1.1,\ \ 28.01.2012} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, осень 2010, второй курс, лекция 7} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{6} \lhead{{\scriptsize Теория меры, лекция 7}} \chapter{Теория меры, лекция 7: Внешняя мера} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Борелевские меры и объем} \subsection{Мера и объем} В предыдущих лекциях, мы строили сигма-аддитивную меру на борелевских множествах, исходя из уже заданной аддитивной меры на кольце многогранников, которое порождает сигма-алгебру борелевских множеств. Есть немало геометрических ситуаций, когда никаких удобных подколец с аддитивной мерой нет. Чтобы ее построить, приходится явно задавать функцию ``объема'' на компактных подмножествах топологического пространства. Типичным примером ``объема'' является асимптотический коэффициент, выражающий рост числа рациональных точек в заданном множестве при увеличении знаменателя. Пользуясь объемом, мы определяем ``внешнюю меру'' она же ``мера Каратеодори'' на борелевских множествах, а затем доказываем ее аддитивность. Это довольно нетривиальная процедура, и при построении меры Лебега на векторном пространстве или на многообразии ее можно избежать. Если мы работаем с более общими локально компактными пространствами, без использования меры Каратеодори обойтись невозможно. Например, она нужна для построения меры Хаара на локально компактной топологической группе. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Внешняя мера} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Все топологические пространства на протяжении этой лекции предполагаются хаусдорфовыми. \определение Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство. {\бф Алгебра борелевских множеств} есть сигма-алгебра, порожденная компактными подмножествами $M$. \ео \определение \label{_obem_Opredelenie_} Пусть ${\bf C}$ -- множество компактных подмножеств $M$. {\бф Объем} есть функция $\lambda:\; {\bf C}\arrow [0,\infty]$ которая удовлетворяет следующим условиям. \begin{description} \item[Монотонность:] $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ для $A\subset B$. \item[Аддитивность:] $\lambda(A \coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$, где $\coprod$ обозначает дизъюнктное объединение. \item[Полуаддитивность:] $\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$. \end{description} \ео \пример Пусть $\lambda(C)$ есть число целых точек в компактном подмножестве $C\subset \R^n$. Это объем. \хфилл \упражнение Пусть $M$ -- метрическое пространство, а $N_\epsilon(C)$ есть наименьшее число $\epsilon$-шаров, которыми можно покрыть $C$. Рассмотрим какую-нибудь монотонно возрастающую функцию $\phi(\epsilon):\; ]0, \infty[ \arrow ]0, \infty[$, где $\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \phi(\epsilon)=0$. Докажите, что \[ \lambda(C):=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\sup\frac{N_\epsilon(C)}{\phi(\epsilon)} \] задает объем. \замечание В последнем упражнении, нетривиальна только проверка аддитивности $\lambda$. Она легко выводится из соотношения \[ N_\epsilon(A)+ N_\epsilon(B) = N_\epsilon\left(A \coprod B\right), \] которое верно, когда $d(A,B) > 2\epsilon$ (см секцию \ref{_Haus_meas_Section_}). \еза \определение Пусть на топологическом пространстве $M$ задан объем $\lambda$. Определим {\бф внутреннюю меру} открытого множества $U$ как $\lambda_*(U):=\sup_{K\subset U}\lambda(K)$, где супремум берется по всем компактам в $U$. Определим {\бф внешнюю меру} множества $A$ как $\lambda^*(A):= \inf_{U\supset A}\lambda_*(U)$, где инфимум берется по всем открытым окрестностям $A$. \ео \лемма Пусть $\lambda$ есть мера Лебега на $\R^n$. Тогда $\lambda^*(K)=\lambda(K)$ для любого компакта $X\subset \R^n$. \хфилл {\бф Доказательство:} Неравенство $\lambda^*(K)\geq \lambda(K)$ очевидно. Из хаусдорфовости легко получить, что $K = \bigcap_{U\supset K} U$ (проверьте это). Тогда $\lambda^*(K)= \lim_i \lambda(K_i)$, где $U_1\supset U_2 \supset U_3 \supset ...$ -- последовательность окрестностей $K$, удовлетворяющих $\bigcap_i U_i=K$, а $K_i \subset U_i$ -- подходящая последовательность компактных подмножеств. Заменив $K_n$ на $K\cup \bigcap_{i=1}^n K_i$, можно считать, что каждый $K_i$ содержит $K$ и $\bigcap K_i = K$. Тогда $\lim_i\lambda(K_i)= \lambda(K)$ в силу $\sigma$-аддитивности меры Лебега. \ендпрооф \хфилл Основной результат этой лекции есть теорема Каратеодори о продолжении внешней меры (``Caratheodory extension theorem''). Я докажу ее в конце этого раздела. \хфилл \теорема\label{_Karate_Theorem_} (теорема Каратеодори о продолжении меры) Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство, а $\lambda$ -- объем, удовлетворяющий условиям определения \ref{_obem_Opredelenie_}. Тогда внешнюю меру $\lambda^*$ можно продолжить до счетно-аддитивной меры на борелевских множествах. \хфилл Следующие две леммы нужны, чтобы доказать полуаддитивность внешней меры. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма\label{_compa_nepere_okre_Lemma_} Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство, а $A, B$ -- непересекающиеся компактные множества. Тогда у $A$ и $B$ есть непересекающиеся открытые окрестности. \хфилл {\бф Доказательство. Шаг 1:} Достаточно доказать, что у $A$ есть окрестность, замыкание которой не пересекается с $B$ (докажите это). \хфилл {\бф Шаг 2:} Пусть $x\in B$. Для каждого $z\in A$, выберем окрестность $U_z\ni z$, замыкание которой $\overline {U_z}$ не содержит $x$ (такая окрестность существует в силу хаусдорфовости --- докажите). Поскольку $A$ компактно, а $U_z$ --- открытое покрытие $A$, из него можно выбрать конечное подпокрытие $U_1, ..., U_n$. Замыкание множества $\bigcup U_i$ не содержит $x$, потому что \begin{equation}\label{_zamy_kone_union_Equation_} \overline{\bigcup_{i=1}^n U_i} = \bigcup_{i=1}^n \overline {U_i}. \end{equation} Мы получили, что у $A$ есть окрестность, замыкание которой не содержит $x\in B$. \хфилл {\бф Шаг 3:} Из этого следует, что у любого $x\in B$ есть окрестность $V_x$, которая не пересекает открытую окрестность $U_x\supset A$. Множества $V_x$ покрывают $B$; в силу компактности, можно выбрать конечное подпокрытие $\{V_i\}$. Обозначим соответствующие открытые окрестности $A$ за $U_i$. Тогда $\bigcup V_i$ есть открытая окрестность $B$, которая не пересекает $\bigcap U_i$. \endproof \hfill \лемма Пусть $C\subset U \cup V$ компактное подмножество объединения двух открытых множеств. Тогда существуют компактные подмножества $C_U \subset U$ и $C_V\subset V$, такие, что $C_U\cup C_V=C$. \хфилл {\бф Доказательство:} $C\backslash U$ и $C \backslash V$ -- замкнутые подмножества компакта, значит, они компактны. Поскольку они не пересекаются, у них есть непересекающиеся окрестности, $V_1$ и $U_1$. Множества $C_U:= C\backslash V_1$ и $C_V:= C\backslash U_1$ также компактны и лежат в $U$ и $V$, соответственно, их объединение дает все $C$, как видно из приведенной иллюстрации. \begin{center} \epsfig{file=semiadditi.eps,width=0.45\linewidth}\\ {\em\scriptsize Разбиение компакта $C$ в объединение компактов $C_U$ и $C_V$.} \end{center} \ендпрооф \хфилл \утверждение Внешняя мера полуаддитивна: $\lambda^*(A\cup B) \leq \lambda^*(A) + \lambda^*(B)$. \хфилл {\бф Доказательство. Шаг 1:} Если $A=U,B=V$ -- открытые множества, имеем $\lambda^*(U\cup V)= \sup_{C\subset U\cup V}\lambda(C)\leq \lambda(C_U) + \lambda(C_V)$, где $C_U$, $C_V$ -- компактные множества, построенные в предыдущей лемме. С другой стороны, $\lambda(C_U)\leq \lambda^*(U)$ и $\lambda(C_V)\leq \lambda^*(V)$ по определению внешней меры. \хфилл {\бф Шаг 2:} Для произвольных $A, B$, и любого $\epsilon >0$, имеем $\lambda^*(A) + \lambda^*(B) \geq \lambda^*(U) + \lambda^*(V)-\epsilon$ для подходящих окрестностей $U\supset A$ и $V\supset B$. Воспользовавшись предыдущим шагом, получаем \[ \lambda^*(A) + \lambda^*(B) \geq \lambda^*(U) + \lambda^*(V)-\epsilon \geq \lambda^*(U\cup V) - \epsilon \geq \lambda^*(A\cup B)- \epsilon. \] Поскольку $\epsilon$ произвольный, это дает $\lambda^*(A\cup B) \leq \lambda^*(A) + \lambda^*(B)$. \ендпрооф \хфилл \утверждение Внешняя мера $\sigma$-полуаддитивна: $\lambda^*(\bigcup A_i) \leq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i)$. \хфилл {\бф Доказательство. Шаг 1:} Обозначим объединение $\bigcup A_i$ за $A$. Пусть все $A_i$ открыты. Тогда $\lambda^*(A)= \sup_{K\subset A}\lambda(K)$, где супремум берется по всем компактам, содержащимся в $A$. Каждый такой компакт имеет конечное подпокрытие, $K\subset \bigcup_{i=1}^N A_i$, что дает $\lambda(K)\leq \lambda^*(K) \leq \sum_{i=1}^N \lambda^*(A_i)$ в силу полуаддитивности. Получаем: \[ \lambda^*(A)= \sup_{K\subset A}\lambda(K) \leq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i). \] {\бф Шаг 2:} Для произвольных $A_i$, и любого $\epsilon >0$, имеем $\sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i)\geq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(U_i)-\epsilon$ для подходящих окрестностей $U_i \supset A_i$ (проверьте это). Воспользовавшись предыдущим шагом, получаем \[ \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i) \geq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(U_i)-\epsilon \geq \lambda^*\left(\bigcup U_i\right)-\epsilon \geq \lambda^*(A)-\epsilon. \] \ендпрооф %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Измеримость по Каратеодори} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, $\lambda$ -- объем, а $\lambda^*$ -- соответствующая ему внешняя мера. Подмножество $A\subset M$ называется {\бф измеримым по Каратеодори}, если для любого $X\subset M$, имеем $\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) =\lambda^*(X)$. \ео \замечание Условие $\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) =\lambda^*(X)$ достаточно проверять для открытых $X$. Действительно, пусть $U\supset X$ -- открыто, и для всех таких $U$, имеем $\lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U \cap A) =\lambda^*(U)$. Тогда \[ \lambda^*(X) = \inf_{U\supset X} \lambda^*(U) = \inf_{U\supset X}\big[\lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U \cap A)\big] \geq \lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A). \] Это дает $\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) \leq \lambda^*(X)$. Противоположное неравенство следует из полуаддитивности. \еза \утверждение Любое компактное множество измеримо по Каратеодори. \хфилл {\бф Доказательство:} Пусть $C$ -- компактное, а $U$ открыто. В силу предыдущего замечания, достаточно проверить, что $\lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U \cap C) =\lambda^*(U)$. Возьмем компактное подмножество $D\subset U\backslash C$, и пусть $V_D\supset C$ -- открытая окрестность, замыкание которой не пересекает $D$ (она существует в силу Леммы \ref{_compa_nepere_okre_Lemma_}). \begin{center} \epsfig{file=cara-measu-co.eps,width=0.45\linewidth}\\ {\em\scriptsize Вычисление $\lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U \cap C)$, где $C$ -- компакт, $U$ -- открытое множество.} \end{center} Тогда \[ \lambda^*(U\cap C) \leq \lambda^*(U \cap V_D)= \sup_{E\subset U \cap V_D} \lambda(E), \] где $E$ -- компакт, лежащий в $U_D:=U \cap V_D$. Это дает \begin{equation}\label{_compact_measu_cara_Equation_} \lambda^*(U\cap C) + \lambda^*(U\backslash C) \leq \sup_{D\subset U\backslash C}\lambda(D) + \sup_{E\subset U_D} \lambda(E). \end{equation} Поскольку $E$ и $D$ -- непересекающиеся компакты, лежащие в $U$, имеем \[ \lambda(D) + \lambda(E) = \lambda(E\cup D) \leq \lambda^*(U). \] Вместе с \eqref{_compact_measu_cara_Equation_}, это дает $\lambda^*(U\cap C) + \lambda^*(U\backslash C)\leq \lambda^*(U)$. Обратное неравенство следует из полуаддитивности. \endproof \hfill \утверждение Пересечение, объединение, дополнение множеств, измеримых по Каратеодори, снова измеримо по Каратеодори. \хфилл {\бф Доказательство:} Для дополнения $A_1:=M\backslash A$ это особенно очевидно, потому что $X\backslash A= X \cap A_1$, а $X\cap A= X\backslash A_1$. Чтобы доказать, что $A \cap B$ измеримо, отметим, что \[ X = \bigg( (X\backslash A)\backslash B\bigg) \coprod \bigg((X\backslash A)\cap B\bigg) \coprod \bigg((X\cap A)\backslash B\bigg) \coprod \bigg((X\cap A)\cap B\bigg) \] и в силу измеримости $A$ и $B$ это дает \begin{equation}\label{_X_razbito_via_A,B_Equation_} \lambda^*(X) = \lambda^*((X\backslash A)\backslash B) + \lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B) +\lambda^*( (X\cap A)\cap B). \end{equation} Поскольку $X \backslash (A \cap B) = \bigg( (X\backslash A)\backslash B\bigg) \coprod \bigg((X\backslash A)\cap B\bigg) \coprod \bigg((X\cap A)\backslash B\bigg)$, из полуаддитивности следует \[ \lambda^*(X \backslash (A \cap B)) \leq \lambda^*((X\backslash A)\backslash B)+ \lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B). \] Сравнивая это с \eqref{_X_razbito_via_A,B_Equation_}, получаем \begin{align*} \lambda^*(X) & = \lambda^*(X\backslash (A \cap B)) +\lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B) +\lambda^*( (X\cap A)\cap B)\\ & \geq \lambda^*(X\backslash (A \cap B)) +\lambda^*(X \cap (A \cap B)). \end{align*} Противоположное неравенство следует из полуаддитивности внешей меры. Доказательство для $A\cup B$ аналогично. \endproof \hfill Мы получили, что измеримые по Каратеодори множества образуют алгебру. Оказывается, они также образуют $\sigma$-алгебру. \хфилл \утверждение Счетное объединение множеств, измеримых по Каратеодори, снова измеримо по Каратеодори. \хфилл {\бф Доказательство:} Пусть $\{A_i, i = 1, 2, 3, ...\}$ -- счетный набор множеств, измеримых по Каратеодори. Заменив каждый $A_i$ на дополнение ко всем предыдущим, можно с самого начала считать, что они попарно не пересекаются. Рассмотрим любое множество $X$, и пусть $U$ -- окрестность $A\cap X$, где $A:= \bigcup A_i$ Рассмотрим набор окрестностей $U_i \supset A_i\cap X$, содержащихся в $U$. Для любого компакта $K\subset A\cap X$, $K$ содержится в конечном объединении $U_i$, что дает \[ \lambda^*(A\cap X) \geq \lim_N \lambda^*\left(\bigcup_{i=0}^N U_i\right) \geq \lim_N\lambda^*\left(\bigcup_{i=0}^N A_i\cap X\right) = \lim_N\sum_{i=1}^N \lambda^*(A_i\cap X) \] (последнее равенство вытекает из измеримости $A_i$). Из этого следует $\lambda^*(A\cap X)\geq \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X)$; противоположное неравенство вытекает из $\sigma$-аддитивности внешней меры. Мы получили, что для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств, измеримых по Каратеодори, имеет место равенство \begin{equation}\label{_sigma_additi_na_kara_Equation_} \lambda^*\left(\left(\coprod A_i\right)\cap X\right) = \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X). \end{equation} Это дает \[ \lambda^*(A\cap X) = \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X)= \lambda^*(X) - \lim_N\lambda^*\left(X\backslash \left(\coprod_{i=1}^N A_i\right)\right) \leq \lambda^*(X) - \lambda^*(X\backslash A) \] (последнее неравенство следует из монотонности внешней меры). Получаем $\lambda^*(A\cap X)+ \lambda^*(X\backslash A)\leq \lambda^*(X)$; противоположное неравенство следует из полуаддитивности, что дает $\lambda^*(A\cap X)+ \lambda^*(X\backslash A)= \lambda^*(X)$. \ендпрооф \хфилл В силу двух предыдущих утверждений, измеримые по Каратеодори множества образуют сигма-алгебру. Поскольку компакты измеримы, эта сигма-алгебра содержит сигма-алгебру борелевских множеств. Поэтому теорема Каратеодори о продолжении (теорема \ref{_Karate_Theorem_}) немедленно вытекает из следующего утверждения. \хфилл \утверждение Рассмотрим внешнюю меру $\lambda^*$ как функцию на сигма-алгебре множеств, измеримых по Каратеодори. Тогда $\lambda^*$ аддитивна и $\sigma$-аддитивна. \хфилл {\бф Доказательство:} Аддитивность $\lambda^*$ следует непосредственно из определения измеримости по Каратеодори (проверьте это). $\sigma$-аддитивность есть следствие \eqref{_sigma_additi_na_kara_Equation_}. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Мера Хаусдорфа} \label{_Haus_meas_Section_} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $M$ -- метрическое пространство. Напомню, что {\бф открытый шар радиуса $r$ с центром в $x$} есть множество \[ B_r(x):= \{ y \in M \ \ | \ \ d(x,y) < r\}. \] Для любого подмножества $A\subset M$, определим число $\mu_{d,\epsilon}(A)$ формулой \[ \mu_{d,\epsilon}(A):= \inf_{U_i} \sum_i r(U_i)^d, \] где инфимум берется по всем покрытиям $A$ шарами $U_i$ радиуса $< \epsilon$, а $r(U_i)$ -- радиус шара. Легко видеть, что $\mu_{d, \epsilon}$ монотонно невозрастает как функция $\epsilon$, значит, предел \[ \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \mu_{d, \epsilon}(A) \in [0, \infty] \] хорошо определен. \определение Пусть $A$ компактно. {\бф $d$-мерная мера Хаусдорфа $A$} есть \[ \mu_d(A):=\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \mu_{d, \epsilon}(A)\] \ео \утверждение $\mu_d(A)$ удовлетворяет условиям из определения \ref{_obem_Opredelenie_}, то есть является объемом. \хфилл {\бф Доказательство:} Монотонность и полуаддитивность очевидны из определения, и только аддитивность нуждается в проверке. Пусть $A, B \subset M$ -- непересекающиеся компакты. Метрика задает непрерывную функцию $d:\; A\times B \arrow \R$ на произведении двух компактов, которое тоже компактно. Следовательно, $d:\; A\times B \arrow \R$ достигает минимума, который обозначается $d(A,B)$; это число называется {\бф расстоянием между $A$ и $B$} Поскольку $A\cap B=\emptyset$, расстояние $d(A,B)$ положительно. Для каждого $\epsilon < \frac 1 2 d(A,B)$, никакой $\epsilon$-шар не может пересекать $A$ и $B$ (проверьте это). Значит, \[ \mu_{d, \epsilon}(A\cup B) = \mu_{d, \epsilon}(A) + \mu_{d, \epsilon}(B). \] Это доказывает аддитивность $\mu_d$. \ендпрооф \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание По теореме Каратеодори, с объемом $\mu_d(A)$ связана счетно-аддитивная мера на борелевских множествах. Эта мера тоже называется {\бф $d$-мерной мерой Хаусдорфа.} \еза \замечание Пусть $d\leq d'$, a $\{U_i\}$ -- такое покрытие $A$ шарами радиуса $< \epsilon$, которе удовлетворяет $\mu_{d', \epsilon}(A) \geq \sum_i r(U_i)^{d'}-\delta$, для заданного $\delta >0$. Тогда \[ \mu_{d, \epsilon}(A) \geq \sum_i r(U_i)^{d} - \delta = \sum_i r(U_i)^{d'} r(U_i)^{d-d'} - \delta \geq \sum_i r(U_i)^{d'} \epsilon^{d-d'} - \delta\geq \epsilon^{d-d'}\mu_{d', \epsilon}(A) - \delta \] потому что все $r(U_i)< \epsilon$, что дает $r(U_i)^{d-d'} > \epsilon^{d-d'}$. В силу произвольности выбора $\delta$, получаем $\mu_{d, \epsilon}(A) \geq \epsilon^{d-d'}\mu_{d', \epsilon}(A)$ для любого $d < d'$. \еза Переходя к пределу, получaem такое утверждение (проверьте). \хфилл \утверждение Для любого $d < d'$, и любого $\epsilon >0$, имеем $\mu_{d}(A) \geq \epsilon^{d-d'}\mu_{d'}(A)$ \endproof \hfill Следовательно, $\mu_d(A)$ есть невозрастающая функция $d$, принимающая значения $\infty$ либо 0 всюду, кроме, возможно, одной точки (проверьте это). \хфилл \определение {\бф Размерность Хаусдорфа} $\dim_h(A)$ определяется формулой $\dim_h(A):= \inf\{ d\in [0,\infty]\ \ | \mu_d(A)=0\}$ \ео \замечание Размерность Хаусдорфа часто бывает дробная, особенно на различных фрактальных множествах. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Константин Каратеодори} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Каратеодори родился в Берлине в 1873-м году. Его отец Степанос Каратеодори был турецким дипломатическим атташе в Германии. Вскоре после рождения ребенка, Степанос Каратеодори был назначен послом в Бельгии и переехал в Брюссель. \begin{figure}[ht] \begin{center} \epsfig{file=caratheodory.eps,width=0.40\linewidth}\\ Constantin Carath\'eodory\\ (September 13, 1873 -- February 2, 1950) \end{center} \end{figure} Константин Каратеодори происходил из знаменитой семьи османских врачей и дипломатов, греков по национальности. Его двоюродный дедушка Александр Каратеодори Паша был министром иностранных дел Османской Империи, и представлял турков на Берлинском Конгрессе в 1878-м году, на котором Турция получила назад почти все земли, потерянные в результате неудачных боевых действий. Дед Константина Каратеодори, тоже Константин, был знаменитым турецким врачом и гинекологом. Он преподавал в имперской медицинской школе и написал книгу о борьбе с чумой. Также он прославился тем, что удалил у пациента, страдавшего мочекаменной болезнью, камень весом в полтора килограмма; пациент выжил. Константин Каратеодори вырос и получил образование в Брюсселе. Он в совершенстве знал несколько европейских языков, древнегреческий и латынь, и дважды получал первое место на всебельгийской математической олимпиаде. Во время нередких визитов в Грецию, Каратеодори подружился с Элефтериосом Венизелосом (1864-1936), знаменитым революционером и архитектором современного греческого государства. Во время греко-турецкой войны 1897-го года, Каратеодори поддержал греков, что поставило его отца, чиновника турецкого правительства, в неудобное положение. В результате Каратеодори получил работу инженера британской колониальной службы; он провел несколько лет в Египте, изучая пирамиду Хеопса, и написал книгу по египтоведению. В 1900-м году Каратеодори поступил в берлинский университет, где слушал лекции Фробениуса и Германна Шварца, прославленного неравенством Коши-Шварца (оно же Коши-Буняковского) и леммой Шварца из комплексного анализа. В скором времени Каратеодори перебрался в Геттинген, где он защитил диссертацию о вариационном исчислении под руководством Минковского. Проведя непродолжительное время в университетах Бонна, Ганновера и Силезии, он вернулся в Геттинген, в 1913-м году, и стал профессором, заняв освободившуюся позицию Феликса Клейна. В соответствии с традициями его семьи, практиковавшей близкородственные браки, Каратеодори женился на своей тетке Ефросинье, которая была младше его на 12 лет. В первую мировую войну Каратеодори жил в Германии и не воевал, будучи греком по национальности (Греция воевала на стороне Антанты). После войны он вернулся в Грецию, по просьбе Элефтериоса Венизелоса, который планировал основать новые университеты в Смирне и Салониках, под руководством Каратеодори. Каратеодори был официально назначен ректором университета в Смирне, но планы Венизелоса не увенчались успехом. Вскоре после подписания мира с турками (на чрезвычайно выгодных для Греции условиях),\footnote{Севрский мирный договор, 10 августа 1920.} греческий король Александр, сторонник либерализма, был укушен обезьянами, и 25 октября умер от заражения крови. После этого были объявлены выборы, на которых партия Венизелоса потерпела сокрушительное поражение. Венизелос стал жертвой покушения со стороны противников либерализма, едва выжил, удалился от дел и эмигрировал, поселившись в Париже. К власти пришла партия анти-венизелистов, которые уволили половину генералов, заподозрив в них симпатии к Венизелосу, и продолжили войну с Турцией, в надежде захватить еще больше территории. Севрское соглашение так и не было ратифицировано, ни Турцией (где как раз случилась кемалистская революция), ни Грецией. Уинстон Черчиль сказал по поводу смерти короля Александра "обезьяний укус, который убил 250,000 человек". Результатом военной кампании анти-везелистов стал полный разгром Греции и потеря всех приобретенных по условиям соглашения в Севре территорий. %В конце концов их просто повесили, 6 человек, %по обвинению в предательстве родины (и %собрались повесить седьмого -- датского %принца Андрея, брата греческого %короля -- но он вовремя сбежал %во Францию). Среди прочего, турки захватили Смирну, сожгли город и выселили оттуда всех греков. Каратеодори, героически возглавивший эвакуацию университета, какое-то время оставался профессором в Афинах, а в 1924-м году перебрался в Мюнхен на кафедру, освободившуюся от Линдеманна (ученика Клейна, доказавшего трансцендентность $\pi$). Там он профессорствовал до самой смерти в 1950-м году. После возвращения к власти либеральной партии под руководством Венизелоса в 1928-м году, Каратеодори много занимался развитием греческой науки. Он основал университет в Салониках, активно участвовал в реформах афинского университета, и опубликовал работу о геометрии греческого Парфенона. \begin{figure}[ht] \begin{center} \epsfig{file=caratheodory-mfo.eps,width=0.41\linewidth}\\ Constantin Carath\'eodory (фотография Конрада Якобса, 1932, Эрланген) \end{center} \end{figure} Каратеодори больше всего знаменит своими работами по теории меры и термодинамике. Он был первым, кто придумал строить теорию меры с алгебраической точки зрения, на произвольной булевой алгебре. Каратеодори изобрел аксиоматическое построение термодинамики, повсеместно используемое до сих пор. Кроме того, Каратеодори первым стал изучать субримановы метрики, весьма важные в контактной геометрии и теории управления (их также называют метрики Карно-Каратеодори). Также Каратеодори занимался оптикой и астрономией, и опубликовал работы об оптимальной конструкции телескопа. Каратеодори оказал большое влияние на Эйнштейна, который много благодарил Каратеодори за помощь в разработке Общей Теории Относительности. \end{document}