\documentclass[11pt]{book} \input{lectures.sty} % version 1.0, 20.10.2010 % version 1.1, 05.11.2010, поправил доказательство теоремы Фубини % version 1.2, 20.01.2012, поправки от Саши Ананьина \renewcommand{\version}{version 1.2,\ \ 20.01.2012} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, осень 2010, второй курс, лекция 6} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{5} \lhead{{\scriptsize Теория меры, лекция 6}} \chapter{Теория меры, лекция 6: Теорема Фубини} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $f$ -- неотрицательная, функция на $\R^n$, а $Z$ -- сегмент в $\R^{n+1}$, ограниченный $x_{n+1}=0$ и ее графиком, который представлен как отображение из оси плоскости $x_{n+1}=0$ в прямую $x_{n+1}$. Теорема Фубини утверждает, среди прочего, что мера $\mu(Z)$ участка под графиком $f$ равна ее интегралу, если $f$ интегрируема. Это утверждение интуитивно очевидно, и часто успользуется в качестве определения интеграла. Доказательство этого утверждения легко следует из единственности интеграла: достаточно проверить свойства 1-4 из предыдущей лекции, и убедиться, что сегмент под графиком измеримой функции измерим, что следует из приближения измеримой функции ступенчатыми. Что занятно - из этого утверждения и полноты алгебры измеримых множеств следует полнота пространства $L^1(\R^n)$. Самая общая форма теоремы Фубини есть утверждение о проекции измеримых множеств, и она гораздо менее тривиальна. Она говорит, в частности, что для любого измеримого подмножества $Z\subset \R^n \times \R^m$ почти все слои проекции на $\R^m$ измеримы, чти задает функцию на $\R^m$, определенную почти всюду, и равную объему слоя проекции. По теореме Фубини, интеграл от этой функции равен объему $Z$. Чтобы доказать такую теорему, мы изучаем множество всех мер на данной сигма-алгебре, и выясняем, какие из мер имеют вид $f\mu$, где $f$ есть неотрицательная функция, интегрируемая относительно $\mu$. Ответ на этот вопрос дает теорема Радона-Никодима (см. раздел \ref{_Radona_Niko_Section_}). Интересно, что в доказательстве этой теоремы приходится использовать заряды, то есть $\sigma$-аддитивные функции на $\sigma$-алгебре, принимающие положительные и отрицательные значения. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Разложение Хана} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Заряд и разложение Хана} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Зарядом} (signed measure) называется счетно-аддитивная функция на $\sigma$-\-ал\-геб\-ре, принимающая значения в $]-\infty, \infty]$ или $[-\infty, \infty[$. \ео \определение Пусть $\sigma$ -- заряд на сигма-алгебре $\goth A$ подмножеств $M$, а $Z\in \goth A$ -- какое-то подмножество. Обозначим за $\sigma \restrict Z$ {\бф ограничение заряда на $Z$}, то есть $\sigma$-аддитивную функцию, которая делает из $X\in \goth A$ число $\sigma(X\cap Z)$. \ео \определение Заряд $\sigma$ называется {\бф положительным}, если $\sigma(X)\geq 0$ для любого $X$, и {\бф отрицательным}, если $-\sigma$ положительный. {\бф Разложение Хана} для заряда $\sigma$ есть представление $M$ в виде дизьюнктной суммы $M=A \coprod B$, где $\sigma \restrict A$ положительный, а $\sigma\restrict B$ отрицательный. Заряд называется {\бф ограниченным}. если существует константа $C$ такая, что $\sigma(X)\leq C$ для любого $X$. \ео \теорема Пусть $\goth A$ -- сигма-алгебра подмножеств $M$, а $\sigma$ -- ограниченный заряд на $\goth A$.\footnote{Ограниченность заряда на самом деле не нужна. В качестве упражнения, постройте разложение Хана, не пользуясь ограниченностью $\sigma$.} Тогда для $\sigma$ существует разложение Хана. \хфилл {\бф Доказательство.} Пусть $C:= \sup_{X\subset M} \sigma(X)$. \хфилл {\бф Шаг 1:} Если $\sigma(Z) \geq C- \epsilon$, то для любого $V\subset M \backslash Z$, имеем $\sigma(V) \leq \epsilon$. Действительно, в противном случае мы бы имели $\sigma (V \coprod Z) = \sigma(V) + \sigma(Z) > C-\epsilon +\epsilon$. Аналогично, для любого $V\subset Z$, получаем $\sigma(V) \geq -\epsilon$. \хфилл {\бф Шаг 2:} Пусть $\sigma(Z_1), \sigma(Z_2) \geq C- \epsilon$. Поскольку $Z_1 \backslash Z_2$ лежит в $M \backslash Z_2$, в силу предыдущего шага имеем $-\epsilon \leq \sigma(Z_1 \backslash Z_2) \leq \epsilon$. Применяя тот же аргумент к $\sigma(Z_2 \backslash Z_1)$ и складывая, получаем $-2\epsilon \leq \sigma(Z_1 \triangle Z_2)\leq 2\epsilon$. Для каждого подмножества $X \subset Z_1 \triangle Z_2$, верно то же самое: $-2\epsilon \leq \sigma(X)\leq 2\epsilon$. \хфилл {\бф Шаг 3:} Если $|\sigma(X)| < \epsilon$ для каждого $X\subset Z$, мы будем писать $|\sigma|(Z)< \epsilon$. Утверждение шага 2 в этих обозначениях записывается $|\sigma|(Z_1 \triangle Z_2) \leq 2\epsilon$. Отметим, что $|\sigma(X) - \sigma(Y)| < 2\epsilon$, если $|\sigma|(X\triangle Y) < \epsilon$. Действительно, \[ \sigma(X) - \sigma(Y) = \sigma(X\backslash Y) - \sigma(Y\backslash X), \] но $|\sigma(Y\backslash X)| < \epsilon$ и $|\sigma(X\backslash Y)|< \epsilon$, потому что $|\sigma|(X\triangle Y) < \epsilon$. \хфилл {\бф Шаг 4:} Пусть $\{Z_i\}$ -- последовательность множеств из ${\goth A}$, $Y_n=\bigcap_{i\geq n} Z_i$, и для каждого $i$, верно $|\sigma|(Z_i\triangle Z_{i+1}) < \epsilon_i$. Тогда для любого $n$, имеем $|\sigma|(Y_n \triangle Z_n) < \sum_{i=n}^\infty \epsilon_i$. Это следует из того, что \[ Z_n\triangle Y_n\subset \bigcup_{i\geq n}Z_i\triangle Z_{i+1}, \] (проверьте это), а значит, любой $X\subset Y_n \triangle Z_n$ получен дизъюнктным объединением подмножеств $X_i \subset Z_i\triangle Z_{i+1}$, для каждого из которых верно $-\epsilon_i \leq \sigma(X_i)\leq \epsilon_i$. То же самое верно и для последовательности $Y_n'=\bigcup_{i\geq n} Z_i$ (проверьте). \hfill {\бф Шаг 5:} Выберем последовательность $\{Z_i\}\subset {\goth A}$ таким образом, что $\sigma(Z_i) > C- \frac 1 {2^i}$. Из шага 2, получаем $|\sigma|(Z_i\triangle Z_{i+1}) <\frac 1 {2^{i-1}}$. Применяя шаг 4, получаем, что $|\sigma|(Z_n\triangle Y_n) < \frac 1 {2^{i-2}}$. для любого $X \subset Z_n\triangle Y_n$. В силу шага 3, монотонная последовательность $Y_1 \subset Y_2 \subset Y_3 \subset ...$ удовлетворяет $|\sigma(Y_i) - \sigma(Z_i)| < \frac 1 {2^{i-3}}.$ Снова применяя шаг 3, получим $\sigma(Y_i) \geq C - \frac 1 {2^{i-4}}$. \хфилл {\бф Шаг 6:} Применяя шаг 2, получим $|\sigma|(Y_i \triangle Y_{i+1}) < \frac 1 {2^{i-5}}$. \хфилл {\бф Шаг 7:} Пусть $Y=\bigcap_i Y_i$. Применяя аргумент из шага 4, и пользуясь утверждением шага 6, получаем \[ |\sigma| (Y\triangle Y_n) \leq \sum_{i=n}^\infty \frac 1 {2^{i-6}} \leq\frac 1 {2^{n-7}}. \] Опять применив шаг 3, получим $\sigma(Y) = \lim \sigma(Y_i) = C$. \хфилл {\бф Шаг 8:} Положим $A:=Y$. Для каждого подмножества $Z\subset A$, $\sigma(Z) \geq 0$, потому что иначе мы бы имели $\sigma(A \backslash Z) > \sigma(A)=C$. Аналогично, для каждого $Z\subset M\backslash A$, $\sigma(Z) \leq 0$. Поэтому $M = A \coprod (M\backslash A)$ есть разложение Хана. \endproof \определение Пусть $\sigma$ -- заряд на $\sigma$-алгебре ${\goth A}$. Назовем множество $Z\in \goth A$ {\бф $\sigma$-\-пре\-не\-бре\-жимым}, если $\sigma(Z')=0$ для любого $Z'\subset Z$. \ео \замечание Разложение Хана определено однозначно с точностью до $\sigma$-пренебрежимого множества (докажите это). \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Ганс Хан} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ганс Хан происходит из Вены; он защитил диссертацию в 1902-м году, под руководством Густава фон Эшериха, который был также руководителем Радона (теория меры), Титце ("лемма Титце", известная в топологии), Виеториса (последовательность Маера-Виеториса) и Виртингера ("неравенство Виртингера"). Вплоть до войны Хан профессорствовал в городе Черновиц, ныне Черновцы. Хан воевал, был ранен на итальянском фронте; после войны он стал профессором в Бонне, а потом в Вене. В Вене Хан много занимался философией. Он был основателем "венского кружка" ("Общество Эрнста Маха") логических позитивистов, и до сих пор знаменит в этом качестве среди поклонников логического позитивизма. Хан был социалистом, весьма сильных убеждений; однажды он задержал среди улицы извозчика, который жестоко обращался со своей лошадью, и отволок его в полицейский участок. Также Хан научно изучал парапсихологию, и читал лекции о природе спиритизма. \begin{figure}[ht] \begin{center} \epsfig{file=Hahn.eps,width=0.35\linewidth}\\ Hans Hahn\\ (September 27, 1879 - July 24, 1934) \end{center} \end{figure} Студентами Хана был Витольд Гуревич, прославленный гомоморфизмом Гуревича, Курт Гедель, также участник "Общества Эрнста Маха", и Карл Поппер, ставший философом. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Теорема Радона-Никодима} \label{_Radona_Niko_Section_} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $S$ - пространство с сигма-алгеброй, а $\mu$ и $\nu$ две меры. Мы говорим, что $\nu$ {\бф абсолютно непрерывна} относительно $\mu$ (обозначается $\nu \ll\mu$) если для любого измеримого множества $A$, из $\mu(A)=0$ следует $\nu(A)=0$. \ео \определение {\бф Непрерывная мера} на пространстве с мерой Лебега есть мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега. \ео \пример Пусть $x\in [0,1]$ -- точка на отрезке, а $\mu_x$ -- мера, такая, что $\mu_x(A)=0$, если $A \not\ni x$, и $\mu_x(A)=1$, если $A \ni x$. Легко видеть, что такая мера не непрерывна. \хфилл \пример Пусть $f$ -- измеримая, неотрицательная функция на пространстве $M$ с сигма-алгеброй, а $\mu$ -- мера на $M$. Обозначим за $f\mu$ меру, которая делает из измеримого множества $A\subset M$ интеграл $\int_\mu f\restrict A$. Проверьте, что это действительно мера. Проверьте, что $f\mu \ll \mu$. \замечание Интеграл функции по множеству $A\subset M$ часто обозначается $\int_A f \mu$. Это обозначение весьма удобно. Смысл его в том, что $f\mu$ -- это заряд на $M$, а $\int_A \sigma$ обозначает $\sigma(A)$, для заряда $\sigma=f\mu$. \еза \теорема (теорема Радона-Никодима) Пусть $M$ -- пространство с сигма-алгеброй, а $\nu\ll \mu$ -- меры на $M$, причем $\mu(M), \nu(M)< \infty$. Тогда $\nu = f\mu$ для какой-то функции $f$ на $M$, интегрируемой относительно $\mu$. {\бф Доказательство:} Пусть $x\in \R$. Легко видеть, что $\nu - x\mu$ есть ограниченный заряд. Обозначим за $A(\nu -х\mu)$ максимальное множество, где заряд $\nu - x\mu$ положительный, полученное из разложения Хана. Для отрезка $[x,y]\subset \R$, обозначим за $A_{[x,y]}$ множество $ A(\nu -x\mu)\backslash A(\nu -y\mu)$. Расмотрим ступенчатую функцию \[ \Psi_n(\nu):= \sum_{i\in \Z^{\geq 0}} \frac i n \restrict {A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}}. \] Эта функция равна $\frac i n$ на каждом множестве вида $A_{\left[\frac i n ,\frac {i+1} n\right]}$. Легко видеть, что $\bigcup_{i\in \Z} A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}$ равно $M$, с точностью до множества меры нуль. В самом деле, дополнение $B$ к этому множеству лежит в $\bigcup_{n\in Z} A_{[n, \infty]}$ (проверьте это), а значит, удовлетворяет $\nu(B) > C \mu(B)$ для любого $C\in \Z$. Мы получаем, что $\mu(B)$ равно нулю, и $\nu(B)=0$ по абсолютной непрерывности. На каждом из $A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}$, имеем $\frac i n\mu \leq \nu \leq \frac {i+1} n \mu$, значит, \[ 0 \leq \nu - \Psi_n \mu \leq \frac 1 n \mu. \] Поэтому $\Psi_n$ -- последовательность Коши в $L^1$-топологии, заданной $\mu$, и ее предел удовлетворяет $\nu - \lim \Psi_n \mu=0$. \endproof \замечание В прошлой лекции, мы получали измеримую функцию как равномерный предел ступенчатых, $f = \lim_n \Psi_n(f)$. Если $f$ есть измеримая функция, $\nu = f\mu$, то $\Psi_n(\nu)$ есть функция $\Psi_n(f)$ (проверьте это). Доказательство теоремы Радона-Никодима следует той же логике, что и построение интеграла: мы приближаем меру $\nu$ последовательностью мер вида $f_n\mu$, таким образом, чтобы последовательность $f_n$ сходилась в топологии $L^1$. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Теорема Фубини} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Цилиндрические множества и произведение мер} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $W = M \times N$ -- произведение множеств, снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$. Определим {\бф цилиндрическое множество} как множество вида $X\times Y$, где $X\in A_M$ и $Y\in A_N$ -- подмножества $M$ и $N$, лежащие в $\sigma$-алгебре. {\бф Алгебра цилиндрических множеств} есть кольцо множеств, порожденное конечными объединениями цилиндрических. {\бф Произведение сигма-алгебр} есть сигма-алгебра подмножеств $M\times N$, порожденная цилиндрическими множествами. \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \утверждение\label{_additi_na_cili_Utverzhdenie_} Пусть $\mu, \nu$ -- аддитивные меры на $A_M$ и $A_N$, $\mu(M), \nu(N) < \infty$. Рассмотрим функцию $\xi$ на множестве цилиндрических подмножеств $M\times N$, определенную формулой $\xi(X\times Y)= \xi(X)\times \xi(Y)$. Тогда $\xi$ можно продолжить до аддитивной функции на алгебре цилиндрических множеств, которую мы обозначаем за $\mu\times \nu$. \хфилл {\бф Доказательство:} Легко видеть, что пересечение цилиндрических множеств цилиндрическое. Поэтому достаточно доказать, что если цилиндрическое множество $Z$ разбито в конечное объединение цилиндрических, $Z= \bigcup Z_i$, то $\xi(Z)= \sum \xi(Z_i)$. Это видно из следующей картинки. \begin{figure}[ht] \begin{center}\ \\ \epsfig{file=pokry-subbase.eps,width=0.55\linewidth}\\ {\small \em Разбиение множества $M\times N$ в объединение цилиндрических} \end{center} \end{figure} Для формального доказательства, рассмотрим измельчение разбиения $Z=M\times N= \bigcup Z_i$ такое, что $M=\coprod M_p$, $N=\coprod N_q$, и $M\times N= \coprod_{p,q} M_p \times N_q$. Назовем такое разбиение {\бф простым}. Для простого разбиения, аддитивность меры следует сразу из определения. С другой стороны, каждый из $Z_i$ будет объединением нескольких элементов вида $M_p \times N_q$, причем такое разбиение $Z_i$ тоже будет простым, значит, $\xi(Z)= \sum \xi(Z_i)$ следует из $\xi(Z) = \sum_{p,q}\xi(M_p \times N_q)$. \endproof \хфилл Чтобы продолжить построенную аддитивную меру $\xi$ на сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, достаточно доказать ее $\sigma$-аддитивность, то есть проверить, что $\xi(Z) \leq \sum \xi(Z_i)$ для любого цилиндрического множества $Z\subset \coprod_{i=1}^\infty Z_i$ (если это верно, то мы продолжим $\xi$ на пополнение алгебры цилиндрических множеств, как в лекции 4, а пополнение содержит, среди прочего, и сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами). Сигма-аддитивность $\xi$ следует из того же аргумента, который доказывал утверждение \ref{_additi_na_cili_Utverzhdenie_}. Заменим разбиение $Z= \coprod_{i=1}^\infty Z_i$ на его измельчение вида $Z=\coprod_{p,q} M_p \times N_q$. Тогда $\sum \xi(Z_i)=\sum \xi(M_p \times N_q) \geq \xi(Z)$ (последнее неравенство следует из $\sigma$-аддитивности $\mu$ и $\nu$). Мы получили такое утверждение \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \утверждение Пусть $W = M \times N$ -- произведение множеств, снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$, $A_W$ -- сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, а $\mu, \nu$ -- сигма-аддитивные меры на $A_M$, $A_N$. Тогда $\mu\times \nu$ продолжается до счетно-аддитивной меры на $M\times N$. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Фубини} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% В этом разделе, все меры по умолчанию предполагаются мерами Лебега. \хфилл \определение Пусть $\mu, \nu$ -- $\sigma$-аддитивные меры на $A_M$ и $A_N$. {\бф Измеримое подмножество} в $M\times N$ есть подмножество, которое получается как предел последовательности Коши элементов $A_W$, в метрике, заданной как $d(X,Y)=\mu\times \nu(X\triangle Y)$. {\бф Измеримая функция} на $M\times N$ есть функция со значениями в $\R$, такая, что прообраз любого борелевского множества измерим. \ео \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \теорема\label{_Fubini_Teorema_} (теорема Фубини) Пусть $M, N$ -- пространства, снабженные сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$ и $\sigma$-конечной мерой $\mu, \nu$, а $\xi= \mu\times \nu$ -- мера произведения на $M\times N$. Рассмотрим интегрируемую функцию $f:\; M\times N \arrow \R$, и пусть $M\times N \stackrel \pi\arrow M$ - проекция. Тогда \begin{description} \item[(i)] Для почти всех $m\in M$, ограничение $f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ -- интегрируемая функция на $\pi^{-1}(m)\cong N$. \item[(ii)] Пусть $\phi:\; M \arrow \R$ -- функция, заданная формулой $\phi(m):= \int_N f\restrict{\pi^{-1}(m)}\nu$ вне множества меры 0, где интеграл $\int_\nu f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ не определен. Тогда $\phi$ интегрируема, и $\int_{M\times N} f\xi= \int_{M} \phi\mu$. \end{description} Доказательство теоремы Фубини занимает остаток этого раздела. Отметим сразу, что достаточно доказать ее для функции $f\geq 0$, потому что $f= (|f|+f) - (|f|-f)$, где каждый из членов в скобках интегрируем и неотрицателен. Поэтому будем считать, что $f \geq 0$. \хфилл Следующее упражнение доказывается так же, как и теорема о том, что измеримые по Лебегу множества суть борелевские с точностью до меры нуль. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \упражнение В условиях теоремы Фубини, обозначим за ${\goth A}$ сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами. Докажите, что каждое измеримое подмножество $X\subset M\times N$ удовлетворяет $\xi(X\triangle X')=0$ для какого-то $X' \in {\goth A}$. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма\label{_izme_predel_bore_Lemma_} Для любой измеримой функция $f$ найдется $f'$, которая получается как предел монотонной последовательности $f'_n = \sum c_i \chi(Z_i')$, где все $Z_i'$ принадлежат ${\goth A}$, а $f-f'=0$ почти всюду. \хфилл {\бф Доказательство:} Как было доказано в предыдущей лекции, измеримая функция $f$ получается как предел монотонно неубывающей последовательности $f_n:=\Psi_n(f)$ ступенчатых функций вида $f_n=\sum c_i \chi(Z_i)$, где $\chi(Z_i)$ есть характеристическая функция измеримого множества $Z_i$. Заменив каждое из $Z_i$ на множестви $Z_i'\in {\goth A}$, такое, что $Z_i \triangle Z_i'$ имеет меру 0, получим последовательность $f'_n = \sum c_i \chi(Z_i')$. Эта последовательность не обязательно монотонна, но она монотонна вне множества $Z:=\bigcup_i (Z_i \triangle Z_i')$ меры ноль. Положим все $f'_n$ равными 0 на $Z$ и получим монотонную последовательность ступенчатых функций вида $f'_n = \sum c_i \chi(Z_i\backslash Z)$, с множествами уровня $Z_i\backslash Z\in {\goth A}$. \endproof \hfill Применяя лемму \ref{_izme_predel_bore_Lemma_} к функции $f$ из теоремы Фубини, и пользуясь тем фактом, что пересечение множества $V \in {\goth A}$ с $\pi^{-1}(m)$ измеримо, мы получим, что функция $f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$ измерима для каждого $m\in M$. В самом деле, $f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$ получено как предел монотонной последовательности ступенчатых, измеримых функций. \хфилл Обозначим за $Z$ подмножество в $M\times N$, где $f\neq f'$, и пусть $\pi_* Z\subset M$ -- множество всех точек $M$, для которых $Z \cap \pi^{-1}(m)$ не меры 0. Ограничение $f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ отличается ot $f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$ вне множества $Z \cap \pi^{-1}(m)$, которое имеет меру 0 для $m\notin \pi_* Z$. Значит, $f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ измеримо для любого $m\notin \pi_* Z$. Мы получаем, что теорема \ref{_Fubini_Teorema_} (i) вытекает из следующей леммы. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма Пусть $Z\subset M\times N$ -- множество меры 0. Тогда $Z\cap \pi^{-1}(m)$ имеет меру 0 для почти всех $m\in M$. \хфилл {\бф Доказательство:} Покроем $Z$ счетным набором $\{Z_i(\frac 1 {n^2})\}$ цилиндрических множеств суммарной меры $\leq \frac 1 {n^2}$. Обозначим за $M(\frac 1 n)\subset M$ подмножество, состоящее из всех $m \in M$ таких, что $\pi^{-1}(m) \cap \bigcup Z_i(\frac 1 {n^2})$ имеет меру $\geq \frac 1 n$. В силу того, что $\bigcup Z_i(\frac 1 {n^2})$ имеет меру $\leq \frac 1 {n^2}$, мера $M(\frac 1 n)$ ограничена: $\mu(M(\frac 1 n)) \leq \frac 1 n$. Для любой точки $m$, не лежащей в $\bigcap_n M(\frac 1 n)$, мера $Z\cap \pi^{-1}(m)$ равна нулю (проверьте это). С другой стороны, $\bigcap_n M(\frac 1 n)$ покрывается множествами $M(\frac 1 n)$ произвольно малой меры, значит, это множество меры 0. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание\label{_mery_0_int_0_Zamechanie_} Пусть $Z\subset M$ -- множество меры 0, а $f$ -- измеримая функция на $M$, которая равна нулю вне $Z$. Тогда $\int_\mu f=0$. Действительно, $\int_\mu f$ получается как предел интегралов ступенчатых функций $f_n$, которые равны нулю вне $Z$, но каждый такой интеграл выражается суммой вида $\sum c_i \mu(Z_i)$, где $Z_i\subset Z$. Поскольку $\mu(Z)=0$, имеем $\mu(Z_i)=0$, значит, $\int_\mu f_n=0$. В лекции 5 это замечание присутствует как Упражнение 5.31. \еза Воспользовавшись первой частью теоремы Фубини, заменим $f$ на функцию $f'$, такую, что $f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$ интегрируемо для любого $m\in M$, а $f=f'$ вне множества меры 0. Из замечания \ref{_mery_0_int_0_Zamechanie_} следует, что достаточно доказать \ref{_Fubini_Teorema_} (ii) в этом предположении. Поэтому мы можем с самого начала предполагать, что $f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ интегрируемо для любого $m\in M$. Для доказательства второго утверждения теоремы Фубини, нам понадобится следующее понятие. \определение Пусть $M, N$ -- пространства с $\sigma$-алгебрами $A_M$ и $A_N$. {\бф Измеримое отображение} есть такое отображение $f:\; M \arrow N$, что прообраз множества, лежащего в $A_N$, содержится в $A_M$. \ео \замечание Обыкновенная "измеримая функция" есть измеримое отображение из пространства с $\sigma$-алгеброй в $\R$ с сигма-алгеброй борелевских множеств. \еза \замечание Пусть $W = M \times N$ -- произведение множеств, снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$, а $A_W$ -- сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами в $W$. Рассмотрим проекцию $M \times N \stackrel \pi \arrow M$. Поскольку прообраз $\pi^{-1}(Z)$ измеримого множества $Z\subset M$ цилиндрический, он измерим, значит, $\pi$ есть измеримое отображение. \еза \определение Пусть $f:\; M \arrow N$ -- измеримое отображение пространств, снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$, а $\mu$ есть сигма-аддитивная мера на $A_M$. Рассмотрим функцию $\pi_*\mu$ на $A_N$, заданную формулой $\pi_*\mu(Z):= \mu(\pi^{-1}(Z))$. Легко видеть, что $\pi_*\mu$ есть $\sigma$-аддитивная мера на $A_N$ (проверьте это). Мера $\pi_* \mu$ называется {\бф прямым образом меры $\mu$.} \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \утверждение В условиях теоремы Фубини (Теорема \ref{_Fubini_Teorema_}), мера $\pi_*(f\xi)$ является абсолютно непрерывной: $\pi_*(f\xi)\ll \mu$. \хфилл {\бф Доказательство:} Если $Z\subset M$ имеет меру нуль, то $\pi_*(f\xi)(Z)= \int_\xi f\restrict Z=0$ в силу замечания \ref{_mery_0_int_0_Zamechanie_}. Значит, $\pi_*(f\xi)(Z)=0$ для любого множества меры нуль. \endproof \хфилл Применяя теорему Радона-Никодима, мы находим, что $\pi_* (f\xi)= t \mu$, где $t$ есть интегрируемая функция, удовлетворяющая $\int_\mu t = \int_\xi f$. Для доказательства теоремы Фубини осталось доказать, что $t=\phi$, где $\phi$ -- функция, определенная в теореме \ref{_Fubini_Teorema_} (ii). Заменив $f$ на монотонно неубывающий предел ступенчатых функций $f= \lim f_i$, мы получим, что соотвествующие функции $t(f_i)$ и $\phi(f_i)$ тоже монотонно неубывают. Поскольку интеграл перестановочен с пределом монотонно неубывающих функций (см. в прошлой лекции), мы получаем, что достаточно доказать, что $t=\phi$ для ступенчатой функции $f$. Разбив $f$ в счетную сумму вида $f= \sum c_i \chi(U_i)$, получим, что остается доказать теорему \ref{_Fubini_Teorema_} (ii) для характеристической функции измеримого множества, $f = \chi(U)$. Измеримое множество в $M\times N$ получается как предел счетных объединений цилиндрических; снова переходя к пределу, убеждаемся, что достаточно доказать, что $\phi=t$ для $f = \chi(U)$, где $U$ -- цилиндрическое множество. Но в такой ситуации это утверждение является тавтологией (проверьте это). Мы закончили доказательство теоремы Фубини. \endproof \begin{figure}[ht] \begin{center} \epsfig{file=fubini_2.eps,width=0.45\linewidth}\\ Guido Fubini\\ (January 19, 1879 - June 6, 1943) \end{center} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Гвидо Фубини} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Фубини был учеником Луиджи Бьянки. Бьянки занимался дифференциальной геометрией однородных римановых многообразий, и получил их классификацию в размерности 3. Диссертация Фубини (1902) была посвящена дифференциальной геометрии однородных многообразий, но сразу после защиты тезиса он занялся анализом на симметрических пространствах, и опубликовал работу о гармонических функциях. Фубини успешно работал во множестве отраслей математики, физики и инженерного дела. Он придумал теорему Фубини о кратных интегралах и метрики Фубини-Штуди, полезные в комплексной алгебраической геометрии. У Фубини было два сына, оба инженеры. Фубини много времени проводил со своими сыновьями, интересуясь инженерными вопросами, и даже написал учебник прикладной математики. Он был евреем. Когда в 1938-м году Муссолини (доселе индифферентный к еврейскому вопросу, и относившийся к евреям не без симпатии) под давлением Гитлера объявил о преследовании евреев и опубликовал "Манифест о расе", Фубини решил, что для блага всей семьи ему лучше эмигрировать, и в скором времени эмигрировал, вместе с сыновьями, став профессором в Принстоне. Фубини был к тому моменту весьма нездоров, много болел, и через 4 года после эмиграции умер. Один из сыновей Гвидо Фубини, Юджин, стал директором военных исследователей в Пентагоне и заместителем военного министра США; он воевал во второй мировой войне (на стороне Америки). У него было 6 дочерей, сын, и 16 внуков. \end{document}