\documentclass[11pt]{book}

\input{lectures.sty}


% version 1.0, 20.10.2010
% version 1.1, 05.11.2010, поправил доказательство теоремы Фубини
% version 1.2, 20.01.2012, поправки от Саши Ананьина

\renewcommand{\version}{version 1.2,\ \   20.01.2012}

\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, осень 2010, второй курс, лекция 6} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{5}
\lhead{{\scriptsize  Теория меры, лекция 6}}
\chapter{Теория меры, лекция 6: Теорема Фубини}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $f$ -- неотрицательная, 
функция на $\R^n$, а $Z$ -- сегмент в $\R^{n+1}$,
ограниченный $x_{n+1}=0$ и ее графиком, который
представлен как отображение из оси плоскости
$x_{n+1}=0$ в прямую $x_{n+1}$. 
Теорема Фубини утверждает, среди прочего,
что мера $\mu(Z)$ 
участка под графиком $f$ равна ее интегралу,
если $f$ интегрируема.

Это утверждение интуитивно очевидно, и 
часто успользуется в качестве определения
интеграла. Доказательство этого утверждения
легко следует из единственности интеграла:
достаточно проверить свойства 1-4 из
предыдущей лекции, и убедиться, что сегмент
под графиком измеримой функции 
измерим, что следует из приближения
измеримой функции ступенчатыми.

Что занятно - из этого утверждения
и полноты алгебры измеримых множеств
следует полнота пространства $L^1(\R^n)$.

Самая общая форма теоремы Фубини
есть утверждение о проекции измеримых множеств,
и она гораздо менее тривиальна. Она говорит,
в частности, что для любого измеримого подмножества
$Z\subset \R^n \times \R^m$ 
почти все слои проекции на $\R^m$ 
измеримы, чти задает функцию на $\R^m$,
определенную почти всюду, и равную
объему слоя проекции. По теореме
Фубини, интеграл от этой функции 
равен объему $Z$.

Чтобы доказать такую теорему,
мы изучаем множество всех мер на
данной сигма-алгебре, и выясняем,
какие из мер имеют вид $f\mu$,
где $f$ есть неотрицательная
функция, интегрируемая относительно
$\mu$. Ответ на этот вопрос дает
теорема Радона-Никодима (см. раздел \ref{_Radona_Niko_Section_}).
Интересно, что в доказательстве этой теоремы
приходится использовать заряды,
то есть $\sigma$-аддитивные функции
на $\sigma$-алгебре, принимающие
положительные и отрицательные значения.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Разложение Хана}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Заряд и разложение Хана}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Зарядом} (signed measure)
называется счетно-аддитивная
функция на $\sigma$-\-ал\-геб\-ре, принимающая значения в 
$]-\infty, \infty]$ или $[-\infty, \infty[$.
\ео

\определение
Пусть $\sigma$ -- заряд на сигма-алгебре $\goth A$ подмножеств $M$,
а $Z\in \goth A$ -- какое-то подмножество. Обозначим
за $\sigma \restrict Z$ {\бф ограничение заряда на $Z$},
то есть $\sigma$-аддитивную функцию, которая
делает из $X\in \goth A$ число $\sigma(X\cap Z)$.
\ео

\определение
Заряд $\sigma$ называется {\бф положительным}, если
$\sigma(X)\geq 0$ для любого $X$, и {\бф отрицательным},
если $-\sigma$ положительный. {\бф Разложение Хана}
для заряда $\sigma$ есть представление 
$M$ в виде дизьюнктной суммы $M=A \coprod B$,
где $\sigma \restrict A$ положительный,
а $\sigma\restrict B$ отрицательный.
Заряд называется {\бф ограниченным}. если
существует константа  $C$ такая, что $\sigma(X)\leq C$ для 
любого $X$.
\ео

\теорема
Пусть $\goth A$ -- сигма-алгебра подмножеств $M$,
а $\sigma$ -- ограниченный заряд на 
$\goth A$.\footnote{Ограниченность 
заряда на самом деле
не нужна. В качестве упражнения, постройте разложение
Хана, не пользуясь ограниченностью $\sigma$.}
Тогда для $\sigma$ существует разложение Хана.

\хфилл

{\бф Доказательство.}
Пусть $C:= \sup_{X\subset M} \sigma(X)$.

\хфилл

{\бф Шаг 1:} Если $\sigma(Z) \geq C- \epsilon$,
то для любого $V\subset M \backslash Z$, имеем
$\sigma(V) \leq \epsilon$. Действительно, 
в противном случае мы бы имели
$\sigma (V \coprod Z) = \sigma(V) + \sigma(Z) > C-\epsilon +\epsilon$.
Аналогично, для любого $V\subset Z$, получаем
$\sigma(V) \geq -\epsilon$.

\хфилл


{\бф Шаг 2:} Пусть 
$\sigma(Z_1), \sigma(Z_2) \geq C- \epsilon$.
Поскольку $Z_1 \backslash Z_2$ лежит в $M \backslash Z_2$,
в силу предыдущего шага имеем 
$-\epsilon \leq \sigma(Z_1 \backslash Z_2) \leq \epsilon$.
Применяя тот же аргумент к $\sigma(Z_2 \backslash Z_1)$
и складывая, получаем $-2\epsilon \leq \sigma(Z_1 \triangle Z_2)\leq 2\epsilon$.
Для каждого подмножества $X \subset Z_1 \triangle Z_2$, верно то же самое:
$-2\epsilon \leq \sigma(X)\leq 2\epsilon$.


\хфилл

{\бф Шаг 3:} Если $|\sigma(X)| < \epsilon$ для каждого
$X\subset Z$, мы будем писать $|\sigma|(Z)< \epsilon$.
Утверждение шага 2 в этих обозначениях записывается
$|\sigma|(Z_1 \triangle Z_2) \leq 2\epsilon$.
Отметим, что $|\sigma(X) - \sigma(Y)| < 2\epsilon$,
если $|\sigma|(X\triangle Y) < \epsilon$.
Действительно, 
\[ \sigma(X) - \sigma(Y) = \sigma(X\backslash Y) -
   \sigma(Y\backslash X),
\]
но $|\sigma(Y\backslash X)| < \epsilon$ и 
$|\sigma(X\backslash Y)|< \epsilon$, потому что
$|\sigma|(X\triangle Y) < \epsilon$.


\хфилл

{\бф Шаг 4:} Пусть $\{Z_i\}$ -- последовательность множеств
из ${\goth A}$, 
$Y_n=\bigcap_{i\geq n} Z_i$, и для каждого 
$i$, верно
$|\sigma|(Z_i\triangle Z_{i+1})  < \epsilon_i$.
Тогда для любого $n$, имеем
$|\sigma|(Y_n \triangle Z_n) < \sum_{i=n}^\infty \epsilon_i$.
Это следует из того, что
\[
Z_n\triangle Y_n\subset \bigcup_{i\geq n}Z_i\triangle Z_{i+1},
\]
(проверьте это),
а значит, любой $X\subset Y_n \triangle Z_n$ получен дизъюнктным 
объединением подмножеств $X_i \subset Z_i\triangle Z_{i+1}$,
для каждого из которых верно $-\epsilon_i \leq \sigma(X_i)\leq \epsilon_i$.
То же самое верно и для последовательности
$Y_n'=\bigcup_{i\geq n} Z_i$ (проверьте).

\hfill

{\бф Шаг 5:} Выберем последовательность $\{Z_i\}\subset {\goth A}$
таким образом, что $\sigma(Z_i) > C- \frac 1 {2^i}$.
Из шага 2, получаем 
$|\sigma|(Z_i\triangle Z_{i+1}) <\frac 1 {2^{i-1}}$.

Применяя шаг 4, получаем, что 
$|\sigma|(Z_n\triangle Y_n) < \frac 1 {2^{i-2}}$.
для любого $X \subset Z_n\triangle Y_n$.
В силу шага 3, монотонная последовательность
$Y_1 \subset Y_2 \subset Y_3 \subset ...$
удовлетворяет 
$|\sigma(Y_i) - \sigma(Z_i)| < \frac 1 {2^{i-3}}.$
Снова применяя шаг 3, получим $\sigma(Y_i) \geq C - \frac 1 {2^{i-4}}$.

\хфилл

{\бф Шаг 6:}
Применяя шаг 2, получим
$|\sigma|(Y_i \triangle Y_{i+1}) < \frac 1 {2^{i-5}}$.

\хфилл

{\бф Шаг 7:}
Пусть $Y=\bigcap_i Y_i$. Применяя аргумент из шага 4, 
и пользуясь утверждением шага 6, получаем
\[
|\sigma| (Y\triangle Y_n) \leq \sum_{i=n}^\infty \frac 1 {2^{i-6}}
 \leq\frac 1 {2^{n-7}}.
\]
Опять применив шаг 3, получим 
$\sigma(Y) = \lim \sigma(Y_i) = C$.

\хфилл

{\бф Шаг 8:} Положим $A:=Y$. Для каждого подмножества $Z\subset A$,
$\sigma(Z) \geq 0$, потому что иначе мы бы имели
$\sigma(A \backslash Z) > \sigma(A)=C$. Аналогично,
для каждого $Z\subset M\backslash A$, $\sigma(Z) \leq 0$.
Поэтому $M = A \coprod (M\backslash A)$ есть разложение Хана.
\endproof

\определение
Пусть $\sigma$ -- заряд на $\sigma$-алгебре ${\goth A}$.
Назовем множество $Z\in \goth A$ {\бф $\sigma$-\-пре\-не\-бре\-жимым},
если $\sigma(Z')=0$ для любого $Z'\subset Z$.
\ео

\замечание
Разложение Хана определено однозначно
с точностью до $\sigma$-пренебрежимого множества
(докажите это).
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Ганс Хан}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Ганс Хан происходит из Вены; он защитил диссертацию
в 1902-м году, под руководством Густава фон Эшериха,
который был также руководителем Радона (теория меры), 
Титце ("лемма Титце", известная в топологии), 
Виеториса (последовательность Маера-Виеториса) 
и Виртингера ("неравенство Виртингера"). Вплоть до войны
Хан профессорствовал в городе Черновиц, ныне
Черновцы. 


Хан воевал, был ранен на итальянском 
фронте; после войны он стал профессором
в Бонне, а потом в Вене. В Вене Хан 
много занимался философией. Он был основателем "венского
кружка" ("Общество Эрнста Маха") логических позитивистов,
и до сих пор знаменит в этом качестве среди поклонников
логического позитивизма. 

Хан был социалистом, весьма сильных убеждений; однажды
он задержал среди улицы извозчика, который жестоко
обращался со своей лошадью, и отволок его в полицейский участок.
Также Хан научно изучал парапсихологию, и читал лекции
о природе спиритизма.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=Hahn.eps,width=0.35\linewidth}\\
Hans Hahn\\ (September 27, 1879 - July 24, 1934)
\end{center}
\end{figure}

Студентами Хана был Витольд Гуревич,
прославленный гомоморфизмом Гуревича, 
Курт Гедель, также участник "Общества 
Эрнста Маха", и Карл Поппер, ставший философом. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Теорема Радона-Никодима}
\label{_Radona_Niko_Section_}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $S$ - пространство с сигма-алгеброй, а 
$\mu$ и $\nu$ две меры. Мы говорим, что
$\nu$ {\бф абсолютно непрерывна} относительно
$\mu$ (обозначается $\nu \ll\mu$) если
для любого измеримого множества $A$, 
из $\mu(A)=0$ следует $\nu(A)=0$.
\ео

\определение
{\бф Непрерывная мера} на пространстве с мерой Лебега
есть мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега.
\ео

\пример
Пусть $x\in [0,1]$ -- точка на отрезке, а $\mu_x$ -- мера,
такая, что  $\mu_x(A)=0$, если $A \not\ni x$, и $\mu_x(A)=1$, если $A \ni x$.
Легко видеть, что такая мера не непрерывна.

\хфилл

\пример 
Пусть $f$ -- измеримая, неотрицательная
функция на пространстве $M$ с сигма-алгеброй, 
а $\mu$ -- мера на $M$. Обозначим за $f\mu$ меру, которая
делает из измеримого множества
$A\subset M$ интеграл $\int_\mu f\restrict A$.
Проверьте, что это действительно мера.
Проверьте, что $f\mu \ll \mu$.

\замечание
Интеграл функции по множеству $A\subset M$  часто
обозначается $\int_A f \mu$. Это обозначение весьма удобно.
Смысл его в том, что $f\mu$ -- это заряд на $M$, а $\int_A \sigma$ 
обозначает $\sigma(A)$, для заряда $\sigma=f\mu$. 
\еза

\теорема
(теорема Радона-Никодима) 
Пусть $M$ -- пространство с сигма-алгеброй, а
$\nu\ll \mu$ -- меры на $M$, причем $\mu(M), \nu(M)< \infty$.
Тогда $\nu = f\mu$ для какой-то функции $f$
на $M$, интегрируемой относительно $\mu$.

{\бф Доказательство:}
Пусть $x\in \R$. Легко видеть, что
$\nu - x\mu$ есть ограниченный заряд. 
Обозначим за $A(\nu -х\mu)$ максимальное множество,
где заряд $\nu - x\mu$ положительный, полученное
из разложения Хана. Для отрезка $[x,y]\subset \R$,
обозначим за $A_{[x,y]}$ множество
$ A(\nu -x\mu)\backslash A(\nu -y\mu)$.

Расмотрим ступенчатую функцию
\[
 \Psi_n(\nu):= \sum_{i\in \Z^{\geq 0}} \frac i n 
\restrict {A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}}.
\]
Эта функция равна $\frac i n$ на каждом
множестве вида $A_{\left[\frac i n ,\frac {i+1} n\right]}$.

Легко видеть, что 
$\bigcup_{i\in \Z} A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}$
равно $M$, с точностью до множества меры нуль. В самом деле, дополнение
$B$ к этому множеству лежит в $\bigcup_{n\in Z} A_{[n, \infty]}$
(проверьте это), а значит, удовлетворяет $\nu(B) > C \mu(B)$
для любого $C\in \Z$. Мы получаем, что $\mu(B)$
равно нулю, и $\nu(B)=0$ по абсолютной непрерывности.

На каждом из $A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}$,
имеем $\frac i n\mu \leq \nu \leq \frac {i+1} n \mu$,
значит, 
\[
0 \leq \nu - \Psi_n \mu \leq \frac 1 n \mu.
\]
Поэтому $\Psi_n$ -- последовательность Коши в
$L^1$-топологии, 
заданной $\mu$, и ее
предел удовлетворяет $\nu - \lim \Psi_n \mu=0$.
\endproof

\замечание
В прошлой лекции, мы 
получали измеримую функцию как 
равномерный предел ступенчатых,
$f = \lim_n \Psi_n(f)$. 
Если $f$ есть измеримая функция,
$\nu = f\mu$, то $\Psi_n(\nu)$ есть функция
$\Psi_n(f)$ (проверьте это). 
Доказательство теоремы Радона-Никодима
следует той же логике, что и 
построение интеграла: мы приближаем
меру $\nu$ последовательностью
мер вида $f_n\mu$, таким образом,
чтобы последовательность $f_n$
сходилась в топологии $L^1$.
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Теорема Фубини}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Цилиндрические множества и произведение мер}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $W = M \times N$ -- произведение множеств,
снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$.
Определим {\бф цилиндрическое множество}
как множество вида $X\times Y$, где 
$X\in A_M$ и $Y\in A_N$ -- подмножества
$M$ и $N$, лежащие в $\sigma$-алгебре.
{\бф Алгебра цилиндрических множеств}
есть кольцо множеств, порожденное
конечными объединениями цилиндрических.
{\бф Произведение сигма-алгебр}
есть сигма-алгебра подмножеств 
$M\times N$, порожденная цилиндрическими
множествами. 
\ео

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\утверждение\label{_additi_na_cili_Utverzhdenie_}
Пусть $\mu, \nu$ -- аддитивные меры на
$A_M$ и $A_N$, $\mu(M), \nu(N) < \infty$. Рассмотрим функцию $\xi$
на множестве цилиндрических подмножеств $M\times N$,
определенную формулой $\xi(X\times Y)= \xi(X)\times \xi(Y)$.
Тогда $\xi$ можно продолжить до аддитивной
функции на алгебре цилиндрических множеств,
которую мы обозначаем за $\mu\times \nu$.

\хфилл

{\бф Доказательство:} 
Легко видеть, что пересечение цилиндрических
множеств цилиндрическое. Поэтому
достаточно доказать, что если цилиндрическое
множество $Z$ разбито в конечное объединение цилиндрических,
$Z= \bigcup Z_i$, то $\xi(Z)= \sum \xi(Z_i)$. Это
видно из следующей картинки.
\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=pokry-subbase.eps,width=0.55\linewidth}\\
{\small \em Разбиение множества $M\times N$
в объединение цилиндрических}
\end{center}
\end{figure}
Для формального доказательства, 
рассмотрим измельчение разбиения $Z=M\times N= \bigcup Z_i$
такое, что $M=\coprod M_p$, $N=\coprod N_q$, 
и $M\times N= \coprod_{p,q} M_p \times N_q$.
Назовем такое разбиение {\бф простым}.
Для простого разбиения, аддитивность меры следует
сразу из определения. С другой стороны, каждый
из $Z_i$ будет объединением нескольких элементов
вида $M_p \times N_q$, причем такое разбиение
$Z_i$ тоже будет простым, значит,
$\xi(Z)= \sum \xi(Z_i)$ следует из 
$\xi(Z) = \sum_{p,q}\xi(M_p \times N_q)$.
\endproof

\хфилл

Чтобы продолжить построенную аддитивную
меру $\xi$ на сигма-алгебру, порожденную
цилиндрическими множествами, достаточно
доказать ее $\sigma$-аддитивность, то есть
проверить, что 
$\xi(Z) \leq \sum \xi(Z_i)$
для любого цилиндрического множества 
$Z\subset \coprod_{i=1}^\infty Z_i$
(если это верно, то мы продолжим $\xi$ на пополнение алгебры
цилиндрических множеств, как в лекции 4, а пополнение
содержит, среди прочего, и сигма-алгебру,
порожденную цилиндрическими множествами).

Сигма-аддитивность $\xi$
следует из того же аргумента, который
доказывал утверждение \ref{_additi_na_cili_Utverzhdenie_}.
Заменим разбиение $Z= \coprod_{i=1}^\infty Z_i$
на его измельчение вида $Z=\coprod_{p,q} M_p \times N_q$.
Тогда $\sum \xi(Z_i)=\sum \xi(M_p \times N_q) \geq \xi(Z)$
(последнее неравенство следует из $\sigma$-аддитивности
$\mu$ и $\nu$). 

Мы получили такое утверждение

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\утверждение
Пусть $W = M \times N$ -- произведение множеств,
снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$,
$A_W$ -- сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими
множествами, а $\mu, \nu$ -- сигма-аддитивные меры
на $A_M$, $A_N$. Тогда $\mu\times \nu$
продолжается до счетно-аддитивной меры на $M\times N$.
\endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Фубини}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В этом разделе, все меры по умолчанию предполагаются мерами Лебега.

\хфилл

\определение
Пусть $\mu, \nu$ -- $\sigma$-аддитивные меры на $A_M$ и $A_N$.
{\бф Измеримое подмножество} в $M\times N$ есть подмножество,
которое получается как предел последовательности Коши
элементов $A_W$, в метрике, заданной как $d(X,Y)=\mu\times \nu(X\triangle Y)$.
{\бф Измеримая функция} на $M\times N$ 
есть функция со значениями в $\R$, такая, что прообраз
любого борелевского множества измерим.
\ео

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_Fubini_Teorema_}
(теорема Фубини)
Пусть $M, N$ -- пространства, снабженные сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$
и $\sigma$-конечной
мерой $\mu, \nu$, а $\xi= \mu\times \nu$ -- мера произведения
на $M\times N$. 
Рассмотрим интегрируемую функцию $f:\; M\times N \arrow \R$,
и пусть $M\times N \stackrel \pi\arrow M$ - проекция.
Тогда 
\begin{description}
\item[(i)] Для почти всех $m\in M$, ограничение
$f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ -- интегрируемая функция
на $\pi^{-1}(m)\cong N$. 
\item[(ii)] 
Пусть $\phi:\; M \arrow \R$ -- функция, заданная формулой
$\phi(m):= \int_N f\restrict{\pi^{-1}(m)}\nu$
вне множества меры 0, где интеграл 
$\int_\nu f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ не определен.
Тогда $\phi$ интегрируема, и
$\int_{M\times N} f\xi= \int_{M} \phi\mu$.
\end{description}

Доказательство теоремы Фубини занимает остаток этого раздела.
Отметим сразу, что достаточно доказать ее для 
функции $f\geq 0$, потому что $f= (|f|+f) - (|f|-f)$,
где каждый из членов в скобках интегрируем и неотрицателен.
Поэтому будем считать, что $f \geq 0$.

\хфилл

Следующее упражнение доказывается так же, как и теорема
о том, что измеримые по Лебегу множества суть борелевские 
с точностью до меры нуль.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\упражнение
В условиях теоремы Фубини, обозначим
за ${\goth A}$  сигма-алгебру, порожденную
цилиндрическими множествами. Докажите, что
каждое измеримое подмножество $X\subset M\times N$
удовлетворяет $\xi(X\triangle X')=0$ для
какого-то $X' \in {\goth A}$.


\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма\label{_izme_predel_bore_Lemma_}
Для любой измеримой
функция $f$ найдется $f'$, которая получается как предел
монотонной последовательности  $f'_n = \sum c_i
\chi(Z_i')$, где все $Z_i'$ принадлежат ${\goth A}$,
а $f-f'=0$ почти всюду.

\хфилл

{\бф Доказательство:} Как было доказано
в предыдущей лекции, измеримая функция $f$ 
получается как предел монотонно неубывающей последовательности
$f_n:=\Psi_n(f)$ ступенчатых функций вида $f_n=\sum c_i \chi(Z_i)$,
где $\chi(Z_i)$ есть характеристическая
функция измеримого множества $Z_i$.
Заменив каждое из $Z_i$ на множестви
$Z_i'\in {\goth A}$, такое, что $Z_i \triangle Z_i'$
имеет меру 0, получим последовательность
$f'_n = \sum c_i \chi(Z_i')$. Эта последовательность
не обязательно монотонна, но она монотонна
вне множества $Z:=\bigcup_i (Z_i \triangle Z_i')$ меры ноль. 
Положим все $f'_n$ равными 0 на $Z$
и получим монотонную последовательность ступенчатых
функций вида $f'_n = \sum c_i \chi(Z_i\backslash Z)$,
с множествами уровня $Z_i\backslash Z\in {\goth A}$.
\endproof

\hfill

Применяя лемму \ref{_izme_predel_bore_Lemma_}
к функции $f$ из теоремы Фубини, 
и пользуясь тем фактом, что пересечение
множества $V \in {\goth A}$ с $\pi^{-1}(m)$
измеримо, мы получим, что  функция
$f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$ измерима для каждого
$m\in M$. В самом деле, $f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$
получено как предел монотонной
последовательности ступенчатых, измеримых функций.

\хфилл

Обозначим за $Z$ подмножество в $M\times N$, 
где $f\neq f'$, и пусть $\pi_* Z\subset M$ --
множество всех точек $M$, для которых
$Z \cap \pi^{-1}(m)$ не меры 0. Ограничение
$f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ отличается ot
$f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$ вне множества
$Z \cap \pi^{-1}(m)$, которое имеет меру 0
для $m\notin \pi_* Z$. Значит,
$f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ измеримо
для любого $m\notin \pi_* Z$.

Мы получаем, что теорема
\ref{_Fubini_Teorema_} (i) вытекает из следующей леммы.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма
Пусть $Z\subset M\times N$ -- множество
меры 0. Тогда $Z\cap \pi^{-1}(m)$ 
имеет меру 0 для почти всех $m\in M$.

\хфилл

{\бф Доказательство:} Покроем $Z$ счетным
набором $\{Z_i(\frac 1 {n^2})\}$
цилиндрических множеств суммарной меры $\leq \frac 1 {n^2}$.
Обозначим за $M(\frac 1 n)\subset M$
подмножество, состоящее из всех 
$m \in M$ таких, что $\pi^{-1}(m) \cap \bigcup Z_i(\frac 1 {n^2})$
имеет меру $\geq \frac 1 n$. В силу того, что $\bigcup Z_i(\frac 1 {n^2})$
имеет меру $\leq \frac 1 {n^2}$, мера $M(\frac 1 n)$ ограничена:
$\mu(M(\frac 1 n)) \leq \frac 1 n$. 
Для любой точки $m$, не лежащей в 
$\bigcap_n M(\frac 1 n)$, мера $Z\cap \pi^{-1}(m)$
равна нулю (проверьте это). С другой стороны,
$\bigcap_n M(\frac 1 n)$ покрывается множествами
$M(\frac 1 n)$ произвольно малой меры, значит,
это множество меры 0.
\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\замечание\label{_mery_0_int_0_Zamechanie_}
Пусть $Z\subset M$ -- множество меры 0, 
а $f$ -- измеримая функция на $M$, которая
равна нулю вне $Z$. Тогда $\int_\mu f=0$.
Действительно, $\int_\mu f$ получается
как предел интегралов ступенчатых функций $f_n$, которые
равны нулю вне $Z$, но каждый такой
интеграл выражается суммой вида $\sum c_i \mu(Z_i)$,
где $Z_i\subset Z$. Поскольку $\mu(Z)=0$,
имеем $\mu(Z_i)=0$, значит, $\int_\mu f_n=0$.
В лекции 5 это замечание присутствует
как Упражнение 5.31. 
\еза


Воспользовавшись первой частью теоремы
Фубини, заменим $f$ на функцию $f'$, такую,
что $f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$ интегрируемо
для любого $m\in M$, а $f=f'$ вне множества
меры 0. Из замечания \ref{_mery_0_int_0_Zamechanie_}
следует, что достаточно доказать 
\ref{_Fubini_Teorema_} (ii) в этом предположении.
Поэтому мы можем с самого начала предполагать, 
что  $f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ интегрируемо
для любого $m\in M$.

Для доказательства второго утверждения теоремы
Фубини, нам понадобится следующее понятие.

\определение
Пусть $M, N$ -- пространства с $\sigma$-алгебрами $A_M$ и $A_N$.
{\бф Измеримое отображение} есть такое отображение
$f:\; M \arrow N$, что прообраз множества,
лежащего в $A_N$, содержится в $A_M$.
\ео

\замечание
Обыкновенная "измеримая функция" есть измеримое
отображение из пространства с $\sigma$-алгеброй
в $\R$ с сигма-алгеброй борелевских множеств.
\еза

\замечание
Пусть $W = M \times N$ -- произведение множеств,
снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$,
а $A_W$ -- сигма-алгебра, порожденная
цилиндрическими подмножествами в $W$.
Рассмотрим проекцию $M \times N \stackrel \pi \arrow M$.
Поскольку прообраз $\pi^{-1}(Z)$ измеримого
множества $Z\subset M$ цилиндрический,
он измерим, значит, $\pi$ есть измеримое
отображение.
\еза

\определение
Пусть $f:\; M \arrow N$ -- измеримое
отображение пространств,
снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$,
а $\mu$ есть сигма-аддитивная мера на $A_M$.
Рассмотрим функцию $\pi_*\mu$ на $A_N$, заданную
формулой $\pi_*\mu(Z):= \mu(\pi^{-1}(Z))$.
Легко видеть, что $\pi_*\mu$ есть
$\sigma$-аддитивная мера на $A_N$
(проверьте это). Мера $\pi_* \mu$
называется {\бф прямым образом меры $\mu$.}
\ео


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\утверждение
В условиях теоремы Фубини (Теорема \ref{_Fubini_Teorema_}),
мера $\pi_*(f\xi)$ является абсолютно непрерывной:
$\pi_*(f\xi)\ll \mu$.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Если $Z\subset M$ имеет меру нуль, то
$\pi_*(f\xi)(Z)= \int_\xi f\restrict Z=0$
в силу замечания \ref{_mery_0_int_0_Zamechanie_}. Значит,
$\pi_*(f\xi)(Z)=0$ для любого множества
меры нуль. \endproof

\хфилл

Применяя теорему Радона-Никодима, мы
находим, что $\pi_* (f\xi)= t \mu$,
где $t$ есть интегрируемая функция,
удовлетворяющая $\int_\mu t = \int_\xi f$.
Для доказательства теоремы Фубини
осталось доказать, что $t=\phi$,
где $\phi$ -- функция, определенная
в теореме \ref{_Fubini_Teorema_} (ii).

Заменив $f$ на монотонно неубывающий предел
ступенчатых функций $f= \lim f_i$, мы получим,
что соотвествующие функции $t(f_i)$
и $\phi(f_i)$ тоже монотонно неубывают.
Поскольку интеграл перестановочен с 
пределом монотонно неубывающих функций
(см. в прошлой лекции),
мы получаем, что достаточно доказать,
что $t=\phi$ для ступенчатой
функции $f$. Разбив $f$ в счетную
сумму вида $f= \sum c_i \chi(U_i)$,
получим, что остается доказать
теорему \ref{_Fubini_Teorema_} (ii)
для характеристической функции
измеримого множества, $f = \chi(U)$.

Измеримое множество в $M\times N$
получается как предел счетных 
объединений  цилиндрических;
снова переходя к пределу, убеждаемся,
что достаточно доказать, что $\phi=t$
для $f = \chi(U)$, где $U$ -- цилиндрическое
множество. Но в такой ситуации это 
утверждение является тавтологией
(проверьте это). Мы закончили
доказательство теоремы Фубини.
\endproof


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=fubini_2.eps,width=0.45\linewidth}\\
Guido Fubini\\ (January 19, 1879 - June 6, 1943)
\end{center}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Гвидо Фубини}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Фубини был учеником Луиджи Бьянки. Бьянки 
занимался дифференциальной геометрией однородных
римановых многообразий, и получил их классификацию 
в размерности 3. Диссертация Фубини (1902) была посвящена
дифференциальной геометрии однородных многообразий, 
но сразу после защиты тезиса он занялся анализом
на симметрических пространствах, и опубликовал
работу о гармонических функциях. 
Фубини успешно работал во множестве
отраслей математики, физики и инженерного дела.
Он придумал теорему Фубини о кратных интегралах
и метрики Фубини-Штуди, полезные в комплексной
алгебраической геометрии. 




У Фубини было два сына, оба инженеры.
Фубини много времени проводил со своими 
сыновьями, интересуясь инженерными вопросами,
и даже написал учебник прикладной математики.
Он был евреем. Когда в 1938-м году Муссолини 
(доселе индифферентный к еврейскому вопросу,
и относившийся к евреям не без симпатии)
под давлением Гитлера
объявил о преследовании евреев и опубликовал 
"Манифест о расе", Фубини решил, что для
блага всей семьи ему лучше эмигрировать, и в скором времени
эмигрировал, вместе с сыновьями, став профессором в Принстоне.
Фубини был к тому моменту весьма нездоров, много болел,
и через 4 года после эмиграции умер.


Один из сыновей Гвидо Фубини, Юджин, стал 
директором военных исследователей в Пентагоне
и заместителем военного министра США; 
он воевал во второй мировой войне 
(на стороне Америки). У него было
6 дочерей, сын, и 16 внуков.


\end{document}
