Теория меры, лекция 6  Миша Вербицкий

6. Теория меры, лекция 6: Теорема Фубини

Пусть f – неотрицательная, функция на ℝ^{n}, а Z – сегмент в ℝ^{n+1}, ограниченный x_{n+1} = 0 и ее графиком, который представлен как отображение из оси плоскости x_{n+1} = 0 в прямую x_{n+1}. Теорема Фубини утверждает, среди прочего, что мера μ(Z) участка под графиком f равна ее интегралу, если f интегрируема.

Это утверждение интуитивно очевидно, и часто успользуется в качестве определения интеграла. Доказательство этого утверждения легко следует из единственности интеграла: достаточно проверить свойства 1-4 из предыдущей лекции, и убедиться, что сегмент под графиком измеримой функции измерим, что следует из приближения измеримой функции ступенчатыми.

Что занятно - из этого утверждения и полноты алгебры измеримых множеств следует полнота пространства L^{1}(ℝ^{n}).

Самая общая форма теоремы Фубини есть утверждение о проекции измеримых множеств, и она гораздо менее тривиальна. Она говорит, в частности, что для любого измеримого подмножества Z ⊂ ℝ^{n} × ℝ^{m} почти все слои проекции на ℝ^{m} измеримы, чти задает функцию на ℝ^{m}, определенную почти всюду, и равную объему слоя проекции. По теореме Фубини, интеграл от этой функции равен объему Z.

Чтобы доказать такую теорему, мы изучаем множество всех мер на данной сигма-алгебре, и выясняем, какие из мер имеют вид fμ, где f есть неотрицательная функция, интегрируемая относительно μ. Ответ на этот вопрос дает теорема Радона-Никодима (см. раздел 6.2). Что занятно, в доказательстве этой теоремы приходится использовать заряды, то есть σ-аддитивные функции на σ-алгебре, принимающие положительные и отрицательные значения.

6.1. Разложение Хана

6.1.1. Заряд и разложение Хана

Определение 6.1. Зарядом (signed measure) называется счетно-аддитивная функция на σ-ал-гебре, принимающая значения в ] − ∞, ∞] или [−∞, ∞[.

Определение 6.2. Пусть σ – заряд на сигма-алгебре 𝔄 подмножеств M, а Z ⊂ 𝔄 – какое-то подмножество. Обозначим за σ|_{Z} ограничение заряда на Z, то есть σ-аддитивную функцию, которая делает из X ∈ 𝔄 число σ(X ∩ Z).

Определение 6.3. Заряд σ называется положительным, если σ(X) ⩾ 0 для любого X, и отрицательным, если −σ положительный. Разложение Хана для заряда σ есть представление M в виде дизьюнктной суммы M = A ∐ B, где σ|_{A} положительный, а σ|_{B} отрицательный. Заряд называется ограниченным. если существует константа C такая, что σ(X) ⩽ C для любого X.

Теорема 6.4: Пусть 𝔄 – сигма-алгебра подмножеств M, а σ – ограниченный заряд на 𝔄.^{1} Тогда для σ существует разложение Хана.

Доказательство. Пусть C := sup_{X⊂M} σ(X).

1Ограниченность заряда на самом деле не нужна. В качестве упражнения, постройте разложение Хана, не пользуясь ограниченностью σ.

Шаг 1: Если σ(Z) ⩾ C − ε, то для любого V ⊂ M\Z, имеем σ(V) ⩽ ε. Действительно, в противном случае мы бы имели σ(V ∐ Z) = σ(V) + σ(Z) > C − ε + ε. Аналогично, для любого V ⊂ Z, получаем σ(V) ⩾ −ε.

Шаг 2: Пусть σ(Z_{1}), σ(Z_{2}) ⩾ C − ε. Поскольку Z_{1}\Z_{2} лежит в M\Z_{2}, в силу предыдущего шага имеем −ε ⩽ σ(Z_{1}\Z_{2}) ⩽ ε. Применяя тот же аргумент к σ(Z_{2}\Z_{1}) и складывая, получаем −2ε ⩽ σ(Z_{1}△Z_{2}) ⩽ 2ε. Для каждого подмножества X ⊂ Z_{1}△Z_{2}, верно то же самое: −2ε ⩽ σ(X) ⩽ 2ε

Шаг 3: Если |σ(X)| < ε для каждого X ⊂ Z, мы будем писать |σ||_{Z} < ε. Утверждение шага 2 в этих обозначениях записывается |σ|(Z_{1}△Z_{2}) ⩽ 2ε. Отметим, что |σ(X) − σ(Y)| < 2ε, если |σ|(X△Y) < ε. Действительно,

σ(X) − σ(Y) = σ(X\Y) − σ(Y \X),

но |σ(Y \X)| < ε и |σ(X\Y)| < ε, потому что |σ|(X△Y) < ε.

Шаг 4: Пусть {Z_{i}} – последовательность множеств из 𝔄, Y_{n} = ⋂_{i⩾n} Z_{i}, и для каждого i, верно |σ|(Z_{i}△Z_{i+1}) < ε_{i}. Тогда для любого |σ|(Y_{n}△Z_{n}) < ∑_{i=n}^{∞} ε_{i}. Это следует из того, что

Z_{n}△Y_{n} ⊂ ⋃_{i⩾n} Z_{i}△Z_{i+1},

(проверьте это), а значит, любой X ⊂ Y_{n}△Z_{n} получен дизъюнктным объединением подмножеств X_{i} ⊂ Z_{i}△Z_{i+1}, для каждого из которых верно −ε_{i} ⩽ σ(X_{i}) ⩽ ε_{i} То же самое верно и для последовательности Y′_{n} = ⋃_{i⩾n} Z_{i} (проверьте).

Шаг 5: Выберем последовательность \{Z_{i}\} ⊂ 𝔄 таким образом, что σ(Z_{i}) ⩾ C − \frac{1}{2^{i}}. Из шага 2, получаем |σ|(Z_{i}△Z_{i+1}) < \frac{1}{2^{i−1}} .

Применяя шаг 4, получаем, что |σ|(Z_{n}△Y_{n}) < \frac{1}{2^{i−3}} . для любого X ⊂ Z_{n}△Y_{n}. В силу шага 3, монотонная последовательность Y_{1} ⊂ Y_{2} ⊂ Y_{3} ⊂ ... удовлетворяет |σ(Y_{i}) − σ(Z_{i})| < \frac{1}{2^{i−4}} . Снова применяя шаг 3, получим σ(Y_{i}) ⩾ C − \frac{1}{2^{i−5}} .

Шаг 6: Применяя шаг 2, получим |σ|(Y_{i}△Y_{i+1}) < \frac{1}{2^{i−6}} .

Шаг 7: Пусть Y = ⋂ Y_{i}. Применяя аргумент из шага 3, и пользуясь утверждением шага 6, получаем

|σ|(Y △Y_{n}) ⩽ ∑_{i=n}^{∞} \frac{1}{2^{i−6}} ⩽ \frac{1}{2^{n−7}} .

Опять применив шаг 3, получим σ(Y) = lim σ(Y_{i}) = C.

Шаг 8: Положим A := Y. Для каждого подмножества Z ⊂ A, σ(Z) ⩾ 0, потому что иначе мы бы имели σ(A\Z) > σ(A) = C. Аналогично, для каждого Z ⊂ M\A, σ(Z) ⩽ 0. Поэтому M = A ∐(M\A) есть разложение Хана.

Определение 6.5. Пусть σ – заряд на σ-алгебре 𝔄. Назовем множество Z ∈ 𝔄 σ-пренебре-жимым, если σ(Z′) = 0 для любого Z′ ⊂ Z.

Замечание 6.6. Разложение Хана определено однозначно с точностью до σ-пренебрежимого множества (докажите это).

6.1.2. Ганс Хан

Ганс Хан происходит из Вены; он защитил диссертацию в 1902-м году, под руководством Густава фон Эшериха, который был также руководителем Радона (теория меры), Титце ("лемма Титце", известная в топологии), Виеториса (последовательность Маера-Виеториса) и Виртингера ("неравенство Виртингера"). Вплоть до войны Хан профессорствовал в городе Черновиц, ныне Черновцы.

Хан воевал, был ранен на итальянском фронте; после войны он стал профессором в Бонне, а потом в Вене. В Вене Хан много занимался философией. Он был основателем "венского кружка" ("Общество Эрнста Маха") логических позитивистов, и до сих пор знаменит в этом качестве среди поклонников логического позитивизма.

Хан был социалистом, весьма сильных убеждений; однажды он задержал среди улицы извозчика, который жестоко обращался со своей лошадью, и отволок его в полицейский участок. Также Хан научно изучал парапсихологию, и читал лекции о природе спиритизма.

Hans Hahn (September 27, 1879 - July 24, 1934)

Студентами Хана был Витольд Гуревич, прославленный гомоморфизмом Гуревича, Курт Гедель, также участник "Общества Эрнста Маха", и Карл Поппер, ставший философом.

6.2. Теорема Радона-Никодима

Определение 6.7. Пусть S - пространство с сигма-алгеброй, а μ и ν две меры. Мы говорим, что ν абсолютно непрерывна относительно μ (обозначается ν ≪ μ) если для любого измеримого множества A, из μ(A) = 0 следует ν(A) = 0.

Определение 6.8. Непрерывная мера на пространстве с мерой Лебега есть мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега.

Пример 6.9: Пусть x ∈ [0, 1] – точка на отрезке, а μ_{x} – мера, такая, что μ_{x}(A) = 0, если A ∌ x, и μ_{x}(A) = 1, если A ∋ x. Легко видеть, что такая мера не непрерывна.

Пример 6.10: Пусть f – измеримая, неотрицательная функция на пространстве M с сигмаалгеброй, а μ – мера на M. Обозначим за fμ меру, которая делает из измеримого множества A ⊂ M интеграл ∫_{μ} f|_{A}. Проверьте, что это действительно мера. Проверьте, что fμ ≪ μ.

Замечание 6.11. Интеграл функции по множеству A ⊂ M часто обозначается ∫_{A} fμ. Это обозначение весьма удобно. Смысл его в том, что fμ – это заряд на M, а ∫_{A} σ обозначает σ(A), для заряда σ = fμ.

Теорема 6.12: (теорема Радона-Никодима) Пусть M – пространство с сигма-алгеброй, а ν ≪ μ – меры на M, причем μ(M), ν(M) < ∞. Тогда ν = fμ для какой-то интегрируемой функции f на M.

Доказательство: Пусть x ∈ ℝ. Легко видеть, что ν −xμ есть ограниченный заряд. Обозначим за A(ν −μ) максимальное множество, где заряд ν −xμ положительный, полученное из разложения Хана. Для отрезка [x, y] ⊂ ℝ, обозначим за A_{[x,y]} множество A(ν − xμ)\A(ν − yμ).

Расмотрим ступенчатую функцию

Ψ_{n}(ν) := ∑_{i∈ℤ^{⩾0}} \frac{i}{n}|_{A_{[\frac{i}{n} , \frac{i+1}{n}]}} .

Эта функция равна \frac{i}{n} на каждом множестве вида A_{[\frac{i}{n} , \frac{i+1}{n}]}.

Легко видеть, что ⋃_{i∈ℤ} A_{[\frac{i}{n} , \frac{i+1}{n}]} равно M, с точностью до множества меры нуль. В самом деле, дополнение B к этому множеству лежит в ⋃_{n∈Z} A_{[n,∞]} (проверьте это), а значит, удовлетворяет ν(B) > Cμ(B) для любого C ∈ ℤ. Мы получаем, что μ(B) равно нулю, и ν(B) = 0 по абсолютной непрерывности.

На каждом из A_{[\frac{i}{n} , \frac{i+1}{n}]}, имеем \frac{i}{n}μ ⩽ ν ⩽ \frac{i+1}{n}μ, значит,

0 ⩽ ν − Ψ_{n}μ ⩽ \frac{1}{n}μ.

Поэтому Ψ_{n} – последовательность Коши в L^{1}-топологии, заданной μ, и ее предел удовлетворяет ν − lim Ψ_{n}μ = 0.

Замечание 6.13. В прошлой лекции, мы получали измеримую функцию как равномерный предел ступенчатых, f = lim_{n} Ψ_{n}(f). Если f есть измеримая функция, ν = fμ, то Ψ_{n}(ν) есть функция Ψ_{n}(f) (проверьте это). Доказательство теоремы Радона-Никодима следует той же логике, что и построение интеграла: мы приближаем меру ν последовательностью мер вида f_{n}μ, таким образом, чтобы последовательность f_{n} сходилась в топологии L^{1}.

6.3. Теорема Фубини

6.3.1. Цилиндрические множества и произведение мер

Определение 6.14. Пусть W = M × N – произведение множеств, снабженных сигма-алгебрами A_{M} и A_{N}. Определим цилиндрическое множество как множество вида X × Y, где X ∈ A_{M} и Y ∈ A_{N} – подмножества M и N, лежащие в σ-алгебре. Алгебра цилиндрических множеств есть кольцо множеств, порожденное конечными объединениями цилиндрических. Произведение сигма-алгебр есть сигма-алгебра подмножеств M × N, порожденная цилиндрическими множествами.

Утверждение 6.15: Пусть μ, ν – аддитивные меры на A_{M} и A_{N}. Рассмотрим функцию ξ на множестве цилиндрических подмножеств M × N, определенную формулой ξ(X × Y) = ξ(X) × ξ(Y). Тогда ξ можно продолжить до аддитивной функции на алгебре цилиндрических множеств, которую мы обозначаем за μ × ν.

Доказательство: Легко видеть, что пересечение цилиндрических множеств цилиндрическое. Поэтому достаточно доказать, что если цилиндрическое множество Z разбито в конечное объединение цилиндрических, Z = ⋃ Z_{i}, то ξ(Z) = ∑ ξ(Z_{i}). Это видно из следующей картинки. Для

Разбиение множества M × N в объединение цилиндрических

формального доказательства, рассмотрим измельчение разбиения Z = M × N = ⋃ Z_{i} такое, что M = ∐ M_{p}, N = ∐ N_{q}, и M ×N = ∐_{p,q} M_{p}×N_{q}. Назовем такое разбиение простым. Для простого разбиения, аддитивность меры следует сразу из определения. С другой стороны, каждый из Z_{i} будет объединением нескольких элементов вида M_{p} × N_{q}, причем такое разбиение Z_{i} тоже будет простым, значит, ξ(Z) = ∑ ξ(Z_{i}) следует из ξ(Z) = ∑_{p,q} ξ(M_{p} × N_{q}).

Чтобы продолжить построенную аддитивную меру ξ на сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, достаточно доказать ее σ-аддитивность, то есть проверить, что ξ(Z) ⩽ ∑ ξ(Z_{i}) для любого цилиндрического множества Z ⊂ ∐_{i=1}^{∞} Z_{i} (если это верно, то мы продолжим ξ на пополнение алгебры цилиндрических множеств, как в лекции 4, а пополнение содержит, среди прочего, и сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами).

Сигма-аддитивность ξ следует из того же аргумента, который доказывал утверждение 6.15. Заменим разбиение Z = ∐_{i=1}^{∞} Z_{i} на его измельчение вида Z = ∐_{p,q} M_{p} × N_{q}. Тогда ∑ ξ(Z_{i}) = ∑ ξ(M_{p} × N_{q}) ⩾ ξ(Z) (последнее неравенство следует из σ-аддитивности μ и ν).

Мы получили такое утверждение

Утверждение 6.16: Пусть W = M × N – произведение множеств, снабженных сигма-алгебрами A_{M} и A_{N}, A_{W} – сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, а μ, ν – сигмааддитивные меры на A_{M}, A_{N}. Тогда μ × ν продолжается до счетно-аддитивной меры на M × N.

Определение 6.17. Измеримое подмножество в M × N есть подмножество, которое получается как предел последовательности Коши элементов A_{W}, в метрике, заданной как d(X, Y) = μ × ν(X△Y). Измеримая функция на M × N есть функция со значениями в ℝ, такая, что прообраз любого борелевского множества измерим.

6.3.2. Теорема Фубини

Теорема 6.18: (теорема Фубини) Пусть M, N – пространства, снабженные сигма-алгебрами A_{M} и A_{N} и мерой μ, ν, а ξ = μ×ν – мера произведения на M ×N. Рассмотрим интегрируемую функцию f : M × N ⟶ ℝ, и пусть M × N ⟶^{π} M - проекция. Тогда

(i) Для почти всех m ∈ M, ограничение f|_{π^{−1}(m)} – интегрируемая функция на π^{−1}(m) ≅ N.

(ii) Пусть φ : M ⟶ ℝ – функция, заданная формулой φ(m) := ∫_{N} f|_{π^{−1}(m)} ν вне множества меры

0, где интеграл ∫_{ν} f|_{π^{−1}(m)} не определен. Тогда φ интегрируема, и ∫_{M×N} fξ = ∫_{M} φμ.

Доказательство теоремы Фубини занимает остаток этого раздела. Отметим сразу, что достаточно доказать ее для функции f ⩾ 0, потому что f = (|f| + f) − (|f| − f), где каждый из членов в скобках интегрируем и неотрицателен. Поэтому будем считать, что f ⩾ 0.

Следующее упражнение доказывается так же, как и теорема о том, что измеримые по Лебегу множества суть борелевские с точностью до меры нуль.

Упражнение 6.19: В условиях теоремы Фубини, обозначим за 𝔄 сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами. Докажите, что каждое измеримое подмножество X ⊂ M × N удовлетворяет ξ(X△X′) = 0 для какого-то X′ ∈ 𝔄.

Лемма 6.20: Для любой измеримой функция f найдется f′, которая получается как предел монотонной последовательности f′_{n} = ∑ c_{i}χ(Z′_{i}), где все Z′_{i} принадлежат 𝔄, а f − f′ = 0 почти всюду.

Доказательство: Как было доказано в предыдущей лекции, измеримая функция f получается как предел монотонно неубывающей последовательности f_{n} := Ψ_{n}(f) ступенчатых функций вида f_{n} = ∑ c_{i}χ(Z_{i}), где χ(Z_{i}) есть характеристическая функция измеримого множества Z_{i}. Заменив каждое из Z_{i} на множестви Z′_{i} ∈ 𝔄, такое, что Z_{i}△Z′_{i} имеет меру 0, получим последовательность f′_{n} = ∑ c_{i}χ(Z′_{i}). Эта последовательность не обязательно монотонна, но она монотонна вне множества Z := ⋃_{i}(Z_{i}△Z′_{i}) меры ноль. Положим все f′_{n} равными 0 на Z и получим монотонную последовательность ступенчатых функций вида f′_{n} = ∑ c_{i}χ(Z_{i}\Z), с множествами уровня Z_{i}\Z ∈ 𝔄.

Применяя лемму 6.20 к функции f из теоремы Фубини, и пользуясь тем фактом, что пересечение множества V ∈ 𝔄 с π^{−1}(m) измеримо, мы получим, что функция f′|_{π^{−1}(m)} измерима для

каждого m ∈ M. В самом деле, f′|_{π^{−1}(m)} получено как предел монотонной последовательности ступенчатых, измеримых функций.

Обозначим за Z подмножество в M × N, где f ≠ f′, и пусть π_{∗}Z ⊂ M – множество всех точек M, для которых Z ∩π^{−1}(m) не меры 0. Ограничение f|_{π^{−1}(m)} отличается ot f′|_{π^{−1}(m)} вне множества

Z ∩ π^{−1}(m), которое имеет меру 0 для m ∉ π_{∗}Z. Значит, f|_{π^{−1}(m)} измеримо для любого m ∉ π_{∗}Z. Мы получаем, что теорема 6.18 (i) вытекает из следующей леммы.

Лемма 6.21: Пусть Z ⊂ M × N – множество меры 0. Тогда Z ∩ π^{−1}(m) имеет меру 0 для почти всех m ∈ M.

Доказательство: Покроем Z счетным набором \{Z_{i}(\frac{1}{n^{2}} )\} цилиндрических множеств суммарной меры ⩽ \frac{1}{n^{2}} . Обозначим за M(\frac{1}{n}) ⊂ M подмножество, состоящее из всех m ∈ M таких, что π^{−1}(m) ∩ ⋃ Z_{i}(\frac{1}{n^{2}} ) имеет меру ⩾ \frac{1}{n}. В силу того, что ⋃ Z_{i}(\frac{1}{n^{2}} ) имеет меру ⩽ \frac{1}{n^{2}} , мера M(\frac{1}{n}) ограничена: μ(M(\frac{1}{n})) ⩽ \frac{1}{n}. Для любой точки m, не лежащей в ⋂_{n} M(\frac{1}{n}), мера Z ∩ π^{−1}(m) равна нулю (проверьте это). С другой стороны, ⋂_{n} M(\frac{1}{n}) покрывается множествами M(\frac{1}{n}) произвольно малой меры, значит, это множество меры 0.

Замечание 6.22. Пусть Z ⊂ M – множество меры 0, а f – измеримая функция на M, которая равна нулю вне Z. Тогда ∫_{μ} f = 0. Действительно, ∫_{μ} f получается как предел интегралов ступенчатых функций f_{n}, которые равны нулю вне Z, но каждый такой интеграл выражается суммой вида ∑ c_{i}μ(Z_{i}), где Z_{i} ⊂ Z. Поскольку μ(Z) = 0, имеем μ(Z_{i}) = 0, значит, ∫_{μ} f_{n} = 0. В лекции 5 это замечание присутствует как Упражнение 5.31.

Воспользовавшись первой частью теоремы Фубини, заменим f на функцию f′, такую, что f′|_{π^{−1}(m)} интегрируемо для любого m ∈ M, а f = f′ вне множества меры 0. Из замечания 6.22 следует, что достаточно доказать 6.18 (ii) в этом предположении. Поэтому мы можем с самого начала предполагать, что f|_{π^{−1}(m)} интегрируемо для любого m ∈ M.

Для доказательства второго утверждения теоремы Фубини, нам понадобится следующее понятие.

Определение 6.23. Пусть M, N – пространства с σ-алгебрами A_{M} и A_{N}. Измеримое отображение есть такое отображение f : M ⟶ N, что прообраз множества, лежащего в A_{N}, содержится в A_{M}.

Замечание 6.24. Обыкновенная "измеримая функция" есть измеримое отображение из пространства с σ-алгеброй в ℝ с сигма-алгеброй борелевских множеств.

Замечание 6.25. Пусть W = M × N – произведение множеств, снабженных сигма-алгебрами A_{M} и A_{N}, а A_{W} – сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами в W. Рассмотрим проекцию M × N ⟶^{π} M. Поскольку прообраз π^{−1}(Z) измеримого множества Z ⊂ M цилиндрический, он измерим, значит, π есть измеримое отображение.

Определение 6.26. Пусть f : M ⟶ N – измеримое отображение пространств, снабженных сигма-алгебрами A_{M} и A_{N}, а μ есть сигма-аддитивная мера на A_{M}. Рассмотрим функцию π_{∗}μ на A_{N}, заданную формулой π_{∗}μ(Z) := μ(π^{−1}(Z)). Легко видеть, что π_{∗}μ есть σ-аддитивная мера на A_{N} (проверьте это). Мера π_{∗}μ называется прямым образом меры μ.

Утверждение 6.27: В условиях теоремы Фубини (Теорема 6.18), мера π_{∗}(fξ) является абсолютно непрерывной: π_{∗}(fξ) ≪ μ.

Доказательство: Если Z ⊂ M имеет меру нуль, то π_{∗}(fξ)(Z) = ∫_{ξ} f|_{Z} = 0 в силу замечания 6.22. Значит, π_{∗}(fξ)(Z) = 0 для любого множества меры нуль.

Применяя теорему Радона-Никодима, мы находим, что π_{∗}(fξ) = tμ, где t есть интегрируемая функция, удовлетворяющая ∫_{μ} t = ∫_{ξ} f. Для доказательства теоремы Фубини осталось доказать, что t = φ, где φ – функция, определенная в теореме 6.18 (ii).

Заменив f на монотонно неубывающий предел ступенчатых функций f = lim f_{i}, мы получим, что соотвествующие функции t(f_{i}) и φ(f_{i}) тоже монотонно неубывают. Поскольку интеграл перестановочен с пределом монотонно неубывающих функций (см. в прошлой лекции), мы получаем, что достаточно доказать, что t = φ для ступенчатой функции f. Разбив f в счетную сумму вида f = ∑ c_{i}χ(U_{i}), получим, что остается доказать теорему 6.18 (ii) для характеристической функции измеримого множества, f = χ(U).

Измеримое множество в M × N получается как предел счетных объединений цилиндрических; снова переходя к пределу, убеждаемся, что достаточно доказать, что φ = t для f = χ(U), где U – цилиндрическое множество. Но в такой ситуации это утверждение является тавтологией (проверьте это). Мы закончили доказательство теоремы Фубини.

Guido Fubini (January 19, 1879 - June 6, 1943)

6.3.3. Гвидо Фубини

Фубини был учеником Луиджи Бьянки. Бьянки занимался дифференциальной геометрией однородных римановых многообразий, и получил их классификацию в размерности 3. Диссертация Фубини (1902) была посвящена дифференциальной геометрии однородных многообразий, но сразу после защиты тезиса он занялся анализом на симметрических пространствах, и опубликовал работу о гармонических функциях. Фубини успешно работал во множестве отраслей математики, физики и инженерного дела. Он придумал теорему Фубини о кратных интегралах и метрики Фубини-Штуди, полезные в комплексной алгебраической геометрии.

У Фубини было два сына, оба инженеры. Фубини много времени проводил со своими сыновьями, интересуясь инженерными вопросами, и даже написал учебник прикладной математики. Он был евреем. Когда в 1938-м году Муссолини (доселе индифферентный к еврейскому вопросу, и относившийся к евреям не без симпатии) под давлением Гитлера объявил о преследовании евреев и опубликовал "Манифест о расе", Фубини решил, что для блага всей семьи ему лучше эмигрировать, и в скором времени эмигрировал, вместе с сыновьями, став профессором в Принстоне. Фубини был к тому моменту весьма нездоров, много болел, и через 4 года после эмиграции умер.

Один из сыновей Гвидо Фубини, Юджин, стал директором военных исследователей в Пентагоне и заместителем военного министра США; он воевал во второй мировой войне (на стороне Америки). У него было 6 дочерей, сын, и 16 внуков.