\documentclass[11pt]{book}

\input{lectures.sty}

% version 1.0, 08.10.2010
% version 1.1, 11.10.2010, опечатку нашел Никита С.
% version 2.0, 20.10.2010, весьма радикально переписан текст
% version 2.1, 23.10.2010, много исправлений
% version 2.2, 20.01.2012, corrections from Sasha Anan'in

\renewcommand{\version}{version 2.2,\ \   20.01.2012}

\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, осень 2010, второй курс, лекция 5} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{4}
\lhead{{\scriptsize  Теория меры, лекция 5}}
\chapter{Теория меры, лекция 5: измеримые функции}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Мера и интеграл -- понятия весьма близкие.
Мера множества есть интеграл его характеристической
функции. Наоборот, если на пространстве задана мера,
можно говорить об интеграле функции. В этой лекции 
я объясню, как получить из меры на пространстве
интеграл.

Чтобы получить алгебру измеримых множеств, берут
алгебру многогранников, и находят ее пополнение
по метрике, полученной из меры симметрической разности.
Аналогичным образом можно построить пространство
измеримых функций: надо взять предел ступенчатых
функций по метрике, которая получается из интеграла.
Такая метрика называется $L^1$-метрикой. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Измеримые функции и интеграл Лебега}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Определение интеграла}


\определение
{\бф Мера} на сигма-алгебре $A$ есть
счетно-аддитивная функция $A\arrow \R^{\geq 0}$.
{\бф Мера} на топологическом пространстве
есть мера на его борелевской алгебре.
\ео

\определение
Мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре $A$ называется 
{\бф $\sigma$-конечной}, если 
для любого $Z\in A$, можно покрыть
$Z$ объединением $Z_i\in A$, $Z\subset \bigcup_{i\in \Z} Z_i$,
где все $Z_i$ имеют конечную меру.
\ео

\замечание
Мера Лебега, очевидно, $\sigma$-конечна.
На протяжении этой лекции (и везде в дальнейшем,
где требуется применить интеграл), 
все меры предполагаются $\sigma$-конечными.
\еза



\определение
Пусть $(M, \mu)$ есть пространство с 
заданной на нем мерой.
Функция $M\stackrel f\arrow \R$
называется {\бф измеримой}, если
прообраз каждого борелевского множества
измерим.
\ео


\замечание
Непрерывные функции, очевидно, измеримы.
\еза

\задача
Пусть $f:\; M \arrow \R$ -- функция, такая,
что прообраз любого отрезка измерим. Докажите, что
$f$ тоже измерима.
\ез

\определение\label{_integral_axioms_Definition_}
Рассмотрим множество $V$ всех измеримых функций
на $(M, \mu)$ со значениями в $\R^{\geq 0}$. 
{\бф Интеграл Лебега},
или просто {\бф интеграл} 
есть функционал $V \stackrel {\int_\mu}\arrow [0, \infty]$,
обладающий следующими свойствами.

1. Линейность: 
$\int_\mu f+g = \int_\mu f + \int_\mu g$, и $\int_\mu \lambda f = \lambda \int_\mu f$
для любого $\lambda \in \R^{\geq 0}$.

2. Неотрицательность: 
$\int_\mu f\geq 0$ для каждой функции $f\geq 0$, причем
равенство имеет место только если $f=0$ вне множества
меры 0.

3. Совместимость с мерой: если $\chi$ -- характеристическая
функция измеримого множества $Z$ с конечной мерой,
то $\int_\mu \chi = \mu(Z)$.

4. $\sigma$-аддитивность: если
$f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ разложение функции в бесконечную сумму
неотрицательных функций,
то $\int_\mu f = \sum_i \int_\mu f_i$.

\ео

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_Integral_sushche_Teorema_}
Интеграл существует, и определен однозначно, исходя
из этих четырех аксиом.

\хфилл

Мы докажем эту теорему в следующем разделе.

\хфилл

\определение
{\бф Интеграл измеримой функции} $f:\; M \arrow \R$
определяется как 
\[ \int_\mu f = \frac 1 2 \left[\int_\mu(|f| + f) - 
   \int_\mu(|f| - f)\right].
\] Эта формула задает линейный функционал
на пространстве всех измеримых функций, для которых $\int_\mu |f|$
конечен (проверьте это). Интеграл принимает конечное
значение, если оба члена в квадратных
скобках конечны, он равен $\infty$ если первый
из них бесконечен, а второй конечен, и $-\infty$,
если первый конечен, а второй бесконечен.
Если они оба равны $\infty$, интеграл не определен.
\ео

Можно было бы сразу задать интеграл как линейный
функционал на пространстве измеримых функций, но
если позволить интегралу принимать значение $\pm \infty$,
будет трудно говорить о линейности.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$L^1$-норма на пространстве ступенчатых функций}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Идея доказательства теоремы \ref{_Integral_sushche_Teorema_}
такая же в точности, как и определение меры измеримого
множества, исходя из сигма-аддитивной меры на алгебре
многогранников. Измеримые множества можно построить как
предел многогранников, а измеримые функции - как предел
ступенчатых. Интеграл можно вычислить
с помощью предельного перехода, в точности так же,
как мы делали с мерой.


\определение
{\бф Ступенчатая функция} на множестве с заданной на
нем $\sigma$-алгеброй $\goth A$ есть функция $f$, принимающая
счетное (или конечное) число значений, причем
$f^{-1}(c)$ лежит в $\goth A$ для любого $c$.
\ео 

\определение
Пусть $f:\; M \arrow \R^{\geq 0}$ -- ступенчатая
функция на пространстве $(M, \mu)$ с мерой, $\{c_i\}$ --
множество ее значений, а $Z_i:= f^{-1}(c_i)$ -- 
соответствующие подмножества $M$. Определим
{\бф интеграл $f$} как сумму
$\int_\mu f:= \sum_i c_i \mu(Z_i)$.\footnote{Если $c_i=0$,
а $\mu(Z_i)=\infty$, мы полагаем $c_i \mu(Z_i)=0$: интеграл
от фукции, тождественно равной нулю, нулевой.}
Интеграл принимает значения в $[0, \infty]$.
\ео

\замечание
Интегралы ступенчатых функций
удовлетворяют условиям 1-4 из определения
\ref{_integral_axioms_Definition_} (проверьте 
это).\footnote{Для доказательства, редуцируем к случаю
$c_i\neq 0$, а $\mu(Z_i)<\infty$. Линейность,
совместимость с мерой и неотрицательность
интеграла очевидны. $\sigma$-аддитивность интеграла
выводится из $\sigma$-аддитивности меры Лебега.}
\еза

\определение
{\бф Почти всюду} значит "вне множества меры 0".
\ео

\определение
Определим {\бф $L^1$-норму} на пространстве
ступенчатых функций формулой \[ \Vert f\Vert := \int_\mu |f|.\]
Она принимает значения в $[0, \infty]$.
Определим {\бф $L^1$-метрику} формулой
$d(f,g):= \Vert f-g\Vert $.
\ео

\замечание
Строго говоря, и $L^1$-норма и $L^1$-метрика 
не являются нормой и метрикой на пространстве
ступенчатых функций: они зануляются
на функциях, которые равны нулю почти всюду. 
Корректнее было бы сказать, что это норма 
и метрика на факторпространстве ступенчатых
функций по пространству ступенчатых функций, которые 
равны нулю почти всюду. 
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Измеримая функция как предел ступенчатых}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $f_i:\; M \arrow \R$ -- последовательность функций.
Напомним, что $f_i$ {\бф равномерно сходится} к $f:\; M \arrow \R$,
если для каждого $\epsilon>0$ найдется $N$ такой, что
$|f-f_i| <\epsilon$ при $i>N$.
\ео

\предложение
Пусть $f$ -- измеримая функция на пространстве $M$
с $\sigma$-алгеброй. Тогда существует последовательность
$\{f_i\}$ ступенчатых функций, $f_1\leq f_2\leq f_3 \leq ...$
которая равномерно сходится к $f$. Если, к тому же, само пространство
$M$ имеет конечную меру, то
$f_i$ есть последовательность
Коши относительно $L^1$-метрики, и все такие последовательности
Коши эквивалентны.

\хфилл

{\бф Доказательство:} 
Обозначим за $f_n$ функцию вида
$x\stackrel {f_n}\arrow \frac 1 {2^n} [2^nf(x)]$, где $[...]$ обозначает
целую часть. Легко видеть, что $f_n$ есть неубывающая
последовательность ступенчатых функций, причем 
$\Vert f-f_n\Vert  \leq 1/2^n$, значит, $f_n$ равномерно сходится
к $f$.

Поскольку $\Vert f_i - f_{i+j}\Vert < \frac 1 n \mu(M)$.
$\{f_i\}$ есть последовательность Коши.

Если $\{f_i\}$, $\{f'_i\}$ -- две такие
последовательности Коши, то $\lim_i \sup_M|f_i - f'_i| =0$.
Но поскольку $\int_\mu |f_i - f'_i| \leq \mu(M) \sup_M|f_i - f'_i|$,
из этого следует, что $\lim_i \Vert f_i - f_i'\Vert=0$,
то есть эти последовательности Коши эквивалентны.
\ендпрооф

\хфилл

\определение
Пусть $f$ -- измеримая функция на пространстве $M$
с $\sigma$-алгеброй и сигма-аддитивной мерой $\mu$,
такой, что $\mu(M)< \infty$.
Определим $\int_\mu f$ как $\lim_i \int_\mu f_i$,
где $\{f_i\}$ -- последовательность ступенчатых функций,
равномерно сходящихся к $f$.
\ео

\замечание
 Легко видеть, что
$\int_\mu f$ удовлетворяет условиям 1--4 из
определения интеграла (докажите это). \footnote{Условия 1-3
очевидны; чтоб убедиться в $\sigma$-аддитивности, 
для любого разложения вида $f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ 
представьте $f_i$ как предел ступенчатых функций,
$f_i = \lim_j f_i(j)$, таким образом, что 
$\Vert f_i - f_i(j)\Vert < \frac {1}{2^{i+j}}$, 
и убедитесь,
что $f = \lim_j \sum_i f_i(i+j)$, причем
$\int_M\sum_i f_i(i+j)=\sum_i \int_Mf_i(i+j)$.}
\еза




\замечание
Единственность интеграла, заданного условиями 1--4, 
тоже очевидна. В самом деле, если $0 \leq f-f_i \leq \epsilon$, имеем
$0\leq \int_\mu (f-f_i) \leq\epsilon \mu(M)$ (проверьте это),
а значит, $\lim_i \int_\mu f_i=\int_\mu f$. Но 
$\int_\mu f_i$ задан условиями 1--4 однозначно,
потому что $f_i$ ступенчатая.
\еза

\замечание
Пусть $M$ разбито в счетное объединение непересекающихся
подмножеств конечной меры, $M= \coprod K_i$. Для каждой измеримой
функции $f:\; M \arrow \R^{\geq 0}$, напишем $f= \sum f_i$, где $f_i=f$ на $K_i$
и нулю вне $K_i$. Интеграл $f_i$ хорошо определен
в силу вышеизложенного. Положим $\int_\mu f:= \sum \int_\mu f_i$.
Легко видеть, что таким образом определенный интеграл
удовлетворяет условиям 1-4 из определения интеграла.
В такой ситуации, интеграл тоже однозначно
задается этими условиями. В самом деле,
в силу счетной аддитивности интеграла, 
$\int_\mu f=\sum \int_\mu f_i$, а $f_i$ -- функция,
определенная на множестве $K_i$ с конечной мерой,
и интеграл $\int_\mu f_i$ 
однозначно определяется этими условиями,
как мы уже видели.
\еза

\замечание
Легко видеть, что $\int_M f\leq\mu(M)\sup|f|$
для любой измеримой функции $f$ (докажите это).
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Поточечный предел измеримых функций}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Поточечный предел функций}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Последовательность $\{f_i\}$ функций {\bf поточечно сходится}
к $f$, если \[ \lim_i f_i(x) = f(x)\] для любого $x$.
\ео

Пусть $A$ -- топологическое пространство.
Пространство функций на $M$ со значениями в $A$ с топологией поточечной
сходимости есть произведение $M$ копий $A$, с топологией
произведения, которая в этой ситуации называется
{\бф тихоновской топологией}. Теорема Тихонова
утверждает, что для любого компактного $A$,
произведение любого числа копий $A$ с собой
компактно. Это нетривиальная теорема, которая
существенно использует теорию множеств, в 
частности, аксиому выбора. Доказательство
Тихонова было получено, когда тому было 22 года,
но старшие товарищи не могли поверить, что
это может быть правдой, и не позволяли опубликовать
его теорему почти 10 лет. 

Любопытно, что Коши, который первый задумался
о сходимости функций, не видел разницы между
поточечной и равномерной сходимостью; среди прочего,
он считал, что поточечный предел непрерывных
функций непрерывен (найдите контрпример). 
Впервые осознал
нетривиальность этого понятия, видимо, Дирихле,
но четкие формулировки всех нужных определений
и теорем принадлежат Вейерштрассу.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Поточечный предел и интеграл}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Поточечный предел измеримых функций всегда измерим.
Увидеть это нетрудно: значала надо проверить, что
он измерим для монотонной последовательности измеримых
функций, а потом убедиться, что предел любой последовательности
$f_i$ получается как предел $g_n:= \sup_{i>n} f_i$,
причем последователность $\{g_n\}$ невозрастает, и 
каждое $g_n$ получено
как предел неубывающей последовательности:
\[
g_n= \lim_N \sup_{i=n+1}^N f_i
\]
(см. теорема \ref{_poto_skho_integral_Teorema_}).

Оказывается, что поточечный предел
ограниченных функций перестановочен с интегралом.
Сначала докажем вспомогательную лемму.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма\label{_int_small_Lemma_}
Пусть $f$ -- измеримая неотрицательная функция
на $(M, \mu)$, и $\int_\mu f < \infty$.
Тогда
\begin{description}
\item[(i)] Для любой последовательности
вложенных измеримых множеств 
$X_0 \supset X_1 \supset X_2 \supset ...$,
с $\bigcap X_i = \emptyset$, имеем 
$\lim_i \int_\mu f \restrict{X_i}=0$.
Здесь $f \restrict{X_i}$ означает {\бф ограничение}
$f$ на $X_i$, то есть функцию, которая равна
$f$ на $X_i$, и нулю вне $X_i$.
\item[(ii)] $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_\mu f \restrict{f^{-1}([0,\epsilon])}=0.$
\end{description}
{\бф Доказательство:}
Для ступенчатой функции, и первое и второе утверждение
очевидны (проверьте это). Поскольку интеграл определяется
через приближение измеримой функции ступенчатыми,
лемму достаточно проверить, когда $f$ ступенчатая
(обоснуйте). \ендпрооф

\хфилл


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма\label{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_}
Пусть $\{f_i\}$ -- невозрастающая последовательность неотрицательных
измеримых функций на $M$, которая поточечно сходится к 0.
Предположим, что $\int_M f_0 < \infty$.
Тогда $\lim_i \int_\mu f_i =0$.

\hfill

{\bf Доказательство:} 
В силу монотонности $f_i$,
для каждого $\epsilon>0$ имеем цепочку вложений
\[
f_1^{-1}([0,\epsilon[) \subset f_2^{-1}([0,\epsilon[) \subset 
f_3^{-1}([0,\epsilon[) \subset ...
\]
причем $\bigcup_i f_i^{-1}([0,\epsilon[) = M$
в силу того, что $f_i$ поточечно сходится к 0. 
Из леммы \ref{_int_small_Lemma_} (i) получаем, что для любой 
интегрируемой функции $g\geq 0$,
\begin{equation}\label{_limit_mu_zero_Equation_}
\lim_i\int_\mu g\restrict{f_i^{-1}([\epsilon, \infty[)}=0.
\end{equation}
В силу леммы \ref{_int_small_Lemma_} (ii)
\begin{equation}\label{_limit_mu_epsilon_Equation_}
\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_\mu f_i\restrict{f_i^{-1}([0,\epsilon])}=0
\end{equation}
Поскольку $f_i$ не возрастает, имеем
\[
\int_\mu f_i \leq \int_\mu f_i\restrict{f_i^{-1}([0,\epsilon])} 
+ \int_\mu f\restrict{f_i^{-1}([\epsilon, \infty[)}
\]
Значит, \eqref{_limit_mu_zero_Equation_}  и 
\eqref{_limit_mu_epsilon_Equation_}
дает $\lim_i \int_\mu f_i =0$.
\ендпрооф


\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма\label{_izmerima_lim_nevozr_Lemma_}
Пусть $\{f_i\}$ -- неубывающая последовательность
измеримых функций, причем  $\int_M |f_i| < C <\infty$.
Тогда $f:=\sup_i f_i$ тоже измеримо, и 
$\lim_i \int_\mu | f-f_i| =0$.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Измеримость $f$ очевидна, ибо
$f^{-1}(]-\infty, c[) = \bigcap_i f^{-1}_i(]-\infty, c[)$,
значит, прообраз любого борелевского множества измерим
(проверьте это).
Последовательность $\{f - f_i\}$ положительных функций
монотонно убывает и поточечно сходится к нулю,
так что $\lim_i \Vert f-f_i \Vert =0$ в силу
леммы \ref{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_}.
\ендпрооф

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_poto_skho_integral_Teorema_}
Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность измеримых функций на 
$(M,\mu)$, принимающих значения в отрезке $[-C,C]$,
которая поточечно сходится к $f$, причем мера $M$ конечна.
Тогда $f$ тоже измерима, и $\int_\mu f= \lim_i \int_\mu f_i$.

\хфилл

{\бф Доказательство. Шаг 1:} Отмечу сразу, что
отрезок $[-C,C]$ можно без ограничения общности
заменить на $[0, 2C]$. Мы будем предполагать,
что $f_i \geq 0$. Пусть $g_n := \inf_{k\geq n} f_k$.
Каждая из функций $g_n$ получена как предел
невозрастающей последовательности измеримых функций,
\[ g_n = \lim_m \min_{i=n}^{n+m}f_i,
\]
следовательно, по лемме 
\ref{_izmerima_lim_nevozr_Lemma_}, измерима.

\хфилл

{\бф Шаг 2:} Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность униформно
ограниченных функций в $L^1(M)$, поточечно сходящаяся к нулю.
Тогда $\lim_i \int_\mu f_i =0$.

Утверждение шага 2 доказывается так.
Пусть $h_n := \sup_{k\geq n} f_k$.
Поскольку
$h_n$ -- невозрастающая последовательность
неотрицательных, интегрируемых, ограниченных функций, которая поточечно 
сходится к нулю, имеем $\lim_i \int_\mu h_i=0$
в силу леммы \ref{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_}.
С другой стороны, $h_n \geq f_n$, что дает
\[
0 \leq \int_\mu f_n \leq \int_\mu h_n.
\] 
Значит, $\lim_i \int_\mu f_i=0$.

\хфилл

{\бф Шаг 3:} 
Поскольку последовательность $\{g_n\}$ неубывающая,
ее предел тоже измерим, снова по лемме 
\ref{_izmerima_lim_nevozr_Lemma_}.
Но этот предел равен $f$ (проверьте).
Получаем
\[
\int_\mu f = \lim_i \int_\mu f_i + \lim_i \left[\int_\mu f-f_i\right].
\]
Второй из пределов в этом выражении равен нулю в силу
предыдущего шага, значит, $\int_\mu f = \lim_i \int_\mu f_i$.
\ендпрооф

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\замечание
Отметим, что теорема \ref{_poto_skho_integral_Teorema_}
неверна, если не предполагать, что функции $f_i$ 
ограничены (постройте контпример). Ограниченность используется на шаге 2 
доказательства: если $f_i$ не ограниченны, функция
$h_n := \sup_{k\geq n} f_k$ не обязательно имеет
ограниченный интеграл, и применение
леммы \ref{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_}
будет неоправданным.
\еза



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Пространство интегрируемых функций}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$L^1(M)$-норма и метрика}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $(M, \mu)$ -- пространство с сигма-алгеброй
и счетно-аддитивной мерой.


\определение
Измеримая функция $f$ называется {\бф интегрируемой},
если $\int_\mu |f| <\infty$.
\ео

\замечание
Поскольку сумма интегрируемых функций снова интегрируема
(проверьте это), интегрируемые функции образуют
векторное пространство.
\еза

\определение
Скажем, что функция $f$
{\бф равна нулю почти всюду},
если $f=0$ вне множества меры 0.
\ео

\упражнение
Проверьте, что для функции,
которая равна нулю почти всюду, $\int_\mu f=0$.


\определение
Пространство $L^1(M)$ определяется как пространство интегрируемых
функций по модулю функций, которые равны нулю почти всюду.
Это пространство называется {\бф пространство
интегрируемых функций}.
\ео

\определение
{\бф $L^1$-норма} на пространстве интегрируемых функций
записывается как \[ \Vert f \Vert:= \int_\mu |f|.\]
\ео

\замечание
Определим
{\бф $L^1$-метрику} на пространстве $L^1(M)$
формулой $d_{L^1}(f,g):= \Vert f-g \Vert$.
\еза


\упражнение
Проверьте, что это действительно норма и метрика.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Полнота $L^1(M)$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В этом разделе я докажу, что $L^1(M)$ полно.
Эвристически говоря, это должно следовать из теоремы
Тихонова: пространство ограниченных функций
в топологии поточечной сходимости компактно,
а из поточечной сходимости следует сходимость
в $L^1$-метрике, что видно из теоремы
\ref{_poto_skho_integral_Teorema_}.

У этого подхода есть два минуса: во-первых,
теорема Тихонова сложная и страшно
неконструктивная, а во-вторых, требуется
ограниченность функций. Традиционное доказательство
немного длиннее, но не имеет этих недостатков.
Оно основано на той же идее, что и доказательство
полноты кольца измеримых множеств: предел
последовательности $\{f_i\}$ заменяется на предел 
невозрастающей последовательности
$g_n:= \sup_{i>n} f_i$, а каждый из $g_n$
является пределом неубывающей последовательности
\[
g_n= \lim_N \sup_{i=n+1}^N f_i.
\]

В дальнейшем, нам понадобится следующее предложение.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\предложение\label{_sup_Predlozhenie_}
Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность интегрируемых
функций, причем $\Vert f_i - f_{i+1}\Vert = \alpha_i$.
Предположим, что ряд $\sum \alpha_i$ сходится.
Обозначим за $g$ функцию $\sup_i f_i$. Тогда
$\Vert g-f_n\Vert < \sum \alpha_i$, для любого $n$.

\hfill

{\бф Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $a,b$ - интегрируемые функции,
а $g= max(a,b)$. Поскольку $|g-a| \leq |a-b|$,
имеем $\Vert a - g\Vert\leq \Vert a-b\Vert$.


\хфилл

{\бф Шаг 2:}
Обозначим за $g_n$ функцию $\max_{i=1}^n f_i$.
Тогда $\Vert g_n, f_n\Vert \leq \sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i$.
Доказательство этого утверждения
ведется по индукции; пусть это уже
верно для $n$. Поскольку 
$g_n = \max(g_{n-1}, f_n)$, в силу предыдущего шага,
неравенства треугольника и предположения индукции имеем
\[
  \Vert g_n -f_n\Vert \leq \Vert g_{n-1} -f_n\Vert
  \leq \Vert g_{n-1} - f_{n-1}\Vert + \alpha_{n-1}
  \leq \sum_{i=1}^{n-2}\alpha_i + \alpha_{n-1}.
\]

\хфилл

{\бф Шаг 3:}
Для любого $n$,  $\{g_i-f_n\}$ -- неубывающая последовательность,
поточечно сходящаяся к $g$. В силу предложения
леммы \ref{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_},
\[ 
 \Vert g-f_n\Vert = 
  \int_\mu (g-f_n) = \lim_i \int_\mu (g_i -f_n) = \lim_i\Vert g_i-f_n\Vert.
\]
Как доказано на шаге 2, $\Vert g_k-f_n\Vert < \sum \alpha_i$
для всех $k$, переходя к пределу в $L^1$-топологии,
получаем, что $\Vert g-f_n\Vert< \sum \alpha_i$.
\endproof

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_L^1_polno_Teorema_}
Пространство $L^1(M)$ интегрируемых функций на $(M, \mu)$ 
полно относительно $L^1$-метрики.\footnote{Другими словами, оно является
банаховым пространством.}

\хфилл

{\бф Доказательство. Шаг 1:} 
 Пусть $\{f_i\}$ -- 
поточечно сходящаяся последовательность интегрируемых
функций, а $f$ -- ее поточечный предел. 
Предположим, что $\{f_i\}$ монотонна, и 
$\int_\mu |f-f_i|\leq C <\infty$.
В силу леммы \ref{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_},
$\lim_i \int_\mu |f-f_i|=0$, значит, 
$f$ есть предел $f_i$ в смысле $L^1$-метрики.

\хфилл

{\бф Шаг 2:} Предположим, что $\{f_i\}$ -- неубывающая
последовательность. Положим $\tilde f:= \sup_i f_i$.
Поскольку $\{f_i\}$ -- последовательность
Коши, $\int_\mu |f_i| <C$ для какой-то константы
$C>0$. Значит, множество $Z$, где $\tilde f=\infty$, имеет
меру 0 (проверьте это). Определим функцию
$f$, положив $f=\tilde f$ вне $Z$, и $f=0$ на $Z$.
В силу предыдущего шага,
$f$ есть предел $f_i$ в смысле $L^1$-метрики.

\хфилл

{\бф Шаг 3:} Заменим $\{f_i\}$ на 
подпоследовательность, которая удовлетворяет
$\Vert f_i- f_{i-1}\Vert < \frac 1 {2^i}$. 
Пусть $g_n := \inf_{k\geq n} f_k$.
В силу предложения \ref{_sup_Predlozhenie_},
\[
\Vert g_n- f_n\Vert \leq \frac 1{2^n} + \frac 1{2^{n+1}} + ... =
\frac 1 {2^{n-1}}.
\]
Значит, $\{g_i\}$ -- последовательность Коши,
эквивалентная $\{f_i\}$. Но эта последовательность
уже монотонна, и ее предел мы построили на шаге 2.
\ендпрооф





%{\бф Шаг 2:} 
%Разобьем $М$ в счетное объединение
%непересекающихся множеств конечной меры, $M = \coprod K_n$. 
%Если $\{f_i\}$ -- последовательность Коши, то ограничение
%$\{f_i \restrict {K_n}\}$ -- тоже последовательность Коши, для
%любого $K_n$ (проверьте это). Значит, достаточно доказывать
%теорему \ref{_L^1_polno_Teorema_} в предположении, что
%$\mu(M)< \infty$.
%
%\хфилл
 




\end{document}
