\documentclass[11pt]{book} \input{lectures.sty} % version 1.0, 08.10.2010 % version 1.1, 11.10.2010, опечатку нашел Никита С. % version 2.0, 20.10.2010, весьма радикально переписан текст % version 2.1, 23.10.2010, много исправлений % version 2.2, 20.01.2012, corrections from Sasha Anan'in \renewcommand{\version}{version 2.2,\ \ 20.01.2012} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, осень 2010, второй курс, лекция 5} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{4} \lhead{{\scriptsize Теория меры, лекция 5}} \chapter{Теория меры, лекция 5: измеримые функции} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Мера и интеграл -- понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить об интеграле функции. В этой лекции я объясню, как получить из меры на пространстве интеграл. Чтобы получить алгебру измеримых множеств, берут алгебру многогранников, и находят ее пополнение по метрике, полученной из меры симметрической разности. Аналогичным образом можно построить пространство измеримых функций: надо взять предел ступенчатых функций по метрике, которая получается из интеграла. Такая метрика называется $L^1$-метрикой. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Измеримые функции и интеграл Лебега} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Определение интеграла} \определение {\бф Мера} на сигма-алгебре $A$ есть счетно-аддитивная функция $A\arrow \R^{\geq 0}$. {\бф Мера} на топологическом пространстве есть мера на его борелевской алгебре. \ео \определение Мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре $A$ называется {\бф $\sigma$-конечной}, если для любого $Z\in A$, можно покрыть $Z$ объединением $Z_i\in A$, $Z\subset \bigcup_{i\in \Z} Z_i$, где все $Z_i$ имеют конечную меру. \ео \замечание Мера Лебега, очевидно, $\sigma$-конечна. На протяжении этой лекции (и везде в дальнейшем, где требуется применить интеграл), все меры предполагаются $\sigma$-конечными. \еза \определение Пусть $(M, \mu)$ есть пространство с заданной на нем мерой. Функция $M\stackrel f\arrow \R$ называется {\бф измеримой}, если прообраз каждого борелевского множества измерим. \ео \замечание Непрерывные функции, очевидно, измеримы. \еза \задача Пусть $f:\; M \arrow \R$ -- функция, такая, что прообраз любого отрезка измерим. Докажите, что $f$ тоже измерима. \ез \определение\label{_integral_axioms_Definition_} Рассмотрим множество $V$ всех измеримых функций на $(M, \mu)$ со значениями в $\R^{\geq 0}$. {\бф Интеграл Лебега}, или просто {\бф интеграл} есть функционал $V \stackrel {\int_\mu}\arrow [0, \infty]$, обладающий следующими свойствами. 1. Линейность: $\int_\mu f+g = \int_\mu f + \int_\mu g$, и $\int_\mu \lambda f = \lambda \int_\mu f$ для любого $\lambda \in \R^{\geq 0}$. 2. Неотрицательность: $\int_\mu f\geq 0$ для каждой функции $f\geq 0$, причем равенство имеет место только если $f=0$ вне множества меры 0. 3. Совместимость с мерой: если $\chi$ -- характеристическая функция измеримого множества $Z$ с конечной мерой, то $\int_\mu \chi = \mu(Z)$. 4. $\sigma$-аддитивность: если $f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ разложение функции в бесконечную сумму неотрицательных функций, то $\int_\mu f = \sum_i \int_\mu f_i$. \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \теорема\label{_Integral_sushche_Teorema_} Интеграл существует, и определен однозначно, исходя из этих четырех аксиом. \хфилл Мы докажем эту теорему в следующем разделе. \хфилл \определение {\бф Интеграл измеримой функции} $f:\; M \arrow \R$ определяется как \[ \int_\mu f = \frac 1 2 \left[\int_\mu(|f| + f) - \int_\mu(|f| - f)\right]. \] Эта формула задает линейный функционал на пространстве всех измеримых функций, для которых $\int_\mu |f|$ конечен (проверьте это). Интеграл принимает конечное значение, если оба члена в квадратных скобках конечны, он равен $\infty$ если первый из них бесконечен, а второй конечен, и $-\infty$, если первый конечен, а второй бесконечен. Если они оба равны $\infty$, интеграл не определен. \ео Можно было бы сразу задать интеграл как линейный функционал на пространстве измеримых функций, но если позволить интегралу принимать значение $\pm \infty$, будет трудно говорить о линейности. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{$L^1$-норма на пространстве ступенчатых функций} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Идея доказательства теоремы \ref{_Integral_sushche_Teorema_} такая же в точности, как и определение меры измеримого множества, исходя из сигма-аддитивной меры на алгебре многогранников. Измеримые множества можно построить как предел многогранников, а измеримые функции - как предел ступенчатых. Интеграл можно вычислить с помощью предельного перехода, в точности так же, как мы делали с мерой. \определение {\бф Ступенчатая функция} на множестве с заданной на нем $\sigma$-алгеброй $\goth A$ есть функция $f$, принимающая счетное (или конечное) число значений, причем $f^{-1}(c)$ лежит в $\goth A$ для любого $c$. \ео \определение Пусть $f:\; M \arrow \R^{\geq 0}$ -- ступенчатая функция на пространстве $(M, \mu)$ с мерой, $\{c_i\}$ -- множество ее значений, а $Z_i:= f^{-1}(c_i)$ -- соответствующие подмножества $M$. Определим {\бф интеграл $f$} как сумму $\int_\mu f:= \sum_i c_i \mu(Z_i)$.\footnote{Если $c_i=0$, а $\mu(Z_i)=\infty$, мы полагаем $c_i \mu(Z_i)=0$: интеграл от фукции, тождественно равной нулю, нулевой.} Интеграл принимает значения в $[0, \infty]$. \ео \замечание Интегралы ступенчатых функций удовлетворяют условиям 1-4 из определения \ref{_integral_axioms_Definition_} (проверьте это).\footnote{Для доказательства, редуцируем к случаю $c_i\neq 0$, а $\mu(Z_i)<\infty$. Линейность, совместимость с мерой и неотрицательность интеграла очевидны. $\sigma$-аддитивность интеграла выводится из $\sigma$-аддитивности меры Лебега.} \еза \определение {\бф Почти всюду} значит "вне множества меры 0". \ео \определение Определим {\бф $L^1$-норму} на пространстве ступенчатых функций формулой \[ \Vert f\Vert := \int_\mu |f|.\] Она принимает значения в $[0, \infty]$. Определим {\бф $L^1$-метрику} формулой $d(f,g):= \Vert f-g\Vert $. \ео \замечание Строго говоря, и $L^1$-норма и $L^1$-метрика не являются нормой и метрикой на пространстве ступенчатых функций: они зануляются на функциях, которые равны нулю почти всюду. Корректнее было бы сказать, что это норма и метрика на факторпространстве ступенчатых функций по пространству ступенчатых функций, которые равны нулю почти всюду. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Измеримая функция как предел ступенчатых} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $f_i:\; M \arrow \R$ -- последовательность функций. Напомним, что $f_i$ {\бф равномерно сходится} к $f:\; M \arrow \R$, если для каждого $\epsilon>0$ найдется $N$ такой, что $|f-f_i| <\epsilon$ при $i>N$. \ео \предложение Пусть $f$ -- измеримая функция на пространстве $M$ с $\sigma$-алгеброй. Тогда существует последовательность $\{f_i\}$ ступенчатых функций, $f_1\leq f_2\leq f_3 \leq ...$ которая равномерно сходится к $f$. Если, к тому же, само пространство $M$ имеет конечную меру, то $f_i$ есть последовательность Коши относительно $L^1$-метрики, и все такие последовательности Коши эквивалентны. \хфилл {\бф Доказательство:} Обозначим за $f_n$ функцию вида $x\stackrel {f_n}\arrow \frac 1 {2^n} [2^nf(x)]$, где $[...]$ обозначает целую часть. Легко видеть, что $f_n$ есть неубывающая последовательность ступенчатых функций, причем $\Vert f-f_n\Vert \leq 1/2^n$, значит, $f_n$ равномерно сходится к $f$. Поскольку $\Vert f_i - f_{i+j}\Vert < \frac 1 n \mu(M)$. $\{f_i\}$ есть последовательность Коши. Если $\{f_i\}$, $\{f'_i\}$ -- две такие последовательности Коши, то $\lim_i \sup_M|f_i - f'_i| =0$. Но поскольку $\int_\mu |f_i - f'_i| \leq \mu(M) \sup_M|f_i - f'_i|$, из этого следует, что $\lim_i \Vert f_i - f_i'\Vert=0$, то есть эти последовательности Коши эквивалентны. \ендпрооф \хфилл \определение Пусть $f$ -- измеримая функция на пространстве $M$ с $\sigma$-алгеброй и сигма-аддитивной мерой $\mu$, такой, что $\mu(M)< \infty$. Определим $\int_\mu f$ как $\lim_i \int_\mu f_i$, где $\{f_i\}$ -- последовательность ступенчатых функций, равномерно сходящихся к $f$. \ео \замечание Легко видеть, что $\int_\mu f$ удовлетворяет условиям 1--4 из определения интеграла (докажите это). \footnote{Условия 1-3 очевидны; чтоб убедиться в $\sigma$-аддитивности, для любого разложения вида $f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ представьте $f_i$ как предел ступенчатых функций, $f_i = \lim_j f_i(j)$, таким образом, что $\Vert f_i - f_i(j)\Vert < \frac {1}{2^{i+j}}$, и убедитесь, что $f = \lim_j \sum_i f_i(i+j)$, причем $\int_M\sum_i f_i(i+j)=\sum_i \int_Mf_i(i+j)$.} \еза \замечание Единственность интеграла, заданного условиями 1--4, тоже очевидна. В самом деле, если $0 \leq f-f_i \leq \epsilon$, имеем $0\leq \int_\mu (f-f_i) \leq\epsilon \mu(M)$ (проверьте это), а значит, $\lim_i \int_\mu f_i=\int_\mu f$. Но $\int_\mu f_i$ задан условиями 1--4 однозначно, потому что $f_i$ ступенчатая. \еза \замечание Пусть $M$ разбито в счетное объединение непересекающихся подмножеств конечной меры, $M= \coprod K_i$. Для каждой измеримой функции $f:\; M \arrow \R^{\geq 0}$, напишем $f= \sum f_i$, где $f_i=f$ на $K_i$ и нулю вне $K_i$. Интеграл $f_i$ хорошо определен в силу вышеизложенного. Положим $\int_\mu f:= \sum \int_\mu f_i$. Легко видеть, что таким образом определенный интеграл удовлетворяет условиям 1-4 из определения интеграла. В такой ситуации, интеграл тоже однозначно задается этими условиями. В самом деле, в силу счетной аддитивности интеграла, $\int_\mu f=\sum \int_\mu f_i$, а $f_i$ -- функция, определенная на множестве $K_i$ с конечной мерой, и интеграл $\int_\mu f_i$ однозначно определяется этими условиями, как мы уже видели. \еза \замечание Легко видеть, что $\int_M f\leq\mu(M)\sup|f|$ для любой измеримой функции $f$ (докажите это). \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Поточечный предел измеримых функций} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Поточечный предел функций} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Последовательность $\{f_i\}$ функций {\bf поточечно сходится} к $f$, если \[ \lim_i f_i(x) = f(x)\] для любого $x$. \ео Пусть $A$ -- топологическое пространство. Пространство функций на $M$ со значениями в $A$ с топологией поточечной сходимости есть произведение $M$ копий $A$, с топологией произведения, которая в этой ситуации называется {\бф тихоновской топологией}. Теорема Тихонова утверждает, что для любого компактного $A$, произведение любого числа копий $A$ с собой компактно. Это нетривиальная теорема, которая существенно использует теорию множеств, в частности, аксиому выбора. Доказательство Тихонова было получено, когда тому было 22 года, но старшие товарищи не могли поверить, что это может быть правдой, и не позволяли опубликовать его теорему почти 10 лет. Любопытно, что Коши, который первый задумался о сходимости функций, не видел разницы между поточечной и равномерной сходимостью; среди прочего, он считал, что поточечный предел непрерывных функций непрерывен (найдите контрпример). Впервые осознал нетривиальность этого понятия, видимо, Дирихле, но четкие формулировки всех нужных определений и теорем принадлежат Вейерштрассу. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Поточечный предел и интеграл} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Поточечный предел измеримых функций всегда измерим. Увидеть это нетрудно: значала надо проверить, что он измерим для монотонной последовательности измеримых функций, а потом убедиться, что предел любой последовательности $f_i$ получается как предел $g_n:= \sup_{i>n} f_i$, причем последователность $\{g_n\}$ невозрастает, и каждое $g_n$ получено как предел неубывающей последовательности: \[ g_n= \lim_N \sup_{i=n+1}^N f_i \] (см. теорема \ref{_poto_skho_integral_Teorema_}). Оказывается, что поточечный предел ограниченных функций перестановочен с интегралом. Сначала докажем вспомогательную лемму. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма\label{_int_small_Lemma_} Пусть $f$ -- измеримая неотрицательная функция на $(M, \mu)$, и $\int_\mu f < \infty$. Тогда \begin{description} \item[(i)] Для любой последовательности вложенных измеримых множеств $X_0 \supset X_1 \supset X_2 \supset ...$, с $\bigcap X_i = \emptyset$, имеем $\lim_i \int_\mu f \restrict{X_i}=0$. Здесь $f \restrict{X_i}$ означает {\бф ограничение} $f$ на $X_i$, то есть функцию, которая равна $f$ на $X_i$, и нулю вне $X_i$. \item[(ii)] $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_\mu f \restrict{f^{-1}([0,\epsilon])}=0.$ \end{description} {\бф Доказательство:} Для ступенчатой функции, и первое и второе утверждение очевидны (проверьте это). Поскольку интеграл определяется через приближение измеримой функции ступенчатыми, лемму достаточно проверить, когда $f$ ступенчатая (обоснуйте). \ендпрооф \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма\label{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_} Пусть $\{f_i\}$ -- невозрастающая последовательность неотрицательных измеримых функций на $M$, которая поточечно сходится к 0. Предположим, что $\int_M f_0 < \infty$. Тогда $\lim_i \int_\mu f_i =0$. \hfill {\bf Доказательство:} В силу монотонности $f_i$, для каждого $\epsilon>0$ имеем цепочку вложений \[ f_1^{-1}([0,\epsilon[) \subset f_2^{-1}([0,\epsilon[) \subset f_3^{-1}([0,\epsilon[) \subset ... \] причем $\bigcup_i f_i^{-1}([0,\epsilon[) = M$ в силу того, что $f_i$ поточечно сходится к 0. Из леммы \ref{_int_small_Lemma_} (i) получаем, что для любой интегрируемой функции $g\geq 0$, \begin{equation}\label{_limit_mu_zero_Equation_} \lim_i\int_\mu g\restrict{f_i^{-1}([\epsilon, \infty[)}=0. \end{equation} В силу леммы \ref{_int_small_Lemma_} (ii) \begin{equation}\label{_limit_mu_epsilon_Equation_} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_\mu f_i\restrict{f_i^{-1}([0,\epsilon])}=0 \end{equation} Поскольку $f_i$ не возрастает, имеем \[ \int_\mu f_i \leq \int_\mu f_i\restrict{f_i^{-1}([0,\epsilon])} + \int_\mu f\restrict{f_i^{-1}([\epsilon, \infty[)} \] Значит, \eqref{_limit_mu_zero_Equation_} и \eqref{_limit_mu_epsilon_Equation_} дает $\lim_i \int_\mu f_i =0$. \ендпрооф \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма\label{_izmerima_lim_nevozr_Lemma_} Пусть $\{f_i\}$ -- неубывающая последовательность измеримых функций, причем $\int_M |f_i| < C <\infty$. Тогда $f:=\sup_i f_i$ тоже измеримо, и $\lim_i \int_\mu | f-f_i| =0$. \хфилл {\бф Доказательство:} Измеримость $f$ очевидна, ибо $f^{-1}(]-\infty, c[) = \bigcap_i f^{-1}_i(]-\infty, c[)$, значит, прообраз любого борелевского множества измерим (проверьте это). Последовательность $\{f - f_i\}$ положительных функций монотонно убывает и поточечно сходится к нулю, так что $\lim_i \Vert f-f_i \Vert =0$ в силу леммы \ref{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_}. \ендпрооф \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \теорема\label{_poto_skho_integral_Teorema_} Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность измеримых функций на $(M,\mu)$, принимающих значения в отрезке $[-C,C]$, которая поточечно сходится к $f$, причем мера $M$ конечна. Тогда $f$ тоже измерима, и $\int_\mu f= \lim_i \int_\mu f_i$. \хфилл {\бф Доказательство. Шаг 1:} Отмечу сразу, что отрезок $[-C,C]$ можно без ограничения общности заменить на $[0, 2C]$. Мы будем предполагать, что $f_i \geq 0$. Пусть $g_n := \inf_{k\geq n} f_k$. Каждая из функций $g_n$ получена как предел невозрастающей последовательности измеримых функций, \[ g_n = \lim_m \min_{i=n}^{n+m}f_i, \] следовательно, по лемме \ref{_izmerima_lim_nevozr_Lemma_}, измерима. \хфилл {\бф Шаг 2:} Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность униформно ограниченных функций в $L^1(M)$, поточечно сходящаяся к нулю. Тогда $\lim_i \int_\mu f_i =0$. Утверждение шага 2 доказывается так. Пусть $h_n := \sup_{k\geq n} f_k$. Поскольку $h_n$ -- невозрастающая последовательность неотрицательных, интегрируемых, ограниченных функций, которая поточечно сходится к нулю, имеем $\lim_i \int_\mu h_i=0$ в силу леммы \ref{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_}. С другой стороны, $h_n \geq f_n$, что дает \[ 0 \leq \int_\mu f_n \leq \int_\mu h_n. \] Значит, $\lim_i \int_\mu f_i=0$. \хфилл {\бф Шаг 3:} Поскольку последовательность $\{g_n\}$ неубывающая, ее предел тоже измерим, снова по лемме \ref{_izmerima_lim_nevozr_Lemma_}. Но этот предел равен $f$ (проверьте). Получаем \[ \int_\mu f = \lim_i \int_\mu f_i + \lim_i \left[\int_\mu f-f_i\right]. \] Второй из пределов в этом выражении равен нулю в силу предыдущего шага, значит, $\int_\mu f = \lim_i \int_\mu f_i$. \ендпрооф %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Отметим, что теорема \ref{_poto_skho_integral_Teorema_} неверна, если не предполагать, что функции $f_i$ ограничены (постройте контпример). Ограниченность используется на шаге 2 доказательства: если $f_i$ не ограниченны, функция $h_n := \sup_{k\geq n} f_k$ не обязательно имеет ограниченный интеграл, и применение леммы \ref{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_} будет неоправданным. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Пространство интегрируемых функций} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{$L^1(M)$-норма и метрика} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $(M, \mu)$ -- пространство с сигма-алгеброй и счетно-аддитивной мерой. \определение Измеримая функция $f$ называется {\бф интегрируемой}, если $\int_\mu |f| <\infty$. \ео \замечание Поскольку сумма интегрируемых функций снова интегрируема (проверьте это), интегрируемые функции образуют векторное пространство. \еза \определение Скажем, что функция $f$ {\бф равна нулю почти всюду}, если $f=0$ вне множества меры 0. \ео \упражнение Проверьте, что для функции, которая равна нулю почти всюду, $\int_\mu f=0$. \определение Пространство $L^1(M)$ определяется как пространство интегрируемых функций по модулю функций, которые равны нулю почти всюду. Это пространство называется {\бф пространство интегрируемых функций}. \ео \определение {\бф $L^1$-норма} на пространстве интегрируемых функций записывается как \[ \Vert f \Vert:= \int_\mu |f|.\] \ео \замечание Определим {\бф $L^1$-метрику} на пространстве $L^1(M)$ формулой $d_{L^1}(f,g):= \Vert f-g \Vert$. \еза \упражнение Проверьте, что это действительно норма и метрика. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Полнота $L^1(M)$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% В этом разделе я докажу, что $L^1(M)$ полно. Эвристически говоря, это должно следовать из теоремы Тихонова: пространство ограниченных функций в топологии поточечной сходимости компактно, а из поточечной сходимости следует сходимость в $L^1$-метрике, что видно из теоремы \ref{_poto_skho_integral_Teorema_}. У этого подхода есть два минуса: во-первых, теорема Тихонова сложная и страшно неконструктивная, а во-вторых, требуется ограниченность функций. Традиционное доказательство немного длиннее, но не имеет этих недостатков. Оно основано на той же идее, что и доказательство полноты кольца измеримых множеств: предел последовательности $\{f_i\}$ заменяется на предел невозрастающей последовательности $g_n:= \sup_{i>n} f_i$, а каждый из $g_n$ является пределом неубывающей последовательности \[ g_n= \lim_N \sup_{i=n+1}^N f_i. \] В дальнейшем, нам понадобится следующее предложение. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \предложение\label{_sup_Predlozhenie_} Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность интегрируемых функций, причем $\Vert f_i - f_{i+1}\Vert = \alpha_i$. Предположим, что ряд $\sum \alpha_i$ сходится. Обозначим за $g$ функцию $\sup_i f_i$. Тогда $\Vert g-f_n\Vert < \sum \alpha_i$, для любого $n$. \hfill {\бф Доказательство. Шаг 1:} Пусть $a,b$ - интегрируемые функции, а $g= max(a,b)$. Поскольку $|g-a| \leq |a-b|$, имеем $\Vert a - g\Vert\leq \Vert a-b\Vert$. \хфилл {\бф Шаг 2:} Обозначим за $g_n$ функцию $\max_{i=1}^n f_i$. Тогда $\Vert g_n, f_n\Vert \leq \sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i$. Доказательство этого утверждения ведется по индукции; пусть это уже верно для $n$. Поскольку $g_n = \max(g_{n-1}, f_n)$, в силу предыдущего шага, неравенства треугольника и предположения индукции имеем \[ \Vert g_n -f_n\Vert \leq \Vert g_{n-1} -f_n\Vert \leq \Vert g_{n-1} - f_{n-1}\Vert + \alpha_{n-1} \leq \sum_{i=1}^{n-2}\alpha_i + \alpha_{n-1}. \] \хфилл {\бф Шаг 3:} Для любого $n$, $\{g_i-f_n\}$ -- неубывающая последовательность, поточечно сходящаяся к $g$. В силу предложения леммы \ref{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_}, \[ \Vert g-f_n\Vert = \int_\mu (g-f_n) = \lim_i \int_\mu (g_i -f_n) = \lim_i\Vert g_i-f_n\Vert. \] Как доказано на шаге 2, $\Vert g_k-f_n\Vert < \sum \alpha_i$ для всех $k$, переходя к пределу в $L^1$-топологии, получаем, что $\Vert g-f_n\Vert< \sum \alpha_i$. \endproof \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \теорема\label{_L^1_polno_Teorema_} Пространство $L^1(M)$ интегрируемых функций на $(M, \mu)$ полно относительно $L^1$-метрики.\footnote{Другими словами, оно является банаховым пространством.} \хфилл {\бф Доказательство. Шаг 1:} Пусть $\{f_i\}$ -- поточечно сходящаяся последовательность интегрируемых функций, а $f$ -- ее поточечный предел. Предположим, что $\{f_i\}$ монотонна, и $\int_\mu |f-f_i|\leq C <\infty$. В силу леммы \ref{_skhoditsya_mono_k_0_int_Lemma_}, $\lim_i \int_\mu |f-f_i|=0$, значит, $f$ есть предел $f_i$ в смысле $L^1$-метрики. \хфилл {\бф Шаг 2:} Предположим, что $\{f_i\}$ -- неубывающая последовательность. Положим $\tilde f:= \sup_i f_i$. Поскольку $\{f_i\}$ -- последовательность Коши, $\int_\mu |f_i| 0$. Значит, множество $Z$, где $\tilde f=\infty$, имеет меру 0 (проверьте это). Определим функцию $f$, положив $f=\tilde f$ вне $Z$, и $f=0$ на $Z$. В силу предыдущего шага, $f$ есть предел $f_i$ в смысле $L^1$-метрики. \хфилл {\бф Шаг 3:} Заменим $\{f_i\}$ на подпоследовательность, которая удовлетворяет $\Vert f_i- f_{i-1}\Vert < \frac 1 {2^i}$. Пусть $g_n := \inf_{k\geq n} f_k$. В силу предложения \ref{_sup_Predlozhenie_}, \[ \Vert g_n- f_n\Vert \leq \frac 1{2^n} + \frac 1{2^{n+1}} + ... = \frac 1 {2^{n-1}}. \] Значит, $\{g_i\}$ -- последовательность Коши, эквивалентная $\{f_i\}$. Но эта последовательность уже монотонна, и ее предел мы построили на шаге 2. \ендпрооф %{\бф Шаг 2:} %Разобьем $М$ в счетное объединение %непересекающихся множеств конечной меры, $M = \coprod K_n$. %Если $\{f_i\}$ -- последовательность Коши, то ограничение %$\{f_i \restrict {K_n}\}$ -- тоже последовательность Коши, для %любого $K_n$ (проверьте это). Значит, достаточно доказывать %теорему \ref{_L^1_polno_Teorema_} в предположении, что %$\mu(M)< \infty$. % %\хфилл \end{document}