Теория меры, лекция 5  Миша Вербицкий

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

Мера и интеграл – понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить об интеграле функции. В этой лекции я объясню, как получить из меры на пространстве интеграл.

Чтобы получить алгебру измеримых множеств, берут алгебру многогранников, и находят ее пополнение по метрике, полученной из меры симметрической разности. Аналогичным образом можно построить пространство измеримых функций: надо взять предел ступенчатых функций по метрике, которая получается из интеграла. Такая метрика называется L^{1}-метрикой.

5.1. Измеримые функции и интеграл Лебега

5.1.1. Определение интеграла

Определение 5.1. Мера на сигма-алгебре A есть счетно-аддитивная функция A ⟶ ℝ^{⩾0}. Мера на топологическом пространстве есть мера на его борелевской алгебре.

Определение 5.2. Мера μ на σ-алгебре A называется σ-конечной, если для любого Z ∈ A, можно покрыть Z объединением Z_{i} ∈ A, Z ⊂ ⋃_{i∈ℤ} Z_{i}, где все Z_{i} имеют конечную меру.

Замечание 5.3. Мера Лебега, очевидно, σ-конечна. На протяжении этой лекции (и везде в дальнейшем, где требуется применить интеграл), все меры предполагаются σ-конечными.

Определение 5.4. Пусть (M, μ) есть пространство с заданной на нем мерой. Функция M ⟶^{f} ℝ называется измеримой, если прообраз каждого борелевского множества измерим.

Замечание 5.5. Непрерывные функции, очевидно, измеримы.

Задача 5.6. Пусть f : M ⟶ ℝ – функция, такая, что прообраз любого отрезка измерим. Докажите, что f тоже измерима.

Определение 5.7. Рассмотрим множество V всех измеримых функций на (M, μ) со значениями

в ℝ^{⩾0}. Интеграл Лебега, или просто интеграл есть функционал V \underrightarrow{∫_{μ}} [0, ∞], обладающий следующими свойствами.

1. Линейность: ∫_{μ} f + g = ∫_{μ} f + ∫_{μ} g, и ∫_{μ} λf = λ ∫_{μ} f для любого λ ∈ ℝ.

2. Неотрицательность: ∫_{μ} f ⩾ 0 для каждой функции f ⩾ 0, причем равенство имеет место только если f = 0 вне множества меры 0.

3. Совместимость с мерой: если χ – характеристическая функция измеримого множества Z с конечной мерой, то ∫_{μ} χ = μ(Z).

4. σ-аддитивность: если f = ∑_{i=0}^{∞} f_{i} разложение функции в бесконечную сумму неотрицательных функций, то ∫_{μ} f = ∑_{i} ∫_{μ} f_{i}.

Теорема 5.8: Интеграл существует, и определен однозначно, исходя из этих четырех аксиом.

Мы докажем эту теорему в следующем разделе.

Определение 5.9. Интеграл измеримой функции f : M ⟶ ℝ определяется как

∫_{μ} f = \frac{1}{2} [∫_{μ}(|f| + f) − ∫_{μ}(|f| − f)] .

Эта формула задает линейный функционал на пространстве всех измеримых функций, для которых ∫_{μ} |f| конечен (проверьте это). Интеграл принимает конечное значение, если оба члена в квадратных скобках конечны, он равен ∞ если первый из них бесконечен, а второй конечен, и −∞, если первый конечен, а второй бесконечен. Если они оба равны ∞, интеграл не определен.

Можно было бы сразу задать интеграл как линейный функционал на пространстве измеримых функций, но если позволить интегралу принимать значение ±∞, будет трудно говорить о линейности.

5.1.2. L^{1}-норма на пространстве ступенчатых функций

Идея доказательства теоремы 5.8 такая же в точности, как и определение меры измеримого множества, исходя из сигма-аддитивной меры на алгебре многогранников. Измеримые множества можно построить как предел многогранников, а измеримые функции - как предел ступенчатых. Интеграл можно вычислить с помощью предельного перехода, в точности так же, как мы делали с мерой.

Определение 5.10. Ступенчатая функция на множестве с заданной на нем σ-алгеброй 𝔄 есть функция f, принимающая счетное (или конечное) число значений, причем f^{−1}(c) лежит в 𝔄 для любого c.

Определение 5.11. Пусть f : M ⟶ ℝ^{⩾0} – ступенчатая функция на пространстве (M, μ) с мерой, {c_{i}} – множество ее значений, а Z_{i} := f^{−1}(c_{i}) – соответствующие подмножества M. Определим интеграл f как сумму ∫_{μ} f := ∑_{i} c_{i}μ(Z_{i}). Интеграл принимает значения в [0, ∞],

Замечание 5.12. Очевидно, интегралы ступенчатых функций удовлетворяют условиям 1-4 из определения 5.7 (проверьте это).

Определение 5.13. Почти всюду значит "вне множества меры 0".

Определение 5.14. Определим L^{1}-норму на пространстве ступенчатых функций формулой

∥f∥ := ∫_{μ} |f|.

Она принимает значения в [0, ∞]. Определим L^{1}-метрику формулой d(f, g) := ∥f − g∥.

Замечание 5.15. Строго говоря, и L^{1}-норма и L^{1}-метрика не являются нормой и метрикой на пространстве ступенчатых функций: они зануляются на функциях, которые равны нулю почти всюду. Корректнее было бы сказать, что это норма и метрика на факторпространстве ступенчатых функций по пространству ступенчатых функций, которые равны нулю почти всюду.

5.1.3. Измеримая функция как предел ступенчатых

Определение 5.16. Пусть f_{i} : M ⟶ ℝ – последовательность функций. Напомним, что f_{i} равномерно сходится к f : M ⟶ ℝ, если для каждого ε > 0 найдется N такой, что |f − f_{i}| < ε при i > N.

Предложение 5.17: Пусть f – измеримая функция на пространстве M с σ-алгеброй. Тогда существует последовательность {f_{i}} ступенчатых функций, которая равномерно сходится к f. Если, к тому же, само пространство M имеет конечную меру, то f_{i} есть последовательность Коши относительно L^{1}-метрики, и все такие последовательности Коши эквивалентны.

Доказательство: Обозначим за Ψ_{n}(f) функцию вида x ⟶^{f_{n}} \frac{1}{n}[nf(x)], где [...] обозначает целую часть. Легко видеть, что f_{n} есть последовательность ступенчатых функций, причем ∥f − f_{n}∥ ⩽ 1/n, значит, f_{n} равномерно сходится к f.

Поскольку ∥f_{i} − f_{i+j}∥ < \frac{1}{n}μ(M). \{f_{i}\} есть последовательность Коши.

Если {f_{i}}, {f′_{i}} – две такие последовательности Коши, то lim_{i} sup_{M} |f_{i} − f′_{i}| = 0. Но поскольку ∫_{μ} |f_{i} − f′_{i}| ⩽ μ(M) sup_{M} |f_{i} − f′_{i}|, из этого следует, что lim_{i} ∥f_{i} − f′_{i}∥ = 0, то есть эти последовательности Коши эквивалентны.

Определение 5.18. Пусть f – измеримая функция на пространстве M с σ-алгеброй и сигмааддитивной мерой μ, такой, что μ(M) < ∞. Определим ∫_{μ} f как lim_{i} ∫_{μ} f_{i}, где {f_{i}} – последовательность функций, равномерно сходящихся к f.

Замечание 5.19. Легко видеть, что ∫_{μ} f удовлетворяет условиям 1–4 из определения интеграла (докажите это).

Замечание 5.20. Единственность интеграла, заданного условиями 1–4, тоже очевидна. В самом деле, если 0 < f − f_{i} < ε, имеем 0 < ∫_{μ}(f − f_{i}) < εμ(M) (проверьте это), а значит, lim_{i} ∫_{μ} f_{i} = ∫_{μ} f. Но ∫_{μ} f_{i} задан условиями 1–4 однозначно, потому что f_{i} ступенчатая.

Замечание 5.21. Пусть M разбито в счетное объединение непересекающихся подмножеств конечной меры, M = ∐ K_{i}. Для каждой функции f : M ⟶ ℝ^{⩾0}, напишем f = ∑ f_{i}, где f_{i} = f на K_{i} и нулю вне K_{i}. Интеграл f_{i} хорошо определен в силу вышеизложенного. Положим ∫_{μ} f := ∑ ∫_{μ} f_{i}. Легко видеть, что таким образом определенный интеграл удовлетворяет условиям 1-4 из определения интеграла. В такой ситуации, интеграл тоже однозначно задается этими условиями. В самом деле, в силу счетной аддитивности интеграла, ∫_{μ} f = ∑ ∫_{μ} f_{i}, а ∫_{μ} f_{i} однозначно определяется этими условиями, как мы уже видели.

5.2. Поточечный предел измеримых функций

5.2.1. Поточечный предел функций

Определение 5.22. Последовательность {f_{i}} функций поточечно сходится к f, если

lim_{i} f_{i}(x) = f(x)

для любого x.

Пусть A – топологическое пространство. Пространство функций на M со значениями в A с топологией поточечной сходимости есть произведение M копий A, с топологией произведения, которая в этой ситуации называется тихоновской топологией. Теорема Тихонова утверждает, что для любого компактного A, произведение любого числа копий A с собой компактно. Это нетривиальная теорема, которая существенно использует теорию множеств, в частности, аксиому выбора. Доказательство Тихонова было получено, когда тому было 22 года, но старшие товарищи не могли поверить, что это может быть правдой, и не позволяли опубликовать его теорему почти 10 лет.

Любопытно, что Коши, который первый задумался о сходимости функций, не видел разницы между поточечной и равномерной сходимостью; среди прочего, он считал, что поточечный предел непрерывных функций непрерывен (найдите контрпример). Впервые осознал нетривиальность этого понятия, видимо, Дирихле, но четкие формулировки всех нужных определений и теорем принадлежат Вейерштрассу.

5.2.2. Поточечный предел и интеграл

Поточечный предел измеримых функций всегда измерим. Увидеть это нетрудно: значала надо проверить, что он измерим для монотонной последовательности измеримых функций, а потом убедиться, что предел любой последовательности f_{i} получается как предел g_{n} := sup_{i>n} f_{i}, причем последователность {g_{n}} невозрастает, и каждое g_{n} получено как предел неубывающей последовательности:

g_{n} = lim_{N} sup_{i=n+1}^{N} f_{i}

(см. теорема 5.26).

Оказывается, что поточечный предел ограниченных функций перестановочен с интегралом. Сначала докажем вспомогательную лемму.

Лемма 5.23: Пусть f – измеримая неотрицательная функция на (M, μ), и ∫_{μ} f < ∞. Тогда

(i) Для любой последовательности вложенных измеримых множеств X_{0} ⊃ X_{1} ⊃ X_{2} ⊃ ..., с ⋂ X_{i} = ∅, имеем lim_{i} ∫_{μ} f|_{X_{i}} = 0. Здесь f|_{X_{i}} означает ограничение f на X_{i}, то есть функцию, которая равна f на X_{i}, и нулю вне X_{i}.

(ii) lim_{ε→0} ∫_{μ} f|_{f^{−1}([0,ε])} = 0.

Доказательство: Для ступенчатой функции, и первое и второе утверждение очевидны (проверьте это). Поскольку интеграл определяется через приближение измеримой функции ступенчатыми, лемму достаточно проверить, когда f ступенчатая (обоснуйте).

Лемма 5.24: Пусть {f_{i}} – невозрастающая последовательность неотрицательных измеримых функций на M, которая поточечно сходится к 0. Предположим, что ∫_{M} f_{i} < ∞. Тогда lim_{i} ∫_{μ} f_{i} = 0.

Доказательство: В силу монотонности f_{i}, для каждого ε > 0 имеем цепочку вложений

f_{1}^{−1}([0, ε[) ⊂ f_{2}^{−1}([0, ε[) ⊂ f_{3}^{−1}([0, ε[) ⊂ ...

причем ⋃_{i} f_{i}^{−1}([0, ε[) = M в силу того, что f_{i} поточечно сходится к 0. Из леммы 5.23 (i) получаем, что для любой интегрируемой функции g,

lim_{i} ∫_{μ} g|_{f{−1 \atop i}([ε,∞])} = 0.  (5.2.1)

В силу леммы 5.23 (ii)

lim_{ε→0} ∫_{μ} f_{i}|_{f{−1 \atop i}([0,ε])} = 0  (5.2.2)

Поскольку f_{i} не возрастает, имеем

∫_{μ} f_{i} ⩽ ∫_{μ} f_{i}|_{f{−1 \atop i}([0,ε])} + ∫_{μ} f|_{f{−1 \atop i}([ε,∞])}

Значит, (5.2.1) и (5.2.2) дает lim_{i} ∫_{μ} f_{i} = 0.

Лемма 5.25: Пусть {f_{i}} – неубывающая последовательность измеримых функций, причем ∫_{M} |f_{i}| < ∞. Тогда f := sup_{i} f_{i} тоже измеримо, и lim_{i} ∫_{μ} |f − f_{i}| = 0.

Доказательство: Измеримость f очевидна, ибо f^{−1}(] − ∞, c[) = ⋃_{i} f_{i}^{−1}(] − ∞, c[), значит, прообраз любого борелевского множества измерим (проверьте это). Последовательность {f − f_{i}} положительных функций монотонно убывает и поточечно сходится к нулю, так что lim_{i} ∥f−f_{i}∥ = 0 в силу леммы 5.24.

Теорема 5.26: Пусть {f_{i}} – последовательность измеримых функций на (M, μ), принимающих значения в отрезке [−C, C], которая поточечно сходится к f, причем мера M конечна. Тогда f тоже измерима, и ∫_{μ} f = lim_{i} ∫_{μ} f_{i}.

Доказательство. Шаг 1: Пусть g_{n} := inf_{k⩾n} f_{k}. Каждая из функций g_{n} получена как предел невозрастающей последовательности измеримых функций,

g_{m} = lim_{m} min_{i=n}^{n+m} f_{i},

следовательно, по лемме 5.25, измерима.

Шаг 2: Пусть {f_{i}} – последовательность ограниченных функций в L^{1}(M), поточечно сходящаяся к нулю, причем lim_{i} ∫_{μ} f_{i} < ∞. Тогда lim_{i} ∫_{μ} f_{i} = 0.

Утверждение шага 2 доказывается так. Воспользовавшись неравенством

|∫_{μ} f_{i}| ⩽ ∫_{μ} |f_{i}|,

(проверьте его), находим, что достаточно убедиться, что lim_{i} ∫_{μ} |f_{i}| = 0. Значит, можно с самого начала предположить, что f_{i} > 0. Пусть теперь h_{n} := sup_{k⩾n} f_{k}.

Поскольку h_{n} – невозрастающая последовательность, которая поточечно сходится к нулю, имеем lim_{i} ∫_{μ} h_{i} = 0 в силу леммы 5.24. С другой стороны, h_{n} ⩾ f_{n}, что дает

0 ⩽ ∫_{μ} f_{n} ⩽ ∫_{μ} h_{n}.

Значит, lim_{i} ∫_{μ} f_{i} = 0.

Шаг 3: Поскольку последовательность {g_{n}} неубывающая, ее предел тоже измерим, снова по лемме 5.25. Но этот предел равен f (проверьте). Получаем

∫_{μ} f = lim_{i} ∫_{μ} f_{i} + lim_{i} [∫_{μ} f − f_{i}] .

Второй из пределов в этом уравнении равен нулю в силу предыдущего шага, значит, ∫_{μ} f = lim_{i} ∫_{μ} f_{i}.

Замечание 5.27. Отметим, что теорема 5.26 неверна, если не предполагать, что функции f_{i} ограничены (постройте контпример). Ограниченность используется на шаге 2 доказательства: если f_{i} не ограниченны, функция h_{n} := sup_{k⩾n} f_{k} не обязательно имеет ограниченный интеграл, и применение леммы 5.24 будет неоправданным.

5.3. Пространство интегрируемых функций

5.3.1. L^{1}(M)-норма и метрика

Пусть (M, μ) – пространство с сигма-алгеброй и счетно-аддитивной мерой.

Определение 5.28. Измеримая функция f называется интегрируемой, если ∫_{μ} |f| < ∞.

Замечание 5.29. Поскольку сумма интегрируемых функций снова интегрируема (проверьте это), интегрируемые функции образуют векторное пространство.

Определение 5.30. Скажем, что функция f равна нулю почти всюду, если f = 0 вне множества меры 0.

Упражнение 5.31: Проверьте, что для функции, которая равна нулю почти всюду, ∫_{μ} f = 0.

Определение 5.32. Пространство L^{1}(M) определяется как пространство интегрируемых функций по модулю функций, которые равны нулю почти всюду. Это пространство называется пространство интегрируемых функций.

Определение 5.33. L^{1}-норма на пространстве интегрируемых функций записывается как

∥f∥ := ∫_{μ} |f|.

Замечание 5.34. Определим L^{1}-метрику на пространстве L^{1}(M) формулой d_{L^{1}}(f, g) := ∥f −g∥.

Упражнение 5.35: Проверьте, что это действительно норма и метрика.

5.3.2. Полнота L^{1}(M)

В этом разделе я докажу, что L^{1}(M) полно. Эвристически говоря, это должно следовать из теоремы Тихонова: пространство ограниченных функций в топологии поточечной сходимости компактно, а из поточечной сходимости следует сходимость в L^{1}-метрике, что видно из теоремы 5.26.

У этого подхода есть два минуса: во-первых, теорема Тихонова сложная и страшно неконструктивная, а во-вторых, требуется ограниченность функций. Традиционное доказательство немного длиннее, но не имеет этих недостатков. Оно основано на той же идее, что и доказательство полноты кольца измеримых множеств: предел последовательности {f_{i}} заменяется на предел невозрастающей последовательности g_{n} := sup_{i>n} f_{i}, а каждый из g_{n} является пределом неубывающей последовательности

g_{n} = lim_{N} sup_{i=n+1}^{N} f_{i}.

В дальнейшем, нам понадобится следующее предложение.

Предложение 5.36: Пусть {f_{i}} – последовательность интегрируемых функций, причем ∥f_{i} − f_{i+1}∥ = α_{i}. Предположим, что ряд ∑ α_{i} сходится. Обозначим за g функцию sup_{i} f_{i}. Тогда ∥g−f_{n}∥ < ∑ α_{i}, для любого n.

Доказательство. Шаг 1: Пусть a, b - интегрируемые функции, а g = max(a, b). Поскольку |g − a| ⩽ |a − b|, имеем ∥a − g∥ ⩽ ∥a − b∥.

Шаг 2: Обозначим за g_{n} функцию max_{i=1}^{n} f_{i}. Тогда ∥g_{n}, f_{n}∥ ⩽ ∑_{i=1}^{n−1} α_{i}. Доказательство этого утверждения ведется по индукции; пусть это уже верно для n. Поскольку g_{n} = max(g_{n−1}, f_{n}), в силу предыдущего шага, неравенства треугольника и предположения индукции имеем

∥g_{n} − f_{n}∥ ⩽ ∥g_{n−1} − f_{n}∥ ⩽ ∥g_{n−1} − f_{n−1}∥ + α_{n−1} ⩽ ∑_{i=1}^{n−2} α_{i} + α_{n−1}.

Шаг 3: Для любого n, {g_{i} − f_{n}} – неубывающая последовательность, поточечно сходящаяся к g. В силу предложения леммы 5.24,

∥g − f_{n}∥ = ∫_{μ}(g − f_{n}) = lim_{i} ∫_{μ}(g_{i} − f_{n}) = lim_{i} ∥g_{i} − f_{n}∥.

Как доказано на шаге 2, ∥g_{k}−f_{n}∥ < ∑ α_{i} для всех k, переходя к пределу в L^{1}-топологии, получаем, что ∥g − f_{n}∥ < ∑ α_{i}.

Теорема 5.37: Пространство L^{1}(M) интегрируемых функций на (M, μ) полно относительно L^{1}- метрики.^{1}

Доказательство. Шаг 1: Пусть {f_{i}} – поточечно сходящаяся последовательность интегрируемых функций, а f – ее поточечный предел. Предположим, что {f_{i}} монотонна. В силу леммы 5.24, lim_{i} ∫_{μ} |f − f_{i}| = 0, значит, f есть предел f_{i} в смысле L^{1}-метрики.

Шаг 2: Предположим, что {f_{i}} – неубывающая последовательность. Положим f̃ := sup_{i} f_{i}. Поскольку {f_{i}} – последовательность Коши, ∫_{μ} |f_{i}| < C для какой-то константы C > 0. Значит, множество Z, где f̃ = ∞, имеет меру 0 (проверьте это). Определим функцию f, положив f = f̃ вне Z, и f = 0 на Z. В силу предыдущего шага, f есть предел f_{i} в смысле L^{1}-метрики.

Шаг 3: Заменим \{f_{i}\} на подпоследовательность, которая удовлетворяет ∥f_{i}−f_{i−1}∥ < \frac{1}{2^{i}}. Пусть g_{n} := inf_{k⩾n} f_{k}. В силу предложения 5.36,

∥g_{n} − f_{n}∥ ⩽ \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n+1}} + ... = \frac{1}{2^{n−1}} .

Значит, {g_{i}} – последовательность Коши, эквивалентная {f_{i}}. Но эта последовательность уже монотонна, и ее предел мы построили на шаге 2.

1Другими словами, оно является банаховым пространством.