\documentclass[11pt]{book}

\input{lectures.sty}

% version 1.0, 10.09.2010
% version 1.1, 14.09.2010, поправлена формула с дополнением
% до многогранника (спасибо pet531)
% version 2.0, 23.09.2010, адские ошибки исправил
% version 2.1, 22.10.2010 поправил дату Лебега 
% version 2.2, 26.11.2010 исправления от Саши Ананьина
% version 2.3, 09.04.2012, ``кольцо множеств'' поправил

\renewcommand{\version}{version 2.3,\ \   09.04.2012}

\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, осень 2010, второй курс, лекция 1} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lhead{{\scriptsize  Теория меры, лекция 1}}
\chapter{Теория меры, лекция 1:\\ триангуляции, аддитивные меры 
и объем многогранников}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


История интегрирования восходит к Архимеду, Ньютону и Лейбницу,
но строгое обоснование теории интегрирования стало возможно
только во второй половине XIX-го века, благодаря Коши, Дирихле и 
Риману. Кульминацией этого подхода стали работы Лебега, появившиеся
в 1902-1903, в которых он определил понятие меры и измеримой
функции, ныне общепринятое.

На протяжении XX-го века основы интегрирования делались все
проще и проще, и сейчас большую часть теории меры можно
рассказать в хорошем матклассе. Теория меры, в современном
изложении, строится аксиоматически, и не требует для
своего построения ничего, кроме базовых фактов 
теории множеств, топологии и анализа. 


\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\epsfig{file=LebesgueH.eps,width=0.45\linewidth}\\
Henri L\'еon Lebesgue\\ (June 28, 1875 - July 26, 1941)
\end{center}
\end{figure}

Слово "мера" обозначает, в большинстве случаев
``объем'' подмножества, то есть интеграл от
функции, которая принимает 1 на этом подмножестве и 0 вне его.
Такая функция называется {\бф характеристической функцией}
подмножества. Оказывается, для построения интегрирования достаточно
научиться интегрировать характеристические функции.
Поэтому-то теорию интегрирования и называют сейчас 
{\бф теорией меры}. Мера есть функция, бьющая
из подмножеств некоторого пространства в вещественные
числа, и удовлетворяющая свойствам объема, о которых
будет рассказано ниже. Как правило, определить меру на множестве
{\бф всех подмножеств} не получается - это приводит 
к теоретико-множественным парадоксам. Поэтому
для построения теории меры приходится сначала
определить {\бф измеримые подмножества},
а затем определять меру как функцию на
множестве измеримых подмножеств.


В качестве первого введения в теорию меры, 
я расскажу про объемы многогранников и инвариант
Дэна, изобретенный для решения третьей проблемы Гильберта.
Эту науку часто рассказывают школьникам
матклассов. Полезные книги на ту же тему - 
"Третья проблема Гильберта" Болтянского
и "Наглядная геометрия" Гильберта и КонФоссена.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Кольца подмножеств и конечно-аддитивные функции}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Пусть $S$ -- множество. Мы обозначаем множество
подмножеств $S$ за $2^S$. Полезно думать о $2^S$
как о множестве всех функций из $S$ в $\{0,1\}$;
для каждого $X\in 2^S$, соответствующая ему
{\бф характеристическая функция} отображает
все точки $X$ в 1, а все остальные в 0. 

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение
Подмножество ${\goth U}\subset 2^S$
называется {\бф кольцом подмножеств}, если
${\goth U}$ содержит пустое множество,
$\emptyset\in {\goth U}$, и все пересечения,
объединения и дополнения конечных наборов подмножеств
из ${\goth U}$ содержатся в ${\goth U}$.

Иногда требуют, дополнительно, чтобы
$S$ содержалось в ${\goth U}$. 
\ео



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\замечание
Отождествим $\{0,1\}$ с полем из двух элементов,
которое обозначается ${\Bbb F}_2$. Это задает
кольцевую структуру на $2^S$: умножение соответствует
взятию пересечения, сложение - взятие симметрической
разности.
Легко видеть, что ${\goth U}$ является кольцом
подмножеств тогда и только тогда, когда соответствующие
функции из $S$ в $\{0,1\}={\Bbb F}_2$ образуют подкольцо
в $2^S$ (без единицы). Если, к тому же, $S \in {\goth U}$,
это будет кольцо с единицей (единица задается
характеристической функцией $S$, которая принимает
значение 1 на всех элементах $S$).
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение
Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств.
Функция \[ \mu:\; {\goth U}\arrow \R\] называется
{\бф аддитивной}, или {\бф конечно-аддитивной}, если для любых
$A, B\in {\goth U}$, которые не пересекаются,
имеет место $\mu(A\coprod B)= \mu(A) + \mu(B)$
(объединение непересекающихся подмножеств
обозначают $A\coprod B$).
\ео


Аддитивность -- одно из условий, которые
естественно наложить на функцию объема (то есть меру),
чтобы получить полезное на практике аксиоматическое
определение объема/меры. Впрочем, как заметил еще Архимед,
конечной аддитивности недостаточно: чтобы вычислять
объемы трехмерных многогранников, или криволинейных
фигур, необходимо потребовать {\ем счетной аддитивности}
($\sigma$-аддитивности), то есть аддитивности по 
объединению счетных наборов подмножеств. 

Тем не менее, в некоторых ситуациях
конечной аддитивности хватает, например, на
кольце многоугольников в $\R^2$, которое
будет определено ниже.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\предложение
Конечная аддитивность функции $\mu$ равносильно
выполнению соотношения
\begin{equation}\label{_additi_pere_Equation_}
   \mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)
\end{equation}
для любых подмножеств.


\хфилл

{\бф Доказательство:} Аддитивность $\mu$ следует
из \eqref{_additi_pere_Equation_} для 
непересекающихся $A$ и $B$. Вывести
\eqref{_additi_pere_Equation_} из аддитивности тоже
весьма просто. Сначала заметим, что 
$\mu(A\coprod B\coprod C)= \mu(A) + \mu(B)+\mu(C)$
для попарно непересекающихся $A, B, C$.
Затем применим эту формулу к попарно
непересекающимся множествам $A\backslash B$, 
$A\cap B$, $B\backslash A$, получив
\[
\mu(A\cup B) = \mu(A\backslash B) + \mu(B\backslash A) + \mu(A\cap B).
\]
Применив аддитивность к попарно
непересекающимся множествам $A\backslash B$, $A\cap B$
и $B\backslash A$, $A\cap B$, получим
\[
\mu(A)=\mu(A\backslash B)+\mu(A\cap B), \ \ 
\mu(B)=\mu(B\backslash A)+\mu(A\cap B),
\]
Легко видеть, что \eqref{_additi_pere_Equation_} 
получается линейной комбинацией последних
трех уравнений (проверьте это).
\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Кольцо многогранников}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение
Подмножество $X\subset \R^n$ называется {\бф выпуклым},
если для любых двух точек $X$, соединяющий их отрезок
лежит в $X$ целиком.
\ео

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение
{\бф Выпуклая оболочка} множества $X_0$ есть 
наименьшее выпуклое
множество $X$, содержащее $X_0$. Другими словами,
$X$ есть выпуклое множество, содержащее $X_0$ и содержащееся
в любом выпуклом множестве, которое содержит $X_0$.
\ео

Существование выпуклой оболочки нужно, конечно, доказывать.
Она строится явно в следующей лемме.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма
Пусть $X_0\subset \R^n$ какое-то подмножество,
а $X$ -- множество конечных линейных комбинаций вида
$\sum \lambda_i x_i$, где $\sum \lambda_i =1$,
все $\lambda_i$ неотрицательны, а $x_i \in X_0$.
Тогда $X$ -- это выпуклая оболочка $X_0$.

\задача
Докажите эту лемму.
\ез

\определение
{\бф Симплексом} в $\R^n$ называется выпуклая
оболочка $n+1$ точки. Симплекс называется
{\бф вырожденным}, если эти точки содержатся
в какой-то гиперплоскости.
\ео

\замечание
В $\R^2$ симплекс это треугольник, отрезок или
точка; в $\R^3$ - тетраэдр, выпуклый четырехугольник,
лежащий в плоскости, треугольник, отрезок или точка.
Последние 4 примера, очевидно, вырожденные.
\еза

\определение
{\бф Кольцо многогранников} есть кольцо, полученное
применением конечного числа операций объединения, пересечения, дополнения
к симплексам. 
\ео

\замечание
В силу того, что мы разрешили вырожденные симплексы,
достаточно странные вещи могут оказаться многогранниками,
например, дополнение куба к треугольнику или нескольким
точкам.
\еза

\определение
{\бф Вырожденный многогранник} есть многогранник, полученный
применением операций объединения, пересечения, дополнения
к вырожденным симплексам. {\бф Замкнутый} многогранник
есть объединение конечного числа симплексов.
\ео

\задача
Докажите, что замыкание любого многогранника
(в смысле обычной топологии на $\R^n$) 
есть замкнутый многогранник. 
\ез

\задача
Докажите, что любой многогранник получается
как дополнение $A\backslash B$, где $A$ замкнутый
многогранник, а $B$ -- вырожденный.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Триангуляция многогранников}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $M$ -- замкнутый многогранник. {\бф Триангуляция} $M$
есть разбиение $M\backslash S$ в объединение невырожденных симплексов
$X_1, ..., X_n$, таким образом, что попарные пересечения
этих симплексов -- вырожденные многогранники, и $S$ --
вырожденный многогранник.
{\бф Триангуляцией незамкнутого многогранника}
называется триангуляция его замыкания.
\ео

\теорема\label{_triangu_exists_Theorem_}
Каждый многогранник допускает триангуляцию.

\хфилл

{\бф Доказательство.} Проще всего триангулировать
выпуклые многогранники. Для этого надо триангулировать
все грани, воспользовавшись индукцией по размерности, а затем взять точку
$S$ внутри многогранника, и соединить прямыми с каждой из
вершин симплексов, нарисованных на гранях. Многогранник
развалится в объединение симплексов, имеющих общую
вершину $S$, с противоположной этой вершине гранью,
принадлежащей выбранной триангуляции граней многогранника.
Такая триангуляция называется {\бф барицентрической}.

Если же многогранник не выпуклый, мы разрежем его
в объединение выпуклых, пересекающихся по гиперплоскостям,
и триангулируем каждую выпуклую часть по отдельности.
Для этого возьмем многогранник $M$, полученный из
симплексов $X_1, ..., X_n$ операциями пересечения,
объединения и дополнения, и пусть $P$ -- множество
всех гиперплоскостей, которые ограничивали эти
симплексы. Тогда $P$ разбивает $\R^n$ в объединение
компонент связности, каждая из которых
получается как пересечение полупространств,
ограниченных $P_i \in P$, а значит, выпукла.
Воспользовавшись индукцией по числу 
симплексов, нетрудно убедиться, что 
(с точностью до вырожденных многогранников)
$M$ получен как объединение некоторого
подмножества компонент связности.
\endproof




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение
Пусть $S_1, S_2$ -- две триангуляции многогранника
$M$. Триангуляция $S_2$ называется {\бф измельчением}
триангуляции $S_1$, если каждый симплекс из $S_2$ содержится
в каком-то из симплексов $S_1$. Соответствующее
отношение частичного порядка на измельчениях
обозначается $S_2 \preccurlyeq S_1$. В этой ситуации
также говорят, что триангуляция $S_2$ {\бф подчинена}
триангуляции $S_1$.
\ео

\задача
Пусть $S_1$, $S_2$ -- триангуляции многогранника
$M$. Тогда существует триангуляция
$S_3$ такая, что $S_3 \preccurlyeq S_1$
и $S_3 \preccurlyeq S_2$
\ез

\указание
Возьмите разбиение $M$ на попарные
пересечения симплексов из $S_1$, $S_2$,
и найдите триангуляцию каждого из этих симплексов.
\еу


%{\бф Шаг 0:} Проще всего триангулировать
%выпуклые многогранники. Для этого надо триангулировать
%все грани, воспользовавшись индукцией по размерности, а затем взять точку
%$S$ внутри многогранника, и соединить прямыми с каждой из
%вершин симплексов, нарисованных на гранях. Многогранник
%развалится в объединение симплексов, имеющих общую
%вершину $S$, с противоположной этой вершине гранью,
%принадлежащей выбранной триангуляции граней многогранника.
%
%\хфилл
%
%
%{\бф Шаг 1:} Пересечение триангулированных
%многогранников триангулировано. Действительно,
%пусть $S= \bigcup X_i$, $S' = \bigcup Y_i$
%соответствующие триангуляции. Тогда 
%$S\cap S' = \bigcup_{i,j} X_i \cap Y_j$,
%причем $X_i \cap Y_j$ для разных $i,j$
%пересекаются по вырожденному многограннику.
%Поскольку многогранники $X_i \cap Y_j$ выпуклы, каждый из них
%допускает триангуляцию; это дает триангуляцию
%их объединения.
%
%\хфилл
%
%{\бф Шаг 2:} 
%Этот же аргумент показывает, что пересечение
%триангулированного многогранника $S$
%и выпуклого множества $\Sigma$, полученного,
%как пересечение гиперплоскостей, тоже
%триангулировано (проверьте это).
%
%\хфилл
%
%{\бф Шаг 3:}
%Пусть $S$ -- симплекс в $R^n$, полученный как пересечение
%$(n+1)$ полупространств $S_i^+$, а $S_i^-$ --
%замыкание дополнения $\R^n \backslash S_i^+$.
%Легко видеть, что
%\[ 
%\Sigma \backslash S = \bigcup \Sigma \cap \bigcap S_i^{\pm}  
%\]
%где $\bigcap S_i^{\pm}$ пробегает все комбинации
%вида $S_1^+ \cap S_2^- \cap S_3^+ \cap ...$,
%где хотя бы один из знаков -- минус (проверьте это).
%Все многогранники $\Sigma \cap \bigcap S_i^{\pm}$
%получены из $\Sigma$ пересечением с выпуклой областью,
%и они пересекаются по вырожденным многогранникам.
%Применяя утверждение из шага 2, получаем,
%что $\Sigma \backslash S$ триангулировано,
%если $\Sigma$ -- триангулированный многогранник,
%а $S$ -- симплекс.
%
%\хфилл
%
%{\бф Шаг 4:} В силу шага 1, пересечение
%триангулированных многогранников триангулировано,
%а в силу шага 3 - дополнение триангулированного
%многогранника до симплекса
%триангулировано. Поскольку дополнение
%до объединения есть пересечение дополнений,
%из этого получается, что дополнение
%триангулированного многогранника
%до любого объединения симплексов
%триангулировано.
%
%\хфилл
%
%{\бф Шаг 5:}
%Пусть $A$ и $B$ -- триангулированные замкнутые многогранники.
%Тогда $A\cup B= (A\cap B) \cup (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$.
%Триангуляция $A\backslash B$  существует в силу шага 4, 
%поскольку этот многогранник составлен из симплексов
%$A$, из которых вырезали все симплексы $B$. По той
%же причине существует триангуляция $B\backslash A$,
%а триангуляция $A\cap B$ существует в виду шага 1.
%
%
%\хфилл
%
%{\бф Шаг 6:}
%Дополнение  подмножества $\Sigma\subset \R^n$ 
%до симплекса $X$ можно получить как пересечение
%$\Sigma$ и открытых полупространств $S_i$, ограничивающих $X$
%снаружи. Если $\Sigma$ ограничено, пересечение
%$S_i \cap \Sigma$ содержится в достаточно большом
%симплексе, одна из граней которого лежит на
%границе полупространства $S_i$. Поэтому
%дополнение $\Sigma$ до симплекса $X$ можно 
%(для ограниченных $\Sigma$) представить
%как пересечение $\Sigma$ с объединением
%симплексов, с точностью до вырожденных
%многогранников.
%
%В силу изложенного, мы получаем, что 
%кольцо многогранников (с точностью до
%вырожденных многогранников) состоит из
%конечных пересечений и объединений симплексов.
%
%\хфилл
%
%{\бф Шаг 7:}
%Из дистрибутивности
%объединения относительно пересечения следует, что 
%каждый замкнутый многогранник 
%получается как объединение многогранников
%$\Sigma_1, ..., \Sigma_n$, причем все $\Sigma_i$
%получены как пересечения симплексов.
%Многогранники $\Sigma_i$ выпуклы, а значит
%и триангулированы (шаг 0), а
%их объединение триангулируется в силу шага 5.
%Мы доказали, что все многогранники
%допускают триангуляцию. 
%\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Объем  многогранников}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



Напомню, что многогранники $M, M'\subset \R^n$ называются
{\бф конгруэнтными}, если один можно перевести в
другой движением $\R^n$.

\определение
Пусть ${\goth U} \subset 2^{\R^n}$ -- кольцо многогранников.
Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R$ называется
{\бф конечно-аддитивной мерой на ${\goth U}$},
если
\begin{description}
\item[(i)] $\mu$ конечно аддитивна: 
$\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$
\item[(ii)] $\mu(M)=0$ для любого вырожденного многогранника $M$.
\end{description}
Если, к тому же, $\mu(M)=\mu(M')$ для любых
конгруэнтных многогранников $M, M'$, мера
$\mu$ называется {\бф инвариантной} 
(или же ин\-ва\-ри\-ант\-ной относительно движений).
\ео

Следующее утверждение немедленно следует из
теоремы о существовании триангуляций.

\хфилл

\утверждение
Пусть $\mu, \mu'$ -- две конечно-аддитивные
меры на кольце многогранников, которые
равны на симплексах. Тогда они равны.

\хфилл

Чтобы определить объем многогранников 
через симплексы, надо задать объем на
каждом симплексе (это можно сделать,
используя определитель), а затем
воспользоваться триангуляциями.
Чтобы доказать корректность этого
определения, надо убедиться, что
оно не зависит от выбора триангуляции.

\определение
Рассмотрим симплекс $S$, полученный,
как линейная оболочка точек $x_0, ..., x_n$.
Определим {\бф объем} этого симплекса формулой
\[
\Vol(S):= \frac 1 {n!} |\det(x_1-x_0, x_2 - x_0, ..., x_n -x_0)|.
\]
Здесь под $\det$ понимается детерминант
матрицы, составленной из координат векторов
$x_1-x_0, x_2 - x_0, ..., x_n -x_0$
\ео

\задача
Докажите, что объем
$\Vol(S)$ не зависит от нумерации
точек $x_0, ..., x_n$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что определитель
не изменится, если ко всем столбцам
добавить один и тот же вектор.
\еу

%\определение 
%Пусть $X$ -- симплекс в $\R^n$, а $x\in X$ любая точка.
%{\бф Барицентрическая триангуляция} $X$ есть разбиение
%$X$ на $n+1$ симплексов с одной вершиной в $x$ и $n$ вершинами
%в вершинах $X$.
%\ео
%
%\begin{figure}[ht]
%\begin{center}
%\epsfig{file=baricentr.eps,width=0.45\linewidth}\\
%{\em\scriptsize Барицентрическая триангуляция тетраэдра}
%\end{center}
%\end{figure}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\теорема\label{_barice_vol_Theorem_}
%Пусть $X_1, ..., X_{n+1}$ -- симплексы, составляющие
%барицентрическую триангуляцию симплекса $X\subset \R^n$. Тогда
%$\Vol(Х) = \sum_i \Vol(X_i)$.
%
%\хфилл
%
%{\бф Доказательство:} 
%Пусть $x_0, ..., x_n$ -- вершины симплекса $X$, а $y$ --
%общая вершина симплексов $X_i$.
%Равенство $\Vol(Х) = \sum_i \Vol(X_i)$
%есть равенство определителей,
%\begin{equation}\label{_dete_sum_Equation_}
%|\det(x_1-x_0, ..., x_n -x_0)| =
%\sum_i|\det(x_0-y, ..., \widehat{x_i-y}, ..., x_n-y)|,
%\end{equation}
%где $\widehat{x_i-y}$ означает, что мы выкинули из последовательности
%$x_0-y, x_1-y, ...$ член $x_i-y$.
%
%Воспользовавшись полилинейностью определителя, получаем
%$\det(x_0-y, ..., \widehat{x_i-y}, ..., x_n-y))=
%-\sum_{i,j}\det(x_0, ..., \widehat{x_i}, ...,y,..., x_n))$,
%где $y$ стоит на месте $x_j$. Переписывая
%\eqref{_dete_sum_Equation_}, и выбирая
%последовательность $x_i$ таким образом,
%что $x_0, ..., \widehat{x_i}, ..., x_n$
%положительно ориентированы для любого $i$,
%получаем уравнение вида
%\[
%\det(x_1-x_0, ..., x_n -x_0) =
%\sum_i\sum_j \det(x_0, ..., \widehat{x_i}, ...,y,..., x_n)).
%\]
%В правой части этого уравнения размещается $\frac{n(n+1)$
%определителей вида $\det(y, x_0, ..., \widehat{x_i}, ...,\widehat{x_j},..., x_n)$,
%причем каждая пара $i,j$ дает два из них, которые 
%входят с противоположными знаками, а значит, сокращаются
%(проверьте это). Поэтому правая часть 
%\eqref{_dete_sum_Equation_} не зависит от $y$, но
%при $y=x_0$ это уравнение тавтологически верно.
%\endproof
%
%
%\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение
Пусть $M$ -- многогранник, снабженный триангуляцией,
$M = \bigcup X_i$. Определим {\бф объем $M$} формулой
$\Vol(M) := \sum \Vol(X_i)$. 
\ео

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема \label{_obem_corre_Theorem_}
Объем многогранника является конечно-аддитивной
мерой на кольце многогранников, и инвариантен
относительно движений.

\хфилл

{\бф Доказательство:} 
Аддитивность объема следует из того, что он
не зависит от триангуляции. В самом деле,
пусть $A= A_1 \cup A_2$ -- разбиение
$A$ в объединение многогранников.
Выберем триангуляцию многогранников $A_1\backslash A_2$,
$A_2 \backslash A_1$ и $A_1 \cap A_2$. Она задает
триангуляцию $A$, $A_1$и  $A_2$.
Связанный с этой триангуляцией объем
удовлетворяет
$\Vol(A)= \Vol(A_1) +  \Vol(A_2) - \Vol(A_1\cap A_2)$,
(легко видеть, что в этой формуле объем каждого симплекса,
составляющего $A$, учитывается один раз). 

Для доказательства того, что объем не зависит от
триангуляции, рассмотрим две триангуляции $S_1, S_2$
многогранника $M$, и пусть $S$ -- общее измельчение
$S_1$ и $S_2$. Каждый симплекс $X$ из $S_1, S_2$ 
разбивается в объединение симплексов $X_i$ из $S$.
Если мы докажем, что суммарный объем $X_i$ равен
объему $X$, из этого будет следовать, что 
объем $M$, посчитанный с обоими триангуляциями,
равен сумме объемов всех симплексов $S$.
Значит, теорема
\ref{_obem_corre_Theorem_}
вытекает из следующего утверждения.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_volume_tria_Theorem_}
Пусть $S$ - триангуляция симплекса $X$, разбивающая
$X$ в объединение симплексов $X_1, ..., X_n$.
Тогда $\Vol(X) = \sum \Vol(X_i)$.

\хфилл

В следующей лекции я буду считать, что объем
определен корректно, и займусь третьей проблемой
Гильберта и инвариантом Дэна. Доказательство теоремы
\ref{_volume_tria_Theorem_}
приводится в лекции 3. 





\end{document}
