\documentclass[11pt]{book} \input{lectures.sty} % version 1.0, 10.09.2010 % version 1.1, 14.09.2010, поправлена формула с дополнением % до многогранника (спасибо pet531) % version 2.0, 23.09.2010, адские ошибки исправил % version 2.1, 22.10.2010 поправил дату Лебега % version 2.2, 26.11.2010 исправления от Саши Ананьина % version 2.3, 09.04.2012, ``кольцо множеств'' поправил \renewcommand{\version}{version 2.3,\ \ 09.04.2012} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, осень 2010, второй курс, лекция 1} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \lhead{{\scriptsize Теория меры, лекция 1}} \chapter{Теория меры, лекция 1:\\ триангуляции, аддитивные меры и объем многогранников} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% История интегрирования восходит к Архимеду, Ньютону и Лейбницу, но строгое обоснование теории интегрирования стало возможно только во второй половине XIX-го века, благодаря Коши, Дирихле и Риману. Кульминацией этого подхода стали работы Лебега, появившиеся в 1902-1903, в которых он определил понятие меры и измеримой функции, ныне общепринятое. На протяжении XX-го века основы интегрирования делались все проще и проще, и сейчас большую часть теории меры можно рассказать в хорошем матклассе. Теория меры, в современном изложении, строится аксиоматически, и не требует для своего построения ничего, кроме базовых фактов теории множеств, топологии и анализа. \begin{figure}[ht] \begin{center} \epsfig{file=LebesgueH.eps,width=0.45\linewidth}\\ Henri L\'еon Lebesgue\\ (June 28, 1875 - July 26, 1941) \end{center} \end{figure} Слово "мера" обозначает, в большинстве случаев ``объем'' подмножества, то есть интеграл от функции, которая принимает 1 на этом подмножестве и 0 вне его. Такая функция называется {\бф характеристической функцией} подмножества. Оказывается, для построения интегрирования достаточно научиться интегрировать характеристические функции. Поэтому-то теорию интегрирования и называют сейчас {\бф теорией меры}. Мера есть функция, бьющая из подмножеств некоторого пространства в вещественные числа, и удовлетворяющая свойствам объема, о которых будет рассказано ниже. Как правило, определить меру на множестве {\бф всех подмножеств} не получается - это приводит к теоретико-множественным парадоксам. Поэтому для построения теории меры приходится сначала определить {\бф измеримые подмножества}, а затем определять меру как функцию на множестве измеримых подмножеств. В качестве первого введения в теорию меры, я расскажу про объемы многогранников и инвариант Дэна, изобретенный для решения третьей проблемы Гильберта. Эту науку часто рассказывают школьникам матклассов. Полезные книги на ту же тему - "Третья проблема Гильберта" Болтянского и "Наглядная геометрия" Гильберта и КонФоссена. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Кольца подмножеств и конечно-аддитивные функции} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $S$ -- множество. Мы обозначаем множество подмножеств $S$ за $2^S$. Полезно думать о $2^S$ как о множестве всех функций из $S$ в $\{0,1\}$; для каждого $X\in 2^S$, соответствующая ему {\бф характеристическая функция} отображает все точки $X$ в 1, а все остальные в 0. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Подмножество ${\goth U}\subset 2^S$ называется {\бф кольцом подмножеств}, если ${\goth U}$ содержит пустое множество, $\emptyset\in {\goth U}$, и все пересечения, объединения и дополнения конечных наборов подмножеств из ${\goth U}$ содержатся в ${\goth U}$. Иногда требуют, дополнительно, чтобы $S$ содержалось в ${\goth U}$. \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Отождествим $\{0,1\}$ с полем из двух элементов, которое обозначается ${\Bbb F}_2$. Это задает кольцевую структуру на $2^S$: умножение соответствует взятию пересечения, сложение - взятие симметрической разности. Легко видеть, что ${\goth U}$ является кольцом подмножеств тогда и только тогда, когда соответствующие функции из $S$ в $\{0,1\}={\Bbb F}_2$ образуют подкольцо в $2^S$ (без единицы). Если, к тому же, $S \in {\goth U}$, это будет кольцо с единицей (единица задается характеристической функцией $S$, которая принимает значение 1 на всех элементах $S$). \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств. Функция \[ \mu:\; {\goth U}\arrow \R\] называется {\бф аддитивной}, или {\бф конечно-аддитивной}, если для любых $A, B\in {\goth U}$, которые не пересекаются, имеет место $\mu(A\coprod B)= \mu(A) + \mu(B)$ (объединение непересекающихся подмножеств обозначают $A\coprod B$). \ео Аддитивность -- одно из условий, которые естественно наложить на функцию объема (то есть меру), чтобы получить полезное на практике аксиоматическое определение объема/меры. Впрочем, как заметил еще Архимед, конечной аддитивности недостаточно: чтобы вычислять объемы трехмерных многогранников, или криволинейных фигур, необходимо потребовать {\ем счетной аддитивности} ($\sigma$-аддитивности), то есть аддитивности по объединению счетных наборов подмножеств. Тем не менее, в некоторых ситуациях конечной аддитивности хватает, например, на кольце многоугольников в $\R^2$, которое будет определено ниже. \hfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \предложение Конечная аддитивность функции $\mu$ равносильно выполнению соотношения \begin{equation}\label{_additi_pere_Equation_} \mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B) \end{equation} для любых подмножеств. \хфилл {\бф Доказательство:} Аддитивность $\mu$ следует из \eqref{_additi_pere_Equation_} для непересекающихся $A$ и $B$. Вывести \eqref{_additi_pere_Equation_} из аддитивности тоже весьма просто. Сначала заметим, что $\mu(A\coprod B\coprod C)= \mu(A) + \mu(B)+\mu(C)$ для попарно непересекающихся $A, B, C$. Затем применим эту формулу к попарно непересекающимся множествам $A\backslash B$, $A\cap B$, $B\backslash A$, получив \[ \mu(A\cup B) = \mu(A\backslash B) + \mu(B\backslash A) + \mu(A\cap B). \] Применив аддитивность к попарно непересекающимся множествам $A\backslash B$, $A\cap B$ и $B\backslash A$, $A\cap B$, получим \[ \mu(A)=\mu(A\backslash B)+\mu(A\cap B), \ \ \mu(B)=\mu(B\backslash A)+\mu(A\cap B), \] Легко видеть, что \eqref{_additi_pere_Equation_} получается линейной комбинацией последних трех уравнений (проверьте это). \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Кольцо многогранников} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Подмножество $X\subset \R^n$ называется {\бф выпуклым}, если для любых двух точек $X$, соединяющий их отрезок лежит в $X$ целиком. \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Выпуклая оболочка} множества $X_0$ есть наименьшее выпуклое множество $X$, содержащее $X_0$. Другими словами, $X$ есть выпуклое множество, содержащее $X_0$ и содержащееся в любом выпуклом множестве, которое содержит $X_0$. \ео Существование выпуклой оболочки нужно, конечно, доказывать. Она строится явно в следующей лемме. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма Пусть $X_0\subset \R^n$ какое-то подмножество, а $X$ -- множество конечных линейных комбинаций вида $\sum \lambda_i x_i$, где $\sum \lambda_i =1$, все $\lambda_i$ неотрицательны, а $x_i \in X_0$. Тогда $X$ -- это выпуклая оболочка $X_0$. \задача Докажите эту лемму. \ез \определение {\бф Симплексом} в $\R^n$ называется выпуклая оболочка $n+1$ точки. Симплекс называется {\бф вырожденным}, если эти точки содержатся в какой-то гиперплоскости. \ео \замечание В $\R^2$ симплекс это треугольник, отрезок или точка; в $\R^3$ - тетраэдр, выпуклый четырехугольник, лежащий в плоскости, треугольник, отрезок или точка. Последние 4 примера, очевидно, вырожденные. \еза \определение {\бф Кольцо многогранников} есть кольцо, полученное применением конечного числа операций объединения, пересечения, дополнения к симплексам. \ео \замечание В силу того, что мы разрешили вырожденные симплексы, достаточно странные вещи могут оказаться многогранниками, например, дополнение куба к треугольнику или нескольким точкам. \еза \определение {\бф Вырожденный многогранник} есть многогранник, полученный применением операций объединения, пересечения, дополнения к вырожденным симплексам. {\бф Замкнутый} многогранник есть объединение конечного числа симплексов. \ео \задача Докажите, что замыкание любого многогранника (в смысле обычной топологии на $\R^n$) есть замкнутый многогранник. \ез \задача Докажите, что любой многогранник получается как дополнение $A\backslash B$, где $A$ замкнутый многогранник, а $B$ -- вырожденный. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Триангуляция многогранников} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- замкнутый многогранник. {\бф Триангуляция} $M$ есть разбиение $M\backslash S$ в объединение невырожденных симплексов $X_1, ..., X_n$, таким образом, что попарные пересечения этих симплексов -- вырожденные многогранники, и $S$ -- вырожденный многогранник. {\бф Триангуляцией незамкнутого многогранника} называется триангуляция его замыкания. \ео \теорема\label{_triangu_exists_Theorem_} Каждый многогранник допускает триангуляцию. \хфилл {\бф Доказательство.} Проще всего триангулировать выпуклые многогранники. Для этого надо триангулировать все грани, воспользовавшись индукцией по размерности, а затем взять точку $S$ внутри многогранника, и соединить прямыми с каждой из вершин симплексов, нарисованных на гранях. Многогранник развалится в объединение симплексов, имеющих общую вершину $S$, с противоположной этой вершине гранью, принадлежащей выбранной триангуляции граней многогранника. Такая триангуляция называется {\бф барицентрической}. Если же многогранник не выпуклый, мы разрежем его в объединение выпуклых, пересекающихся по гиперплоскостям, и триангулируем каждую выпуклую часть по отдельности. Для этого возьмем многогранник $M$, полученный из симплексов $X_1, ..., X_n$ операциями пересечения, объединения и дополнения, и пусть $P$ -- множество всех гиперплоскостей, которые ограничивали эти симплексы. Тогда $P$ разбивает $\R^n$ в объединение компонент связности, каждая из которых получается как пересечение полупространств, ограниченных $P_i \in P$, а значит, выпукла. Воспользовавшись индукцией по числу симплексов, нетрудно убедиться, что (с точностью до вырожденных многогранников) $M$ получен как объединение некоторого подмножества компонент связности. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $S_1, S_2$ -- две триангуляции многогранника $M$. Триангуляция $S_2$ называется {\бф измельчением} триангуляции $S_1$, если каждый симплекс из $S_2$ содержится в каком-то из симплексов $S_1$. Соответствующее отношение частичного порядка на измельчениях обозначается $S_2 \preccurlyeq S_1$. В этой ситуации также говорят, что триангуляция $S_2$ {\бф подчинена} триангуляции $S_1$. \ео \задача Пусть $S_1$, $S_2$ -- триангуляции многогранника $M$. Тогда существует триангуляция $S_3$ такая, что $S_3 \preccurlyeq S_1$ и $S_3 \preccurlyeq S_2$ \ез \указание Возьмите разбиение $M$ на попарные пересечения симплексов из $S_1$, $S_2$, и найдите триангуляцию каждого из этих симплексов. \еу %{\бф Шаг 0:} Проще всего триангулировать %выпуклые многогранники. Для этого надо триангулировать %все грани, воспользовавшись индукцией по размерности, а затем взять точку %$S$ внутри многогранника, и соединить прямыми с каждой из %вершин симплексов, нарисованных на гранях. Многогранник %развалится в объединение симплексов, имеющих общую %вершину $S$, с противоположной этой вершине гранью, %принадлежащей выбранной триангуляции граней многогранника. % %\хфилл % % %{\бф Шаг 1:} Пересечение триангулированных %многогранников триангулировано. Действительно, %пусть $S= \bigcup X_i$, $S' = \bigcup Y_i$ %соответствующие триангуляции. Тогда %$S\cap S' = \bigcup_{i,j} X_i \cap Y_j$, %причем $X_i \cap Y_j$ для разных $i,j$ %пересекаются по вырожденному многограннику. %Поскольку многогранники $X_i \cap Y_j$ выпуклы, каждый из них %допускает триангуляцию; это дает триангуляцию %их объединения. % %\хфилл % %{\бф Шаг 2:} %Этот же аргумент показывает, что пересечение %триангулированного многогранника $S$ %и выпуклого множества $\Sigma$, полученного, %как пересечение гиперплоскостей, тоже %триангулировано (проверьте это). % %\хфилл % %{\бф Шаг 3:} %Пусть $S$ -- симплекс в $R^n$, полученный как пересечение %$(n+1)$ полупространств $S_i^+$, а $S_i^-$ -- %замыкание дополнения $\R^n \backslash S_i^+$. %Легко видеть, что %\[ %\Sigma \backslash S = \bigcup \Sigma \cap \bigcap S_i^{\pm} %\] %где $\bigcap S_i^{\pm}$ пробегает все комбинации %вида $S_1^+ \cap S_2^- \cap S_3^+ \cap ...$, %где хотя бы один из знаков -- минус (проверьте это). %Все многогранники $\Sigma \cap \bigcap S_i^{\pm}$ %получены из $\Sigma$ пересечением с выпуклой областью, %и они пересекаются по вырожденным многогранникам. %Применяя утверждение из шага 2, получаем, %что $\Sigma \backslash S$ триангулировано, %если $\Sigma$ -- триангулированный многогранник, %а $S$ -- симплекс. % %\хфилл % %{\бф Шаг 4:} В силу шага 1, пересечение %триангулированных многогранников триангулировано, %а в силу шага 3 - дополнение триангулированного %многогранника до симплекса %триангулировано. Поскольку дополнение %до объединения есть пересечение дополнений, %из этого получается, что дополнение %триангулированного многогранника %до любого объединения симплексов %триангулировано. % %\хфилл % %{\бф Шаг 5:} %Пусть $A$ и $B$ -- триангулированные замкнутые многогранники. %Тогда $A\cup B= (A\cap B) \cup (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$. %Триангуляция $A\backslash B$ существует в силу шага 4, %поскольку этот многогранник составлен из симплексов %$A$, из которых вырезали все симплексы $B$. По той %же причине существует триангуляция $B\backslash A$, %а триангуляция $A\cap B$ существует в виду шага 1. % % %\хфилл % %{\бф Шаг 6:} %Дополнение подмножества $\Sigma\subset \R^n$ %до симплекса $X$ можно получить как пересечение %$\Sigma$ и открытых полупространств $S_i$, ограничивающих $X$ %снаружи. Если $\Sigma$ ограничено, пересечение %$S_i \cap \Sigma$ содержится в достаточно большом %симплексе, одна из граней которого лежит на %границе полупространства $S_i$. Поэтому %дополнение $\Sigma$ до симплекса $X$ можно %(для ограниченных $\Sigma$) представить %как пересечение $\Sigma$ с объединением %симплексов, с точностью до вырожденных %многогранников. % %В силу изложенного, мы получаем, что %кольцо многогранников (с точностью до %вырожденных многогранников) состоит из %конечных пересечений и объединений симплексов. % %\хфилл % %{\бф Шаг 7:} %Из дистрибутивности %объединения относительно пересечения следует, что %каждый замкнутый многогранник %получается как объединение многогранников %$\Sigma_1, ..., \Sigma_n$, причем все $\Sigma_i$ %получены как пересечения симплексов. %Многогранники $\Sigma_i$ выпуклы, а значит %и триангулированы (шаг 0), а %их объединение триангулируется в силу шага 5. %Мы доказали, что все многогранники %допускают триангуляцию. %\endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Объем многогранников} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Напомню, что многогранники $M, M'\subset \R^n$ называются {\бф конгруэнтными}, если один можно перевести в другой движением $\R^n$. \определение Пусть ${\goth U} \subset 2^{\R^n}$ -- кольцо многогранников. Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R$ называется {\бф конечно-аддитивной мерой на ${\goth U}$}, если \begin{description} \item[(i)] $\mu$ конечно аддитивна: $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ \item[(ii)] $\mu(M)=0$ для любого вырожденного многогранника $M$. \end{description} Если, к тому же, $\mu(M)=\mu(M')$ для любых конгруэнтных многогранников $M, M'$, мера $\mu$ называется {\бф инвариантной} (или же ин\-ва\-ри\-ант\-ной относительно движений). \ео Следующее утверждение немедленно следует из теоремы о существовании триангуляций. \хфилл \утверждение Пусть $\mu, \mu'$ -- две конечно-аддитивные меры на кольце многогранников, которые равны на симплексах. Тогда они равны. \хфилл Чтобы определить объем многогранников через симплексы, надо задать объем на каждом симплексе (это можно сделать, используя определитель), а затем воспользоваться триангуляциями. Чтобы доказать корректность этого определения, надо убедиться, что оно не зависит от выбора триангуляции. \определение Рассмотрим симплекс $S$, полученный, как линейная оболочка точек $x_0, ..., x_n$. Определим {\бф объем} этого симплекса формулой \[ \Vol(S):= \frac 1 {n!} |\det(x_1-x_0, x_2 - x_0, ..., x_n -x_0)|. \] Здесь под $\det$ понимается детерминант матрицы, составленной из координат векторов $x_1-x_0, x_2 - x_0, ..., x_n -x_0$ \ео \задача Докажите, что объем $\Vol(S)$ не зависит от нумерации точек $x_0, ..., x_n$. \ез \указание Воспользуйтесь тем, что определитель не изменится, если ко всем столбцам добавить один и тот же вектор. \еу %\определение %Пусть $X$ -- симплекс в $\R^n$, а $x\in X$ любая точка. %{\бф Барицентрическая триангуляция} $X$ есть разбиение %$X$ на $n+1$ симплексов с одной вершиной в $x$ и $n$ вершинами %в вершинах $X$. %\ео % %\begin{figure}[ht] %\begin{center} %\epsfig{file=baricentr.eps,width=0.45\linewidth}\\ %{\em\scriptsize Барицентрическая триангуляция тетраэдра} %\end{center} %\end{figure} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\теорема\label{_barice_vol_Theorem_} %Пусть $X_1, ..., X_{n+1}$ -- симплексы, составляющие %барицентрическую триангуляцию симплекса $X\subset \R^n$. Тогда %$\Vol(Х) = \sum_i \Vol(X_i)$. % %\хфилл % %{\бф Доказательство:} %Пусть $x_0, ..., x_n$ -- вершины симплекса $X$, а $y$ -- %общая вершина симплексов $X_i$. %Равенство $\Vol(Х) = \sum_i \Vol(X_i)$ %есть равенство определителей, %\begin{equation}\label{_dete_sum_Equation_} %|\det(x_1-x_0, ..., x_n -x_0)| = %\sum_i|\det(x_0-y, ..., \widehat{x_i-y}, ..., x_n-y)|, %\end{equation} %где $\widehat{x_i-y}$ означает, что мы выкинули из последовательности %$x_0-y, x_1-y, ...$ член $x_i-y$. % %Воспользовавшись полилинейностью определителя, получаем %$\det(x_0-y, ..., \widehat{x_i-y}, ..., x_n-y))= %-\sum_{i,j}\det(x_0, ..., \widehat{x_i}, ...,y,..., x_n))$, %где $y$ стоит на месте $x_j$. Переписывая %\eqref{_dete_sum_Equation_}, и выбирая %последовательность $x_i$ таким образом, %что $x_0, ..., \widehat{x_i}, ..., x_n$ %положительно ориентированы для любого $i$, %получаем уравнение вида %\[ %\det(x_1-x_0, ..., x_n -x_0) = %\sum_i\sum_j \det(x_0, ..., \widehat{x_i}, ...,y,..., x_n)). %\] %В правой части этого уравнения размещается $\frac{n(n+1)$ %определителей вида $\det(y, x_0, ..., \widehat{x_i}, ...,\widehat{x_j},..., x_n)$, %причем каждая пара $i,j$ дает два из них, которые %входят с противоположными знаками, а значит, сокращаются %(проверьте это). Поэтому правая часть %\eqref{_dete_sum_Equation_} не зависит от $y$, но %при $y=x_0$ это уравнение тавтологически верно. %\endproof % % %\хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- многогранник, снабженный триангуляцией, $M = \bigcup X_i$. Определим {\бф объем $M$} формулой $\Vol(M) := \sum \Vol(X_i)$. \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \теорема \label{_obem_corre_Theorem_} Объем многогранника является конечно-аддитивной мерой на кольце многогранников, и инвариантен относительно движений. \хфилл {\бф Доказательство:} Аддитивность объема следует из того, что он не зависит от триангуляции. В самом деле, пусть $A= A_1 \cup A_2$ -- разбиение $A$ в объединение многогранников. Выберем триангуляцию многогранников $A_1\backslash A_2$, $A_2 \backslash A_1$ и $A_1 \cap A_2$. Она задает триангуляцию $A$, $A_1$и $A_2$. Связанный с этой триангуляцией объем удовлетворяет $\Vol(A)= \Vol(A_1) + \Vol(A_2) - \Vol(A_1\cap A_2)$, (легко видеть, что в этой формуле объем каждого симплекса, составляющего $A$, учитывается один раз). Для доказательства того, что объем не зависит от триангуляции, рассмотрим две триангуляции $S_1, S_2$ многогранника $M$, и пусть $S$ -- общее измельчение $S_1$ и $S_2$. Каждый симплекс $X$ из $S_1, S_2$ разбивается в объединение симплексов $X_i$ из $S$. Если мы докажем, что суммарный объем $X_i$ равен объему $X$, из этого будет следовать, что объем $M$, посчитанный с обоими триангуляциями, равен сумме объемов всех симплексов $S$. Значит, теорема \ref{_obem_corre_Theorem_} вытекает из следующего утверждения. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \теорема\label{_volume_tria_Theorem_} Пусть $S$ - триангуляция симплекса $X$, разбивающая $X$ в объединение симплексов $X_1, ..., X_n$. Тогда $\Vol(X) = \sum \Vol(X_i)$. \хфилл В следующей лекции я буду считать, что объем определен корректно, и займусь третьей проблемой Гильберта и инвариантом Дэна. Доказательство теоремы \ref{_volume_tria_Theorem_} приводится в лекции 3. \end{document}