Теория меры, лекция 1  Миша Вербицкий

1. Теория меры, лекция 1: триангуляции, аддитивные меры и объем многогранников

История интегрирования восходит к Архимеду, Ньютону и Лейбницу, но строгое обоснование теории интегрирования стало возможно только во второй половине XIX-го века, благодаря Коши, Дирихле и Риману. Кульминацией этого подхода стали работы Лебега, появившиеся в 1902-1903, в которых он определил понятие меры и измеримой функции, ныне общепринятое.

На протяжении XX-го века основы интегрирования делались все проще и проще, и сейчас большую часть теории меры можно рассказать в хорошем матклассе. Теория меры, в современном изложении, строится аксиоматически, и не требует для своего построения ничего, кроме базовых фактов теории множеств, топологии и анализа.

Henri Lе́on Lebesgue (June 28, 1875 - July 26, 1941)

Слово "мера" обозначает, в большинстве случаев “объем” подмножества, то есть интеграл от функции, которая принимает 1 на этом подмножестве и 0 вне его. Такая функция называется характеристической функцией подмножества. Оказывается, для построения интегрирования достаточно научиться интегрировать характеристические функции. Поэтому-то теорию интегрирования и называют сейчас теорией меры. Мера есть функция, бьющая из подмножеств некоторого пространства в вещественные числа, и удовлетворяющая свойствам объема, о которых будет рассказано ниже. Как правило, определить меру на множестве всех подмножеств не получается - это приводит к теоретико-множественным парадоксам. Поэтому для построения теории меры приходится сначала определить измеримые подмножества, а затем определять меру как функцию на множестве измеримых подмножеств.

В качестве первого введения в теорию меры, я расскажу про объемы многогранников и инвариант Дэна, изобретенный для решения третьей проблемы Гильберта. Эту науку часто рассказывают школьникам матклассов. Полезные книги на ту же тему - "Третья проблема Гильберта" Болтянского и "Наглядная геометрия" Гильберта и КонФоссена.

1.1. Кольца подмножеств и конечно-аддитивные функции

Пусть S – множество. Мы обозначаем множество подмножеств S за 2^{S}. Полезно думать о 2^{S} как о множестве всех функций из S в {0, 1}; для каждого X ∈ 2^{S}, соответствующая ему характеристическая функция отображает все точки X в 1, а все остальные в 0.

Определение 1.1. Подмножество 𝔘 ⊂ 2^{S} называется кольцом подмножеств, если 𝔘 содержит пустое множество, ∅ ∈ 𝔘, и все пересечения и объединения конечных наборов подмножеств из 𝔘 содержатся в 𝔘.

Иногда требуют, дополнительно, чтобы S содержалось в 𝔘.

Замечание 1.2. Отождествим {0, 1} с полем из двух элементов, которое обозначается 𝔽_{2}. Это задает кольцевую структуру на 2^{S}: умножение соответствует взятию пересечения, сложение - взятие симметрической разности. Легко видеть, что 𝔘 является кольцом подмножеств тогда и только тогда, когда соответствующие функции из S в {0, 1} = 𝔽_{2} образуют подкольцо в 2^{S} (без единицы). Если, к тому же, S ∈ 𝔘, это будет кольцо с единицей (единица задается характеристической функцией S, которая принимает значение 1 на всех элементах S).

Определение 1.3. Пусть 𝔘 ⊂ 2^{S} – кольцо подмножеств. Функция

μ : 𝔘 ⟶ ℝ

называется аддитивной, или конечно-аддитивной, если для любых A, B ∈ 𝔘, которые не пересекаются, имеет место μ(A ∐ B) = μ(A) + μ(B) (объединение непересекающихся подмножеств обозначают A ∐ B).

Аддитивность – одно из условий, которые естественно наложить на функцию объема (то есть меру), чтобы получить полезное на практике аксиоматическое определение объема/меры. Впрочем, как заметил еще Архимед, конечной аддитивности недостаточно: чтобы вычислять объемы трехмерных многогранников, или криволинейных фигур, необходимо потребовать счетной аддитивности (σ-аддитивности), то есть аддитивности по объединению счетных наборов подмножеств.

Тем не менее, в некоторых ситуациях конечной аддитивности хватает, например, на кольце многоугольников в ℝ^{2}, которое будет определено ниже.

Предложение 1.4: Конечная аддитивность функции μ равносильно выполнению соотношения

μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) − μ(A ∩ B)  (1.1.1)

для любых подмножеств.

Доказательство: Аддитивность μ следует из (1.1.1) для непересекающихся A и B. Вывести (1.1.1) из аддитивности тоже весьма просто. Сначала заметим, что μ(A ∐ B ∐ C) = μ(A) + μ(B) + μ(C) для попарно непересекающихся A, B, C. Затем применим эту формулу к попарно непересекающимся множествам A\B, A ∩ B, B\A, получив

μ(A ∪ B) = μ(A\B) + μ(B\A) + μ(A ∩ B).

Применив аддитивность к попарно непересекающимся множествам A\B, A ∩ B и B\A, A ∩ B, получим

μ(A) = μ(A\B) + μ(A ∩ B), μ(B) = μ(B\A) + μ(A ∩ B),

Легко видеть, что (1.1.1) получается линейной комбинацией последних трех уравнений (проверьте это).

1.2. Кольцо многогранников

Определение 1.5. Подмножество X ⊂ ℝ^{n} называется выпуклым, если для любых двух точек X, соединяющий их отрезок лежит в X целиком.

Определение 1.6. Выпуклая оболочка множества X_{0} есть наименьшее выпуклое множество X, содержащее X_{0}. Другими словами, X есть выпуклое множество, содержащее X_{0} и содержащееся в любом выпуклом множестве, которое содержит X_{0}.

Существование выпуклой оболочки нужно, конечно, доказывать. Она строится явно в следующей лемме.

Лемма 1.7: Пусть X_{0} ⊂ ℝ^{n} какое-то подмножество, а X – множество конечных линейных комбинаций вида ∑ λ_{i}x_{i}, где ∑ λ_{i} = 1, все λ_{i} неотрицательны, а x_{i} ∈ X_{0}. Тогда X – это выпуклая оболочка X_{0}.

Задача 1.8. Докажите эту лемму.

Определение 1.9. Симплексом в ℝ^{n} называется выпуклая оболочка n + 1 точки. Симплекс называется вырожденным, если эти точки содержатся в какой-то гиперплоскости.

Замечание 1.10. В ℝ^{2} симплекс это треугольник, отрезок или точка; в ℝ^{3} - тетраэдр, выпуклый четырехугольник, лежащий в плоскости, треугольник, отрезок или точка. Последние 4 примера, очевидно, вырожденные.

Определение 1.11. Кольцо многогранников есть кольцо, полученное применением конечного числа операций объединения, пересечения, дополнения к симплексам.

Замечание 1.12. В силу того, что мы разрешили вырожденные симплексы, достаточно странные вещи могут оказаться многогранниками, например, дополнение куба к треугольнику или нескольким точкам.

Определение 1.13. Вырожденный многогранник есть многогранник, полученный применением операций объединения, пересечения, дополнения к вырожденным симплексам. Замкнутый многогранник есть объединение конечного числа симплексов.

Задача 1.14. Докажите, что замыкание любого многогранника (в смысле обычной топологии на ℝ^{n}) есть замкнутый многогранник.

Задача 1.15. Докажите, что любой многогранник получается как дополнение A\B, где A замкнутый многогранник, а B – вырожденный.

1.3. Триангуляция многогранников

Определение 1.16. Пусть M – замкнутый многогранник. Триангуляция M есть разбиение M\S в объединение невырожденных симплексов X_{1}, ..., X_{n}, таким образом, что попарные пересечения этих симплексов – вырожденные многогранники, и S – вырожденный многогранник. Триангуляцией незамкнутого многогранника называется триангуляция его замыкания.

Теорема 1.17: Каждый многогранник допускает триангуляцию.

Доказательство. Проще всего триангулировать выпуклые многогранники. Для этого надо триангулировать все грани, воспользовавшись индукцией по размерности, а затем взять точку S внутри многогранника, и соединить прямыми с каждой из вершин симплексов, нарисованных на гранях. Многогранник развалится в объединение симплексов, имеющих общую вершину S, с противоположной этой вершине гранью, принадлежащей выбранной триангуляции граней многогранника. Такая триангуляция называется барицентрической.

Если же многогранник не выпуклый, мы разрежем его в объединение выпуклых, пересекающихся по гиперплоскостям, и триангулируем каждую выпуклую часть по отдельности. Для этого возьмем многогранник M, полученный из симплексов X_{1}, ..., X_{n} операциями пересечения, объединения и дополнения, и пусть P – множество всех гиперплоскостей, которые ограничивали эти симплексы. Тогда P разбивает ℝ^{n} в объединение компонент связности, каждая из которых получается как пересечение полупространств, ограниченных P_{i} ∈ P, а значит, выпукла. Воспользовавшись индукцией по числу симплексов, нетрудно убедиться, что (с точностью до вырожденных многогранников) M получен как объединение некоторого подмножества компонент связности.

Определение 1.18. Пусть S_{1}, S_{2} – две триангуляции многогранника M. Триангуляция S_{2} называется измельчением триангуляции S_{1}, если каждый симплекс из S_{2} содержится в каком-то из симплексов S_{1}. Соответствующее отношение частичного порядка на измельчениях обозначается S_{2} ≼ S_{1}. В этой ситуации также говорят, что триангуляция S_{2} подчинена триангуляции S_{1}.

Задача 1.19. Пусть S_{1}, S_{2} – триангуляции многогранника M. Тогда существует триангуляция S_{3} такая, что S_{3} ≼ S_{1} и S_{3} ≼ S_{2}

Указание 1.20. Возьмите разбиение M на попарные пересечения симплексов из S_{1}, S_{2}, и найдите триангуляцию каждого из этих симплексов.

1.4. Объем многогранников

Напомню, что многогранники M, M′ ⊂ ℝ^{n} называются конгруэнтными, если один можно перевести в другой движением ℝ^{n}.

Определение 1.21. Пусть 𝔘 ⊂ 2^{ℝ^{n}} – кольцо многогранников. Функция μ : 𝔘 ⟶ ℝ называется конечно-аддитивной мерой на 𝔘, если (i) μ конечно аддитивна: μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) − μ(A ∩ B)

(ii) μ(M) = 0 для любого вырожденного многогранника M.

Если, к тому же, μ(M) = μ(M′) для любых конгруэнтных многогранников M, M′, мера μ называется инвариантной (или же инвариантной относительно движений).

Следующее утверждение немедленно следует из теоремы о существовании триангуляций.

Утверждение 1.22: Пусть μ, μ′ – две конечно-аддитивные меры на кольце многогранников, которые равны на симплексах. Тогда они равны.

Чтобы определить объем многогранников через симплексы, надо задать объем на каждом симплексе (это можно сделать, используя определитель), а затем воспользоваться триангуляциями. Чтобы доказать корректность этого определения, надо убедиться, что оно не зависит от выбора триангуляции.

Определение 1.23. Рассмотрим симплекс S, полученный, как линейная оболочка точек x_{0}, ..., x_{n}. Определим объем этого симплекса формулой

Vol(S) := \frac{1}{n!}| det(x_{1} − x_{0}, x_{2} − x_{0}, ..., x_{n} − x_{0})|.

Здесь под det понимается детерминант матрицы, составленной из координат векторов x_{1} −x_{0}, x_{2} − x_{0}, ..., x_{n} − x_{0}

Задача 1.24. Докажите, что объем Vol(S) не зависит от нумерации точек x_{0}, ..., x_{n}.

Указание 1.25. Воспользуйтесь тем, что определитель не изменится, если ко всем столбцам добавить один и тот же вектор.

Определение 1.26. Пусть M – многогранник, снабженный триангуляцией, M = ⋃ X_{i}. Определим объем M формулой Vol(M) := ∑ Vol(X_{i}).

Теорема 1.27: Объем многогранника является конечно-аддитивной мерой на кольце многогранников, и инвариантен относительно движений.

Доказательство: Аддитивность объема следует из того, что он не зависит от триангуляции. В самом деле, пусть A = A_{1} ∪ A_{2} – разбиение A в объединение многогранников. Выберем триангуляцию многогранников A_{1}\A_{2}, A_{2}\A_{1} и A_{1}∩A_{2}. Она задает триангуляцию A, A_{1}и A_{2}. Связанный с этой триангуляцией объем удовлетворяет Vol(A) = Vol(A_{1})+Vol(A_{2})−Vol(A_{1} ∩A_{2}), (легко видеть, что в этой формуле объем каждого симплекса, составляющего A, учитывается один раз).

Для доказательства того, что объем не зависит от триангуляции, рассмотрим две триангуляции S_{1}, S_{2} многогранника M, и пусть S – общее измельчение S_{1} и S_{2}. Каждый симплекс X из S_{1}, S_{2} разбивается в объединение симплексов X_{i} из S. Если мы докажем, что суммарный объем X_{i} равен объему X, из этого будет следовать, что объем M, посчитанный с обоими триангуляциями, равен сумме объемов всех симплексов S. Значит, теорема 1.27 вытекает из следующего утверждения.

Теорема 1.28: Пусть S - триангуляция симплекса X, разбивающая X в объединение симплексов X_{1}, ..., X_{n}. Тогда Vol(X) = ∑ Vol(X_{i}).

В следующей лекции я буду считать, что объем определен корректно, и займусь третьей проблемой Гильберта и инвариантом Дэна. Доказательство теоремы 1.28 приводится в лекции 3.