
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}

\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\ендпрооф{\endproof}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\sup{{\operatorname{\sf sup}}}
\def\diam{{\operatorname{\sf diam}}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Гиперболические группы по Громову\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\makeatother


\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Гиперболические группы по Громову: \\[3mm]
 лемма Морса}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 29 ноября, 2012\\
НМУ}
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве (повторение)}

{\bf \green Определение:}
Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая,
соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\]
Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей
геодезической}, а соответствующая параметризация -
{\bf\blue геодезической параметризацией}. 

\замечание
{\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая -- то же
самое, что изометрическое вложение из отрезка в $M$.}

\теорема
Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство
с внутренней метрикой, а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая
геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.}
\ендпрооф

\определение
Кратчайшая, соединяющая две точки $a,b$ метрического
пространства, обозначается $[a,b]$, а ее длина
обозначается $|ab|:=d(a,b)$.

\newpage

{\бф \блуе Тонкие треугольники (повторение)}


\определение
{\бф\блуе Геодезический треугольник} $\triangle(abc)$  в метрическом
пространстве есть треугольник, составленный из трех 
вершин $a,b,c$, соединенных кратчайшими, которые я буду
обозначать за $[a,b],[b,c]$ и $[c,a]$
{\бф \блуе Талия} {\it (en: minsize, fr: taille minimale)}
треугольника есть супремум
расстояния от точки $z$, лежащей на одной из сторон,
до объединения двух других. Треугольник называется
{\бф \блуе $\delta$-тонким} (по Рипсу), если его талия не больше $\delta$.

\centerline{\epsfig{file=tonkij-treugoln.eps,width=0.13\linewidth}}

\определение
Метрическое пространство $X$ со строго внутренней метрикой
называется {\бф \блуе $\delta$-гиперболическим},
если все геодезические треугольники $\delta$-тонкие.
Будем говорить, что $X$ {\бф \блуе гиперболично}, если оно
$\delta$-гиперболично, для какой-то константы $\delta$.



\утверждение
{\бф \ред Каждое 0-гиперболическое геодезическое пространство
изометрично дереву} (связному, односвязному графу).

\теорема {\бф \ред Пространство Лобачевского гиперболично}.

\невпаге


{\bf \blue Неравенство Громова (повторение)}

\определение
Пусть $X$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой $p$. {\бф \блуе Громовское произведение}
$(a,b)_p$ есть $1/2(|ap|+|bp|-|ab|)$. Это число, которое
измеряет отклонение неравенства треугольника от равенства.

\определение
{\бф \блуе Неравенство Громова} есть неравенство
на попарные громовские произведения:
\[
(a,b)_p\geq \min\left[(a,c)_p,(b,c)_p\right]-\delta.
\]
Когда нужно обозначить, о каком конкретно $\delta$ идет
речь, говорится {\бф \блуе $\delta$-неравенство Громова.}


\замечание
Неравенство Громова равносильно следующему
условию:
\[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|,
   |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta.
\]
\centerline{\epsfig{file=gromov-inequa.eps,width=0.35\linewidth}}


\newpage

{\bf \blue Гиперболичность по  Громову (повторение)}

\теорема
Пусть в $(X,p)$ выполнено $\delta$-неравенство Громова. 
{\бф \ред Тогда для любой точки $p'$, в $(X,p')$
выполнено $2\delta$-неравенство Громова.}

\теорема
{\бф \ред Пусть в $X$ выполнено $\delta$-неравенство
Громова. Тогда $X$ $6\delta$-гиперболично.}

\следствие
{\бф \ред В любом $\delta$-гиперболическом пространстве выполнено
$3\delta$-неравенство Громова.}

\следствие
{\бф \пурпле Гиперболичность по Громову эквивалентна
гиперболичности, определенной через тонкие треугольники}



\замечание
Kогда говорят
{\bf \blue "определение А гиперболичности эквивиалентно определению Б"}
это значит, что {\bf \purple для какого-то числа $C>0$ из
$\delta$-гиперболичности в смысле А следует
$C\delta$-гиперболичность в смысле Б, а из
$\delta$-гиперболичности в смысле Б следует
$C\delta$-гипербо\-личность в смысле А.}


\невпаге

{\бф\блуе Слабая и сильная топология на пространстве отображений}

\определение
Пусть $X,Y$ -- метрические пространства, а $\Map(X,Y)$ --
множество всех отображений. Для точки $x\in X$
и открытого подмножества $W\subset Y$, рассмотрим 
подмножество $U_{x,W}\subset \Map(X,Y)$, состоящее
из всех отображений, переводящих $x$ в $W$.
{\бф\блуе Топология поточечной
сходимости}, или же {\бф\блуе слабая топология} 
на  $\Map(X,Y)$ задается предбазой вида
$U_{x,W}$, $x\in X, W\subset Y$ для всех точек
$x\in X$ и всех открытых подмножеств $W\subset Y$.
{\бф\блуе Топология равномерной сходимости}, обозначенная
$C^0$,  задается базой вида $U_{f, \delta}$, где
$f\in \Map(X,Y)$, $\delta>0$, а $U_{f, \delta}$ --
множество всех отображений $g\in \Map(X,Y)$,
таких, что $d(f(x),g(x))<\delta$ для всех $x\in X$.

\утверждение
Последовательность $\{f_i\}\subset \Map(X,Y)$
сходится к $f$ в $C_0$ тогда и только тогда, когда
$\lim_i \sup_{x\in X} d(f_i(x),f(x))=0$, и сходится
к $f$ поточечно $\Leftrightarrow$ для каждого $x\in X$,
имеем $\lim_i f_i(x) = f(x)$.

\утверждение
{\бф \пурпле В $C^0$ предел последовательности
непрерывных отображений
непрерывен, а предел $C$-липшицевых $C$-липшицев.}

\утверждение
В слабой топологии, предел последовательности 
непрерывных отображений 
не всегда непрерывен, а {\бф \ред предел $C$-липшицевых 
все же $C$-липшицев.}

\невпаге

{\бф\блуе Теорема Тихонова}

\утверждение
Пусть $X$ счетно, а $Y$ компактно.
{\бф \ред Тогда $\Map(X,Y)$ компактно в 
топологии поточечной сходимости.}

\доказательство
Дана последовательность $\{y_i(n)\}$ последовательностей
точек в $Y$; нужно выбрать из нее подпоследовательность,
в которой $\lim_n y_i(n)$ существует $\forall i$.
Выбираем подпоследовательность, в которой
$\lim_n y_1(n)$ сходится, оставляем из нее первый
элемент, потом выбираем у этой последовательности 
такую, чтоб сходилось $\lim_n y_2(n)$, выбираем второй элемент,
и так далее. \ендпрооф

\замечание Счетность $X$ не нужна;
по теореме Тихонова, $\Map(X,Y)$ всегда компактно.

\невпаге

{\бф\блуе Теорема Арцела-Асколи}


\определение
Метрическое пространство {\бф \блуе сепарабельно},
если оно содержит всюду плотное, счетное множество,
и {\бф\блуе ограниченно}, если у него конечный диаметр.

\лемма
Пусть $X_0\subset X$ -- счетное, полное подмножество,
$Y$ компактны, $X$ ограниченно,
а $\{f_i\in \Map(X,Y)\}$ -- последовательность
$C$-липшицевых отображений.
Предположим, что $f_i\restrict X_0$ поточечно сходится.
{\бф \ред Тогда $f_i$  сходится в $C^0$-топологии,
а предел $\{f_i\}$ тоже $C$-липшицев.}

\доказательство Липшицевость предела очевидна,
$C^0$-сходимость следует. \ендпрооф

\следствие
{\бф \блуе 
(теорема Арцела-Асколи для липшицевых отображений)} 
Пусть $X$ сепарабельное, ограниченное метрическое
пространство, $Y$ компактно а $L_C(X,Y)\subset \Map(X,Y)$ --
пространство $C$-липшицевых отображений.
{\бф \ред Тогда $L_C(X,Y)$ компактно в топологии 
равномерной сходимости.}


\невпаге

{\бф\блуе Квазигеодезические метрики на графах}

\определение
{\бф \блуе $C$-квазигеодезическая метрика} на графе $\Gamma$
есть метрика $d$, которая удовлетворяет
$|x-y|\leq d(x,y)\leq C|x-y|$.

\утверждение
Рассмотрим $C$-квазигеодезическую метрику на $\Gamma$
как отображение $\Gamma\times \Gamma \stackrel d \arrow \R$.
Тогда $d$ $C$-липшицева.

\утверждение
Рассмотрим пространство метрик на $\Gamma$
как метрическое пространство с метрикой 
$d(d_1, d_2):= \sup_{(x,y)\in Z^2} |d_1(x,y)-d_2(x,y)|.$
{\бф \пурпле Тогда  предел $C$-квазигеодических метрик --
$C$-квазигеодическая метрика.}

\следствие
{\бф \ред Пространство $C$-квазигеодических метрик компактно.}


\невпаге

{\бф\блуе Квазигеодезические}


\определение
{\бф\блуе $C$-квазигеодезическая} в метрическом пространстве
$M$ есть спрямляемая кривая $\gamma:\; [0,a]\arrow M$,
которое удовлетворяет $L(\gamma\restrict{[x,y]})\leq Cd(x,y)$,
где $L(\gamma\restrict{[x,y]})$ обозначает длину отрезка кривой.

\замечание
Я буду по умолчанию
считать, что {\бф \пурпле квазигеодезические параметризованы длиной кривой,}
то есть $L(\gamma\restrict{[x,y]})=|x-y|$.

\замечание
<<Лемма Морса>>
(в классической формулировке) есть утверждение
о геометрии плоскости (или пространства) Лобачевского $H$.
{\бф \блуе Для каждого $C>1$ найдется $R$ такое, что любая
$C$-квазигеодезическая, соединяющая $a$ и $b$,
лежит в $R$-окрестности отрезка $[a,b]$.}


Harold Marston Morse,
{\ем A fundamental class of geodesics on any 
closed surface of genus greater than one,} 
Trans. Amer. Math. Soc. 26 (1924), 25-60 

\определение
Пусть $\gamma$ -- $C$-квазигеодезическая
в геодезическом пространстве, а $R(\gamma)$ есть
максимум расстояния от точек $\gamma$ до любой
из кратчайших, соединяющих концы $\gamma$.
Лемма Морса утверждает, что {\бф \ред $R(\gamma)$ 
ограничено константой, которая зависит только
от $M$ и $C$, для любой $C$-квазигеодезической
в гиперболическом пространстве $M$.}


\невпаге

\begin{center}
{\бф \блуе Harold Calvin Marston Morse \\
(24 March 1892 - 22 June 1977) }

\epsfig{file=marston-morse.jpg,width=0.45\linewidth}

{\ем \small Marston Morse and colleague at the dedication\\  of the
Institute for Advanced Study at Princeton, 1938. }

\end{center}


\невпаге

{\бф\блуе Предельные метрики}

\замечание
Пусть $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ -- квазигеодезическая,
соединяющая $a$ и $b$. Тогда {\бф \пурпле метрика на отрезке $[0,1]$
$d(x,y):= \frac{|\gamma(ax), \gamma(ay)|}a$ является 
$C$-квазигеодезической. }

\определение
Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- 
последовательность $C$-квази\-геодезических.
{\бф\блуе Предельная метрика} есть (любой из) пределов последовательности
$d(x,y):= \frac{|\gamma_i(a_ix), \gamma_i(a_iy)|}{a_i}$.

\утверждение
Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- 
последовательность $C$-квази\-геодезических,
причем $\lim_i a_i=\infty$, а $([0,1], d)$ --
соответствующая предельная метрика. {\бф \ред Тогда
пространство $([0,1], d)$ 0-гиперболично.}

\доказательство
Метрика $\frac{d_i}{a_i}$ $\frac{\delta}{a_i}$-гиперболична,
значит, $d$ удовлетворяет 0-неравенству Громова.
\ендпрооф

\утверждение
Пусть $X$ -- 0-гиперболическое пространство,  
а $[0,1]:\; \stackrel\gamma\arrow X$ -- 
$C$-квазигеодезическая. {\бф \пурпле Тогда $\gamma$ инъективно и осуществляет
гомеоморфизм отрезка $[0,1]$ на его образ.}

\доказательство
Вложив $X$ в его аппроксимационное дерево $X_{tr}$,
сведем утверждение к случаю, когда метрика на $X$
геодезическая, и тогда $X$ -- дерево. 
\ендпрооф



\невпаге

{\бф\блуе Лемма Морса: случай двуугольника}



\утверждение
Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- 
последовательность $C$-квази\-геодезических
в гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$,
Обозначим за $X_i$ объединение образа $\gamma_i$
и отрезка, соединяющего концы $\gamma_i$.
Рассмотрим метрику $d_i$ на графе-<<двуугольнике>>
$\lozenge$ из двух вершин и двух ребер, полученную
из $d\restrict{X_i}$ делением на $a_i$.
{\бф \пурпле Тогда у $d_i$ есть подпоследовательность,
равномерно сходящаяся к какой-то полуметрике $\tilde d$,
и в полуметрическом пространстве
$(\lozenge, \tilde d)$ выполнено 0-неравенство Громова.}

\доказательство
Первое утверждение следует из Арцела-Асколи, второе - 
из того, что $d_i$ удовлетворяют $\frac{\delta}{a_i}$-неравенству
Громова. \ендпрооф

\следствие
{\бф \ред Для любой последовательности $\gamma_i$ квазигеодезических
с $\lim_i a_i=\infty$, имеем $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$.}

\доказательство
В предельном двуугольнике $(\lozenge, d)$
одна из сторон отстоит 
от другой на $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}$.
Но поскольку $(\lozenge, d)$ -- дерево,
{\бф \пурпле этот двуугольник является отрезком, то есть
две его стороны склеены.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф\блуе Лемма Морса: случай треугольника}


Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- 
последовательность $C$-квазигеодезических
в гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$
и $\lim_i R(\gamma_i)=\infty$, но $R(\gamma_i)< \frac {a_i}{2C}$. 
Обозначим за $t_i\in [0, a_i]$ точку, где 
реализуется максимум расстояния между $\gamma(t_i)$
и отрезком кратчайшей, соединяющим концы $\gamma_i$.
Предположим, что $d(t_i,\gamma_i(0))\leq 2C R(\gamma_i)$
для всех $i$, и возьмем точку $x_i \in\gamma_i([0,a_i])$
на расстоянии $4C R(\gamma_i)$ от $\gamma(0)$. Пусть $x_i'$ --
ближайшая точка к $x_i$ на отрезке
кратчайшей, соединяющем концы $\gamma_i$.

Рассмотрим криволинейный треугольник $Y_i$, одна сторона которого,
обозначенная $U_i$, есть отрезок $\gamma_i$ от $\gamma_i(0)$ 
до $x_i$, другая, обозначенная $V_i$, есть отрезок
геодезической, соединяющий $x_i'$ с $\gamma(0)$,
третья, обозначенная $T_i$ -- отрезок
геодезической, соединяющий $x_i'$ с $x_i$.
\\
\centerline{\epsfig{file=krivo-trekhu.eps,width=0.45\linewidth}}\\
Треугольник $Y_i$ естественно отождествляется
с графом $\triangle$, у которого 3 стороны и 3 вершины,
соединенные последовательно. Обозначим за $d_i$ метрику
на $\triangle$, индуцированную из $(Y_i, \frac{d}{R(\gamma_i)})$.


\невпаге

{\бф\блуе Лемма Морса: случай треугольника (продолжение)}

Сторона $U_i$ в $(\triangle, d_i)$ есть $C$-квазигеодезическая,
расстояние между концами которой равно $4C$, a прилежащие
к ней стороны $V_i$ и $T_i$ -- геодезические
длины $\leq 1$, $\leq 4C+1$. Значит,
{\бф \пурпле  у $\{d_i\}$ есть подпоследовательность,
которая равномерно сходится к полуметрике $\tilde d$ 
на $\square$, и $d$ удовлетворяет 0-неравенству Громова.}
\\
\centerline{\epsfig{file=krivo-trekhu.eps,width=0.55\linewidth}}\\
Обозначим за $U\subset (\triangle, \tilde d)$ 
предел криволинейной стороны
$U_i\in Y_i$, $V$, $T$ -- предел $V_i$, $T_i$. Тогда $|U|=4C$,
$|V|\leq 4C+1$, $|T|\leq 1$, а $(\triangle, \tilde d)$ -- дерево.

Пусть $t\in U$ -- предел $t_i\in U_i$. 
Поскольку $d(\gamma(0), t_i)\leq   2CR(\gamma_i)$,
точка $t$ лежит на расстоянии $\leq 2C$ от одного из 
концов $U$. 

\невпаге

{\бф\блуе Лемма Морса: случай треугольника (окончание)}


\утверждение
Пусть $\triangle \arrow {\Bbb T}$ есть отображение треугольника
с сторонами $U,V,T$ в
дерево, причем $U$ переходит в отрезок длины
$4C$, а $T$ - в отрезок длины $\leq 1$.
{\бф \пурпле Тогда образ любой точки $U$, отстоящей
от точки, соединяющей $V$ и $U$ на расстояние $\leq 2C$, 
содержится в образе $V$.}\\
\centerline{\epsfig{file=krivo-trekhu.eps,width=0.55\linewidth}}\\
\ендпрооф

Мы получили $d(t,V)=0$, но
по построению, $d_i(t_i, U_i)=1$, что 
приводит к противоречию. 
{\бф \ред Значит, из $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$
 и $R(\gamma_i)< \frac {a_i}{2C}$ 
следует $\lim_i R(\gamma_i)< R <\infty$.}

\невпаге

{\бф\блуе Лемма Морса: криволинейный четырехугольник}


Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- 
последовательность $C$-квазигеодезических
в гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$
и $\lim_i R(\gamma_i)=\infty$, но $R(\gamma_i)< \frac {a_i}{2C}$. 
Обозначим за $t_i\in [0, a_i]$ точку, где 
реализуется максимум расстояния между $\gamma(t_i)$
и отрезком кратчайшей, соединяющим концы $\gamma_i$.
Возьмем точки $x_i, y_i$
на $\gamma_i([0,a_i])$, такие что $d(x_i, y_i)
=4CR(\gamma_i)$, а $t_i$ лежит в середине отрезка $\gamma_i$,
соединяющего $x_i, y_i$. Рассмотрим четырехугольник
$\Pi_i$, с одной криволинейной стороной, представляющей
из себя отрезок $\gamma_i$ от $x_i$ до $y_i$,
три другие стороны которого -- отрезки геодезических
$[x_i,\tilde x_i]$, $[\tilde x_i, \tilde y_i]$, $[\tilde y_i, y_i]$,
где $\tilde x_i, \tilde y_i$ -- ближайшие к $x_i, y_i$
точки кратчайшей $[\gamma_i(0), \gamma_i(a_i)]$.\\
\centerline{\epsfig{file=krivo-chetyrekhu.eps,width=0.55\linewidth}}\\
Четырехугольник $\Pi_i$ естественно отождествляется
с графом $\square$, у которого 4 стороны и 4 вершины,
соединенные последовательно. Обозначим за $d_i$ метрику
на $\square$, индуцированную из $(\Pi_i, \frac{d}{R(\gamma_i)})$.


\невпаге

{\бф\блуе Лемма Морса: криволинейный четырехугольник (продолжение)}

\centerline{\epsfig{file=krivo-chetyrekhu.eps,width=0.5\linewidth}}

Одна из сторон $(\square, d_i)$ есть $C$-квазигеодезическая,
расстояние между концами которой равно $4C$, две прилежащие
к ней стороны имеют длину $\leq 1$, а противолежащая сторона --
геодезическая, которая не длиннее $4C+1$. Значит, 
{\бф \пурпле  у $\{d_i\}$ есть подпоследовательность,
которая равномерно сходится к полуметрике $\tilde d$ 
на $\square$, и $d$ удовлетворяет 0-неравенству Громова.}

Обозначим за $U\subset (\square, \tilde d)$ предел криволинейной стороны
$U_i\in \Pi_i$, $V$ -- предел противолежащей ей стороны $V_i$, а
$S, T$ -- оставшиеся две стороны. Тогда $|U|=4C$,
$|V|\leq 4C+2$, $|S|, |T|\leq 1$, а $(\square, \tilde d)$ -- дерево.

Пусть $t\in U$ -- предел $t_i\in U_i$. Поскольку
$Cd(\gamma(x_i), t_i)\geq  |x_i-t_i|= 2CR(\gamma_i)$,
точка $t$ лежит на расстоянии $\geq 2$ от концов $U$.


\невпаге

{\бф\блуе Лемма Морса: криволинейный четырехугольник (окончание)}

\centerline{\epsfig{file=krivo-chetyrekhu.eps,width=0.5\linewidth}}


\утверждение
Пусть $\square \arrow {\Bbb T}$ есть отображение квадрата в
дерево, причем верхняя сторона $U$ переходит в отрезок длины
$4C$, прилежащие к ней стороны - в отрезки длины $\leq 1$.
{\бф \пурпле Тогда образ любой точки $U$, отстоящей
от концов на расстояние $>1$, содержится в образе $V$.}
\ендпрооф

Мы получили $d(t,V)=0$, но
по построению, $d_i(t_i, U_i)=1$, что 
приводит к противоречию. 
{\бф \ред Значит, из $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$
следует $\lim_i R(\gamma_i)<R <\infty$.}

\невпаге

{\бф\блуе Лемма Морса: окончание доказательства}


\следствие 
{\бф \ред Если $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- 
последовательность $C$-квази\-геодезических
в гиперболическом пространстве, то $\lim R_i(\gamma_i)<
\infty$.}

\доказательство $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$,
что следует из аргумента с двуугольником, но
в этом случае $\lim R_i(\gamma_i)<
\infty$, что следует из рассмотрения трехугольника и 
четырехугольника.
\ендпрооф

Лемма Морса доказана. 
{\бф \пурпле Существует другое доказательство леммы Морса для
$\delta$-геодезических пространств, где оценка
на $R$ получается, как функция от $C$ и $\delta$.}

\замечание
Мы доказали, что квазигеодезическая лежит в
$R$-окрест\-ности геодезической, соединяующей ее 
концы: $S\subset T(R)$. {\бф \ред Тот же аргумент показывает,
что $T\subset S(R)$.}







\end{document}
