
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}

\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\ендпрооф{\endproof}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\sup{{\operatorname{\sf sup}}}
\def\diam{{\operatorname{\sf diam}}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Гиперболические группы по Громову\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\makeatother


\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Гиперболические группы по Громову: \\[3mm]
 квазиизометрии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 23 ноября, 2012\\
НМУ}
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Квазиизометрии}

\определение
Отображение $f:\; X \arrow Y$ называется 
{\бф\блуе билипшицевым с константой $C$},
или просто {\бф\блуе билипшицевым}, если это биекция, причем $f$ и $f^{-1}$
$C$-липшицевы (то есть удовлетворяют $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)$).


\определение
Пространства $X$ и $Y$ {\бф \блуе квазиизометричны}, если
в $X$ и в $Y$ существуют $\epsilon$-сети $X_\epsilon$ и $Y_\epsilon$,
между которыми есть билипшицево отображение.


\определение
Отображение $f:\; X \arrow Y$ метрических пространств
называется {\бф\блуе квазиметрическим}, если для каких-то
констант $C$, $\epsilon>0$, имеем $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)+\delta$.

\замечание 
{\бф \пурпле 
Квазиметрическое отображение не обязательно непрерывно.}

\невпаге

{\бф \блуе Квазиизометрии и квазиметрические отображения}

\теорема
Пусть $X, Y$ -- метрические пространства.
{\бф \ред Тогда следующие условия равносильны:}\\
(а) Существуют квазиметрические отображения
$f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$, и константа $A>0$ такая, что 
{\бф \пурпле $d(gf(x),x)<A$ и $d(fg(y),y)<A$ для любых $x\in X, y\in Y$.}\\
(б) {\бф \пурпле $X$ и $Y$ квазиизометричны.}


\доказательство {\бф \ред (б) $\Rightarrow$ (а):}
Пусть $N_X$, $N_Y$ -- $\epsilon$-сети в $X$, $Y$, a
$\phi:\; N_X \arrow N_Y$ - билипшицево отображение.
Выберем проекции $\Pi_X:\; X\arrow N_X$, 
$\Pi_Y:\; Y\arrow N_Y$,  такие, что
в каждую точку сети попадают элементы из ее $\epsilon$-окрестности.
{\бф \пурпле Тогда $f:=\Pi_X\circ \phi$ и $g:= \Pi_Y \circ \phi^{-1}$ --
квазиизометрии, причем $gf=\Pi_X$, а $fg=\Pi_Y$.}


Доказательство (a) $\Rightarrow$ (b) будет через слайд.

\следствие
{\бф \ред Квазиизометрия -- отношение эквивалентности.}
\ендпрооф



\невпаге

{\бф\блуе Квазиизометрии и $\epsilon$-сети}


\определение
$\epsilon$-сеть $N$ называется {\бф \блуе $\delta$-разделенной}, если
для любых неравных $a, b\in N$, имеем $d(a,b)> \delta$.

\утверждение
Пусть $N$ -- $\epsilon$-сеть в метрическом пространстве.
Тогда {\бф \ред из $N$ можно выбрать $\epsilon$-разделенную $2\epsilon$-сеть.}

\доказательство
См. листочек 1. \ендпрооф


\лемма
Пусть $f:\; M \arrow M'$ -- квазиметрическое
отображение. Тогда {\бф \пурпле существует $B>0$ такое, что
для каждой $B$-разделенной $2B$-сети, отображение
$f\restrict{N_X}$ липшицево.}

\доказательство
Пусть $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)+\delta$.
Тогда надо взять $B> \frac 1 2 C\delta$,
и $f\restrict{N_X}$ будет $2C$-липшицево.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф\блуе Квазиизометрии и $\epsilon$-сети (продолжение)}


\теорема
Пусть $X, Y$ -- метрические пространства.
{\бф \ред Тогда следующие условия равносильны:}\\
(а) Существуют квазиметрические отображения
$f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$, и константа $A>0$ такая, что 
{\бф \пурпле $d(gf(x),x)<A$ и $d(fg(y),y)<A$ для любых $x\in X, y\in Y$.}\\
(б) {\бф \пурпле $X$ и $Y$ квазиизометричны.}

{\бф \green Доказательство (а) $\Rightarrow$ (б). Шаг 1:}
В силу предыдущей леммы, {\bf \пурпле достаточно построить в $X$, $Y$
такие $B$-сети $N_X,N_Y$, что $f(N_X)=N_Y$},
для какого-то $B\gg 0$.

{\бф \греен Шаг 2:}
Выберем в $X$ $B$-разделенную $2B$-сеть $N_X$, для 
$B>A$. Поскольку $fg$ переводит каждую точку $N_X$ в точку
из ее $A$-окрестности, {\bf \purple $f\restrict{N_X}$ биективно.}


{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $N_Y:=f(N_X)$.
Поскольку $g(N_Y)$ есть $A+B$-сеть в $X$,
для любой $y\in Y$ найдется $y_0\in N_Y$
такой, что $d(g(y), g(y_0))< A+B$, что дает
$d(fg(y), fg(y_0))\leq C(A+B)+\delta$.
Из $d(y, fg(y))\leq A$ следует, что
$d(y,y_0)< C(A+B)+\delta +2A$.
{\бф \ред Мы доказали, что $N_Y$ есть 
$C(A+B)+\delta +2A$-сеть.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Метрика слов на группе}


\определение
{\бф \блуе Набор образующих} конечно-порожденной 
группы $G$ есть конечное
множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$.
{\бф \ред В дальнейшем, мы будем всегда предполагать, что
$s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.}


\определение
Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих.
{\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины
которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида
$g$ и $gs_i$. Положим длину ребер графа равной 1.
Этот метрический граф называется {\бф \ред графом Кэли.}

\определение
{\бф \блуе Метрика слов} на группе $\Gamma$ с набором
образующих $S$ есть метрика $d_S$, индуцированная с графа
Кэли.

\утверждение
Пусть самое короткое разложеие вида $\gamma=\prod_i s_i$ 
имеет длину $i$. {\бф \пурпле Тогда $d_S(1,\gamma)=i$.}.

\следствие
Пусть $S, S'$ -- наборы образующих, причем
$\max_{s'\in S'} d_S(1, s')=C$. {\бф \ред Тогда тождественное
отображение $(\Gamma, d_S)\arrow \Gamma, d_{S'})$
$C$-липшицево}.
\ендпрооф

\следствие {\бф \ред Для любой конечно-порожденной группы,
все ее графы Кэли квазиизометричны.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве (повторение)}

{\bf \green Определение:}
Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая,
соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\]
Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей
геодезической}, а соответствующая параметризация -
{\bf\blue геодезической параметризацией}. 

\замечание
{\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая -- то же
самое, что изометрическое вложение из отрезка в $M$.}

\теорема
Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство
с внутренней метрикой, а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая
геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.}
\ендпрооф

\определение
Кратчайшая, соединяющая две точки $a,b$ метрического
пространства, обозначается $[a,b]$, а ее длина
обозначается $|ab|:=d(a,b)$.

\определение
Метрика называется {\бф\блуе строго внутренней},
если любые две точки соединяются кратчайшей.
Пространство со строго внутренней метрикой
называется {\бф\блуе геодезическим}.

\newpage

{\бф \блуе Тонкие треугольники (повторение)}


\определение
{\бф\блуе Геодезический треугольник} $\triangle(abc)$  в метрическом
пространстве есть треугольник, составленный из трех 
вершин $a,b,c$, соединенных кратчайшими, которые я буду
обозначать за $[a,b],[b,c]$ и $[c,a]$
{\бф \блуе Талия} {\it (en: minsize, fr: taille minimale)}
треугольника есть супремум
расстояния от точки $z$, лежащей на одной из сторон,
до объединения двух других. Треугольник называется
{\бф \блуе $\delta$-тонким} (по Рипсу), если его талия не больше $\delta$.

\centerline{\epsfig{file=tonkij-treugoln.eps,width=0.13\linewidth}}

\определение
Метрическое пространство $X$ со строго внутренней метрикой
называется {\бф \блуе $\delta$-гиперболическим},
если все геодезические треугольники $\delta$-тонкие.
Будем говорить, что $X$ {\бф \блуе гиперболично}, если оно
$\delta$-гиперболично, для какой-то константы $\delta$.


\замечание
Kогда говорят
{\bf \blue "определение А гиперболичности эквивиалентно определению Б"}
это значит, что {\bf \purple для какого-то числа $C>0$ из
$\delta$-гиперболичности в смысле А следует
$C\delta$-гиперболичность в смысле Б, а из
$\delta$-гиперболичности в смысле Б следует
$C\delta$-гипербо\-личность в смысле А.}


\невпаге

{\бф \блуе Свойства гиперболических пространств (повторение):}

\утверждение
{\бф \ред Каждое 0-гиперболическое геодезическое пространство
изометрично дереву} (связному, односвязному графу).

\теорема {\бф \ред Пространство Лобачевского гиперболично}.

\дшаг
Поскольку любой геодезический треугольник лежит в плоскости,
можно ограничиться плоскостью Лобачевского.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический
треугольник на плоскости Лобачевского, а $B$ -- вписанная в
него окружность. На каждой стороне треугольника (например, $[ab]$)
максимум расстояния до объединения двух других сторон ограничен
максимумом расстияния в точках касания вписанной окружности.

\centerline{\epsfig{file=vpisannaya.eps,width=0.33\linewidth}}
Из этого следует, что {\бф \пурпле талия треугольника удовлетворяет
$T(abc)<2 R$, где $R$ -- радиус вписанной окружности.}

\невпаге

{\бф \блуе Гиперболичность пространства Лобачевского (повторение)}

{\бф \греен Шаг 2 (повтор):}
Талия треугольника удовлетворяет
$T(abc)<2 R$, где $R$ -- радиус вписанной окружности.

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Площадь круга радиуса $R$ растет с увеличением
$R$ неограниченно,} потому что {\бф \ред площадь плоскости
Лобачевского бесконечна}
(ее можно замостить бесконечным количеством
прямоугольных шестиугольников).

{\бф \греен Шаг 4:} Площадь $n$-угольника на плоскости
Лобачевского равна $\pi(n-2)-\sum\alpha_i$, где
$\alpha_i$ -- его углы. Значит, площадь треугольника
$\leq \pi$. Поэтому, {\бф \ред радиус круга, вписанного
в треугольник, ограничен.} \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Гиперболические группы (повторение)}

\определение
Группа с заданной системой образующих 
называется {\бф\блуе гиперболичной по Громову}, если
ее граф Кэли $\delta$-гиперболичен, для какого-то $\delta$.


На следующей лекции я докажу такую (весьма нетривиальную)
теорему.

\теорема
Пусть $M,M'$ -- квазиизометричные геодезические пространства,
причем $M$ гиперболическое. {\бф \ред Тогда $M'$ тоже
гиперболическое.}

\следствие
Гиперболичность группы не зависит от выбора образующих:
{\бф \ред если конечно порожденная группа гиперболична с одним
набором образующих, она гиперболична со любым другим набором.}

\доказательство
Выше доказано, что {\бф \пурпле все графы Кэли 
данной группы квазиизометричны.}
\ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Громовское произведение (повторение)}

\определение
Пусть $X$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой $p$. {\бф \блуе Громовское произведение}
$(a,b)_p$ есть $1/2(|ap|+|bp|-|ab|)$. Это число, которое
измеряет отклонение неравенства треугольника от равенства.

\замечание
{\бф  \ред Расстояние можно определить в терминах громовского
произведения.}


\определение
Пусть $(X,p)$ -- множество с отмеченной точкой.
Легко видеть, что расстояние на $X$ можно определить в терминах
громовского произведения $(a,b)_p$, потребовав выполнения
недлинного списка аксиом. Говорится, что функция 
$(\cdot,\cdot)_p:\; X\times X\arrow \R^{\geq 0}$ {\бф \блуе удовлетворяет
аксиомам громовского произведения}, если выполнены следующие условия.

[{\бф \греен симметричность:}] $(a,b)_p=(b,a)_p$.\\ \ 
[{\бф \греен невырожденность:}] $(a,a)_p=(a,b)_p=(b,b)_p$ \ $\Leftrightarrow$
$a=b$.\\ \ 
[{\бф \греен неравенство треугольника}] $(a,b)_p+(b,c)_p\leq (a,c)_p+(b,b)_p$.


\утверждение 
Пусть треугольник $\triangle(abp)$ $\delta$-тонкий. {\бф \ред Тогда\\
$d(p,[ab])\geq (a,b)_p\geq d(p,[ab])-2\delta.$}

\невпаге

{\bf \blue Неравенство Громова (повторение)}

\определение
Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой, а $a,b,c\in X$. {\бф \блуе Неравенство Громова} есть неравенство
на попарные громовские произведения:
\[
(a,b)_p\geq \min\left[(a,c)_p,(b,c)_p\right]-\delta.
\]
Когда нужно обозначить, о каком конкретно $\delta$ идет
речь, говорится {\бф \блуе $\delta$-неравенство Громова.}


\замечание
Неравенство Громова равносильно следующему
условию:
\[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|,
   |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta.
\]
\centerline{\epsfig{file=gromov-inequa.eps,width=0.35\linewidth}}



\newpage

{\bf \blue Гиперболичность по  Громову (повторение)}

\теорема
Пусть в $(X,p)$ выполнено $\delta$-неравенство Громова. 
{\бф \ред Тогда для любой точки $p'$, в $(X,p')$
выполнено $2\delta$-неравенство Громова.}

\теорема
{\бф \пурпле Каждое пространство с внутренней метрикой, 
в котором верно 0-неравенство Громова, изометрично дереву.}

\определение
Пусть $X$ -- метрическое пространство, 
не обязательно геодезическое. Пространство
$X$ {\бф\блуе гиперболично по Громову}, если выполнено
$\delta$-неравенство Громова, для какого-то $\delta$.

\теорема
{\бф \ред Гиперболичность по Громову равносильна
гиперболичности в смысле тонких треугольников.}

\доказательство будет немного погодя.

\замечание
Утверждение теоремы для $\delta=0$ {\бф \пурпле уже
доказано}.


\утверждение
Пусть в метрическом пространстве $(X,p)$
выполнено неравенство Громова для $\delta=0$.
{\бф \пурпле Тогда для любых $a,b,c\in X$, в тройке
$(a,b)_p, (a,c)_p, (b,c)_p$ какие-то два числа равны,
а третье $\geq$ первых двух.}

\невпаге


{\бф \блуе Модельный гиперболический треугольник (повторение)}

\определение
\label{_model_triangle_Opredelenie_}
Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический треугольник.
Определим {\бф \блуе модельный 0-ги\-пер\-болический треугольник},
или же {\бф \блуе модельное дерево},
$\triangle(\bar a\bar b \bar c)$  как дерево с тремя вершинами\\
\centerline{\epsfig{file=triskelion-model.eps,width=0.45\linewidth}}\\
и тремя ребрами, соединенными в четвертой вершине,
{\бф \пурпле таким образом, что соответствующие расстояния равны:}
$|ab|=|\bar a\bar b|$, $|ac|=|\bar a\bar c|$, $|bc|=|\bar b\bar c|$.


\утверждение
Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический треугольник
в метрическом пространстве, а $\triangle(\bar a\bar b \bar c)$ --
модельное дерево. {\bf \purple Тогда существует отображение
$\Psi:\; \triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$, задающее
изометрию на каждой стороне, и переводящее вершины
в соответствующие им вершины.} \endproof

\определение
Это отображение называется {\бф \блуе отображением сравнения}.

\невпаге

{\бф \блуе Кодиаметр}

\newcommand{\codiam}{\operatorname{\sf codiam}}
\определение
Пусть $\phi:\; X\arrow Y$ -- отображение метрических пространств.
{\бф\блуе Кодиаметр} $\codiam\phi$ определяется формулой
\[ \codiam(\phi):=\sup_{x,y\in X} |d(x,y)-d(\phi(x),\phi(y))|.\]
Он измеряет то, насколько $\phi$ отличается от изометрии.


\утверждение
Пусть $\Psi:\;\triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$ --
отображение в модельный треугольник, построенное выше. Тогда

(а) {\bf \purple Если  $\codiam\Psi\leq \delta$, 
то $\triangle(abc)$ $\delta$-тонкий.}

(б) {\bf \red Eсли $\triangle(abc)$ $\delta$-тонкий, 
то $\codiam\Psi\leq 2\delta$.}



\невпаге


{\bf \blue Аппроксимационное дерево}

\утверждение
Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой. Для набора точек $S=\{x=x_0,x_1, ..., x_n,x_{n+1}=y\} \subset X$,
обозначим за $L_S(x,y):=\min_i (x_i,x_{i+1})_p$.
Определим функцию $(x,y)'_p:=\sup_S L_S(x,y)$,
где супремум берется по всем множествам $x_1, ..., x_n \in X$.
 Пусть $d'(x,y)=d(x,p)+d(y,p)-2 (x,y)'_p$. {\бф \ред
 Тогда\\
1. $d(x,y)\geq d'(x,y)\geq 0$ \\
2. $(x,y)'_p$ удовлетворяет 0-неравенству Громова.\\
3. $d'$ это полуметрика.}

\доказательство
Утверждения 1-2 -- тавтологии. Для 3,
нужно проверить аксиомы громовского произведения:
симметричность $(a,b)'_p=(b,a)'_p$ (очевидно) и 
неравенство треугольника 
\[ (a,b)'_p+(b,c)'_p\leq (a,c)'_p+(b,b)'_p. \ \ \ \ (*)\]


\невпаге


{\bf \blue Аппроксимационное дерево (продолжение)}

Осталось проверить неравенство треугольника
\[ (a,b)'_p+(b,c)'_p\leq (a,c)'_p+(b,b)'_p. \ \ \ \ (*)\]

{\бф \греен Шаг 1:} Из 0-неравенства Громова для
$(\cdot,\cdot)'_p$ следует $(a,b)'_p\leq (b,b)'_p$, $(c,b)'_p\leq (b,b)'_p$

{\бф \греен Шаг 2:}  В тройке
$(a,b)'_p, (a,c)'_p, (b,c)'_p$ какие-то два числа равны,
а третье $\geq$ первых двух. Если $(a,c)'_p$ больше, оба
слагаемых  справа в (*) $\geq$ слагаемых слева. Если
(для примера) $(a,b)'_p$ больше, a $(a,c)'_p=(b,c')_p$, воспользуемся
$(a,b)'_p\leq (b,b)'_p$, и получим из шага 2
\[
(a,c)'_p+(b,b)'_p \geq  (a,c)'_p+(a,b)'_p\geq
(a,b)'_p+(b,c)'_p.
\]
\ендпрооф

\определение
Обозначим за $X_{tr}$ метрическое пространство,
полученное из построенной выше полуметрики $(X,d')$
склеиванием точек $x,y$ с $d'(x,y)=0$. Оно называется
{\бф \блуе аппроксимационным деревом для $X$}.

\утверждение {\бф \пурпле $X_{tr}$ -- дерево,} а тавтологическое отображение \\
$(X,d)\stackrel \nu \arrow X_{tr}$ 1-липшицево и удовлетворяет
$|px|=d'(\nu(p),\nu(x))$.
\ендпрооф

\невпаге


{\bf \blue Неравенство мультигромова}

\утверждение
Предположим, что в метрическом пространстве $X$ выполнено
следующее "неравенство мультигромова": \\
$(x,y)_p\geq \min_i ((x_i, x_{i+1})_p)-\delta'$
{\бф \пурпле Тогда  отображение
$(X,d)\stackrel \nu \arrow X_{tr}$ имеет кодиаметр $\leq
\frac 1 2 \delta$.}
\ендпрооф

\утверждение
Пусть  $(X,p)$ -- конечное метрическое пространство,
в котором $2^k+2$ точки, и выполнено $\delta$-неравенство
Громова.  {\бф \ред Тогда в $X$ выполнено неравенство
мультигромова для $\delta'=k\delta$.}

\дшаг
Пусть в последовательности $x_0, ..., x_n$ 
не больше $2^k+2$ точки. Разобьем эту последовательность
на две последовательности $a_i$ и $b_i$ длины $\leq
2^{k-1}+2$, причем в $a_i$ входят точки от $x=x_0$ до
$z=x_l$, а в $b_i$ точки от $z=x_l$ до $y=x_n$.
Воспользовавшись индукцией по $k$, можем считать, что
$(x,z)_p \geq \min_i ((a_i, a_{i+1})_p-(k-1)\delta$ и 
и $(z,y)_p\geq \min_i ((b_i, b_{i+1})_p-(k-1)\delta$.

{\бф \греен Шаг 2:} В силу неравенства Громова,
\begin{multline*} (x,y)_p \geq \min((x,z)_p,
(z,y)_p)-\delta\geq \\
\geq \min(\min_i ((a_i, a_{i+1})_p, \min_i ((b_i,
b_{i+1})_p)-k\delta\geq \min_i ((x_i, x_{i+1})_p-k\delta.
\end{multline*}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Неравенство Громова и тонкие треугольники}

\утверждение
Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство со строго внутренней
метрикой, в котором выполнено $\delta$-неравенство Громова, а
$a',b'$ -- точки на сторонах $[ca]$, $[cb]$ 
треугольника $\triangle(cab)$. Рассмотрим пространство
$Y$ из 5 точек $(c,a,b,a',b')$, и {\бф \ред пусть 
$\nu:\; Y \arrow Y_{tr}$ -- отображение
$Y$ в его аппроксимационное дерево.
Тогда $\codiam\nu\leq 2\delta$.}

\доказательство
В силу предыдущей теоремы, в $Y$ выполнено
$2\delta$-неравенство мультигромова.
{\бф \пурпле Теперь $\codiam\nu\leq 2\delta$ следует из 
конструкции аппроксимационного дерева.}
\ендпрооф

\теорема
{\бф \ред Пусть в $X$ выполнено $\delta$-неравенство
Громова. Тогда $X$ $6\delta$-гиперболично.}

\замечание
Я буду доказывать, что кодиаметр отображения
в модельный треугольник $\leq 6\delta$; 
из этого сразу следует, что все треугольники
$6\delta$-тонкие.

\невпаге

{\бф \блуе Неравенство Громова и тонкие треугольники (продолжение)}

Пусть $a',b'$ -- точки на сторонах $[ca]$, $[cb]$ 
треугольника $\triangle(cab)$, $Y$ -- пространство
из 5 точек $(c,a,b,a',b')$, а 
$\nu:\; Y \arrow Y_{tr}$ -- отображение
$Y$ в его аппроксимационное дерево

\теорема
{\бф \ред Пусть в $X$ выполнено $\delta$-неравенство
Громова. Тогда $X$ $6\delta$-гиперболично.}

\дшаг
Пусть $Y_{tr}^0$ -- минимальное связное под-дерево $Y$,
содержащее $\nu(a),\nu(b),\nu(c)$. Тогда 
$Y_{tr}^0$ изометрично дереву
с четырьмя вершинами (одной центральной и три по бокам),
а {\бф \пурпле $Y_{tr}$ лежит в $\delta$-окрестности $Y_{tr}^0$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим отображение 
$Y_{tr}\stackrel \mu\arrow Y_{tr}^0$, полученное стягиванием
всех лишних веточек в точку. 
Тогда  кодиаметр этого отображения
$\leq \delta$.

{\бф \греен Шаг 3:}
По построению, длины сторон $Y_{tr}^0$ отличаются
от длин сторон модельного дерева не больше, чем на $2\delta$.
{\бф \пурпле Значит, $d(\tau(x),\tau(y)) - d(\mu(x),\mu(y))\leq 4\delta$,
где $\tau$ -- отображение треугольника $\triangle(abc)$
в модельное дерево. }

{\бф \греен Шаг 4:} Мы доказали, что 
$|d(a',b')-d(\mu(a'),\mu(b'))|\leq 2\delta$, а
$|d(\tau(x),\tau(y)) - d(\mu(x),\mu(y))|\leq 4\delta$.
{\бф \ред Поэтому $\codiam \tau \leq 6\delta$.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Неравенство Громова для гиперболических пространств}

\утверждение
Пусть $\triangle(abc)$ -- $\delta$-тонкий треугольник,
а $p'$ -- точка на стороне $[a,b]$, ближайшая к $p$.
Предположим для определенности, что она лежит в 
$\delta$-окрестности $[ac]$. {\бф \пурпле Тогда
$(a,b)_p\geq (b,c)_p-3\delta$.}

\дшаг Поскольку $d(p',[ac])\leq \delta$, имеем
$d(p,[a,b])-d(p,[a,c])\geq -\delta$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
В прошлый раз доказали, что
$(a,b)_p\leq d(p,[ab])\leq  (a,b)_p+2\delta$.
{\бф \пурпле Поэтому из шага 1 следует, что
$(a,b)_p-(b,c)_p\geq -3\delta$.}
\ендпрооф

\следствие
{\бф \ред В любом $\delta$-гиперболическом пространстве выполнено
$3\delta$-неравенство Громова.}

\следствие
{\бф \блуе Гиперболичность по Громову эквивалентна
гиперболичности, определенной через тонкие треугольники.}




\end{document}
