
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}

\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\ендпрооф{\endproof}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\sup{{\operatorname{\sf sup}}}
\def\diam{{\operatorname{\sf diam}}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Гиперболические группы по Громову\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\makeatother


\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Гиперболические группы по Громову: \\[3mm]
 углы, конусы, пространства Александрова}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 11 октября, 2012\\
НМУ}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Внутренние метрики (повторение).}


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение
отрезка $[a,b]= [a,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$
Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим
$L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).$ 
Определим {\бф\блуе длину пути} $\gamma$ формулой
\[ L_d(\gamma):= \sup_{a<x_1< ... <x_{n-1}<b}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}).
\]
где супремум берется по всем разбиениям отрезка.


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
а $L_d$ -- функционал длины на спрямляемых
путях. Обозначим за $\hat d$ метрику
$\hat d(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где
инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$. Она называется
{\бф \блуе внутренней метрикой, индуцированной $d$.}

\теорема
Для любого метрического пространства, $\hat {\hat d}=\hat d$.


\определение
Метрика $d$ на $M$ называется {\бф \блуе внутренней},
если $\hat d=d$.

\замечание
Финслеровы, римановы, полиэдральные метрики,
построенные раньше, {\бф \ред являются внутренними}.

\newpage

{\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве}


{\bf \green Определение:}
Непрерывное отображение $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$
называется {\bf \blue кратчайшей}, если его длина равна 
$d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$.

{\bf \purple Любой отрезок кратчайшей - снова кратчайшая.}

{\bf \green Определение:}
Если $\phi:\; [0,\alpha] \arrow [0,\alpha]$ -- гомеоморфизм,
а $\gamma$ - путь из $x$ в $y$, композиция 
$\phi \circ\gamma$ - тоже путь из $x$ в $y$.
Такой путь называется {\bf\blue  репараметризацией $\gamma$}.

{\bf \red Параметризация $\gamma$} --  выбор пути в классе
путей, эквивалентных с точностью до репараметризации.

{\bf \green Определение:}
Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая,
соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\]
Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей
геодезической}, а соответствующая параметризация -
{\bf\blue геодезической параметризацией}. 

\newpage

{\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве (продолжение)}

\замечание
{\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая -- то же
самое, что изометрическое вложение из отрезка в $M$.}

\теорема
Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство
с внутренней метрикой, а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая
геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.}
\ендпрооф

\замечание В дальнейшем, {\бф \ред все метрические пространства
предполагаются наделенными внутренней метрикой,} а {\бф \ред любые
две точки соединяются кратчайшими с геодезической параметризацией.}

\newpage

{\бф \блуе Углы}

\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве
$(M,d)$. {\бф \ред Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается
метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой.}
{\бф\блуе Треугольник сравнения} 
$\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник
в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$,
и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$,
и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, 
существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности).
Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике
$\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$;
он называется {\бф\блуе углом сравнения}.


\определение
Пусть $\gamma_1:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma_2:\; [0,b]\arrow M$
два пути в метрическом пространстве $M$, $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p$. 
{\бф\блуе Угол} между путями $\gamma_1, \gamma_2$ в $p$ есть число
\[
\measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2):=
\lim_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)),
\]
если такой предел существует (в противном случае, говорится, что
{\бф \блуе угол между $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не существует}).
{\бф \блуе Верхний угол} есть
\[
 \measuredangle_\sup(\gamma_1, p, \gamma_2):=
\operatorname{{\lim\sup}}\limits_{t,s\rightarrow 0} 
\theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)),
\]
где {\бф \пурпле $\lim\sup$ обозначает супремум всех предельных точек
последовательностей $\theta(\gamma_1(t_i), p, \gamma_2(s_j))$,
для всех $t_i, s_j$ сходящихся к 0. } 

\newpage

{\бф \блуе Неравенство треугольника для углов}

\упражнение
Проверьте, что {\бф \ред угол между гладкими путями в $\R^n$ существует
и равен углу между их касательными.}

\упражнение
 $\gamma:\; :\; [0,a]\arrow M$ -- кратчайшая,
наделенная геодезической параметризацией, а $\gamma(0)=p$.
{\бф \пурпле Тогда угол  $\measuredangle_\sup(\gamma, p, \gamma)$ существует
и равен нулю.}

\теорема
Пусть $\gamma_i:\; [0,a]\arrow M$ -- пути в $M$, 
Тогда верно {\бф \блуе неравенство треугольника для верхних углов:}
\[\measuredangle_\sup(\gamma_1, p, \gamma_2) + 
   \measuredangle_\sup(\gamma_2, p, \gamma_3) \geq 
   \measuredangle_\sup(\gamma_1, p, \gamma_3).
\]
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Конус}

\определение
{\бф\блуе Диаметр} метрического пространства $M$ есть число
$\sup_{x,y\in M}d(x,y)$.

\определение
Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $\diam X\leq \pi$.
Рассмотрим топологическое пространство $C(X)$ с топологией фактора,
полученное из $X\times [0,\infty[$ склеиванием $X\times\{0\}$
в точку.  Определим функцию $d_C:\; C(X)\times C(X)\arrow \R^{>0}$ по формуле
\[d(p,q)= \sqrt{t^2+s^2 -2ts\cos(d(x,y))},
\]
где $p=(x,t), q=(y,s)$.
{\бф \ред В скором времени будет доказано, что $d_C$ есть метрика.}
Пространство $C(X)$ с вышеописанной метрикой называется
{\бф\блуе метрическим конусом}, или просто {\бф\блуе конусом} над $X$.

\теорема
{\бф \ред Функция $d_C$ удовлетворяет неравенству
треугольника.}

\дшаг
Пусть $(\alpha,t), (\beta,s)$ -- точки в конусе $C(X)$, а 
$\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$ -- треугольник сравнения
со сторонами $t,s$ и углом 
$\measuredangle(\bar a,\bar 0,\bar b)=d(\alpha,\beta)$.
{\бф \пурпле Тогда $d_C(a,b)=|\bar a, \bar b|$.}


\newpage

{\бф \блуе Конус (продолжение)}


\теорема
{\бф \ред Функция $d_C$ удовлетворяет неравенству
треугольника.}

\дшаг
Пусть $(\alpha,t), (\beta,s)$ -- точки в конусе $C(X)$, а 
$\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$ -- треугольник сравнения
со сторонами $t,s$ и углом 
$\measuredangle(\bar a,\bar 0,\bar b)=d(\alpha,\beta)$.
{\бф \пурпле Тогда $d_C(a,b)=|\bar a, \bar b|$.}


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $a=(\alpha,r), b=(\beta,s), c=(\gamma, t)$ -- три точки на $C(X)$,
а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$, $\triangle(\bar 0, \bar b,\bar c)$ 
соответствующие треугольники сравнения, с общей стороной
$[\bar 0,\bar b]$, и отложенные по разные стороны от $(\bar 0, \bar b)$.\\
\centerline{\epsfig{file=cone-inequality.eps,width=0.20\linewidth}}\\
Тогда $d_C(a,c)\leq|\bar a,\bar c|\leq|\bar a, \bar
b|+|\bar b, \bar c| =d_C(a,b)+d_C(b,c)$. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Свойства конуса}

{\бф \греен СВОЙСТВА КОНУСА:}
1. Для каждого $x\in X$, {\бф \пурпле 
путь $\gamma:\; [0,a] \arrow C(X)$, переводящий
$a$ в $(x,a)$ -- кратчайшая. }

2. $x,y\in X$, а $\gamma_1:=(x,[0,a])$, 
$\gamma_2:=(y,[0,b])\subset C(X)$ -- соответствующие
кратчайшие в конусе. {\бф \пурпле Тогда 
$\measuredangle(\gamma_1,0,\gamma_2)=d(x,y)$.}

3. {\бф \пурпле Конус над отрезком длины $\alpha$ изометричен
плоскому углу в $\R^2$ величины $\alpha$.}

\утверждение
Предположим, что $X$ -- пространство с внутренней
метрикой и кратчайшими. {\бф \ред Тогда метрика на $C(X)$ --
тоже внутренняя и с кратчайшими.}

\дшаг Для каждой кратчайшей $\gamma \in X$, конус
$C(\gamma)$ изометричен плоскому углу, значит,
{\бф \пурпле метрика на $C(\gamma)$ внутренняя и с кратчайшими.}

{\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Любые две точки на конусе
лежат на $C(\gamma)$} для подходящей кратчайшей $\gamma$.
\ендпрооф

\newpage

{\блуе \бф Конус пространства с $\diam >\pi$.}


\замечание
Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $a>0$,
а $d_a(x,y) = \min(d(x,y),a)$. {\бф \пурпле 
Тогда $d_a$ -- тоже метрика.}

\определение
Пусть $(X,d)$ -- метрическое
пространство, $d_\pi$ -- метрика на $X$, определенная
выше. Определим {\бф\блуе конус $(C(X),d_C)$} как конус над $(X,d_\pi)$.

\утверждение
Пусть $(X,d)$ -- пространство с внутренней метрикой и кратчайшими.
{\бф \ред Тогда метрика $d_C$ на $C(X)$ тоже внутренняя и с кратчайшими.}

\дшаг Для каждой кратчайшей $\gamma \in X$ длины $\alpha\leq \pi$, конус
$C(\gamma)$ изометричен плоскому углу величины $\alpha$.
{\бф \пурпле Поэтому любые две точки $(a,s)$ и $(b,t)$ с $d(a,b)\leq \pi$
можно соединить кратчайшей.}

{\бф \греен Шаг 2:} Если $(a,s)$ и $(b,t)$ точки, для которых
$d_\pi(a,b)=\pi$, расстояние между ними есть $s+t$, а
соответствующая кратчайшая -- отображение $\gamma:\; [-s,t]\arrow C(X)$,
полученное объединением сегментов
\begin{align*}\lambda \mapsto (a, \lambda), &\lambda\in[-s,0]\\
\lambda \mapsto (b, \lambda), &\lambda\in[0,t].
\end{align*}
\ендпрооф



\newpage

{\бф \блуе Пространства Александрова}

\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки на пространстве $(M,d)$ со строго 
внутренней метрикой, $r=d(a,b)$,
а $\gamma:\; [0, r]\arrow M$ -- кратчайшая с геодезической
параметризацией, соединяющая точки $(a,b)$.
Рассмотрим функцию $d_c:\; [0, r]\arrow \R^{\geq 0}$, 
переводящую $t$ в $d(c,\gamma(t))$.
Пусть 
$\triangle(\bar a,\bar b, \bar c)\subset \R^2$ --
треугольник сравнения, 
а $d_{\bar c}:\; [0, r]\arrow \R^{\geq 0}$ --
функция, переводящая $t$ в $d(\bar c, \bar \gamma(t))$,
где $\bar \gamma:\; [0, r]\arrow \R^2$ обозначает
сторону треугольника сравнения с нормальной
параметризацией. Функция $d_{\bar c}$
называется {\бф\блуе функцией сравнения}.

\определение
Пространство $M$ называется {\бф \блуе пространством
неотрицательной/неположительной кривизны в целом}, если
для любых $a,b,c$, функция сравнения удовлетворяет
неравенству $d_c\geq d_{\bar c}$ (соответственно, 
$d_c\leq d_{\bar c}$). 

\определение
Пространство $M$ называется 
{\бф \блуе пространством Александрова
неотрицательной/неположительной  кривизны}, если
у каждой точки есть окрестность
неотрицательной/не\-положительной 
кривизны в целом.

\замечание
Пространства 
неположительной кривизны в целом также называются 
{\бф\блуе CAT(0)-пространствами} (в честь Эли
Картана, Д. А. Александрова и В. А. Топоногова).

\невпаге

\begin{tabular}{cc}\epsfig{file=Elie_Cartan.jpg,width=0.45\linewidth}
& \epsfig{file=a-d-aleksandrov.jpg,width=0.45\linewidth}\\
\'Elie Cartan, & Александр Данилович Александров, \\   1869-1951 &
1912-1999\end{tabular}

\невпаге

\begin{tabular}{cc}\epsfig{file=Toponogov.jpg,width=0.49\linewidth}
& \epsfig{file=Gromov.jpg,width=0.45\linewidth}\\
Виктор Андреевич Топоногов, & Михаил Громов \\   1930-2004 &
(р. 23 декабря 1943)\end{tabular}

\невпаге

{\бф \блуе Примеры пространств Александрова}

\пример
Пусть $Z$ -- метрический граф, полученный
склеиванием трех ребер в точке.\\
\centerline{\epsfig{file=triskelion.eps,width=0.10\linewidth}}\\
{\бф \пурпле Тогда $Z$ -- пространство неположительной кривизны.}

\пример
Пусть $L$ -- окружность длины $d$ с внутренней метрикой,
а $C(L)$ -- ее конус. Тогда $C(L)$ -- {\бф \пурпле пространство
Александрова неположительной кривизны} для $d\leq 2\pi$ и {\бф \пурпле 
пространство
Александрова неотрицательной кривизны для $d\geq2\pi$.}

\пример
{\бф \блуе Блокнот} есть полиэдральное пространство
размерности 2, с метрикой фактора, полученное из нескольких 
полуплоскостей склейкой по граничной прямой. 
{\бф \пурпле Блокнот -- пространство 
неположительной кривизны в целом.}


\пример
{\бф \блуе Метрический букет}
пространств $M_i$ с отмеченной точкой $x_i$
получается из этих пространств склейкой
точек $x_i$ в одну (с метрикой фактора).
{\бф \пурпле Метрический букет пространств
неположительной кривизны - пространство
неположительной кривизны.}


\невпаге

{\бф \блуе Условие монотонности углов}


\определение
Пусть $\gamma_1, \gamma_2:\; [0,a]\arrow M$ --
кратчайшие в $M$, $\gamma_i(0)=p$. 
Говорится, что {\бф \блуе в $M$ выполнено условие
монотонности углов (для неположительной/неотрицательной кривизны)},
если угол \\ $\theta(\gamma_1(s),p,\gamma_2(t))$
монотонно возрастает/убывает как функция от $s,t$.


\утверждение
Условие монотонности углов
для неположительной/ не\-от\-рицательной кривизны
{\бф \ред равносильно неположительности/не\-от\-ри\-цательности
кривизны в целом.}


\невпаге


{\бф \блуе Условие монотонности углов (продолжение)}


\дшаг 
Пусть $p,a,b$ -- три точки на метрическом пространстве,
а $a_1$ -- точка на кратчайшей, соединяющей $a$ и $p$.
Рассмотрим треугольник сравнения $\triangle(\bar a_1, \bar p, \bar b)$
для $a_1, p, b$, и обозначим на прямой $(\bar p, \bar a_1)$
точку $\tilde a$ таким образом, что $|\bar p, \tilde a|=d(p,a)$.

\centerline{\epsfig{file=monot-sravnenie.eps,width=0.25\linewidth}}

{\бф \пурпле Тогда $\theta(a_1,p,b) \leq \theta(a,p,b)$ $\Leftrightarrow$
$|\tilde a,\bar b|\leq d(a,b)$},
ибо $|\tilde a,\bar b|$ и $d(a,b)$ - противолежащие
стороны треугольников с соседними сторонами
$d(p,a)$ и $d(p,b)$ и углом $\theta(a_1,p,b)$ для
треугольника $\triangle(\tilde a,\bar p,\bar b)$ 
и $\theta(a,p,b)$ для треугольника $\triangle(\bar a,\bar p,\bar b)$.


{\бф \греен Шаг 2:} 
Ограничения на кривизну, в свою очередь, равносильны
$|\tilde a,\bar b|\leq d(a,b)$ для неположительной
кривизны, и $|\tilde a,\bar b|\geq d(a,b)$
для неотрицательной.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Углы в пространствах Александрова}


\следствие
Пусть $M$ -- пространство Александрова.
{\бф \пурпле Тогда углы между геодезическими кратчайшими
в $M$ всегда определены.}

\доказательство Углы 
$\theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s))$
монотонно растут либо убывают, значит, {\бф \пурпле соответствующие
пределы существуют.} \ендпрооф


\определение
Пусть $p$ -- внутренняя точка на краытчайшей $\gamma$.
Обозначим два сегмента $\gamma$, начинающиеся от $p$, за
$\gamma_+$ и $\gamma_-$.
{\бф\блуе Смежные углы} суть углы
$\measuredangle(\gamma_+,p,\mu)$ и
$\measuredangle(\gamma_-,p,\mu)$.

\замечание
{\бф \пурпле Сумма смежных углов $\geq \pi$ в силу неравенства треугольника
для углов.}

\невпаге

{\бф \блуе Условие сравнения углов}


\определение
Пусть $a,b,c$ -- три точки в метрическом пространстве,
а $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ -- треугольник сравнения.
Рассмотрим кратчайшие $\gamma_1, \gamma_2$, соединяющие
$a$ с $b$ и $a$ с $c$.
{\бф \блуе Условие сравнения углов для неположительной кривизны}
есть неравенство 
$\measuredangle(\gamma_1,a,\gamma_2)\leq \measuredangle(\bar c \bar a\bar b)$.
{\бф \блуе Условие сравнения углов для неотрицательной кривизны}
есть неравенство 
$\measuredangle(\gamma_1,a,\gamma_2)\geq \measuredangle(\bar c \bar a\bar b)$
плюс равенство 
$\measuredangle(\gamma_+,p,\mu)+\measuredangle(\gamma_-,p,\mu)=\pi$
для любых смежных углов $\measuredangle(\gamma_+,p,\mu)$
и $\measuredangle(\gamma_-,p,\mu)$.

\теорема
{\бф \ред Условие сравнения углов равносильно ограничению на 
кривизну с тем же знаком.}

\доказательство См. листочек 7. \ендпрооф

\end{document}



