
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}

\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\ендпрооф{\endproof}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\sup{{\operatorname{\sf sup}}}
\def\diam{{\operatorname{\sf diam}}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Гиперболические группы по Громову\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\makeatother


\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Гиперболические группы по Громову: \\[3mm]
 углы и кратчайшие}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 4 октября, 2012\\
НМУ}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Внутренние метрики (повторение).}


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение
отрезка $[a,b]= [a,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$
Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим
$L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).$ 
Определим {\бф\блуе длину пути} $\gamma$ формулой
\[ L_d(\gamma):= \sup_{a<x_1< ... <x_{n-1}<b}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}).
\]
где супремум берется по всем разбиениям отрезка.


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
а $L_d$ -- функционал длины на спрямляемых
путях. Обозначим за $\hat d$ метрику
$\hat d(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где
инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$. Она называется
{\бф \блуе внутренней метрикой, индуцированной $d$.}

\теорема
Для любого метрического пространства, $\hat {\hat d}=\hat d$.


\определение
Метрика $d$ на $M$ называется {\бф \блуе внутренней},
если $\hat d=d$.

\замечание
Финслеровы, римановы, полиэдральные метрики,
построенные раньше, {\бф \ред являются внутренними}.


\невпаге

{\бф \блуе $\epsilon$-середины}


\определение
Точка $z$ называется {\бф\блуе $\epsilon$-серединой} пары $(x,y)$,
если $|d(x,z)- \frac 1 2 d(x,y)| \leq\epsilon$ и 
$|d(y,z)- \frac 1 2 d(x,y)| \leq\epsilon$.
Говорится, что в $(M,d)$ {\бф \блуе существуют $\epsilon$-середины},
если для любых $x,y$ и любого $\epsilon>0$, существует
$\epsilon$-середина.

\утверждение
{\бф \ред В любом пространстве с внутренней метрикой
существуют $\epsilon$-середины.}

\дшаг
Пусть $\gamma$ -- путь длины $d(x,y)+\epsilon$, соединяющий
$x$ и $y$. В силу непрерывности функции $d(x,\gamma(t))$,
принимающей значения от $0$ до $d(x,y)$, {\бф \пурпле существует
точка $z=\gamma(t_0)$ такая, что $d(x,z)= \frac {d(x,y)}{2}$.}

{\бф \греен Шаг2:} $d(y,z)+d(z,y)\leq L_d(\gamma)=d(x,y)+\epsilon$.
{\бф \ред Значит, $d(y,z)\leq \frac {d(x,y)}{2}+\epsilon$.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе $\epsilon$-середины и двоично-рациональные дроби}


\теорема
Пусть $M$ -- пространство, где существуют $\epsilon$-середины,
а $x_0, x_1\in M$. Тогда для любого $\lambda\in [0,1]$,
найдется $x_\lambda\in M$ такая, что $|d(x_0,x_\lambda)- \lambda d(x_0,x_1)| \leq\epsilon$ и 
$|d(x_1,x_\lambda)- (1-\lambda) d(x_0,x_1)| \leq\epsilon$.

\дшаг Пусть
$\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$, $0<\lambda<1$. Возьмем
за $x_\lambda\in M$ $\frac{\epsilon}{2^{m+1}}$-середину
между $x_{\frac{n}{2^{m-1}}}$ и $x_{\frac{n-1}{2^{m-1}}}$.
{\бф \пурпле Воспользовавшись индукцией по $m$, построим
$x_\lambda$ для каждого двоично-рационального числа 
$\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$}.

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $P(\lambda)$ переводит $\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$
в $\frac{n-1}{2^{m-1}}$. По построению,
\[ |d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})-(\lambda- P(\lambda))d(x_0,x_1)|
<\frac{\epsilon}{2^{m+1}}.
\]
Суммируя ряд
\[  d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)}, x_{P(P(\lambda))}) + ...
\]
получим число, которое отличается от $\lambda d(x_0,x_1)$ на 
$\sum_{i=0}^m \frac{\epsilon}{2^{m+1}}\leq\epsilon$.
{\бф \пурпле Значит,
\[ d(x_0,x_\lambda)
\leq d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)}, x_{P(P(\lambda))}) + ...
\leq \lambda d(x_0,x_1)+\epsilon.
\]
Аналогично, $d(x_1,x_\lambda) \leq (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon.$
}

\невпаге

{\бф \блуе $\epsilon$-середины и двоично-рациональные дроби (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 3:} 
Уже доказано:
\[ d(x_1,x_\lambda) \leq (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon
\text{\ \ и\ \ } d(x_0,x_\lambda)\leq \lambda d(x_0,x_1)+\epsilon.
\]
Осталось доказать, что
$d(x_1,x_\lambda)\geq  \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon$
и $d(x_1,x_\lambda) \geq (1-\lambda) d(x_0,x_1)-\epsilon.$
 Но если это неверно, имеем (например)
$d(x_1,x_\lambda)\leq \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon$, что дает
\[
 d(x_1,x_\lambda)+d(x_1,x_\lambda)< \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon
+ (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon = d(x_0,x_1)
\]
{\бф \пурпле Противоречие с неравенством треугольника!}
\ендпрооф

\следствие 
{\бф \блуе ("Условие Хопфа-Ринова")}
Пусть $M$ -- метрическое пространство, в котором существуют
$\epsilon$-середины. {\бф \ред Тогда для любых $x, y \in M$, 
и $r \leq d(x,y)$,
расстояние от шара $B_r(x)$ до $y$ равно $d(x,y)-r$}.

\доказательство
Выберем точку $z=z_\lambda$ такую, что $|d(x,z)-(r-\epsilon)| <\epsilon$
и $|d(y,z)-d(x,y)-r|<\epsilon$.
Тогда $z\in B_r(x)$ и $d(B_r(x),y)\leq d(y,z)\leq d(x,y)-r+\epsilon$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе $\epsilon$-середины и внутренние метрики}

\замечание
Из шага 2 предыдущей теоремы следует, что отображение
$\lambda\arrow x_\lambda$ {\бф \ред 
является $d(x_0,x_1)(1+\epsilon)$-липшицевым.}

\утверждение
Пусть $X,Y$ -- метрические пространства,
а $\phi:\; X\arrow Y$ -- $C$-липшицево отображение.
{\бф\пурпле Тогда $\phi$ продолжается до $C$-липшицева
отображения пополнений $\bar \phi:\; \bar X\arrow \bar Y$.}

\теорема
Пусть $M$ -- полное метрическое пространство, в котором существуют
$\epsilon$-середины. {\бф \ред Тогда метрика в $M$ внутренняя}.

\доказательство
В силу предыдущего утверждения, отображение
$\lambda\arrow x_\lambda$ продолжается до 
$d(x_0,x_1)(1+\epsilon)$-липшицева отображения
$[0,1]\stackrel\gamma\arrow M$, то есть пути,
соединяющего $x_0$ и $x_1$. {\бф \ред Длина сего пути
ограничена $d(x_0,x_1)(1+\epsilon)$ в силу липшицевости.}

\newpage


{\бф \блуе Локальная компактность}

\определение
{\бф\блуе $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$
есть такое множество $N\subset M$, что объединение
$\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$.
Метрическое пространство называется {\бф\блуе вполне ограниченным},
если для любого $\epsilon>0$ в $M$ найдется конечная
$\epsilon$-сеть.

\теорема
Полное метрическое пространство компактно
тогда и только тогда, когда оно вполне ограниченно.

\доказательство См. в листочках. \ендпрооф

\определение
 Пусть $M$ -- метрическое пространство.
Говорят, что $M$ {\bf\блуе локально компактно}, если для любой точки
$x\in M$ существует такое число $\epsilon>0$, что замкнутый шар
$\overline{B}_\epsilon(x)$ компактен.


\newpage

{\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова}



\теорема
Пусть $M$ -- полное, локально компактное пространство с внутренней
метрикой. {\бф \ред Тогда каждый замкнутый шар в $M$ компактен.}

\дшаг
{\бф \пурпле В $\epsilon$-окрестности шара 
$\bar B_{r}(m)$ содержится шар $\bar B_{r+\epsilon}(m)$}
(следует из условия Хопфа-Ринова).

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $m\in M$ точка, такая, что шары $B_{r-\epsilon}(m)$
вполне ограниченны для любого $\epsilon >0$. {\бф \пурпле Тогда 
$B_{r}(m)$ тоже вполне ограниченно.} Действительно,
$\frac 1 2\epsilon$-сеть в $B_{r-\frac 1 2\epsilon}(m)$
будет $\epsilon$-сетью в $B_{r}(m)$, в силу предыдущего шага.

{\бф \греен Шаг 3:}
Определим функцию на метрическом пространстве\\
$\rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.$
{\бф \пурпле Тогда $\rho$ 1-липшицева}, в частности, непрерывна.

{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\bar B_r(m)$ -- компактный шар в локально
компактном пространстве. Тогда существует $\epsilon>0$ такое, что
{\бф \пурпле 
каждый замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в с центром в $\bar B_r(m)$
компактен.}
Действительно, $\rho$ достигает минимума где-то на $B_r(m)$.

\newpage

{\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $m\in M$ точка, такая, что шары $B_{r-\epsilon}(m)$
вполне ограниченны для любого $\epsilon >0$. {\бф \пурпле Тогда 
$B_{r}(m)$ тоже вполне ограниченно.} Действительно,
$\frac 1 2\epsilon$-сеть в $B_{r-\frac 1 2\epsilon}(m)$
будет $\epsilon$-сетью в $B_{r}(m)$, в силу предыдущего шага.

{\бф \греен Шаг 3:}
Определим функцию на метрическом пространстве\\
$\rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.$
{\бф \пурпле Тогда $\rho$ 1-липшицева}, в частности, непрерывна.

{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\bar B_r(m)$ -- компактный шар в локально
компактном пространстве. Тогда существует $\epsilon>0$ такое, что
{\бф \пурпле 
каждый замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в с центром в $\bar B_r(m)$
компактен.}
Действительно, $\rho$ достигает минимума где-то на $B_r(m)$.


{\бф \греен Шаг 5:}
Для такого шара, {\бф \пурпле $\bar B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)$ тоже компактен.}
Для доказательства, рассмотрим конечную
$\frac 1 3\epsilon$-сеть в $\bar B_r(m)$. Объединение
замкнутых $\epsilon$-шаров с центрами в этой сети компактно
(конечное объединение компактов компактно) и содержит
$\bar B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)$ в силу шага 1.

{\бф \греен Шаг 6:} Из сравнение шага 5 и шага 2 заключаем,
что $\rho=\infty$. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве}


{\bf \green Определение:}
Непрерывное отображение $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$
называется {\bf \blue кратчайшей}, если его длина равна 
$d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$.

{\bf \purple Любой отрезок кратчайшей - снова кратчайшая.}

{\bf \green Определение:}
Если $\phi:\; [0,\alpha] \arrow [0,\alpha]$ -- гомеоморфизм,
а $\gamma$ - путь из $x$ в $y$, композиция 
$\phi \circ\gamma$ - тоже путь из $x$ в $y$.
Такой путь называется {\bf\blue  репараметризацией $\gamma$}.

{\bf \red Параметризация $\gamma$} --  выбор пути в классе
путей, эквивалентных с точностью до репараметризации.

{\bf \green Определение:}
Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая,
соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\]
Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей
геодезической}, а соответствующая параметризация -
{\bf\blue геодезической параметризацией}. 

\замечание
{\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая задается изометрическим
вложением из отрезка в $M$.}


\newpage

{\бф \блуе Существование кратчайших}

\теорема
Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство
с внутренней метрикой а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая
геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.}


\дшаг
Пусть $d(x_0, x_1)=\alpha$.
В силу компактности,
{\бф \пурпле в шаре $\bar B_{\alpha/2}(x_1)$ есть точка $x_{\frac 1 2}$ такая, что
$d(x_0, x_{\frac 1 2}) = d(x_{\frac 1 2}, x_1)= \alpha/2.$}
В самом деле, функция $d(\cdot, x_0):\; \bar B_{\alpha/2}(x_1)\arrow \R$
непрерывная на компакте, значит, достигает минимума,
который равен $d(x_0,\bar B_{\alpha/2}(x_1))= \alpha/2$
потому, что метрика внутренняя.

{\бф \греен Шаг 2:} Воспользовавшись индукцией, для 
каждого двоично-рационального числа 
$\lambda = \frac{n}{2^k}$ в $[0,1]$ {\бф \пурпле найдем 
точку $x_{\lambda}$, такую, что 
$d(x_{\lambda}, x_\mu)=\alpha|\lambda-\mu|.$}

{\бф \греен Шаг 3:} 
Мы получили {\purple\бф изометрическое вложение множества двоично-рациональных
чисел в $M$}. {\bf \red Продолжим на пополнение, получим геодезическую.}
\ендпрооф

\определение
Метрика в $M$ называется {\бф \блуе внутренней с кратчайшими},
если любые две точки можно соединить кратчайшей с 
геодезической параметризацией.




\newpage

{\бф \блуе Углы}

\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве
$(M,d)$. {\бф \ред Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается
метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой.}
{\бф\блуе Треугольник сравнения} 
$\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник
в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$,
и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$,
и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, 
существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности).
Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике
$\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$;
он называется {\бф\блуе углом сравнения}.


\определение
Пусть $\gamma_1:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma_2:\; [0,b]\arrow M$
два пути в метрическом пространстве $M$, $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p$. 
{\бф\блуе Угол} между путями $\gamma_1, \gamma_2$ в $p$ есть число
\[
\measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2):=
\lim_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)),
\]
если такой предел существует (в противном случае, говорится, что
{\бф \блуе угол между $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не существует}).
{\бф \блуе Верхний угол} есть
\[
 \measuredangle_\sup(\gamma_1, p, \gamma_2):=
\operatorname{{\lim\sup}}\limits_{t,s\rightarrow 0} 
\theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)),
\]
где {\бф \пурпле $\lim\sup$ обозначает супремум всех предельных точек
последовательностей $\theta(\gamma_1(t_i), p, \gamma_2(s_j))$,
для всех $t_i, s_j$ сходящихся к 0. } 

\newpage

{\бф \блуе Неравенство треугольника для углов}

\упражнение
Проверьте, что {\бф \ред угол между гладкими путями в $\R^n$ существует
и равен углу между их касательными.}

\упражнение
 $\gamma:\; :\; [0,a]\arrow M$ -- кратчайшая,
наделенная геодезической параметризацией, а $\gamma(0)=p$.
{\бф \пурпле Тогда угол  $\measuredangle_\sup(\gamma, p, \gamma)$ существует
и равен нулю.}

\теорема
Пусть $\gamma_i:\; [0,a]\arrow M$ -- пути в $M$, 
Тогда верно {\бф \блуе неравенство треугольника для верхних углов:}
\[\measuredangle_\sup(\gamma_1, p, \gamma_2) + 
   \measuredangle_\sup(\gamma_2, p, \gamma_3) \geq 
   \measuredangle_\sup(\gamma_1, p, \gamma_3).
\]
\дшаг
Пусть
$\gamma_i(0)=p$, $a=\gamma_1(s), b=\gamma_3(t)$, $c=\gamma_2(u)$.
Рассмотрим треугольники  сравнения $\triangle(\bar p,\bar a,\bar c)$
и $\triangle(\bar p,\bar c,\bar b)$, и нарисуем их на плоскости,
с общей стороной $| \bar p,\bar c|$, чтобы они лежали по разные стороны
от прямой $(\bar p,\bar c)$.\\
\centerline{\epsfig{file=angle-inequality.eps,width=0.17\linewidth}}\\
В силу непрерывности $d(p, \gamma_2(u))$, 
{\бф \пурпле для любых заданных $s,t$, можно подобрать $u$
таким образом, что $\bar c$ лежит на отрезке $[\bar a, \bar b]$.}


\newpage

{\бф \блуе Неравенство треугольника для углов (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 2:} Из рассмотрения треугольников сравнения\\
\centerline{\epsfig{file=angle-inequality-flat.eps,width=0.25\linewidth}}\\
убеждаемся, что 
\[ \theta(a,p,b)+\theta(b,p,c)=
   \measuredangle(\bar a,\bar p, \bar c)=
\arccos\left(\frac{s^2+t^2-|\bar a,\bar c|^2}{2st}\right)
\]
где $s=d(p,a)$ и $t=d(p,c)$. 

{\бф \греен Шаг 3:} 
По определению, $|\bar a,\bar c|= |\bar a,\bar b|+|\bar
b,\bar c|= d(a,b)+d(b,c)\geq d(a,c)$.
В силу монотонности арккосинуса,
получаем
\[
\measuredangle(\bar a,\bar p, \bar c)=
\arccos\left(\frac{s^2+t^2-|\bar a,\bar c|^2}{2st}\right)
\geq \arccos\left(\frac{s^2+t^2-d(a,c)^2}{2st}\right)=
\theta(a,p,c).
\]
{\бф \греен Шаг 4:} {\бф \пурпле  Сравнивая формулы, полученные в шаге 2
и шаге 3, получаем
$\theta(a,p,b)+\theta(b,p,c)\geq\theta(a,p,c)$;}
неравенство для $\measuredangle_\sup$ следует немедленно.
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Пространство направлений}

\определение
Путь $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ {\бф\блуе  имеет направление},
если угол $\measuredangle(\gamma, \gamma(0),\gamma)$
существует. Пути $\alpha, \beta:\;  [0,a]\arrow M$,
$\alpha(0)=\beta(0)=p$ 
{\бф \блуе имеют одинаковое направление}, если
$\measuredangle_\sup(\alpha, p,\beta)=0$.

\замечание
В силу неравенства треугольника
для углов, оотношение <<$\alpha\sim \beta$, если
$\measuredangle_\sup(\alpha, p,\beta)=0$>> {\бф \пурпле задает отношение
эквивалентности на множестве всех путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$,
$\gamma(0)=p$, имеющих направление.}


\определение
{\бф\блуе Пространство направлений} в точке $p$ есть 
множество классов эквивалентности путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$,
$\gamma(0)=p$, имеющих направление, по отношению $\sim$. 

\утверждение
{\бф \ред $\measuredangle_\sup(\alpha, p,\beta)$
задает метрику на пространстве направлений.}
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Произведения метрических пространств}


\утверждение
Пусть $(M, d)$ и $(M', d')$ - метрические
пространства, а $\rho:\; (\R^{\geq 0})^2\arrow \R^{\geq 0}$ функция,
удовлетворяющая следующим  условиям: 

{\bf \purple невырожденность:} 
$\rho(\lambda, \mu)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda=\mu=0$

{\bf \purple субаддитивность:} $\rho(x+y) \leq \rho(x)+\rho(y)$

{\bf \purple монотонность:} $\rho (a, b)\geq \rho(a_1, b_1)$, если $a\geq a_1$,
а $b\geq b_1$.

Тогда
\[
d_\rho((x, x'), (y, y')):= \rho(d(x,y), d'(x',y'))
\]
{\bf \blue задает метрику на $M\times M'$.}

\доказательство
Неравенство треугольника в $(M\times M', d_\rho)$
доказывается так:
\begin{align*}
d_\rho((x, x'), (z, z')) & = 
\rho(d(x,z), d'(x', z'))
\\ \ &\leq \rho(d(x,y)+ d(y,z), d'(x',y')+ d'(y',z'))\\ \ &\leq 
\rho(d(x,y), d'(x',y')) + \rho(d(y, z), d'(y',z'))\\ \ & = 
d_\rho((x, x'), (y, y'))+ d_\rho((y, y'), (z, z')).
\end{align*}
\ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Произведение метрических пространств
(продолжение).}

{\bf \purple Примеры функций $\rho$, удовлетворяющих этим условиям:}

1.  $\rho_1(x,y) = x+y$  \\ 2. $\rho_2(x,y)= \sqrt{x^2 + y^2}$ \\
3. $\rho_\infty(x,y) = \max(x,y)$.


\определение
Метрика 
\[ d((x_1,y_1), (x_2,y_2))=\sqrt{d_X(x_1,x_2)^2 + d_Y(y_1,y_2)^2}.
\] называется {\бф\блуе метрикой произведения},
а $(X\times Y,d)$ -- {\бф\блуе прямым произведением}
метрических пространств.

\утверждение
Для любых кратчайших с геодезической
параметризацией $\gamma_X, \gamma_Y$, {\бф \пурпле ограничение $d$ на
квадрат $\gamma_X\times \gamma_Y\subset X\times Y$ изометрично квадрату.}

\следствие
{\бф \ред Для пространств со внутренней метрикой и кратчайшими
метрика произведения тоже внутренняя с кратчайшими.}

\newpage

{\бф \блуе Конус}

\определение
{\бф\блуе Диаметр} метрического пространства $M$ есть число
$\sup_{x,y\in M}d(x,y)$.

\определение
Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $\diam X\leq \pi$.
Рассмотрим топологическое пространство $C(X)$ с топологией фактора,
полученное из $X\times [0,\infty[$ склеиванием $X\times\{0\}$
в точку.  Определим функцию $d_C:\; C(X)\times C(X)\arrow \R^{>0}$ по формуле
\[d(p,q)= \sqrt{t^2+s^2 -2ts\cos(d(x,y))},
\]
где $p=(x,t), q=(y,s)$.
{\бф \ред В скором времени будет доказано, что $d_C$ есть метрика.}
Пространство $C(X)$ с вышеописанной метрикой называется
{\бф\блуе метрическим конусом}, или просто {\бф\блуе конусом} над $X$.

\теорема
{\бф \ред Функция $d_C$ удовлетворяет неравенству
треугольника.}

\дшаг
Пусть $(\alpha,t), (\beta,s)$ -- точки в конусе $C(X)$, а 
$\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$ -- треугольник сравнения
со сторонами $t,s$ и углом 
$\measuredangle(\bar a,\bar 0,\bar b)=d(\alpha,\beta)$.
{\бф \пурпле Тогда $d_C(a,b)=|\bar a, \bar b|$.}


\newpage

{\бф \блуе Конус (продолжение)}


\теорема
{\бф \ред Функция $d_C$ удовлетворяет неравенству
треугольника.}

\дшаг
Пусть $(\alpha,t), (\beta,s)$ -- точки в конусе $C(X)$, а 
$\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$ -- треугольник сравнения
со сторонами $t,s$ и углом 
$\measuredangle(\bar a,\bar 0,\bar b)=d(\alpha,\beta)$.
{\бф \пурпле Тогда $d_C(a,b)=|\bar a, \bar b|$.}


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $a=(\alpha,r), b=(\beta,s), c=(\gamma, t)$ -- три точки на $C(X)$,
а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$, $\triangle(\bar 0, \bar b,\bar c)$ 
соответствующие треугольники сравнения, с общей стороной
$[\bar 0,\bar b]$, и отложенные по разные стороны от $(\bar 0, \bar b)$.\\
\centerline{\epsfig{file=cone-inequality.eps,width=0.20\linewidth}}\\
Тогда $d_C(a,c)=|\bar a,\bar c|\leq|\bar a, \bar
b|+|\bar b, \bar c| =d_C(a,b)+d_C(b,c)$. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Свойства конуса}

{\бф \греен СВОЙСТВА КОНУСА:}
1. Для каждого $x\in X$, {\бф \пурпле 
путь $\gamma:\; [0,a] \arrow C(X)$, переводящий
$a$ в $(x,a)$ -- кратчайшая. }

2. $x,y\in X$, а $\gamma_1:=(x,[0,a])$, 
$\gamma_2:=(y,[0,b])\subset C(X)$ -- соответствующие
кратчайшие в конусе. {\бф \пурпле Тогда 
$\measuredangle(\gamma_1,0,\gamma_2)=d(x,y)$.}

3. {\бф \пурпле Конус над отрезком длины $\alpha$ изометричен
плоскому углу в $\R^2$ величины $\alpha$.}

\утверждение
Предположим, что $X$ -- пространство с внутренней
метрикой и кратчайшими. {\бф \ред Тогда метрика на $C(X)$ --
тоже внутренняя и с кратчайшими.}

\дшаг Для каждой кратчайшей $\gamma \in X$, конус
$C(\gamma)$ изометричен плоскому углу, значит,
{\бф \пурпле метрика на $C(\gamma)$ внутренняя и с кратчайшими.}

{\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Любые две точки на конусе
лежат на $C(\gamma)$} для подходящей кратчайшей $\gamma$.
\ендпрооф




\end{document}



