\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\ендпрооф{\endproof} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\sup{{\operatorname{\sf sup}}} \def\diam{{\operatorname{\sf diam}}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Гиперболические группы по Громову\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Гиперболические группы по Громову: \\[3mm] углы и кратчайшие} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 4 октября, 2012\\ НМУ} \end{center} \newpage {\bf \blue Внутренние метрики (повторение).} \определение Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение отрезка $[a,b]= [a,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$ Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим $L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).$ Определим {\бф\блуе длину пути} $\gamma$ формулой \[ L_d(\gamma):= \sup_{a0$, существует $\epsilon$-середина. \утверждение {\бф \ред В любом пространстве с внутренней метрикой существуют $\epsilon$-середины.} \дшаг Пусть $\gamma$ -- путь длины $d(x,y)+\epsilon$, соединяющий $x$ и $y$. В силу непрерывности функции $d(x,\gamma(t))$, принимающей значения от $0$ до $d(x,y)$, {\бф \пурпле существует точка $z=\gamma(t_0)$ такая, что $d(x,z)= \frac {d(x,y)}{2}$.} {\бф \греен Шаг2:} $d(y,z)+d(z,y)\leq L_d(\gamma)=d(x,y)+\epsilon$. {\бф \ред Значит, $d(y,z)\leq \frac {d(x,y)}{2}+\epsilon$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе $\epsilon$-середины и двоично-рациональные дроби} \теорема Пусть $M$ -- пространство, где существуют $\epsilon$-середины, а $x_0, x_1\in M$. Тогда для любого $\lambda\in [0,1]$, найдется $x_\lambda\in M$ такая, что $|d(x_0,x_\lambda)- \lambda d(x_0,x_1)| \leq\epsilon$ и $|d(x_1,x_\lambda)- (1-\lambda) d(x_0,x_1)| \leq\epsilon$. \дшаг Пусть $\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$, $0<\lambda<1$. Возьмем за $x_\lambda\in M$ $\frac{\epsilon}{2^{m+1}}$-середину между $x_{\frac{n}{2^{m-1}}}$ и $x_{\frac{n-1}{2^{m-1}}}$. {\бф \пурпле Воспользовавшись индукцией по $m$, построим $x_\lambda$ для каждого двоично-рационального числа $\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$}. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $P(\lambda)$ переводит $\lambda=\frac{2n-1}{2^m}$ в $\frac{n-1}{2^{m-1}}$. По построению, \[ |d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})-(\lambda- P(\lambda))d(x_0,x_1)| <\frac{\epsilon}{2^{m+1}}. \] Суммируя ряд \[ d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)}, x_{P(P(\lambda))}) + ... \] получим число, которое отличается от $\lambda d(x_0,x_1)$ на $\sum_{i=0}^m \frac{\epsilon}{2^{m+1}}\leq\epsilon$. {\бф \пурпле Значит, \[ d(x_0,x_\lambda) \leq d(x_\lambda, x_{P(\lambda)})+ d(x_{P(\lambda)}, x_{P(P(\lambda))}) + ... \leq \lambda d(x_0,x_1)+\epsilon. \] Аналогично, $d(x_1,x_\lambda) \leq (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon.$ } \невпаге {\бф \блуе $\epsilon$-середины и двоично-рациональные дроби (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Уже доказано: \[ d(x_1,x_\lambda) \leq (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon \text{\ \ и\ \ } d(x_0,x_\lambda)\leq \lambda d(x_0,x_1)+\epsilon. \] Осталось доказать, что $d(x_1,x_\lambda)\geq \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon$ и $d(x_1,x_\lambda) \geq (1-\lambda) d(x_0,x_1)-\epsilon.$ Но если это неверно, имеем (например) $d(x_1,x_\lambda)\leq \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon$, что дает \[ d(x_1,x_\lambda)+d(x_1,x_\lambda)< \lambda d(x_0,x_1)-\epsilon + (1-\lambda) d(x_0,x_1)+\epsilon = d(x_0,x_1) \] {\бф \пурпле Противоречие с неравенством треугольника!} \ендпрооф \следствие {\бф \блуе ("Условие Хопфа-Ринова")} Пусть $M$ -- метрическое пространство, в котором существуют $\epsilon$-середины. {\бф \ред Тогда для любых $x, y \in M$, и $r \leq d(x,y)$, расстояние от шара $B_r(x)$ до $y$ равно $d(x,y)-r$}. \доказательство Выберем точку $z=z_\lambda$ такую, что $|d(x,z)-(r-\epsilon)| <\epsilon$ и $|d(y,z)-d(x,y)-r|<\epsilon$. Тогда $z\in B_r(x)$ и $d(B_r(x),y)\leq d(y,z)\leq d(x,y)-r+\epsilon$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе $\epsilon$-середины и внутренние метрики} \замечание Из шага 2 предыдущей теоремы следует, что отображение $\lambda\arrow x_\lambda$ {\бф \ред является $d(x_0,x_1)(1+\epsilon)$-липшицевым.} \утверждение Пусть $X,Y$ -- метрические пространства, а $\phi:\; X\arrow Y$ -- $C$-липшицево отображение. {\бф\пурпле Тогда $\phi$ продолжается до $C$-липшицева отображения пополнений $\bar \phi:\; \bar X\arrow \bar Y$.} \теорема Пусть $M$ -- полное метрическое пространство, в котором существуют $\epsilon$-середины. {\бф \ред Тогда метрика в $M$ внутренняя}. \доказательство В силу предыдущего утверждения, отображение $\lambda\arrow x_\lambda$ продолжается до $d(x_0,x_1)(1+\epsilon)$-липшицева отображения $[0,1]\stackrel\gamma\arrow M$, то есть пути, соединяющего $x_0$ и $x_1$. {\бф \ред Длина сего пути ограничена $d(x_0,x_1)(1+\epsilon)$ в силу липшицевости.} \newpage {\бф \блуе Локальная компактность} \определение {\бф\блуе $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$ есть такое множество $N\subset M$, что объединение $\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$. Метрическое пространство называется {\бф\блуе вполне ограниченным}, если для любого $\epsilon>0$ в $M$ найдется конечная $\epsilon$-сеть. \теорема Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограниченно. \доказательство См. в листочках. \ендпрооф \определение Пусть $M$ -- метрическое пространство. Говорят, что $M$ {\bf\блуе локально компактно}, если для любой точки $x\in M$ существует такое число $\epsilon>0$, что замкнутый шар $\overline{B}_\epsilon(x)$ компактен. \newpage {\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова} \теорема Пусть $M$ -- полное, локально компактное пространство с внутренней метрикой. {\бф \ред Тогда каждый замкнутый шар в $M$ компактен.} \дшаг {\бф \пурпле В $\epsilon$-окрестности шара $\bar B_{r}(m)$ содержится шар $\bar B_{r+\epsilon}(m)$} (следует из условия Хопфа-Ринова). {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $m\in M$ точка, такая, что шары $B_{r-\epsilon}(m)$ вполне ограниченны для любого $\epsilon >0$. {\бф \пурпле Тогда $B_{r}(m)$ тоже вполне ограниченно.} Действительно, $\frac 1 2\epsilon$-сеть в $B_{r-\frac 1 2\epsilon}(m)$ будет $\epsilon$-сетью в $B_{r}(m)$, в силу предыдущего шага. {\бф \греен Шаг 3:} Определим функцию на метрическом пространстве\\ $\rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.$ {\бф \пурпле Тогда $\rho$ 1-липшицева}, в частности, непрерывна. {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\bar B_r(m)$ -- компактный шар в локально компактном пространстве. Тогда существует $\epsilon>0$ такое, что {\бф \пурпле каждый замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в с центром в $\bar B_r(m)$ компактен.} Действительно, $\rho$ достигает минимума где-то на $B_r(m)$. \newpage {\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $m\in M$ точка, такая, что шары $B_{r-\epsilon}(m)$ вполне ограниченны для любого $\epsilon >0$. {\бф \пурпле Тогда $B_{r}(m)$ тоже вполне ограниченно.} Действительно, $\frac 1 2\epsilon$-сеть в $B_{r-\frac 1 2\epsilon}(m)$ будет $\epsilon$-сетью в $B_{r}(m)$, в силу предыдущего шага. {\бф \греен Шаг 3:} Определим функцию на метрическом пространстве\\ $\rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.$ {\бф \пурпле Тогда $\rho$ 1-липшицева}, в частности, непрерывна. {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\bar B_r(m)$ -- компактный шар в локально компактном пространстве. Тогда существует $\epsilon>0$ такое, что {\бф \пурпле каждый замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в с центром в $\bar B_r(m)$ компактен.} Действительно, $\rho$ достигает минимума где-то на $B_r(m)$. {\бф \греен Шаг 5:} Для такого шара, {\бф \пурпле $\bar B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)$ тоже компактен.} Для доказательства, рассмотрим конечную $\frac 1 3\epsilon$-сеть в $\bar B_r(m)$. Объединение замкнутых $\epsilon$-шаров с центрами в этой сети компактно (конечное объединение компактов компактно) и содержит $\bar B_{r+\frac 1 2\epsilon}(m)$ в силу шага 1. {\бф \греен Шаг 6:} Из сравнение шага 5 и шага 2 заключаем, что $\rho=\infty$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве} {\bf \green Определение:} Непрерывное отображение $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ называется {\bf \blue кратчайшей}, если его длина равна $d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$. {\bf \purple Любой отрезок кратчайшей - снова кратчайшая.} {\bf \green Определение:} Если $\phi:\; [0,\alpha] \arrow [0,\alpha]$ -- гомеоморфизм, а $\gamma$ - путь из $x$ в $y$, композиция $\phi \circ\gamma$ - тоже путь из $x$ в $y$. Такой путь называется {\bf\blue репараметризацией $\gamma$}. {\bf \red Параметризация $\gamma$} -- выбор пути в классе путей, эквивалентных с точностью до репараметризации. {\bf \green Определение:} Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая, соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\] Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей геодезической}, а соответствующая параметризация - {\bf\blue геодезической параметризацией}. \замечание {\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая задается изометрическим вложением из отрезка в $M$.} \newpage {\бф \блуе Существование кратчайших} \теорема Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство с внутренней метрикой а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.} \дшаг Пусть $d(x_0, x_1)=\alpha$. В силу компактности, {\бф \пурпле в шаре $\bar B_{\alpha/2}(x_1)$ есть точка $x_{\frac 1 2}$ такая, что $d(x_0, x_{\frac 1 2}) = d(x_{\frac 1 2}, x_1)= \alpha/2.$} В самом деле, функция $d(\cdot, x_0):\; \bar B_{\alpha/2}(x_1)\arrow \R$ непрерывная на компакте, значит, достигает минимума, который равен $d(x_0,\bar B_{\alpha/2}(x_1))= \alpha/2$ потому, что метрика внутренняя. {\бф \греен Шаг 2:} Воспользовавшись индукцией, для каждого двоично-рационального числа $\lambda = \frac{n}{2^k}$ в $[0,1]$ {\бф \пурпле найдем точку $x_{\lambda}$, такую, что $d(x_{\lambda}, x_\mu)=\alpha|\lambda-\mu|.$} {\бф \греен Шаг 3:} Мы получили {\purple\бф изометрическое вложение множества двоично-рациональных чисел в $M$}. {\bf \red Продолжим на пополнение, получим геодезическую.} \ендпрооф \определение Метрика в $M$ называется {\бф \блуе внутренней с кратчайшими}, если любые две точки можно соединить кратчайшей с геодезической параметризацией. \newpage {\бф \блуе Углы} \определение Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве $(M,d)$. {\бф \ред Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой.} {\бф\блуе Треугольник сравнения} $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$, и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$, и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности). Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике $\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$; он называется {\бф\блуе углом сравнения}. \определение Пусть $\gamma_1:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma_2:\; [0,b]\arrow M$ два пути в метрическом пространстве $M$, $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p$. {\бф\блуе Угол} между путями $\gamma_1, \gamma_2$ в $p$ есть число \[ \measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2):= \lim_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)), \] если такой предел существует (в противном случае, говорится, что {\бф \блуе угол между $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не существует}). {\бф \блуе Верхний угол} есть \[ \measuredangle_\sup(\gamma_1, p, \gamma_2):= \operatorname{{\lim\sup}}\limits_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)), \] где {\бф \пурпле $\lim\sup$ обозначает супремум всех предельных точек последовательностей $\theta(\gamma_1(t_i), p, \gamma_2(s_j))$, для всех $t_i, s_j$ сходящихся к 0. } \newpage {\бф \блуе Неравенство треугольника для углов} \упражнение Проверьте, что {\бф \ред угол между гладкими путями в $\R^n$ существует и равен углу между их касательными.} \упражнение $\gamma:\; :\; [0,a]\arrow M$ -- кратчайшая, наделенная геодезической параметризацией, а $\gamma(0)=p$. {\бф \пурпле Тогда угол $\measuredangle_\sup(\gamma, p, \gamma)$ существует и равен нулю.} \теорема Пусть $\gamma_i:\; [0,a]\arrow M$ -- пути в $M$, Тогда верно {\бф \блуе неравенство треугольника для верхних углов:} \[\measuredangle_\sup(\gamma_1, p, \gamma_2) + \measuredangle_\sup(\gamma_2, p, \gamma_3) \geq \measuredangle_\sup(\gamma_1, p, \gamma_3). \] \дшаг Пусть $\gamma_i(0)=p$, $a=\gamma_1(s), b=\gamma_3(t)$, $c=\gamma_2(u)$. Рассмотрим треугольники сравнения $\triangle(\bar p,\bar a,\bar c)$ и $\triangle(\bar p,\bar c,\bar b)$, и нарисуем их на плоскости, с общей стороной $| \bar p,\bar c|$, чтобы они лежали по разные стороны от прямой $(\bar p,\bar c)$.\\ \centerline{\epsfig{file=angle-inequality.eps,width=0.17\linewidth}}\\ В силу непрерывности $d(p, \gamma_2(u))$, {\бф \пурпле для любых заданных $s,t$, можно подобрать $u$ таким образом, что $\bar c$ лежит на отрезке $[\bar a, \bar b]$.} \newpage {\бф \блуе Неравенство треугольника для углов (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} Из рассмотрения треугольников сравнения\\ \centerline{\epsfig{file=angle-inequality-flat.eps,width=0.25\linewidth}}\\ убеждаемся, что \[ \theta(a,p,b)+\theta(b,p,c)= \measuredangle(\bar a,\bar p, \bar c)= \arccos\left(\frac{s^2+t^2-|\bar a,\bar c|^2}{2st}\right) \] где $s=d(p,a)$ и $t=d(p,c)$. {\бф \греен Шаг 3:} По определению, $|\bar a,\bar c|= |\bar a,\bar b|+|\bar b,\bar c|= d(a,b)+d(b,c)\geq d(a,c)$. В силу монотонности арккосинуса, получаем \[ \measuredangle(\bar a,\bar p, \bar c)= \arccos\left(\frac{s^2+t^2-|\bar a,\bar c|^2}{2st}\right) \geq \arccos\left(\frac{s^2+t^2-d(a,c)^2}{2st}\right)= \theta(a,p,c). \] {\бф \греен Шаг 4:} {\бф \пурпле Сравнивая формулы, полученные в шаге 2 и шаге 3, получаем $\theta(a,p,b)+\theta(b,p,c)\geq\theta(a,p,c)$;} неравенство для $\measuredangle_\sup$ следует немедленно. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Пространство направлений} \определение Путь $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ {\бф\блуе имеет направление}, если угол $\measuredangle(\gamma, \gamma(0),\gamma)$ существует. Пути $\alpha, \beta:\; [0,a]\arrow M$, $\alpha(0)=\beta(0)=p$ {\бф \блуе имеют одинаковое направление}, если $\measuredangle_\sup(\alpha, p,\beta)=0$. \замечание В силу неравенства треугольника для углов, оотношение <<$\alpha\sim \beta$, если $\measuredangle_\sup(\alpha, p,\beta)=0$>> {\бф \пурпле задает отношение эквивалентности на множестве всех путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma(0)=p$, имеющих направление.} \определение {\бф\блуе Пространство направлений} в точке $p$ есть множество классов эквивалентности путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma(0)=p$, имеющих направление, по отношению $\sim$. \утверждение {\бф \ред $\measuredangle_\sup(\alpha, p,\beta)$ задает метрику на пространстве направлений.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Произведения метрических пространств} \утверждение Пусть $(M, d)$ и $(M', d')$ - метрические пространства, а $\rho:\; (\R^{\geq 0})^2\arrow \R^{\geq 0}$ функция, удовлетворяющая следующим условиям: {\bf \purple невырожденность:} $\rho(\lambda, \mu)=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda=\mu=0$ {\bf \purple субаддитивность:} $\rho(x+y) \leq \rho(x)+\rho(y)$ {\bf \purple монотонность:} $\rho (a, b)\geq \rho(a_1, b_1)$, если $a\geq a_1$, а $b\geq b_1$. Тогда \[ d_\rho((x, x'), (y, y')):= \rho(d(x,y), d'(x',y')) \] {\bf \blue задает метрику на $M\times M'$.} \доказательство Неравенство треугольника в $(M\times M', d_\rho)$ доказывается так: \begin{align*} d_\rho((x, x'), (z, z')) & = \rho(d(x,z), d'(x', z')) \\ \ &\leq \rho(d(x,y)+ d(y,z), d'(x',y')+ d'(y',z'))\\ \ &\leq \rho(d(x,y), d'(x',y')) + \rho(d(y, z), d'(y',z'))\\ \ & = d_\rho((x, x'), (y, y'))+ d_\rho((y, y'), (z, z')). \end{align*} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Произведение метрических пространств (продолжение).} {\bf \purple Примеры функций $\rho$, удовлетворяющих этим условиям:} 1. $\rho_1(x,y) = x+y$ \\ 2. $\rho_2(x,y)= \sqrt{x^2 + y^2}$ \\ 3. $\rho_\infty(x,y) = \max(x,y)$. \определение Метрика \[ d((x_1,y_1), (x_2,y_2))=\sqrt{d_X(x_1,x_2)^2 + d_Y(y_1,y_2)^2}. \] называется {\бф\блуе метрикой произведения}, а $(X\times Y,d)$ -- {\бф\блуе прямым произведением} метрических пространств. \утверждение Для любых кратчайших с геодезической параметризацией $\gamma_X, \gamma_Y$, {\бф \пурпле ограничение $d$ на квадрат $\gamma_X\times \gamma_Y\subset X\times Y$ изометрично квадрату.} \следствие {\бф \ред Для пространств со внутренней метрикой и кратчайшими метрика произведения тоже внутренняя с кратчайшими.} \newpage {\бф \блуе Конус} \определение {\бф\блуе Диаметр} метрического пространства $M$ есть число $\sup_{x,y\in M}d(x,y)$. \определение Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $\diam X\leq \pi$. Рассмотрим топологическое пространство $C(X)$ с топологией фактора, полученное из $X\times [0,\infty[$ склеиванием $X\times\{0\}$ в точку. Определим функцию $d_C:\; C(X)\times C(X)\arrow \R^{>0}$ по формуле \[d(p,q)= \sqrt{t^2+s^2 -2ts\cos(d(x,y))}, \] где $p=(x,t), q=(y,s)$. {\бф \ред В скором времени будет доказано, что $d_C$ есть метрика.} Пространство $C(X)$ с вышеописанной метрикой называется {\бф\блуе метрическим конусом}, или просто {\бф\блуе конусом} над $X$. \теорема {\бф \ред Функция $d_C$ удовлетворяет неравенству треугольника.} \дшаг Пусть $(\alpha,t), (\beta,s)$ -- точки в конусе $C(X)$, а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$ -- треугольник сравнения со сторонами $t,s$ и углом $\measuredangle(\bar a,\bar 0,\bar b)=d(\alpha,\beta)$. {\бф \пурпле Тогда $d_C(a,b)=|\bar a, \bar b|$.} \newpage {\бф \блуе Конус (продолжение)} \теорема {\бф \ред Функция $d_C$ удовлетворяет неравенству треугольника.} \дшаг Пусть $(\alpha,t), (\beta,s)$ -- точки в конусе $C(X)$, а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$ -- треугольник сравнения со сторонами $t,s$ и углом $\measuredangle(\bar a,\bar 0,\bar b)=d(\alpha,\beta)$. {\бф \пурпле Тогда $d_C(a,b)=|\bar a, \bar b|$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $a=(\alpha,r), b=(\beta,s), c=(\gamma, t)$ -- три точки на $C(X)$, а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$, $\triangle(\bar 0, \bar b,\bar c)$ соответствующие треугольники сравнения, с общей стороной $[\bar 0,\bar b]$, и отложенные по разные стороны от $(\bar 0, \bar b)$.\\ \centerline{\epsfig{file=cone-inequality.eps,width=0.20\linewidth}}\\ Тогда $d_C(a,c)=|\bar a,\bar c|\leq|\bar a, \bar b|+|\bar b, \bar c| =d_C(a,b)+d_C(b,c)$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Свойства конуса} {\бф \греен СВОЙСТВА КОНУСА:} 1. Для каждого $x\in X$, {\бф \пурпле путь $\gamma:\; [0,a] \arrow C(X)$, переводящий $a$ в $(x,a)$ -- кратчайшая. } 2. $x,y\in X$, а $\gamma_1:=(x,[0,a])$, $\gamma_2:=(y,[0,b])\subset C(X)$ -- соответствующие кратчайшие в конусе. {\бф \пурпле Тогда $\measuredangle(\gamma_1,0,\gamma_2)=d(x,y)$.} 3. {\бф \пурпле Конус над отрезком длины $\alpha$ изометричен плоскому углу в $\R^2$ величины $\alpha$.} \утверждение Предположим, что $X$ -- пространство с внутренней метрикой и кратчайшими. {\бф \ред Тогда метрика на $C(X)$ -- тоже внутренняя и с кратчайшими.} \дшаг Для каждой кратчайшей $\gamma \in X$, конус $C(\gamma)$ изометричен плоскому углу, значит, {\бф \пурпле метрика на $C(\gamma)$ внутренняя и с кратчайшими.} {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Любые две точки на конусе лежат на $C(\gamma)$} для подходящей кратчайшей $\gamma$. \ендпрооф \end{document}