\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}

\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\ендпрооф{\endproof}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Гиперболические группы по Громову\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\makeatother


\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Гиперболические группы по Громову: \\[3mm]
 внутренние метрики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 28 сентября, 2012\\
НМУ}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Спрямляемые пути (повторение).}


\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение
отрезка $[a,b]= [a,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$
Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим
$L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).$ 
Определим {\бф\блуе длину пути} $\gamma$ формулой
\[ L_d(\gamma):= \sup_{a<x_1< ... <x_{n-1}<b}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}).
\]
где супремум берется по всем разбиениям отрезка.
Путь $\gamma$ называется {\бф\блуе спрямляемым}, если
$L_d(\gamma)<\infty$. 

\пример
Любой липшицев путь -- спрямляемый {\бф \пурпле (докажите это).}

\замечание
Любой кусочно гладкий путь -- липшицев {\бф \пурпле
(докажите это).}

\newpage

{\bf \blue Внутренние метрики (повторение).}

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
а $L_d$ -- функционал длины на спрямляемых
путях. Обозначим за $\hat d$ метрику
$\hat d(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где
инфимум берется по всем спрямляемым путям, соединяющим
$x$ и $y$. Она называется
{\бф \блуе внутренней метрикой, индуцированной $d$.}

\теорема
Для любого метрического пространства, $\hat {\hat d}=\hat d$.


\определение
Метрика $d$ на $M$ называется {\бф \блуе внутренней},
если $\hat d=d$.

\замечание
Финслеровы метрики и римановы метрики,
построенные на прошлой лекции, {\бф \ред являются внутренними}
(см. листочек).

\невпаге

{\бф \блуе Внутренняя метрика и локальность}

\утверждение
Пусть $M$, $M'$ -- метрические пространства с внутренней метрикой, а
$f:\; M \arrow M'$ -- непрерывная биекция, такая, 
что у каждой точки $x\in M$ есть окрестность $U_x$,
причем ограничение $f\restrict{U_x}:\; U_x \arrow f(U_x)$ --
изометрия. {\бф \ред Тогда $f$ -- изометрия.}

\дшаг
{\бф \пурпле $f$ -- гомеоморфизм.} Действительно, $f$ переводит базу
открытых множеств в базу открытых множеств.\\[3mm]
{\бф \греен Шаг 2:}
Длина пути -- локальный инвариант.
Значит, {\бф \пурпле $f$ сохраняет длину пути.} \ендпрооф

\замечание
{\бф \ред $f$ 1-липшицево,}
даже если  $M'$ не обязательно внутренняя. 
Действительно, $f$ сохраняет длину пути,
а $L_d(\gamma)\geq d(x,y)$
для любого пути, соединяющего $x$ и $y$.

\определение
Метрика на $M$ называется {\бф \блуе локальной},
если для каждого открытого покрытия $\{U_\alpha\}$,
и для каждой метрики $d'$ на $M$ такой, что
$d\restrict {U_\alpha}= d'\restrict {U_\alpha}$,
имеем $d\geq d'$.

\следствие 
{\бф \пурпле Внутренняя метрика всегда локальна.}

\задача
Докажите, что для полной метрики $d$,\\
{\бф \ред $d$ локальна $\Leftrightarrow$ $d$ -- внутренняя.}


\невпаге

{\бф \блуе Топология фактора}


{\bf\green Определение:} 
Пусть $M$ -- топологическое пространство, а $\sim$ --
отношение эквивалентности. Подмножество $U \subset
M/\!\!\!\sim\!$ множества классов $M/\!\!\!\sim\!$ называется
{\bf\blue открытым}, если его прообраз в $M$ открыт.
Это определяет {\бф \блуе топологию фактора} на $M/\sim$, которое
называется {\bf\blue факторпостранством} по соотношению
эквивалентности $\sim$.


{\bf\red Предостережение:} Факторпространство может быть
нехаусдорфово, даже если $M$ хаусдорфово.


{\bf\green Определение:}
Пусть $G$ -- группа, действующая на топологическом
пространстве $M$. {\bf\blue Факторпространством} по действию
группы называется пространство классов эквивалентности
$M/\sim$, где $x\sim y$, если $x$ и $y$ лежат в одной
орбите $G$. Также факторпространство называют
{\bf\blue пространство орбит действия $G$}.

{\bf\green Замечание:}
Пусть $G$ - группа, действующая на топологическом
пространстве $M$ гомеоморфизмами. Тогда {\purple  \бф естественная проекция
$M\stackrel \pi \arrow M/G$ является открытым
отображением.}

\невпаге

{\bf \blue Топологическое пространство графа}


{\bf \green Определение:} 
{\bf\blue  Графом} называется набор вершин и набор ребер,
причем каждому ребру соответствует две вершины
(возможно, одинаковые), которые называются его {\bf\blue 
концами}, или {\bf\blue  концом и началом}, причем
каждая вершина является концом хотя бы одного из ребер.
Если двум ребрам соответствует одна и та
же вершина, эти ребра называются {\bf\blue  смежными},
а вершина -- {\bf\blue  общей вершиной} ребер.
Граф называется {\bf\blue  конечным}, если число
его ребер и вершин конечно.


{\bf \green Замечание:} С каждым графом ассоциировано топологическое
пространство: набор отрезков, соединяющих набор 
отмеченных точек -- вершин.


{\bf \green Определение:} Пусть $\Gamma$ -- граф, а $S$ -- множество его ребер.
Рассмотрим $S$ как пространство с дискретной топологией,
и пусть $X:= S \times [0,1]$ -- несвязное объединение
$S$ копий отрезка. В этом случае $x= s \times \{1\}$ или $x= s \times \{0\}$ --
точки $X$, соответствующая началу или концу отрезка.
Если у ребра $s_1$ и у ребра $s_2$ имеется общий конец, напишем
$x_1\sim x_2$, где $x_i= s_i \times \{1\}$ или $x_i= s_i \times \{1\}$
соответствующие точки $X$. {\bf\blue  Топологическим
пространством графа} называется факторпространство
$X/\sim$ по такому отношению эквивалентности.

\упражнение
{\бф \пурпле Топологическое пространство любого
графа хаусдорфово} (докажите это).


\newpage

{\bf \blue Полуметрики}

{\bf \green Определение:}\\
Пусть $d:\; M \times M \arrow \R^{\geq 0}$
функция, такая, что выполнены:\\
{\bf \purple Рефлексивность:} $d(x,x)=0$\\
{\bf \purple Симметричность:}  $d(x,y)=d(y,x)$\\
{\bf \purple Неравенство треугольника:}\ \  $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$

Тогда $d$ называется {\bf \blue полуметрикой}

{\red\bf От определения метрики это отличается только
отсутствием условия невырожденности: $d(x,y)=0$
$\Rightarrow$ $x=y$.}

{\bf \green Определение:} \\
{\bf\blue Открытым шаром в полуметрике $d$}
называется множество
\[ 
  B_{r,d}(x) = \{ y\in M \ \ | \ \ d(x,y) < r\}.
\]
Открытые шары задают на $M$ топологию, {\red \bf нехаусдорфову
если $M$ не метрика.}

{\bf \green Замечание:}\\
Условие $d(x,y)=0$ задает на $M$
отношение эквивалентности.

\newpage

{\bf \blue Полуметрики и метрики}

Если $d(x,y)=0$, то
\[
d(z,x) + d(x,y) \geq d(y,z), \ \ d(z,y) + d(y,x) \geq d(z,x),
\]
поэтому $d(z,x) = d(y,z)$. {\bf\purple
Следовательно, функция $d$ корректно определена на 
множестве $\underline M$ классов эквивалентности по отношению $d(x,y)=0$.
} {\bf \red Она задает метрику на $\underline M$.}

{\bf \green Утверждение:} 
Каждое пространство $(M,d)$ с полуметрикой {\bf \purple наделено сюрьективным
отображением $\pi:\; M \arrow \underline M$}
в метрическое пространство $(\underline M, \underline d)$,
при этом 
\[
d(x,y) = \underline d(\pi(x), \pi(y)). \ \ \ \ (*)
\]

{\bf \green Замечание:} Если задано отображение 
$\pi:\; M \arrow \underline M$ в метрическое пространство,  
то формула (*) определяет
на $M$ полуметрику.

\newpage

{\bf \blue Полуметрика на факторпространстве}

\определение
Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности
на метрическом пространстве $(X, d)$.
{\bf \blue Определим функцию 
$d_\sim:\; X/\!\!\!\sim\! \times X/\!\!\!\sim\! \arrow \R^{\geq 0}$ 
на факторе $X/\!\!\!\sim\!$} по формуле 
\[ d_\sim (x,y) = \inf\sum_{i=0}^{n-1} 
   d(p_i, q_{i+1}),
\]
где инфимум берется по всем наборам точек
$p_i, q_i\in X$ таким, что $p_0\sim x, q_n \sim y$, и $p_i \sim q_i$.

\утверждение
{\бф \пурпле Эта функция -- полуметрика.}

\доказательство
Нетривиально только неравенство треугольника.
Но $d(x,y)$ есть инфимум длины "ломаных" $p_0,p_1,q_1,p_2,q_2, ...$
соединяющих $x$ с $y$, где расстояние между $p_i\sim q_i$
положено равным 0. {\бф \пурпле Но если $x$ соединен с $y$, $y$ с $z$
подобными ломаными, то $x$ соединен с $z$ объединением
этих ломаных,} что дает $d_\sim(x,z) \leq d_\sim(x,y)+d_\sim(y,z)$.
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Метрический фактор}

\определение
Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности
на метрическом пространстве $(X, d)$.
Определенная выше полуметрика $d_\sim$ на $X/\!\!\!\sim\!$
называется {\бф\блуе полуметрикой факторпространства}.
{\бф\блуе Метрическое факторпространство} получается
из $X/\!\!\!\sim\!$ дополнительным отождествлением 
всех точек $x,y$ таких,
что $d_\sim(x,y)=0$, с метрикой, которая
индуцирована с $d_\sim$.

\пример
Пусть $G$ -- группа, действующая на метрическом пространстве
$(X,d)$ изометриями, а $x \sim y$, если $x$ и $y$ лежат
в одной орбите $G$. {\бф \ред Тогда  $d_\sim(a,b)$ есть
инфимум расстояний между представителями $a, b$ в $X$}
(докажите это).

\newpage

{\bf \blue Метрические графы}



\определение
{\бф\блуе Несвязное объединение} метрических
пространств $(X_\alpha, d_\alpha)$ есть
$\coprod X_\alpha$ с метрикой $d(x,y)$
которая равна $d_\alpha(x,y)$, когда $x$ и $y$ лежат
в $X_\alpha$, и $\infty$ в противном случае.

\определение
Пусть $I_\alpha$ -- набор отрезков,
изометричных $[0,x_\alpha]$, а $\sim$ -- отношение
эквивалентности, полученное склейкой некоторых вершин.
Метрический фактор $\coprod_\alpha I_\alpha$
называется {\бф\блуе метрическим графом}.
Он называется {\бф\блуе локально конечным}, 
если каждая точка отождествляется с конечным
числом точек.

\утверждение
{\бф \ред Метрика на метрическом графе -
всегда внутренняя.}

\доказательство
Каждую "ломаную" $p_0,p_1,q_1,p_2,q_2, ...$,
соединяющую $x$ и $y$, можно реализовать объединением
отрезков в графе, такой же длины. \ендпрооф

\замечание
Естественое отображение из топологического 
пространства графа в метрический граф  --
{\бф \блуе гомеоморфизм для локально конечного графа}.
Для не локально конечных графов {\бф \ред это может быть
не биекция,} или {\бф \ред биекция, но не гомеоморфизм.}

\newpage

{\bf \blue Граф Кэли}


\определение
{\бф \блуе Набор образующих} группы $G$ есть 
множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$.
{\бф \ред В дальнейшем, мы будем всегда предполагать, что
$s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.}


\определение
Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих.
{\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины
которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида
$g$ и $gs_i$. Полагая длину ребер графа равной 1,
мы {\бф \ред определяем граф Кэли как метрическое пространство
с внутренней метрикой.}

\пример
Граф Кэли для $\Z^n$ с обычным набором образующих 
есть кубическая решетка.
\begin{center}
\epsfig{file=recipr5.png,width=0.25\linewidth}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Граф Кэли для свободной группы}

\пример 
Граф Кэли для свободной группы -- регулярное дерево
\begin{center}
\epsfig{file=F2_Cayley_Graph.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm]
{\ем \бф\small Граф Кэли свободной группы ${\Bbb F}_2$
с образующими $a$, $b$, $a^{-1}$, $b^{-1}$.}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Граф Кэли для $\Z/2\Z * \Z/3\Z$}

\begin{center}
\epsfig{file=Kelli_graph_free_prod.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm]
{\ем \бф\small Граф Кэли для $\Z/2\Z * \Z/3\Z$.}
\end{center}


\newpage

{\bf \blue Полиэдральные метрические пространства}

\определение
{\бф \блуе Полиэдральное метрическое пространство размерности 1} 
есть метрический граф.

\определение
Полиэдральное метрическое пространство размерности $k$
определяется по индукции. Каждое $k$-мерное полиэдральное метрическое
пространство $К$ получено объединением своих {$l$-скелетов} $K_l$,
$l=1,2,3,..., k$,  причем $K_k=K$, а каждое из $K_l$
есть полиэдральное метрическое пространство размерности $l$.
Каждое $K_k$ получено из $K_{k-1}$ приклеиванием выпуклых
евклидовых многогранников, следующим образом.

Пусть задано 
полиэдральное метрическое пространство $K$ размерности $k-1$
и набор выпуклых многоогранников $V_i$ в $k$-мерном евклидовом
пространстве. Пусть для каждого из $V_i$ задано изометрическое
вложение $\tau_i:\; \partial V_i \arrow К_{k-1}$ границы $V_i$
в $K_{k-1}$, переводящее $l$-мерные грани $V_i$ в $K_l$.
Метрический фактор $K_{k-1}\coprod_i V_i$ по соотношению, заданному
таким склеиванием, называется {\бф \блуе полиэдральным метрическим
пространством размерности $k$.}

\упражнение
Докажите, что
{\бф \ред метрика на полиэдральном метрическом пространстве - внутренняя.}


\newpage

{\бф \блуе Локальная компактность}

\определение
{\бф\блуе $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$
есть такое множество $N\subset M$, что объединение
$\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$.
Метрическое пространство называется {\бф\блуе вполне ограниченным},
если для любого $\epsilon>0$ в $M$ найдется конечная
$\epsilon$-сеть.

\теорема
Полное метрическое пространство компактно
тогда и только тогда, когда оно вполне ограниченно.

\доказательство См. в листочках. \ендпрооф

\определение
 Пусть $M$ -- метрическое пространство.
Говорят, что $M$ {\bf\блуе локально компактно}, если для любой точки
$x\in M$ существует такое число $\epsilon>0$, что замкнутый шар
$\overline{B}_\epsilon(x)$ компактен.

\newpage

{\бф \блуе Условие Хопфа-Ринова}

\лемма
Пусть $(M,d)$ -- пространство с внутренней метрикой,
$x,y \in M$, а $r < d(x,y)$. {\бф \ред Тогда расстояние $d(y, B_r(x))$
от $y$ до шара $B_r(x)$ равно $d(x,y)-r$.}

\дшаг Положим $\alpha:=d(x,y)$.
Рассмотрим путь $\gamma:\;[0, \alpha]\arrow M$, соединяющий
$x$ с $y$ и длины $\alpha+\epsilon$. Пусть 
\[ \lambda:= \sup_t\{t\in [0, \alpha]\ \  |\ \ \gamma(t)\in B_r(x).\}
\]
Обозначим $z:=\gamma(\lambda)$. Поскольку $z$ лежит в замыкании
$M\backslash B_r(x)$ и в замыкании $B_r(x)$, 
имеем $d(z, x)=r$.

{\бф \греен Шаг 2:} По определению, $d(y,z)\geq d(y, B_r(x))$.

{\бф \греен Шаг 3:} $d(y, B_r(x))\geq \alpha -r$
в силу неравенства треугольника. Поэтому
$d(y, B_r(x))=\alpha -r$ следует из $d(y,z) \leq \alpha -r+\epsilon$.

{\бф \греен Шаг 4:}
Поскольку $L_d(\gamma) =\alpha+\epsilon$,
имеем 
\[ 
r+ d(y,z)= d(x,z)+ d(z,y)\leq L_d(\gamma)= \alpha +\epsilon.
\]
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова}

\теорема
Пусть $M$ -- полное, локально компактное пространство с внутренней
метрикой. {\бф \ред Тогда каждый замкнутый шар в $M$ компактен.}

\дшаг
{\бф \пурпле В $\epsilon$-окрестности шара 
$\bar B_{r}(m)$ содержится шар $\bar B_{r+\epsilon}(m)$}
(следует из того, что метрика внутренняя).

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $m\in M$ точка, такая, что шары $B_{r-\epsilon}(m)$
вполне ограниченны для любого $\epsilon >0$. {\бф \пурпле Тогда 
$B_{r}(m)$ тоже вполне ограниченно.} Действительно,
$\frac 1 2\epsilon$-сеть в $B_{r-1/2\epsilon}(m)$
будет $\epsilon$-сетью в $B_{r}(m)$, в силу предыдущего шага.

{\бф \греен Шаг 3:}
Определим функцию на метрическом пространстве\\
$\rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.$
{\бф \пурпле Тогда $\rho$ 1-липшицева}, в частности, непрерывна.

{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\bar B_r(m)$ -- компактный шар в локально
компактном пространстве. Тогда существует $\epsilon>0$ такое, что
{\бф \пурпле 
каждый замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в с центром в $\bar B_r(m)$
компактен.}
Действительно, $\rho$ достигает минимума где-то на $B_r(m)$.

\newpage

{\бф \блуе Теорема Хопфа-Ринова (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $m\in M$ точка, такая, что шары $B_{r-\epsilon}(m)$
вполне ограниченны для любого $\epsilon >0$. {\бф \пурпле Тогда 
$B_{r}(m)$ тоже вполне ограниченно.} Действительно,
$\frac 1 2\epsilon$-сеть в $B_{r-1/2\epsilon}(m)$
будет $\epsilon$-сетью в $B_{r}(m)$, в силу предыдущего шага.

{\бф \греен Шаг 3:}
Определим функцию на метрическом пространстве\\
$\rho(m):= \sup_r \{r \in \R \ \ |\ \ \bar B_{r}(m)\text{\ компактен\ }\}.$
{\бф \пурпле Тогда $\rho$ 1-липшицева}, в частности, непрерывна.

{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\bar B_r(m)$ -- компактный шар в локально
компактном пространстве. Тогда существует $\epsilon>0$ такое, что
{\бф \пурпле 
каждый замкнутый шар радиуса $\epsilon$ в с центром в $\bar B_r(m)$
компактен.}
Действительно, $\rho$ достигает минимума где-то на $B_r(m)$.


{\бф \греен Шаг 5:}
Для такого шара, {\бф \пурпле $\bar B_{r+1/2\epsilon}(m)$ тоже компактен.}
Для доказательства, рассмотрим конечную
$\frac 1 3\epsilon$-сеть в $\bar B_r(m)$. Объединение
замкнутых $\epsilon$-шаров с центрами в этой сети компактно
(конечное объединение компактов компактно) и содержит
$\bar B_{r+1/2\epsilon}(m)$ в силу шага 1.

{\бф \греен Шаг 6:} Из сравнение шага 5 и шага 2 заключаем,
что $\rho=\infty$. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве}


{\bf \green Определение:}
Непрерывное отображение $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$
называется {\bf \blue кратчайшей}, если его длина равна 
$d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$.

{\bf \purple Любой отрезок кратчайшей - снова кратчайшая.}

{\bf \green Определение:}
Если $\phi:\; [0,\alpha] \arrow [0,\alpha]$ -- гомеоморфизм,
а $\gamma$ - путь из $x$ в $y$, композиция 
$\phi \circ\gamma$ - тоже путь из $x$ в $y$.
Такой путь называется {\bf\blue  репараметризацией $\gamma$}.

{\bf \red Параметризация $\gamma$} --  выбор пути в классе
путей, эквивалентных с точностью до репараметризации.

{\bf \green Определение:}
Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая,
соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\]
Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей
геодезической}, а соответствующая параметризация -
{\bf\blue геодезической параметризацией}. 

\замечание
{\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая задается изометрическим
вложением из отрезка в $M$.}


\newpage

{\бф \блуе Существование кратчайших}

\теорема
Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство
с внутренней метрикой а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая
геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.}


\дшаг
Пусть $d(x_0, x_1)=\alpha$.
В силу компактности,
{\бф \пурпле в шаре $\bar B_{\alpha/2}(x_1)$ есть точка $x_{1/2}$ такая, что
$d(x_0, x_{1/2}) = d(x_{1/2}, x_1)= \alpha/2.$}
В самом деле, функция $d(\cdot, x_0):\; \bar B_{\alpha/2}(x_1)\arrow \R$
непрерывная на компакте, значит, достигает минимума,
который равен $d(x_0,\bar B_{\alpha/2}(x_1))= \alpha/2$
потому, что метрика внутренняя.

{\бф \греен Шаг 2:} Воспользовавшись индукцией, для 
каждого двоично-рационального числа 
$\lambda = \frac{n}{2^k}$ в $[0,1]$ {\бф \пурпле найдем 
точку $x_{\lambda}$, такую, что 
$d(x_{\lambda}, x_\mu)=\alpha|\lambda-\mu|.$}

{\бф \греен Шаг 3:} 
Мы получили {\purple\бф изометрическое вложение множества двоично-рациональных
чисел в $M$}. {\bf \red Продолжим на пополнение, получим геодезическую.}
\ендпрооф

\newpage




\end{document}