\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\ендпрооф{\endproof} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Гиперболические группы по Громову\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Гиперболические группы по Громову: \\[3mm] функционал длины} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 21 сентября, 2012\\ НМУ} \end{center} \newpage {\bf \blue Топологические пространства (предполагается известным).} {\ит \пурпле Феликс Хаусдорф, ``Grundz\"uge der Mengenlehre'', 1914} {\bf \green Определение:} Пусть $M$ - множество, а ${\cal U} \subset 2^M$ набор подмножеств, называемых {\bf\blue открытыми}. Тогда ${\cal U}$ {\bf \blue задает топологию} на $M$, если {\red \bf $\bullet$ Любое объединение открытых подмножеств открыто $\bullet$ Конечное пересечение открытых подмножеств открыто $\bullet$ $M$ и пустое множество $\emptyset$ открыты.} Такое $M$ называется {\bf \blue топологическим пространством}. {\bf \green Определение:} {\bf \blue Замкнутым множеством} называется множество, дополнение которого открыто. {\bf \green Определение:} {\bf \blue Базой топологии} на $M$ называется набор ${\cal U}\subset 2^M$ подмножеств $M$, состоящий из открытых множеств, и такой, что любое открытое подмножество $M$ получено из элементов ${\cal U}$ взятием объединений. \newpage {\bf \blue Простейшие понятия топологии (предполагается известным).} {\bf \green Определение:} {\bf \blue Окрестностью} подмножества $Z\subset M$ называется любое открытое множество, содержащее $Z$. {\bf \blue Замыканием} подмножества $Z\subset M$ называется пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих $Z$. {\bf \green Определение:} Отображение $\phi:\; M \arrow N$ называется {\bf \blue непрерывным}, если прообраз любого открытого множества открыт. {\bf \green Определение:} {\bf \blue Пределом} $\{x_i\}$ называется такая точка $x\in M$, что в любой окрестности $x$ содержатся почти все элементы $\{x_i\}$. {\bf \green Определение:} Топологическое пространство $M$ называется {\bf \blue отделимым}, или {\bf \blue хаусдорфовым}, если любые две точки $x\neq y \in M$ имеют непересекающиеся окрестности $U\ni x, V \ni y$. \замечание В дальнейшем, все топологические пространства {\бф \ред по умолчанию предполагаются метризуемыми}. \newpage {\bf \blue Связные топологические пространства.} \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, a $A\subset M$ -- его подмножество, которое открыто и замкнуто. Тогда $A$ называется {\бф \блуе открыто-замкнутым} (clopen). \определение Топологическое пространство $M$ называется {\бф\блуе связным} (connected), если верно одно из равносильных условий \\ 1. {\бф \ред $M$ не содержит открыто-замкнутых подмножеств, кроме $M$ и $\emptyset$.}\\ 2. {\бф \ред $M$ не может быть разбит в объединение двух непересекающихся, непустых, открытых подмножеств.} \упражнение Докажите, что любое {\бф \пурпле связное подмножество отрезка $[0,1]$ -- это отрезок, интервал или полуинтервал.} \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле замыкание $\bar Z$ связного подмножества $Z\subset M$ всегда связно.} \упражнение Пусть $X$ связно, а $f:\; X \arrow Y$ -- непрерывное отображение. {\бф \пурпле Докажите, что $f(X)$ тоже связно.} \следствие Если $f:\; X \arrow \R$ -- непрерывная функция на связном множестве то, {\бф \пурпле $f(X)$ это отрезок, интервал или полуинтервал.} \newpage {\bf \blue Линейно связные топологические пространства.} \определение {\bf \блуе Путем} в топологическом пространстве $M$ называется непрерывное отображение $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$. В этом случае говорится, что путь $\phi$ {\bf \блуе соединяет точки $\phi(a)$ и $\phi(b)$}. $M$ называется {\bf \блуе линейно связным}, если любые две точки $M$ можно соединить путем $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$. \замечание {\бф \ред Из линейной связности следует связность.} Действительно, отрезок $[0,1]$ связен, образ связного множества связен, объединение пересекающихся связных множеств связно. \упражнение Постройте топологическое пространство, которое {\бф \пурпле связно, но не линейно связно.} \упражнение (весьма трудное) {\бф \пурпле Постройте хаусдорфово топологическое пространство $M$, которое связно и счетно.} \замечание Такое пространство не линейно связно; более того, любое отображение из отрезка в $M$ постоянно {\бф \ред (докажите это)}. \newpage {\bf \blue Локально линейно связные топологические пространства.} \определение Топологическое пространство $M$ называется {\бф \блуе локально связным (локально линейно связным),} если каждая окрестность точки $x\in M$ содержит связную (линейно связную) окрестность $x$. \определение {\бф \блуе Компонента связности (линейной связности)} точки $x$ в топологическом пространстве есть объединение всех связных (линейно связных) подмножеств, содержащих $x$. \определение Пусть $X$, $Y$ -- топологические пространства. {\бф \блуе Несвязное объединение} $X \coprod Y$ есть объединение непересекающихся множеств, отождествляемых с $X$ и $Y$, с базой топологии, которая состоит из открытых множеств $X$ и $Y$. \утверждение Каждое локально связное (локально линейно связное) пространство {\бф \ред является несвязным объединением своих компонент связности (линейной связности).} \упражнение Докажите это. \newpage {\bf \blue Метрические пространства.} {\bf \blue Определение:} Пусть $M$ - множество. {\bf \green Метрикой} на $M$ называется функция $d:\; M\times M\arrow \R^{\geq 0}\cup \infty$, удовлетворяющая следующим условиям\\ * {\бф \ред [Невырожденность:]}\ \ $d(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$.\\ * {\бф \ред [\red Симметричность:]}\ \ $d(x,y)=d(y,x)$\\ * {\бф \ред [\red Неравенство треугольника:]}\ \ $d(x,y) \leq d(x, z) + d(z,y)$ \\ для любых точек $x,y,z\in M$. \определение Если $x\in X$ -- точка, а $\epsilon$ -- вещественное число, множество $B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \ | \ \ d(x,y)< \epsilon$ называется {\bf\блуе (открытый) шар радиуса $\epsilon$ с центром в $x$}, или {\bf \блуе $\epsilon$-шар}. {\бф \блуе Замкнутый шар} это $\overline B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \ | \ \ d(x,y)\leq \epsilon\}.$ \определение {\бф \блуе Открытое множество} в метрическом пространстве $M$ есть объединение открытых шаров. \упражнение {\бф \пурпле Докажите, что это задает топологию на $M$.} \newpage {\bf \blue Допустимые пути.} \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство. Говорится, что на $M$ {\бф \блуе задан класс допустимых путей}, если задано множество путей $[a,b] \arrow M$ такое, что 1. Для любых двух путей $[a,b] \stackrel {\gamma_1}\arrow M$ и $[b,c] \stackrel {\gamma_2}\arrow M$, удовлетворяющих $\gamma_1(b)=\gamma_2(b)$, путь $\gamma:\; [a,c]\arrow M$, равный $\gamma_1$ на $[a,b]$ и $\gamma_2$ на $[b,c]$, тоже допустим. Такая операция называется {\бф \блуе "склейка путей".} 2. {\бф \блуе (замена параметра)} Если $\phi:\; [a,b]\arrow [c,d]$ -- линейное отображение, а путь $\gamma:\; [c,d]\arrow M$ допустим, путь $\phi\circ\gamma$ тоже допустим. 3. {\бф \блуе Ограничение:} Для каждого пути $[a,b] \stackrel {\gamma}\arrow M$, и отрезка $[c,d]\subset [a,b]$, ограничение $\gamma|_{[c,d]}$ -- тоже допустимый путь. \newpage {\bf \blue Допустимые пути (примеры).} \пример {\бф \блуе Кусочно-линейные пути} (ломаные) в $\R^n$ образуют допустимый класс путей. \пример {\бф\блуе Кусочно-полиномиальный путь} получен склейкой конечного числа путей $\gamma_i:\; [x_i, x_{i+1}]$, заданных полиномиальными отображениями. {\бф \пурпле Кусочно-полиномиальные пути в $\R^n$ образуют допустимый класс путей.} \пример {\бф\блуе Кусочно-гладкий путь} получен склейкой конечного числа путей $\gamma_i:\; [x_i, x_{i+1}]$, заданных гладкими отображениями. {\бф \пурпле Кусочно-гладкие пути в $\R^n$ образуют допустимый класс путей.} \определение {\бф \блуе $C$-Липшицево отображение} есть отображение метрических пространств $\phi:\; M \arrow M'$, удовлетворяющее $Cd(x,y) \geq d(\phi (x), \phi(y))$. {\бф \блуе Липшицево отображение} есть $C$-липшицево с какой-то константой $X$. \пример {\бф \блуе Липшицевы пути} образуют допустимый класс. \newpage {\bf \blue Функционал длины.} \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное допустимым классом путей. Функционал $L(\gamma)$, отображающий допустимые пути в числа, называется {\бф\блуе функционалом длины}, если он удовлетворяет следующим условиям. 1. {\бф \блуе (аддитивность длины)} Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, и любого $b\in [a,c]$, {\бф \пурпле $L(\gamma)=L(\gamma|_{[a,b]})+ L(\gamma|_{[b,c]})$,} где $\gamma|_{[c,d]}$ обозначает {\бф \блуе ограничение пути,} то есть функции $\gamma:\; [a,b]\arrow \R$ на отрезок $[c,d]\subset [a,b]$. 2. {\бф \блуе (непрерывность длины пути как функции от координат концов)} Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, {\бф \пурпле функция $L(\gamma\restrict{[a,b]})$ непрерывно зависит от $b\in [a,c]$.} 3. {\бф \блуе Замена параметра:} Если $\phi:\; [a,b] \arrow [c,d]$ -- гомеоморфизм отрезков, а $\gamma:\; [c,d] \arrow M$ и $\phi\circ \gamma:\; [a,b] \arrow M$ -- допустимые пути, то {\бф \пурпле $L(\gamma)= L(\phi \circ \gamma)$.} 4. {\бф \блуе (длина пути согласована с топологией)} Пусть $Z$ -- замкнутое подмножество $M$, а $x\notin Z$ точка, не лежащая на $Z$. Тогда {\бф \пурпле существует число $\epsilon >0$ такое, что любой путь, соединяющий $x$ с какой-то точкой $Z$, имеет длину $\geq \epsilon$.} \невпаге {\bf \blue Метрика, построенная по функционалу длины.} \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное классом допустимых путей и функционалом длины. {\бф \блуе Внутренняя метрика $d_L:\;M\times M \arrow \R^{\geq 0}$} определяется как $d_L(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где инфимум берется по всем путям, соединяющим $x$ и $y$. \утверждение {\бф \ред Это метрика.} \доказательство {\бф \пурпле Симметричность $d_L$ следует из замены параметра $t \arrow (b-t)+a$} в пути $\gamma:\; [a, b]\arrow M$ (из пути, соединяющего $a$ и $b$, получаем путь, соединяющий $b$ и $a$, той же длины). {\бф \пурпле Положительность $d_L(x,y)$, $x\neq y$ следует из условия 4, примененного к $Z=y$.} В самом деле, существует такое $\epsilon>0$, что любой путь, соединяющий $x$ и $Z$, имеет длину $\geq \epsilon$. {\bf \purple Неравенство треугольника доказывается через склейку путей}. Пусть $\gamma_1$ -- путь, соединяющий $x$ и $y$, длины $d_L(x,y)+\epsilon$, а $\gamma_2$ -- путь, соединяющий $y$ и $z$, длины $d_L(y,z)+\epsilon$. Склеив $\gamma_1$ и $\gamma_2$, получим путь $\gamma$, соединяющий $x$ и $z$, длины $d_L(x,y)+ d_L(y,z)+2\epsilon$, что дает $d_L(x,y)+d_L(y,z) \geq d_L(x,z) + 2\epsilon$. \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Примеры функционала длины.} \пример $M=\R^n$ с обычной топологией, класс допустимых путей - кусочно-линейные пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, а длина пути определяется формулой $L(\gamma)=\sum |d(x_i,x_{i+1})|$ {\бф \блуе ("длина ломаной").} \утверждение Построенная по этому функционалу метрика $d_L$ равна обычной метрике. Действительно, {\бф \пурпле самая короткая ломаная, соединяющая две точки -- это отрезок прямой.} \пример {\бф \блуе "переход болота" (конформно плоская метрика):} $M=\R^n$, класс допустимых путей - кусочно-линейные пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, $f:\; \R^n \arrow \R^{>0}$ непрерывная, положительная функция, а длина пути определяется формулой \[ L(\gamma)=\sum \int_{[x_i, x_{i+1}]} f \] (интеграл от $f$ по отрезку $[x_i, x_{i+1}]$). \упражнение Проверьте, что это функционал длины. \невпаге {\bf \blue Финслерова метрика.} \пример {\bf \blue Длина кусочно-гладкого пути} $\gamma:\; [a,b]\arrow \R^n$ с евклидовой метрикой вычисляется по формуле $L(\gamma(t)):= \int_a^b |\gamma'(t)| dt$ \упражнение Докажите, что это функционал длины, и {\бф \ред соответствующая метрика $L_d$ -- обычная, плоская.} \пример {\бф \блуе "Финслерова метрика"} Пусть $U\subset \R^n$ открытое подмножество, а $\nu_x:\; Tx\R^n\arrow \R$ -- норма на касательном пространстве, непрерывно зависящая от $x$. Для кусочно-гладкого пути $\gamma:\; [a,b]\arrow U$, определим \[ L_\nu(\gamma(t)):= \int_a^b \nu_{\gamma(t)}(\gamma'(t)) dt \] \утверждение {\бф \ред Это функционал длины.} \доказательство {\bf \purple Аддитивность} и {\bf \purple непрерывность} $L$ очевидны. {\бф \пурпле Чтобы доказать согласованность с топологией,} выберем такую константу $\delta$, что $\nu_x(v) \geq \delta |v|$ в замкнутом $V\ni х$, не пересекающем $Z$. {\бф \ред Тогда каждый путь $\gamma$, соединяющий $x$ и границу $\partial V$, удовлетворяет $L_\nu(\gamma) \geq \delta L(\gamma)$,} где $L$ -- длина $\gamma$ в евклидовой метрике. Но $L(\gamma) \geq d(x, \partial V)$, а это число положительно, так как $\partial V$ замкнуто. \невпаге {\bf \blue Финслерова метрика и риманова метрика.} {\бф \пурпле Инвариантность $L_\nu$ при репараметризации} следует из формулы \begin{multline*} L_\nu(\phi\circ\gamma)=\int_a^b \nu_{\gamma(\phi(t))}(\phi\circ\gamma)'(t) dt=\\= \int_a^b \nu_{\gamma(\phi(t))}(\phi'(t)\gamma'(\phi(t)) dt= \int_a^b \phi'(t)\nu_{\gamma(\phi(t))}(\gamma'(\phi(t)) dt =\\ = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} \nu_{\gamma(\phi(t))}(\gamma'(\phi(t)) d\phi(t) = L_\nu(\gamma) \end{multline*} \endproof \определение {\бф \блуе Финслерова метрика} на $U$ определяется как внутренняя метрика, определенная функционалом длины $L_\nu$. \определение Пусть $U\subset \R^n$ -- открытое подмножество, а норма $\nu_x:\; T_x\R^n\arrow \R$ задается формулой $\nu_x(v) = \sqrt{g_x(v,v)}$, где $g_x\in \Sym^2 T_x^* \R^n$ -- положительно определенное скалярное произведение, заданное гладким отображением $U \arrow \Sym^2 \R^n= \Sym^2 T_x^*\R^n$. В такой ситуации $g_x$ называется {\бф\блуе римановой формой} на $U$, а соответствующая внутренняя метрика {\бф\блуе внутренней метрикой} на $U$. \невпаге {\bf \blue Спрямляемые пути.} \определение Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение отрезка $[a,b]= [a,х_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$ Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим $L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).$ Определим {\бф\блуе длину пути} $\gamma$ формулой \[ L_d(\gamma):= \sup_{a