\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   21.11.2012

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   21.11.2012}
\newcommand{\firstdate}{22.11.2012}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{9}{Гиперболические группы 9: Пространства, гиперболичные по Громову}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом  
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 21 дней после выдачи,
1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$\delta$-тонкие треугольники}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\замечание
В этом разделе, все метрические пространства предполагаются
по умолчанию наделенными строго внутренней 
метрикой (внутренней с кратчайшими). Кратчайшие
же предполагаются наделенными геодезической
параметризацией.
\еза

\определение
{\бф Геодезический треугольник} $\triangle(abc)$  в метрическом
пространстве есть треугольник, составленный из трех 
вершин $a,b,c$, соединенных кратчайшими, которые я буду
обозначать за $[a,b],[b,c]$ и $[c,a]$.
{\бф Талия} треугольника есть супремум
расстояния от точки $z$, лежащей на одной из сторон,
до объединения двух других. Треугольник называется
{\бф $\delta$-тонким (по Рипсу)}, если его талия не больше $\delta$.
Иначе говоря, каждая сторона такого треугольника лежит в $\delta$-
окрестности двух других.
\ео
\centerline{\epsfig{file=tonkij-treugoln.eps,width=0.25\linewidth}}


\определение
Метрическое пространство $X$ со строго внутренней метрикой
называется {\бф $\delta$-гиперболическим},
если все геодезические треугольники $\delta$-тонкие.
Будем говорить, что $X$ {\бф гиперболично}, если оно
$\delta$-гиперболично для какой-то константы $\delta$.
\ео

\замечание
\label{_hyperbo_dependency_from_delta_Zamechanie_}
Есть много разных определений гиперболичности.
При этом, величина константы $\delta$ не имеет значения; когда говорят
<<определение А гиперболичности эквивиалентно определению Б>>
это значит, что для какого-то числа $C>0$ из
$\delta$-гиперболичности в смысле А следует
$C\delta$-гиперболичность в смысле Б, а из
$\delta$-гиперболичности в смысле Б следует
$C\delta$-гиперболичность в смысле А.
\еза

\замечание
Немного погодя, я определю $\delta$-гиперболичность для
произвольных метрических пространств (не обязательно
с внутренней метрикой). Определение с тонкими треугольниками
по Рипсу станет частным случаем более общего, эквивалентным ему
(в смысле замечания \ref{_hyperbo_dependency_from_delta_Zamechanie_}).
\еза

\определение
{\бф Дерево} есть связный метрический граф с тривиальной
фундаментальной группой.
\ео

\задача
Докажите, что дерево 0-гиперболично.
\ез

\определение
Пусть $\phi:\; X\arrow Y$ -- отображение метрических пространств.
{\бф Кодиаметр} $\codiam\phi$ определяется формулой
\[ \codiam(\phi):=\sup_{x,y\in X} |d(x,y)-d(\phi(x),\phi(y))|.\]
Он измеряет то, насколько $\phi$ отличается от изометрии.
\ео

\определение
\label{_model_triangle_Opredelenie_}
Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический треугольник.
Определим {\бф модельный 0-ги\-пер\-болический треугольник}
$\triangle(\bar a\bar b \bar c)$  как дерево с тремя вершинами\\
\centerline{\epsfig{file=triskelion-model.eps,width=0.45\linewidth}}\\
и тремя ребрами, соединенными в четвертой вершине,
таким образом, что соответствующие расстояния равны:
$|ab|=|\bar a\bar b|$, $|ac|=|\bar a\bar c|$, $|bc|=|\bar b\bar c|$.
\ео

\задача
\енум
\итем 
Постройте отображение $\Psi$ из точек 
(вершин и сторон) треугольника $\triangle(abc)$
в  $\triangle(\bar a\bar b \bar c)$, задающее
изометрию на каждой стороне и переводящее вершины
в соответствующие им вершины.

\итем Докажите, что такое $\Psi$ единственно.
\ее
\ез

\задача
Пусть $\triangle(abc)$ -- треугольник, а $b'\in[ab]$,
$c'\in[ac]$ -- точки на его сторонах.
\енум
\итем Пусть $|b'c'|<\delta$. Докажите, что $||ab'|-|ac'||<\delta$.
\итем Пусть $d(b',[ac])<\delta$, а $|ac'|=|ab'|$. Докажите, что 
$|b'c'|<2\delta.$
\ее
\ез

\указание
Выведите б из а.
\еу

\задача\label{_tonkij_v_modelnoe_Zadacha_}
Пусть треугольник $\triangle(abc)$ $\delta$-тонкий, а 
$\Psi:\;\triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$
-- отображение в модельный треугольник, построенное выше. Докажите, что
$\codiam\Psi\leq 2\delta$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\определение
Треугольник $\triangle(abc)$ называется {\бф $\delta$-тонким по Громову},
если отображение $\Psi$ в модельный треугольник имеет кодиаметр $\leq \delta$.
\ео

\задача[!]
Докажите, что из $\delta$-тонкости по Громову следует
$\delta$-тонкость по Рипсу, а из $\delta$-тонкости по Рипсу
следует $2\delta$-тонкость по  Громову.
\ез


\определение
Треугольник называется $\delta$-вырожденным, если 
две его стороны находятся в $\delta$-окрестности третьей.
\ео

\задача[*]
Пусть $X$ -- $\delta$-гиперболическое пространства а
$a'$ -- точка на стороне $[bc]$ треугольника
$\triangle(abc)$. Докажите, что треугольник
$\triangle(aba')$ либо треугольник $\triangle(aca')$ --
$2\delta$-вырожденный.
\ез

\задача[*]
Пусть $X$ -- $\delta$-гиперболическое пространство,
а одна из сторон треугольника $\triangle(abc)$ не больше $\delta$.
Докажите, что $\triangle(abc)$ -- $2\delta$-вырожденный.
\ез

\задача[!]
Докажите, что пространство Лобачевского $\delta$-гиперболично,
для какого-то $\delta>0$.
\ез

\NewVedomost

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Гиперболические группы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $G$ -- группа.
Множество $S\subset G$ называется {\бф набором
образующих}, если все элементы $G$ выражаются
через произведения элементов $x_i, x_j^{-1}$, для
каких-то $x_i, x_j \in S$. Каждое такое произведение
называется {\бф словом} от $x_i, x_j^{-1}$.
В дальнейшем, мы будем предполагать по умолчанию,
что любой набор образующих $S$ содержит $x^{-1}$
вместе с каждым $x\in S$.
\ео

\определение
Пусть $G$ -- группа, а $S\subset G$ -- набор
образующих. {\бф Граф Кэли $G$} есть метрический граф,
полученный следующим образом.  Вершины графа Кэли
суть элементы $G$, а ребра соединяют две вершины $g, g'$,
если $g'=gs$, где $s\in S$. Длины всех ребер графа Кэли
равны 1.
\ео

\определение
Группа $G$ называется {\бф свободной},
если это фундаментальная группа букета окружностей.
{\бф Образующие} свободной группы заданы путями обхода
вокруг этих окружностей.
\ео

\определение
Группа с заданной системой образующих 
называется {\бф гиперболичной по Громову}, если
ее граф Кэли $\delta$-гиперболичен, для какого-то $\delta$.
\ео

\задача
Докажите, что свободная группа гиперболична.
\ез

\определение
{\bf Свободное произведение} $(\Z/n_1\Z)* (\Z/n_2\Z)* ... *(\Z/n_k\Z)$
есть фактор свободной группы от $k$ образующих $x_1, ..., x_k$
по минимальной нормальной подгруппе, содержащей 
$x_1^{n_1}, x_2^{n_2}, ..., x_k^{n_k}$.
\ео

\задача
Докажите, что $(\Z/2\Z)* (\Z/2\Z)$ гиперболична.
\ез

\задача[*]
Докажите, что $(\Z/2\Z)* (\Z/2\Z)*...*(\Z/2\Z)$ гиперболична.
\ез

\задача
Докажите, что $\Z^n$ с обычным набором образующих негиперболична.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство, а $\pi_1(M)$
свободнa. Докажите, что универсальное накрытие $M$ гиперболично.
\ез

\задача[*] Пусть $X$ -- компактное метрическое пространство,
универсальное накрытие которого есть пространство Лобачевского.
Докажите, что группа $\pi_1(X)$ гиперболична по Громову.
\ез





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Громовское произведение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $X$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой $p$.
Для обозначения расстояния $d(a,b)$ будет в дальнейшем
использоваться $|ab|$. {\бф Громовское произведение}
$(a,b)_p$ есть $1/2(|ap|+|bp|-|ab|)$. Это число, которое
измеряет отклонение неравенства треугольника от равенства.
\ео

\задача
\label{_Gromov_bigger_than_dist_to_geodesic_Zadacha_}
Пусть $[a,b]$ -- кратчайшая. Докажите, что $(a,b)_p \leq d(p,[ab])$.
\ез

\задача
Пусть $(a,b)_p=0$. Следует ли из этого $p\in[ab]$?
\ез

\задача
Пусть треугольник $\triangle(abp)$ $\delta$-тонкий,
а $c$ -- точка на стороне $[ab]$.
В силу тонкости, существует точка $c'$ на другой стороне $\triangle(abp)$,
которая отстоит от $c$ не больше чем на $\delta$. Для
определенности, предположим, что $c'$ лежит на $[pa]$.
Докажите, что $(c,a)_p<2\delta+ |pc|$.
\ез

\указание
Убедитесь, что $(c,a)_p-(c',a)_p|<2\delta$.
\eu


\задача[!]
\label{_dista_from_side_Zadacha_}
Пусть треугольник $\triangle(abp)$ $\delta$-тонкий. Докажите, что
\[d(p,[ab])\leq (a,b)_p\leq d(p,[ab])+2\delta.\]
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей, применив ее к $c$,
которая является ближайшей точкой к $p$ на кратчайшей
$[ab]$.
\еу



\задача
Пусть $X$ 0-гиперболично. Докажите, что $(a,b)_p=d(p,[ab])$.
\ез


\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_tonkij_v_modelnoe_Zadacha_}.
\еу
 
\определение
Пусть $(X,p)$ -- множество с отмеченной точкой.
Легко видеть, что расстояние на $X$ можно определить в терминах
громовского произведения $(a,b)_p$, потребовав выполнение 
недлинного списка аксиом. Говорится, что функция 
$(\cdot,\cdot)_p:\; X\times X\arrow \R^{\geq 0}$ {\бф удовлетворяет
аксиомам громовского произведения}, если выполнены следующие условия.
\begin{description}
\item[симметричность:] $(a,b)_p=(b,a)_p$.
\item[невырожденность:] $(a,a)_p=(a,b)_p=(b,b)_p$ \ $\Leftrightarrow$
$a=b$.
\item[неравенство треугольника] $(a,b)_p+(b,c)_p\leq (a,c)_p+(b,b)_p$.
\end{description}
\ео

\задача
\label{_Gromov_product_metrika_Zadacha_}
\енум \итем
Пусть дана функция, удовлетворяющая аксиомам громовского произведения.
Докажите, что $d(a,b):=(a,a)_p + (b,b)_p -2(a,b)_p$ - метрика на $X$.
\итем Докажите, что в отсутствии второго условия ("невырожденности"),
эта формула задает полуметрику.
\ее
\ез

\задача[!]
\label{_0-hyperbo_derevo_Zadacha_}
Пусть $X$ -- 0-гиперболическое пространствo с отмеченной точкой $p$. 
Рассмотрим объединение отрезков $[\bar p, \bar x]$ длины $|px|$,
где $x\in X$ пробегает все точки $X$, и склеим $[\bar p,\bar x]$ 
с $[\bar p,\bar y]$ по отрезку, начинающемуся с $\bar p$, длины 
$d(p,[xy])$.
\енум
\итем Докажите, что полученный граф является деревом.
\итем Докажите, что это дерево изометрично $X$.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\замечание
Из этой задачи следует, 
что каждое 0-гиперболическое пространство со строго внутренней
метрикой изометрично дереву.
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Неравенство Громова}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Следующее неравенство, как будет доказано в скором времени,
равносильно $\delta$-ги\-пер\-бо\-лич\-ности.

\определение
Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой, а $a,b,c\in X$. {\бф Неравенство Громова} есть неравенство
на попарные громовские произведения:
\[
(a,b)_p\geq \min\left[(a,c)_p,(b,c)_p\right]-\delta.
\]
Когда нужно обозначить, о каком конкретно $\delta$ идет
речь, я буду говорить {\бф $\delta$-не\-ра\-вен\-ство Громова.}
\ео

\задача
\label{_Gromova_picture_Zadacha_}
Докажите, что неравенство Громова равносильно следующему
условию:
\[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|,
   |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)>-\delta.
\]
\centerline{\epsfig{file=gromov-inequa.eps,width=0.35\linewidth}}
\ез


\задача 
\label{_Gromov_0_product_Zadacha_}
Пусть в метрическом пространстве $X$
выполнено неравенство Громова для $\delta=0$.
Докажите, что для любых $a,b,c\in X$, в тройке
$(a,b)_p, (a,c)_p, (b,c)_p$ какие-то два числа равны,
а третье $\leq$ первых двух.
\ез

\задача
Пусть в $(X,p)$ выполнено $\delta$-неравенство Громова. 
\енум
\итем Докажите, что
для любых $t,x,y,z\in X$ выполнено
\[
(t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p,
2 (y,z)_p\right]\geq -2 \delta
\]
и
\[
(t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p,
2 (x,t)_p\right]\geq -2 \delta.
\]
\итем
Докажите, что 
\[
(t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p,
(y,z)_p+(x,t)_p\right]\geq -2 \delta.
\]
\ее
\ез
\указание
Попробуйте вывести (б) из (а).
\еу

\задача
Докажите, что 
\[ (t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p,
(y,z)_p+(x,t)_p\right]= (t,y)_x-\min\left[(t,z)_x,(y,z)_x\right].
\]
\ез
\указание 
Воспользуйтесь задачей \ref{_Gromova_picture_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
Предположим, что в $(X,p)$ выполнено $\delta$-неравенство
Громова. Докажите, что для любого выбора отмеченной
точки $p'$, в $(X,p')$ выполнено $2\delta$-неравенство
Громова.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущими двумя задачами.
\еу


\задача
Выведите из неравенства Громова для $\delta=0$
единственность кратчайших.
\ез

\указание
Возьмите две кратчайшие, соединяюще $a$ и $p$, пусть
$b,c$ -- их середины; примените неравенство Громова
для $a,b,c,p$ и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть в метрическом пространстве $X$ со строго внутренней метрикой
выполнено неравенство Громова для $\delta=0$, $a.b\in X$,
а $c$ -- точка на кратчайшей $[a,b]$.
\енум
\итем Докажите, что $(a,c)_p=0$ либо $(b,c)_p=0$.
\итем Докажите, что $c$ лежит на $[ab]$ либо на $[ac]$.
\ее
\ез
\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_Gromov_0_product_Zadacha_}.
\еу

\задача
Пусть в метрическом пространстве $X$ со строго внутренней метрикой
выполнено неравенство Громова для $\delta=0$.
Докажите, что $d(p,[a,b])=(a,b)_p$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $(X,p)$ -- пространство со строго внутренней
метрикой, в котором выполнено неравенство Громова
для $\delta=0$. Докажите, что это дерево.
\ез

\указание
Постройте отображение в дерево, как в задаче
\ref{_0-hyperbo_derevo_Zadacha_}, и примените предыдущую
задачу и задачу \ref{_Gromov_product_metrika_Zadacha_}, 
чтобы убедиться, что это изометрия.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Аппроксимационное дерево}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
В этом разделе не все метрические пространства
предполагаются наделенными внутренней метрикой.
\еза

\задача[!]
Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой. Для набора точек \[ S=\{x=x_0,x_1, ..., x_n,x_{n+1}=y\} \subset X,\]
обозначим за $L_S(x,y):=\min_i (x_i,x_{i+1})_p$.
Определим функцию $(x,y)'_p:=\sup_S L_S(x,y)$,
где супремум берется по всем множествам $x_1, ..., x_n \in X$.
Пусть $d'(x,y)=d(x,p)+d(y,p)-2 (x,y)'_p$.
\енум
\итем Докажите, что $d(x,y)\geq d'(x,y)\geq 0$.
\итем  Докажите, что $(x,y)'_p$ удовлетворяет
0-неравенству Громова: \[ (a,b)_p'\geq
\min\left[(a,c)_p',(b,c)_p'\right].\]
\итем Докажите, что для любых 
$a,b,c$ выполнено 
\begin{equation}\label{_triangle_ineq_for_product_Equation_}
(a,b)'_p+(b,c)'_p\leq (a,c)'_p+(b,b)'_p
\end{equation}
\итем Докажите, что $d'$ -- полуметрика.
\ее
\ез

\указание
Для доказательства \eqref{_triangle_ineq_for_product_Equation_},
выведите из 0-неравенства Громова неравенства
$(a,b)'_p\leq (b,b)'_p$, $(c,b)'_p\leq (b,b)'_p$,
и убедитесь, что либо $(a,b)'_p+(b,c)'_p\leq (a,c)'_p+(b,c)'_p$,
либо $(a,b)'_p+(b,c)'_p\leq (a,c)'_p+(a,b)'_p$.
Для доказательство того, что $d'$ полуметрика,
воспользуйтесь \eqref{_triangle_ineq_for_product_Equation_}
и задачей \ref{_Gromova_picture_Zadacha_}.
\еу

\задача
Обозначим за $X_{tr}$ метрическое пространство,
полученное из построенной выше полуметрики $(X,d')$
склеиванием точек $d'(x,y)=0$. Докажите, что $X_{tr}$
это дерево, а тавтологическое отображение 
$(X,d)\stackrel \nu \arrow X_{tr}$ 1-липшицево и удовлетворяет
$|px|=d'(\nu(p),\nu(x))$.
\ез

\определение
Пространство $(X_{tr}, d')$ называется {\бф
аппроксимационным деревом} для $X$.
\ео

\задача
Предположим, что в метрическом пространстве $X$ выполнено
следующее "неравенство мультигромова":
\begin{equation}\label{_multigromov_Equation_}
(x,y)_p\geq \min_i ((x_i, x_{i+1})_p)-\delta'
\end{equation}
Докажите, что тавтологическое отображение
$(X,d)\stackrel \nu \arrow X_{tr}$ имеет кодиаметр $\leq
\frac 1 2 \delta$.
\ез

\задача[!]
Пусть $(X,p)$ -- конечное метрическое пространство,
в котором $2^k+2$ точки, и выполнено $\delta$-неравенство
Громова. Докажите, что в $X$ выполнено неравенство
\eqref{_multigromov_Equation_} для $\delta'=k\delta$.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Неравенство Громова и тонкие треугольники}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство со строго внутренней
метрикой, в котором выполнено $\delta$-неравенство Громова, а
$a',b'$ -- точки на сторонах $[ca]$, $[cb]$ 
треугольника $\triangle(cab)$. Рассмотрим пространство
$Y$ из 5 точек $(c,a,b,a',b')$, и пусть 
$\nu:\; Y \arrow Y_{tr}$ -- отображение
на аппроксимационное дерево.
\енум
\итем Докажите, что $\codiam\nu\leq 2\delta$.
\итем Пусть $Y_{tr}^0$ -- минимальное связное под-дерево $Y$,
содержащее $\nu(a),\nu(b),\nu(c)$. 
Докажите, что $Y_{tr}^0$ изометрично дереву
с четырьмя вершинами (одной центральной и три по бокам),
длины сторон которого отличаются от длин сторон
модельного деревa $\triangle(\bar a\bar b\bar c)$
(Определение
\ref{_model_triangle_Opredelenie_}) не больше чем на $2\delta$.

\итем Пусть $\mu:\; \triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar
b\bar c)$ -- отображение в модельный треугольник.
(Определение \ref{_model_triangle_Opredelenie_}).
Докажите, что
\[ |d(\mu(a'),\mu(b'))-d(\nu(a'),\nu(a'))|<2\delta,\]
и \[ |d(a',b')-d(\nu(a'),\nu(a')|<2\delta.\]

\итем
Выведите из этого, что  $\codiam \mu \leq 4\delta$
\ее 
\ез

\задача[!]
Пусть $X$ -- метрическое пространство со строго внутренней
метрикой, в котором выполнено $\delta$-неравенство
Громова.  Докажите, что $X$ $4\delta$-гиперболично.
\ез

\задача
Пусть $\triangle(abc)$ -- $\delta$-тонкий треугольник.
Докажите, что $(a,b)_p-(a,c)_p \geq
d(p,[a,b])-d(p,[a,c])-2\delta$.
\ез

\указание Воспользуйтесь задачей \ref{_dista_from_side_Zadacha_}.
\еу

\задача
Пусть $\triangle(abc)$ -- $\delta$-тонкий треугольник,
а $p'$ -- точка на стороне $[a,b]$, ближайшая к $p$.
Предположим для определенности, что она лежит в 
$\delta$-окрестности $[ac]$. 
\енум
\итем Докажите, что $d(p,[a,b])-d(p,[a,c])\geq -\delta$.
\итем Докажите, что  $(a,b)_p-(b,c)_p\leq -3\delta$.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $\triangle(abc)$ -- $\delta$-тонкий треугольник.
Докажите, что \[ (a,b)_p\geq \min((a,c)_p,(b,c)_p)-3\delta.\]
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\замечание
Определим {\бф пространство, гиперболичное по
Громову} как метрическое пространство $(X,p)$ с отмеченной
точкой, в котором выполнено $\delta$-неравенство Громова для какого-то
$\delta$. В силу доказанного выше, это определение
равносильно определению через тонкие треугольники 
("эквивалентность" следует понимать в смысле 
Замечания \ref{_hyperbo_dependency_from_delta_Zamechanie_}).
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Гиперболическая граница}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $X$ -- гиперболическое пространство.
Скажем, что  {\бф последовательность $\{x_i\}$ 
сходится на бесконечности}, если 
\[ \lim\limits_{i,j\rightarrow\infty}(x_i,x_j)_p = \infty.
\]
\ео

\задача[*] 
Пусть $\{x_i\}, \{y_i\}$ -- последовательности в гиперболическом
пространстве. Напишем $\{x_i\}\sim \{y_i\}$, если
последовательность $x_1,y_1, x_2, y_2, x_3, y_3, ...$
сходится. Докажите, что это отношение эквивалентности.
\ез

\определение
Множество $\6 X$ классов эквивалентности последовательностей,
сходящейся на бесконечности, называется {\бф гиперболической
границей}.
\ео

\задача[*]
Рассмотрим слабейшую топологию в $X \cup \6 X$, индуцирующую
топологию на $X$, в которой сходящиеся на бесконечности
последовательности сходятся к соответствующей точке $\6 X$.
Докажите, что эта топология хаусдорфова, а $X$ плотно в $\6 X$.
\ез

\задача[*]
Пусть $d$ -- максимальная метрика на $\6 X$, удовлетворяющая условию
$d(\{x_i\},\{y_i\}) \leq k^{-1}$ для $\lim_i (x_i, y_i)_p \geq 2^k$.
Докажите, что $d$ задает метрику на $\6 X$, согласованную с
топологией, заданной выше.
\ез

\задача[**]
Докажите, что пространство $(\6 X, d)$ полно.
\ез

\задача[**]
Пусть $X$ -- полное риманово многообразие, которое 
гиперболично по Громову. Докажите, что $\6 X$ компактно.
Докажите, что $\6 X$ непусто, если $X$ некомпактно.
\ез



\end{document}
