\documentclass[8pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   18.10.2012
%version 1.0,\ \   16.11.2012 Саша Ананьин прислал очепятки

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   16.11.2012}
\newcommand{\firstdate}{22.11.2012}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{8}{Гиперболические группы 8: теорема Картана-Адамара}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или  2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом  
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 21 дней после выдачи,
1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Выпуклые функции и CAT(0)-пространства.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\замечание
Все метрические пространства предполагаются
по умолчанию наделенными строго внутренней 
метрикой (внутренней с кратчайшими). Кратчайшие
же предполагаются наделенными геодезической
параметризацией.
\еза

\определение
Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве
$(M,d)$. Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается
метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой.
{\бф Треугольник сравнения} 
$\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник
в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$,
и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$,
и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, 
существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности).
\ео


\определение
\label{_funkcii_sravneniya_Opredelenie_}
Пусть $a,b,c$ -- точки в пространстве $(M,d)$ со строго 
внутренней метрикой,
а $\gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow M$ -- кратчайшая с геодезической
параметризацией, соединяющая точки $(a,b)$.
Рассмотрим функцию $d_c:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$, 
переводящую $t$ в $d(c,\gamma(t))$.
Пусть 
$\triangle(\bar a,\bar b, \bar c)\subset \R^2$ --
треугольник сравнения, 
а $d_{\bar c}:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$ --
функция, переводящая $t$ в $d(\bar c, \bar \gamma(t))$,
где $\bar \gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^2$ обозначает
сторону треугольника сравнения с нормальной
параметризацией. Функция $d_{\bar c}$
называется {\бф функцией сравнения}.
Пространство $M$ называется {\бф пространством
неположительной кривизны в целом}, если
для любых $a,b,c$, функция сравнения удовлетворяет
неравенству $d_c\geq d_{\bar c}$ (соответственно, 
$d_c\leq d_{\bar c}$). Пространство $M$ называется 
{\бф пространством Александрова неположительной кривизны}, если
у каждой точки есть окрестность неположительной 
кривизны в целом. Пространства 
неположительной кривизны в целом также называются 
{\бф CAT(0)-пространствами}.
\ео


\определение
Подмножество $U\subset M$ метрического пространства
называется {\бф выпуклым}, если для любых
точек $x,y\in U$, любая кратчайшая, соединяющая
$x$ и $y$, содержится в $U$.
{\бф Граница} $U$ есть множество $\bar U\cap
\overline{(M\backslash U)}$,
полученное как пересечение замыкания  $U$
и его дополнения. Выпуклое
подмножество {\бф строго выпукло},
если его граница не содержит нетривиальных
кратчайших.
\ео

\задача
Докажите, что функция $\phi:\; [0,a]\arrow \R$
выпукла тогда и только тогда, когда
$\{(x,y)\ \ |\ \ y\geq \phi(x)\}$ -- выпуклое
подмножество в $\R^2$.
\ез

\задача
\label{_vypuklo_sere_Zadacha_}
Пусть $f:\; [0,a]\arrow \R$ -- непрерывная
функция, которая удовлетворяет
$f\left(\frac{x+y}2\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}2$.
Докажите, что $f$ выпукла.
\ез

\определение
Функция на метрическом пространстве называется
{\бф выпуклой}, если ее ограничение на любой
отрезок кратчайшей выпукло, и {\бф строго выпуклой},
если ее ограничение на любой отрезок кратчайшей $I=[0,a]$
не линейно ни на каком открытом подмножестве $I_1\subset T$.
\ео

\задача
Пусть функция $\phi:\; M\arrow \R$ выпукла
(строго выпукла). Докажите, что $\pi^{-1}(]-\infty, c])$ --
выпуклое (строго выпуклое) множество. 
\ез

\задача
Пусть  $\phi^{-1}(]-\infty, c])$ --
выпуклое (строго выпуклое) множество для любого $c\in\R$.
Докажите, что функция $\phi:\; M\arrow \R$ выпукла
(строго выпукла).
\ез

\задача[!]
Определим функцию $d_z:\; M \arrow \R^{\geq 0}$
на метрическом пространстве формулой $d_z(x):= d(z,x)$.
\енум
\итем Пусть $d_x$ строго выпукла для любого $x\in M$. Докажите,
что $z$ соединяется с любой точкой $M$ не более
чем одной кратчайшей.

\итем Найдите метрическое пространство $M$, в котором
есть точка $z$ такая, что
$d_z$ не строго выпукла ни в какой окрестности $z$.
Опровергните или докажите единственность кратчайших в $M$.
\ее
\ез

\задача
Пусть $M$ -- CAT(0)-пространство.
Докажите, что функция $d_z$ строго выпукла,
для любой $z\in M$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что в каждом CAT(0)-пространстве
любые две точки соединяются единственной
геодезической кратчайшей.
\ез



\задача
Пусть $\gamma_i:\; [0, t_i]\arrow M$ -- кратчайшие
геодезические в  CAT(0)-пространстве, $\gamma_i(0)=p$,
$\gamma_1(t_1)=a, \gamma_2(t_2)=b$. Выберем $0<\lambda<1$,
и пусть $a'= \gamma_1(\lambda t_1), b'= \gamma_2(\lambda t_2)$.
Докажите, что $d(a',b') \leq \lambda d(a,b)$. \\
\centerline{\epsfig{file=homothety.eps,width=0.25\linewidth}}
\ез

\задача
\label{_chetyrekhugolnik_Zadacha_}
Пусть $a,b,A,B$ -- точки в CAT(0)-пространстве,
 $c, C$ -- середины кратчайших, соединяющих $a,b$ и $A,B$,
а $p$ -- середина кратчайшей, соединяющей $A$ и $b$.\\
\centerline{\epsfig{file=trapezie.eps,width=0.20\linewidth}}\\
Докажите, что $d(c,C) \leq \frac 1 2(d(a,A) + d(b,B))$
\ез

\указание
Убедитесь, что $d(c,C) \leq d(c,p) + d(p,C)$,
и примените предыдущую задачу для случая $\lambda =\frac 1 2$.
\еу

\определение
\label{_sup_metrika_Opredelenie_}
Пусть в метрическом пространстве заданы два отображения
$\gamma_1:\; [0, t_1]\arrow M$, 
$\gamma_2:\; [0, t_2]\arrow M$ с геодезической параметризацией.
Рассмотрим отображения $\tilde \gamma_i:\; [0, 1]\arrow M$,
полученные из $\gamma_i$ линейной заменой параметра:
$\tilde \gamma_i(u)=\gamma_i(t_iu)$.
{\бф Расстояние} $d_\gamma(\gamma_1, \gamma_2)$
определяется по формуле 
\[ d_\gamma(\gamma_1, \gamma_2):=\sup_u d(\tilde \gamma_1(u), \tilde\gamma_2(u)).
\]
\ео

\задача
Докажите, что $d_\gamma$ -- это метрика.
\ез

\указание
Это $\sup$-метрика на отображениях из отрезка.
\еу

\замечание
В следующей задаче изучается
функция $u\mapsto d(\tilde \gamma_1(u), \tilde\gamma_2(u))$,
которая участвует в определении $d_\gamma$.
\еза

\задача[!]
\label{_rassto_geode_Zadacha_}
Пусть $\gamma_i:\; [0, t_i]\arrow M$ -- кратчайшие геодезические в
CAT(0)-пространстве, а $\kappa:\; [0,1]\arrow \R^{\geq 0}$
переводит $u\in [0,1]$ в $d(\gamma_1(t_1 u), \gamma_2(t_2u))$.
Докажите, что $\kappa$ выпукло.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_chetyrekhugolnik_Zadacha_}.
\еу

\задача
Пусть $\Gamma_p(M)$ -- пространство кратчайших,
начинающихся в $p$, снабженное метрикой $d_\Gamma$,
а $\pi:\; \Gamma_p(M)\arrow M$ отображение, переводящее
кратчайшую в ее второй конец. Предположим, что $M$ -- CAT(0)-пространство.
Докажите, что это изометрия.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
\label{_homotopy_Zadacha_}
Зафиксируем точку $p$ в CAT(0)-пространстве.
Для какой-то точки $x\in M$, рассмотрим
кратчайшую $\gamma_x:\;[0, d(p,x)]\arrow M$,
соединяющую $p$ с $x$. Пусть $0\leq \lambda\leq 1$,
и пусть $P_\lambda:\; M \arrow M$ отображает
$x$ в $\gamma_x(\lambda d(p,x))$. Докажите, что
$P_\lambda$ задает непрерывное отображение
из $M\times [0,1]$ в $M$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Постройте гомотопию между тождественным
отображением из $M$ в себя и отображением,
переводящим $M$ в $\{p\}$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\замечание
Мы доказали, что все CAT(0)-пространства
стягиваемы.
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Радиус выпуклости}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $M$ -- пространство Александрова
неположительной кривизны. {\бф Нормальный
шар} в $M$ есть шар $B_\epsilon(x)$, 
который является CAT(0)-пространством.
\ео

\задача
Докажите, что нормальный шар -- строго выпуклый.
\ез

\задача
Докажите, что 
для каждой точки $x\in M$ в пространстве Александрова
неположительной кривизны есть $\epsilon >0$
такой, что $B_\epsilon(x)$ -- нормальный шар.
\ез

\определение
Пусть $M$ -- пространство Александрова
неположительной кривизны.
{\бф Радиус выпуклости} в точке $x\in M$
есть супремум всех $\epsilon$ таких, что
$B_\epsilon(x)$ нормален. Обозначим
радиус выпуклости за $\rho(x)$.
\ео

\задача
Пусть в какой-то точке $M$ радиус выпуклости
равен $\infty$. Докажите, что этот радиус
равен $\infty$ везде в $M$.
\ез

\задача
Докажите, что функция $x\arrow \rho(x)$
1-липшицева.
\ез

\задача
Пусть $f:\; [0,1] \arrow \R$ -- функция
на отрезке, причем у каждой точки $x\in [0,1]$
есть связная окрестность $U_x$ такая, что $f\restrict{U_x}$
выпукла. Докажите, что $f$ выпукла.
\ез

\задача
\label{_dist_between_geode_Zadacha_}
Пусть $\gamma:\; [0,t]\arrow M$ -- кратчайшая в пространстве
 Александрова неположительной кривизны,
а $\rho\restrict\gamma \geq \epsilon$.
Рассмотрим кратчайшую $\gamma':\; [0,t']\arrow M$,
которая лежит в $\epsilon$-окрестности $\gamma$.
Пусть $\kappa:\; [0,1]\arrow \R^{\geq 0}$
переводит $u\in [0,1]$ в $d(\gamma(ut), \gamma'(ut'))$.
Докажите, что $\kappa$ выпукла.
\ез

\указание
Покройте $\gamma(\epsilon)$ нормальными шарами,
примените задачу \ref{_rassto_geode_Zadacha_},
и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кратчайшие и геодезические}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
{\бф Геодезическая} есть путь  
$\gamma:\; [a,b]\arrow M$ такой, что у 
каждой точки $x\in [0,t]$
есть связная окрестность $U_x$ такая, что
$\gamma\restrict{U_x}$ -- кратчайшая геодезическая.
Обозначим за $\Gamma(M)$ пространство всех
геодезических, с метрикой $d_\Gamma$
(Определение \ref{_sup_metrika_Opredelenie_}),
и за $\Gamma_p(M)$
пространством геодезических с началом в $p$.
\ео

\задача
Приведите пример  пространства
Александрова неположительной кривизны
и отображения $\gamma:\; [a,b]\arrow M$,
которое является геодезической,
но не кратчайшей.
\ез

\задача
Рассмотрим отображение $\Gamma_p(M)\stackrel \pi \arrow M$,
переводящее геодезическую в ее второй конец.
Докажите, что оно непрерывно.
\ез

\задача(!)
Предположим, что $M$ -- полное пространство
Александрова неположительной кривизны. 
\енум
\итем Докажите, что пространство 
геодезических кратчайших полное.
\итем Пусть $\gamma_i$ -- последовательность Коши 
в $\Gamma(M)$. Докажите, что $\gamma_i$ сходится
 в метрике $d_G$ к какому-то пути.
\итем Докажите, что пространство геодезических 
$\Gamma(M)$ полно.
\ее
\ез

\указание
Докажите, что предел отображений, растягивающих
метрику в $C_i$ раз, растягивает метрику в $\lim_i C_i$ раз. 
Выведите из этого, что пространство кратчайших полно,
а предел геодезических определен. Чтоб убедиться
в том, что это геодезическая, покройте 
$M$ нормальными шарами; в каждом из них 
любая геодезическая является кратчайшей.
\еу

\задача[**]
Решите предыдущую задачу без предположения
о кривизне $M$, или найдите контрпример.
\ез

\определение
{\бф Радиус выпуклости} для множества $Z\subset M$
есть $\inf_{z\in Z} \rho(z)$, где $\rho$ есть радиус выпуклости
в точке $z$.
\ео

\задача[!]
Пусть  $\gamma:\; [0,t]\arrow M$, $\gamma':\; [0,t']\arrow M$
 -- геодезические
в пространстве Александрова неположительной кривизны,
радиус выпуклости $\gamma$ равен $\epsilon$, а 
$d_\Gamma(\gamma,\gamma')<\epsilon$. Оределим
$\kappa:\; [0,1]\arrow \R^{\geq 0}$ по формуле 
$\kappa(u):=d(\gamma(ut), \gamma'(ut'))$.
Докажите, что $\kappa$ -- выпуклая функция.
\ез

\указание
Задача \ref{_dist_between_geode_Zadacha_}
решается тем же самым рассуждением.
\еу

\задача
Пусть  $\gamma:\; [0,t]\arrow M$, $\gamma':\; [0,t']\arrow M$
 -- геодезические
в пространстве Александрова неположительной кривизны,
радиус выпуклости $\gamma$ равен $\epsilon$, а 
$d_\Gamma(\gamma,\gamma')<\epsilon$.
Докажите, что расстояние между геодезическими
есть максимум расстояния между концами.
\[ d_\Gamma(\gamma, \gamma')= 
  \max (d(\gamma(0),\gamma'(0)), d(\gamma(t),\gamma'(t')).
\]
\ез

\задача
Рассмотрим отображение $\Gamma_p(M)\stackrel \pi \arrow M$,
переводящее геодезическую в ее второй конец. 
Пусть $\epsilon$ -- радиус выпуклости для $\gamma$.
Докажите, что
для $\epsilon$-шара $B_\epsilon(\gamma)\subset \Gamma_p(M)$,
ограничение $\pi\restrict {B_\epsilon(\gamma)}$ задает
изометрия $B_\epsilon(\gamma)$ и шара $B_\epsilon(\pi(\gamma))$
\ез


\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $M_1, M$ -- полные метрические пространства,
$\rho:\; M \arrow \R^{>0}$ -- непрерывная функция, а
а $\pi:\; M_1 \arrow M$ -- отображение, которое
задает изометрию 
\[
\pi:\; B_{\rho(\pi(x))}(x) \arrow B_{\rho(\pi(x))}(\pi(x))
\]
для любой точки $x\in M_1$.
Докажите, что $\pi$ -- накрытие.
\ез


\задача
Пусть $M$ полное пространство
Александрова неположительной кривизны.
Рассмотрим отображение $\Gamma_p(M)\stackrel \pi \arrow M$,
переводящее геодезическую в ее второй конец. Докажите, что
это накрытие.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $M$ -- полное пространство Александрова
неположительной кривизны (как обычно, мы предполагаем,
что метрика в $M$ -- строго внутренняя). 
\енум
\итем Докажите, что
любая геодезическая в $M$ -- кратчайшая.
\итем Докажите, что любые две точки $M$
соединяются единственной геодезической.
\ее
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Тонкие треугольники и пространства Адамара}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Полное, односвязное пространство
Александрова неположительной кривизны 
называется {\бф пространством Адамара}.
\ео

\определение
Пусть $M$ -- пространство
Александрова неположительной кривизны,
а $\triangle(a,p,b)$ -- треугольник,
составленный из кратчайших $[a,b]$, $[a,p]$
и $[b,p]$. Назовем $\triangle(a,p,b)$
{\бф тонким}, если $d([a,p], [b,p]) < \epsilon$,
где $\epsilon$ есть радиус выпуклости
множества $[a,p]\cap [b,p]$. Угол,
образованный средней вершиной $p$
и кратчайшими $[a,p]$
и $[b,p]$ называется {\бф тонким}.
\ео

\задача[!]
Пусть $M$ -- пространство Адамара. Докажите, что
любой треугольник, составленный из геодезических,
можно разрезать на тонкие треугольники, как на картинке.
\\
\centerline{\epsfig{file=tonkij.eps,width=0.20\linewidth}}
\ез

\указание
Воспользуйтесь гомотопией, построенной в задаче 
\ref{_homotopy_Zadacha_}, проспособив ее констркцию
для пространств Адамара.
\еу


\задача[!]
Пусть для каждого тонкого треугольника в $M$
выполнено неравенство сравнения.
Докажите, что $M$ есть CAT(0)-пространство.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
Пусть $a,b,c$ -- три точки в метрическом пространстве,
а $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ -- треугольник сравнения.
Рассмотрим кратчайшие $\gamma_1, \gamma_2$, соединяющие
$a$ с $b$ и $a$ с $c$.
{\бф Условие сравнения углов для неположительной кривизны}
есть неравенство 
$\measuredangle(\gamma_1,a,\gamma_2)\leq \measuredangle(\bar c \bar a\bar b)$
(для каждого из трех углов).
\ео

\задача
Рассмотрим шарнирный механизм из четырех стержней на
плоскости.  Пусть 
четырехугольники $A_1B_1D_1C_1$ и $A_2B_2D_2C_2$
на плоскости получены движением стержней этого механизма
(математически, это означает, что $|A_1B_1|=|A_2B_2|$,
$|B_1C_1|=|B_2C_2|$, $|C_1D_1|=|C_2D_2|$,
$|D_1A_1|=|D_2A_2|$).\\
\centerline{\epsfig{file=lemma-aleksandrova2.eps,width=0.40\linewidth}}\\
Предположим, что  $\measuredangle(B_2D_2C_2)=\pi$, а 
$\measuredangle(B_1D_1C_1)\geq\pi$. Докажите, что
$\measuredangle(B_2A_2C_2)\geq \measuredangle(B_1A_1C_1)$,
$\measuredangle(A_2C_2D_2)\geq \measuredangle(A_1C_1D_2)$ и
$\measuredangle(A_2B_2D_2)\geq \measuredangle(A_1B_1D_2)$.
\ез

\указание Примените лемму Александрова.
\еу

\задача
Пусть $\triangle(a,b,c)$ -- треугольник в
пространстве Адамара, a $d$ -- точка на кратчайшей
$[b,c]$. Предположим, что для $\triangle(a,b,d)$
и $\triangle(a,c,d)$
выполнено условие сравнения углов. 
Нарисуем на плоскости треугольники
сравнения $\triangle(\bar a, \bar d,\bar c)$
и $\triangle(\bar a, \bar d,\bar c)$,
отложив их по разные стороны от $(\bar a, \bar d)$.
\енум 
\итем Докажите, что 
$\measuredangle(\bar a, \bar d,\bar c)+\measuredangle(\bar a, \bar d,\bar b)>\pi$.
\итем
Пусть $\triangle(\tilde a,\tilde b,\tilde c)$ -- треугольник
сравнения для $\triangle(a,b,c)$.
Докажите, что 
углы $\triangle(\tilde a,\tilde b,\tilde c)$
меньше, чем соответствующие углы в четырехугольнике
$\bar a,\bar b, \bar d,\bar c$.

\итем[!] Докажите, что 
для $\triangle(a,b,c)$ выполнено условие сравнения углов.
\ее
\ез

\указание
Во втором пункте, воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Докажите неравенство сравнения углов в тонком
треугольнике.
\ез

\указание Разрежьте плоский треугольник на треугольники,
лежащие в нормальных шарах, как на картинке,
\\
\centerline{\epsfig{file=tonkij-razrezan.eps,width=0.40\linewidth}}\\
и примените предыдущую задачу.
\еу

\задача[!]
(теорема Картана-Адамара)
Пусть $M$ -- пространство Адамара. Докажите, что
$M$ -- CAT(0)-пространство. Докажите, что оно стягиваемо.
\ез

\задача[*]
Приведите пример неполного пространства Александрова
неположительной кривизны, где не выпонено CAT(0)-условие,
либо докажите, что такого не бывает.
\ез

\определение
Функция $f:\; M \arrow \R$ на метрическом пространстве
называется {\бф $\lambda$-выпуклая}, если для любой
геодезической $\gamma:\; [0,t]\arrow M$, 
фукция $u \arrow f(\gamma(u))-\lambda^2 u$
выпукла.
\ео

\задача[*]
Пусть $M$ -- пространство Адамара, $z\in M$,
а $d_z(x)= d(x,z)$. Докажите, что функция
$d_z^2$ 1-выпуклая.
\ез

\задача[*] 
Пусть $\lambda >0$.
Докажите, что любая $\lambda$-выпуклая
функция на полном пространстве имеет минимум.
\ез

\задача[*]
Пусть $Z\subset M$ -- замкнутое, ограниченное
подмножество пространства Адамара.
{\бф Описанный шар} для $Z$ есть шар
$B_r(x)$ минимального радиуса, содержащий $Z$.
Докажите, что для любого конечного подмножества
$Z\subset M$, описанный шар существует и единственен.
\ез

\задача[**] 
Пусть $Z\subset M$ -- замкнутое, ограниченное
подмножество локально компактного пространства Адамара.
Докажите, что описанный шар для $Z$ 
существует и единственен.
\ез

\определение
{\бф Луч} в метрическом пространстве
есть изометрическое вложение $[0,\infty[\arrow M$
{\бф Параллельные лучи} суть лучи 
$\gamma,\gamma':\; [0,\infty[\arrow M$ такие,
что $d(\gamma(t), \gamma'(t)$ ограниченно.
\ео

\задача[**]
Пусть $\gamma:\; [0,\infty[\arrow M$ -- луч в
локально компактном пространстве Адамара.
Докажите, что для любой точки $z\in M$,
существует и единственный луч, параллельный
$\gamma$, и выходящий из $z$.
\ез

\задача[**]
Пусть $G$ -- конечная подгруппа в группе
изометрий пространства Адамара. Докажите, что
$G$ оставляет неподвижной точку.
\ез



\end{document}
