\documentclass[8pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\textheight}{40mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 18.10.2012 %version 1.0,\ \ 16.11.2012 Саша Ананьин прислал очепятки \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 16.11.2012} \newcommand{\firstdate}{22.11.2012} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{8}{Гиперболические группы 8: теорема Картана-Адамара} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 21 дней после выдачи, 1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Выпуклые функции и CAT(0)-пространства.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Все метрические пространства предполагаются по умолчанию наделенными строго внутренней метрикой (внутренней с кратчайшими). Кратчайшие же предполагаются наделенными геодезической параметризацией. \еза \определение Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве $(M,d)$. Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой. {\бф Треугольник сравнения} $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$, и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$, и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности). \ео \определение \label{_funkcii_sravneniya_Opredelenie_} Пусть $a,b,c$ -- точки в пространстве $(M,d)$ со строго внутренней метрикой, а $\gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow M$ -- кратчайшая с геодезической параметризацией, соединяющая точки $(a,b)$. Рассмотрим функцию $d_c:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$, переводящую $t$ в $d(c,\gamma(t))$. Пусть $\triangle(\bar a,\bar b, \bar c)\subset \R^2$ -- треугольник сравнения, а $d_{\bar c}:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$ -- функция, переводящая $t$ в $d(\bar c, \bar \gamma(t))$, где $\bar \gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^2$ обозначает сторону треугольника сравнения с нормальной параметризацией. Функция $d_{\bar c}$ называется {\бф функцией сравнения}. Пространство $M$ называется {\бф пространством неположительной кривизны в целом}, если для любых $a,b,c$, функция сравнения удовлетворяет неравенству $d_c\geq d_{\bar c}$ (соответственно, $d_c\leq d_{\bar c}$). Пространство $M$ называется {\бф пространством Александрова неположительной кривизны}, если у каждой точки есть окрестность неположительной кривизны в целом. Пространства неположительной кривизны в целом также называются {\бф CAT(0)-пространствами}. \ео \определение Подмножество $U\subset M$ метрического пространства называется {\бф выпуклым}, если для любых точек $x,y\in U$, любая кратчайшая, соединяющая $x$ и $y$, содержится в $U$. {\бф Граница} $U$ есть множество $\bar U\cap \overline{(M\backslash U)}$, полученное как пересечение замыкания $U$ и его дополнения. Выпуклое подмножество {\бф строго выпукло}, если его граница не содержит нетривиальных кратчайших. \ео \задача Докажите, что функция $\phi:\; [0,a]\arrow \R$ выпукла тогда и только тогда, когда $\{(x,y)\ \ |\ \ y\geq \phi(x)\}$ -- выпуклое подмножество в $\R^2$. \ез \задача \label{_vypuklo_sere_Zadacha_} Пусть $f:\; [0,a]\arrow \R$ -- непрерывная функция, которая удовлетворяет $f\left(\frac{x+y}2\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}2$. Докажите, что $f$ выпукла. \ез \определение Функция на метрическом пространстве называется {\бф выпуклой}, если ее ограничение на любой отрезок кратчайшей выпукло, и {\бф строго выпуклой}, если ее ограничение на любой отрезок кратчайшей $I=[0,a]$ не линейно ни на каком открытом подмножестве $I_1\subset T$. \ео \задача Пусть функция $\phi:\; M\arrow \R$ выпукла (строго выпукла). Докажите, что $\pi^{-1}(]-\infty, c])$ -- выпуклое (строго выпуклое) множество. \ез \задача Пусть $\phi^{-1}(]-\infty, c])$ -- выпуклое (строго выпуклое) множество для любого $c\in\R$. Докажите, что функция $\phi:\; M\arrow \R$ выпукла (строго выпукла). \ез \задача[!] Определим функцию $d_z:\; M \arrow \R^{\geq 0}$ на метрическом пространстве формулой $d_z(x):= d(z,x)$. \енум \итем Пусть $d_x$ строго выпукла для любого $x\in M$. Докажите, что $z$ соединяется с любой точкой $M$ не более чем одной кратчайшей. \итем Найдите метрическое пространство $M$, в котором есть точка $z$ такая, что $d_z$ не строго выпукла ни в какой окрестности $z$. Опровергните или докажите единственность кратчайших в $M$. \ее \ез \задача Пусть $M$ -- CAT(0)-пространство. Докажите, что функция $d_z$ строго выпукла, для любой $z\in M$. \ез \задача[!] Докажите, что в каждом CAT(0)-пространстве любые две точки соединяются единственной геодезической кратчайшей. \ез \задача Пусть $\gamma_i:\; [0, t_i]\arrow M$ -- кратчайшие геодезические в CAT(0)-пространстве, $\gamma_i(0)=p$, $\gamma_1(t_1)=a, \gamma_2(t_2)=b$. Выберем $0<\lambda<1$, и пусть $a'= \gamma_1(\lambda t_1), b'= \gamma_2(\lambda t_2)$. Докажите, что $d(a',b') \leq \lambda d(a,b)$. \\ \centerline{\epsfig{file=homothety.eps,width=0.25\linewidth}} \ез \задача \label{_chetyrekhugolnik_Zadacha_} Пусть $a,b,A,B$ -- точки в CAT(0)-пространстве, $c, C$ -- середины кратчайших, соединяющих $a,b$ и $A,B$, а $p$ -- середина кратчайшей, соединяющей $A$ и $b$.\\ \centerline{\epsfig{file=trapezie.eps,width=0.20\linewidth}}\\ Докажите, что $d(c,C) \leq \frac 1 2(d(a,A) + d(b,B))$ \ез \указание Убедитесь, что $d(c,C) \leq d(c,p) + d(p,C)$, и примените предыдущую задачу для случая $\lambda =\frac 1 2$. \еу \определение \label{_sup_metrika_Opredelenie_} Пусть в метрическом пространстве заданы два отображения $\gamma_1:\; [0, t_1]\arrow M$, $\gamma_2:\; [0, t_2]\arrow M$ с геодезической параметризацией. Рассмотрим отображения $\tilde \gamma_i:\; [0, 1]\arrow M$, полученные из $\gamma_i$ линейной заменой параметра: $\tilde \gamma_i(u)=\gamma_i(t_iu)$. {\бф Расстояние} $d_\gamma(\gamma_1, \gamma_2)$ определяется по формуле \[ d_\gamma(\gamma_1, \gamma_2):=\sup_u d(\tilde \gamma_1(u), \tilde\gamma_2(u)). \] \ео \задача Докажите, что $d_\gamma$ -- это метрика. \ез \указание Это $\sup$-метрика на отображениях из отрезка. \еу \замечание В следующей задаче изучается функция $u\mapsto d(\tilde \gamma_1(u), \tilde\gamma_2(u))$, которая участвует в определении $d_\gamma$. \еза \задача[!] \label{_rassto_geode_Zadacha_} Пусть $\gamma_i:\; [0, t_i]\arrow M$ -- кратчайшие геодезические в CAT(0)-пространстве, а $\kappa:\; [0,1]\arrow \R^{\geq 0}$ переводит $u\in [0,1]$ в $d(\gamma_1(t_1 u), \gamma_2(t_2u))$. Докажите, что $\kappa$ выпукло. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_chetyrekhugolnik_Zadacha_}. \еу \задача Пусть $\Gamma_p(M)$ -- пространство кратчайших, начинающихся в $p$, снабженное метрикой $d_\Gamma$, а $\pi:\; \Gamma_p(M)\arrow M$ отображение, переводящее кратчайшую в ее второй конец. Предположим, что $M$ -- CAT(0)-пространство. Докажите, что это изометрия. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача \label{_homotopy_Zadacha_} Зафиксируем точку $p$ в CAT(0)-пространстве. Для какой-то точки $x\in M$, рассмотрим кратчайшую $\gamma_x:\;[0, d(p,x)]\arrow M$, соединяющую $p$ с $x$. Пусть $0\leq \lambda\leq 1$, и пусть $P_\lambda:\; M \arrow M$ отображает $x$ в $\gamma_x(\lambda d(p,x))$. Докажите, что $P_\lambda$ задает непрерывное отображение из $M\times [0,1]$ в $M$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Постройте гомотопию между тождественным отображением из $M$ в себя и отображением, переводящим $M$ в $\{p\}$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \замечание Мы доказали, что все CAT(0)-пространства стягиваемы. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Радиус выпуклости} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- пространство Александрова неположительной кривизны. {\бф Нормальный шар} в $M$ есть шар $B_\epsilon(x)$, который является CAT(0)-пространством. \ео \задача Докажите, что нормальный шар -- строго выпуклый. \ез \задача Докажите, что для каждой точки $x\in M$ в пространстве Александрова неположительной кривизны есть $\epsilon >0$ такой, что $B_\epsilon(x)$ -- нормальный шар. \ез \определение Пусть $M$ -- пространство Александрова неположительной кривизны. {\бф Радиус выпуклости} в точке $x\in M$ есть супремум всех $\epsilon$ таких, что $B_\epsilon(x)$ нормален. Обозначим радиус выпуклости за $\rho(x)$. \ео \задача Пусть в какой-то точке $M$ радиус выпуклости равен $\infty$. Докажите, что этот радиус равен $\infty$ везде в $M$. \ез \задача Докажите, что функция $x\arrow \rho(x)$ 1-липшицева. \ез \задача Пусть $f:\; [0,1] \arrow \R$ -- функция на отрезке, причем у каждой точки $x\in [0,1]$ есть связная окрестность $U_x$ такая, что $f\restrict{U_x}$ выпукла. Докажите, что $f$ выпукла. \ез \задача \label{_dist_between_geode_Zadacha_} Пусть $\gamma:\; [0,t]\arrow M$ -- кратчайшая в пространстве Александрова неположительной кривизны, а $\rho\restrict\gamma \geq \epsilon$. Рассмотрим кратчайшую $\gamma':\; [0,t']\arrow M$, которая лежит в $\epsilon$-окрестности $\gamma$. Пусть $\kappa:\; [0,1]\arrow \R^{\geq 0}$ переводит $u\in [0,1]$ в $d(\gamma(ut), \gamma'(ut'))$. Докажите, что $\kappa$ выпукла. \ез \указание Покройте $\gamma(\epsilon)$ нормальными шарами, примените задачу \ref{_rassto_geode_Zadacha_}, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кратчайшие и геодезические} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Геодезическая} есть путь $\gamma:\; [a,b]\arrow M$ такой, что у каждой точки $x\in [0,t]$ есть связная окрестность $U_x$ такая, что $\gamma\restrict{U_x}$ -- кратчайшая геодезическая. Обозначим за $\Gamma(M)$ пространство всех геодезических, с метрикой $d_\Gamma$ (Определение \ref{_sup_metrika_Opredelenie_}), и за $\Gamma_p(M)$ пространством геодезических с началом в $p$. \ео \задача Приведите пример пространства Александрова неположительной кривизны и отображения $\gamma:\; [a,b]\arrow M$, которое является геодезической, но не кратчайшей. \ез \задача Рассмотрим отображение $\Gamma_p(M)\stackrel \pi \arrow M$, переводящее геодезическую в ее второй конец. Докажите, что оно непрерывно. \ез \задача(!) Предположим, что $M$ -- полное пространство Александрова неположительной кривизны. \енум \итем Докажите, что пространство геодезических кратчайших полное. \итем Пусть $\gamma_i$ -- последовательность Коши в $\Gamma(M)$. Докажите, что $\gamma_i$ сходится в метрике $d_G$ к какому-то пути. \итем Докажите, что пространство геодезических $\Gamma(M)$ полно. \ее \ез \указание Докажите, что предел отображений, растягивающих метрику в $C_i$ раз, растягивает метрику в $\lim_i C_i$ раз. Выведите из этого, что пространство кратчайших полно, а предел геодезических определен. Чтоб убедиться в том, что это геодезическая, покройте $M$ нормальными шарами; в каждом из них любая геодезическая является кратчайшей. \еу \задача[**] Решите предыдущую задачу без предположения о кривизне $M$, или найдите контрпример. \ез \определение {\бф Радиус выпуклости} для множества $Z\subset M$ есть $\inf_{z\in Z} \rho(z)$, где $\rho$ есть радиус выпуклости в точке $z$. \ео \задача[!] Пусть $\gamma:\; [0,t]\arrow M$, $\gamma':\; [0,t']\arrow M$ -- геодезические в пространстве Александрова неположительной кривизны, радиус выпуклости $\gamma$ равен $\epsilon$, а $d_\Gamma(\gamma,\gamma')<\epsilon$. Оределим $\kappa:\; [0,1]\arrow \R^{\geq 0}$ по формуле $\kappa(u):=d(\gamma(ut), \gamma'(ut'))$. Докажите, что $\kappa$ -- выпуклая функция. \ез \указание Задача \ref{_dist_between_geode_Zadacha_} решается тем же самым рассуждением. \еу \задача Пусть $\gamma:\; [0,t]\arrow M$, $\gamma':\; [0,t']\arrow M$ -- геодезические в пространстве Александрова неположительной кривизны, радиус выпуклости $\gamma$ равен $\epsilon$, а $d_\Gamma(\gamma,\gamma')<\epsilon$. Докажите, что расстояние между геодезическими есть максимум расстояния между концами. \[ d_\Gamma(\gamma, \gamma')= \max (d(\gamma(0),\gamma'(0)), d(\gamma(t),\gamma'(t')). \] \ез \задача Рассмотрим отображение $\Gamma_p(M)\stackrel \pi \arrow M$, переводящее геодезическую в ее второй конец. Пусть $\epsilon$ -- радиус выпуклости для $\gamma$. Докажите, что для $\epsilon$-шара $B_\epsilon(\gamma)\subset \Gamma_p(M)$, ограничение $\pi\restrict {B_\epsilon(\gamma)}$ задает изометрия $B_\epsilon(\gamma)$ и шара $B_\epsilon(\pi(\gamma))$ \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $M_1, M$ -- полные метрические пространства, $\rho:\; M \arrow \R^{>0}$ -- непрерывная функция, а а $\pi:\; M_1 \arrow M$ -- отображение, которое задает изометрию \[ \pi:\; B_{\rho(\pi(x))}(x) \arrow B_{\rho(\pi(x))}(\pi(x)) \] для любой точки $x\in M_1$. Докажите, что $\pi$ -- накрытие. \ез \задача Пусть $M$ полное пространство Александрова неположительной кривизны. Рассмотрим отображение $\Gamma_p(M)\stackrel \pi \arrow M$, переводящее геодезическую в ее второй конец. Докажите, что это накрытие. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $M$ -- полное пространство Александрова неположительной кривизны (как обычно, мы предполагаем, что метрика в $M$ -- строго внутренняя). \енум \итем Докажите, что любая геодезическая в $M$ -- кратчайшая. \итем Докажите, что любые две точки $M$ соединяются единственной геодезической. \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Тонкие треугольники и пространства Адамара} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Полное, односвязное пространство Александрова неположительной кривизны называется {\бф пространством Адамара}. \ео \определение Пусть $M$ -- пространство Александрова неположительной кривизны, а $\triangle(a,p,b)$ -- треугольник, составленный из кратчайших $[a,b]$, $[a,p]$ и $[b,p]$. Назовем $\triangle(a,p,b)$ {\бф тонким}, если $d([a,p], [b,p]) < \epsilon$, где $\epsilon$ есть радиус выпуклости множества $[a,p]\cap [b,p]$. Угол, образованный средней вершиной $p$ и кратчайшими $[a,p]$ и $[b,p]$ называется {\бф тонким}. \ео \задача[!] Пусть $M$ -- пространство Адамара. Докажите, что любой треугольник, составленный из геодезических, можно разрезать на тонкие треугольники, как на картинке. \\ \centerline{\epsfig{file=tonkij.eps,width=0.20\linewidth}} \ез \указание Воспользуйтесь гомотопией, построенной в задаче \ref{_homotopy_Zadacha_}, проспособив ее констркцию для пространств Адамара. \еу \задача[!] Пусть для каждого тонкого треугольника в $M$ выполнено неравенство сравнения. Докажите, что $M$ есть CAT(0)-пространство. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение Пусть $a,b,c$ -- три точки в метрическом пространстве, а $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ -- треугольник сравнения. Рассмотрим кратчайшие $\gamma_1, \gamma_2$, соединяющие $a$ с $b$ и $a$ с $c$. {\бф Условие сравнения углов для неположительной кривизны} есть неравенство $\measuredangle(\gamma_1,a,\gamma_2)\leq \measuredangle(\bar c \bar a\bar b)$ (для каждого из трех углов). \ео \задача Рассмотрим шарнирный механизм из четырех стержней на плоскости. Пусть четырехугольники $A_1B_1D_1C_1$ и $A_2B_2D_2C_2$ на плоскости получены движением стержней этого механизма (математически, это означает, что $|A_1B_1|=|A_2B_2|$, $|B_1C_1|=|B_2C_2|$, $|C_1D_1|=|C_2D_2|$, $|D_1A_1|=|D_2A_2|$).\\ \centerline{\epsfig{file=lemma-aleksandrova2.eps,width=0.40\linewidth}}\\ Предположим, что $\measuredangle(B_2D_2C_2)=\pi$, а $\measuredangle(B_1D_1C_1)\geq\pi$. Докажите, что $\measuredangle(B_2A_2C_2)\geq \measuredangle(B_1A_1C_1)$, $\measuredangle(A_2C_2D_2)\geq \measuredangle(A_1C_1D_2)$ и $\measuredangle(A_2B_2D_2)\geq \measuredangle(A_1B_1D_2)$. \ез \указание Примените лемму Александрова. \еу \задача Пусть $\triangle(a,b,c)$ -- треугольник в пространстве Адамара, a $d$ -- точка на кратчайшей $[b,c]$. Предположим, что для $\triangle(a,b,d)$ и $\triangle(a,c,d)$ выполнено условие сравнения углов. Нарисуем на плоскости треугольники сравнения $\triangle(\bar a, \bar d,\bar c)$ и $\triangle(\bar a, \bar d,\bar c)$, отложив их по разные стороны от $(\bar a, \bar d)$. \енум \итем Докажите, что $\measuredangle(\bar a, \bar d,\bar c)+\measuredangle(\bar a, \bar d,\bar b)>\pi$. \итем Пусть $\triangle(\tilde a,\tilde b,\tilde c)$ -- треугольник сравнения для $\triangle(a,b,c)$. Докажите, что углы $\triangle(\tilde a,\tilde b,\tilde c)$ меньше, чем соответствующие углы в четырехугольнике $\bar a,\bar b, \bar d,\bar c$. \итем[!] Докажите, что для $\triangle(a,b,c)$ выполнено условие сравнения углов. \ее \ез \указание Во втором пункте, воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Докажите неравенство сравнения углов в тонком треугольнике. \ез \указание Разрежьте плоский треугольник на треугольники, лежащие в нормальных шарах, как на картинке, \\ \centerline{\epsfig{file=tonkij-razrezan.eps,width=0.40\linewidth}}\\ и примените предыдущую задачу. \еу \задача[!] (теорема Картана-Адамара) Пусть $M$ -- пространство Адамара. Докажите, что $M$ -- CAT(0)-пространство. Докажите, что оно стягиваемо. \ез \задача[*] Приведите пример неполного пространства Александрова неположительной кривизны, где не выпонено CAT(0)-условие, либо докажите, что такого не бывает. \ез \определение Функция $f:\; M \arrow \R$ на метрическом пространстве называется {\бф $\lambda$-выпуклая}, если для любой геодезической $\gamma:\; [0,t]\arrow M$, фукция $u \arrow f(\gamma(u))-\lambda^2 u$ выпукла. \ео \задача[*] Пусть $M$ -- пространство Адамара, $z\in M$, а $d_z(x)= d(x,z)$. Докажите, что функция $d_z^2$ 1-выпуклая. \ез \задача[*] Пусть $\lambda >0$. Докажите, что любая $\lambda$-выпуклая функция на полном пространстве имеет минимум. \ез \задача[*] Пусть $Z\subset M$ -- замкнутое, ограниченное подмножество пространства Адамара. {\бф Описанный шар} для $Z$ есть шар $B_r(x)$ минимального радиуса, содержащий $Z$. Докажите, что для любого конечного подмножества $Z\subset M$, описанный шар существует и единственен. \ез \задача[**] Пусть $Z\subset M$ -- замкнутое, ограниченное подмножество локально компактного пространства Адамара. Докажите, что описанный шар для $Z$ существует и единственен. \ез \определение {\бф Луч} в метрическом пространстве есть изометрическое вложение $[0,\infty[\arrow M$ {\бф Параллельные лучи} суть лучи $\gamma,\gamma':\; [0,\infty[\arrow M$ такие, что $d(\gamma(t), \gamma'(t)$ ограниченно. \ео \задача[**] Пусть $\gamma:\; [0,\infty[\arrow M$ -- луч в локально компактном пространстве Адамара. Докажите, что для любой точки $z\in M$, существует и единственный луч, параллельный $\gamma$, и выходящий из $z$. \ез \задача[**] Пусть $G$ -- конечная подгруппа в группе изометрий пространства Адамара. Докажите, что $G$ оставляет неподвижной точку. \ез \end{document}