\documentclass[12pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-12mm} \addtolength{\textheight}{25mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm} %\addtolength{\textwidth}{15mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 10.10.2012 %version 1.1, 13.11.2012, kommenty ot Sashi Anan'ina %version 1.2, 14.11.2012, 7.16 popravil (thanks to P. Tomas) \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 14.11.2012} \newcommand{\firstdate}{15.11.2012} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{7}{Гиперболические группы 7: пространства Александрова} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 21 дней после выдачи, 1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Пространства Александрова} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве $(M,d)$. Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой. {\бф Треугольник сравнения} $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$, и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$, и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности). Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике $\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$; он называется {\бф углом сравнения}. \ео \определение Пусть $a,b,c$ -- точки в пространстве $(M,d)$ со строго внутренней метрикой, а $\gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow M$ -- кратчайшая с геодезической параметризацией, соединяющая точки $(a,b)$. Рассмотрим функцию $d_c:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$, переводящую $t$ в $d(c,\gamma(t))$. Пусть $\triangle(\bar a,\bar b, \bar c)\subset \R^2$ -- треугольник сравнения, а $d_{\bar c}:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$ -- функция, переводящая $t$ в $d(\bar c, \bar \gamma(t))$, где $\bar \gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^2$ обозначает сторону треугольника сравнения с нормальной параметризацией. Функция $d_{\bar c}$ называется {\бф функцией сравнения}. Пространство $M$ называется {\бф пространством неотрицательной/неположительной кривизны в целом}, если для любых $a,b,c$, функция сравнения удовлетворяет неравенству $d_c\geq d_{\bar c}$ (соответственно, $d_c\leq d_{\bar c}$). Пространство $M$ называется {\бф пространством Александрова неотрицательной/неположительной кривизны}, если у каждой точки есть окрестность неотрицательной/не\-положительной кривизны в целом. Пространства неположительной кривизны в целом также называются {\бф CAT(0)-пространствами} (в честь Эли Картана, Д. А. Александрова и В. А. Топоногова; это название принадлежит М. Громову). \ео \задача Пусть $Z$ -- метрический граф, полученный склеиванием трех ребер в точке.\\ \centerline{\epsfig{file=triskelion.eps,width=0.20\linewidth}}\\ \енум \итем Докажите, что $Z$ -- пространство неположительной кривизны. \итем Докажите, что $Z$ -- не пространство неотрицательной кривизны. \ее \ез \задача[!] Пусть $L$ -- окружность длины $d$ с внутренней метрикой, а $C(L)$ -- ее конус. Докажите, что $C(L)$ -- пространство неположительной кривизны для $d\leq 2\pi$ и пространство неотрицательной кривизны для $d\geq2\pi$. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- векторное пространство с нормой, которая не евклидова. Докажите, что $M$ не является пространством неположительной кривизны и не является пространством неотрицательной кривизны. \ез \определение Пусть $p$ -- внутренняя точка на кратчайшей $\gamma$, а $\mu$ -- кратчайшая, начинающаяся от $p$. Обозначим два сегмента $\gamma$, начинающиеся от $p$, за $\gamma_+$ и $\gamma_-$. {\бф Смежные углы} суть углы $\measuredangle_\sup(\gamma_+,p,\mu)$ и $\measuredangle_\sup(\gamma_-,p,\mu)$. \ео \задача Докажите, что в любом метрическом пространстве со строго внутренней метрикой сумма смежных углов всегда $\geq \pi$. \ез \задача[!] {\бф (Лемма Александрова)} Рассмотрим шарнирный механизм из четырех стержней (обозначены жирным на рисунке). Пусть четырехугольники $A_1B_1C_1D_1$ и $A_2B_2C_2D_2$ на плоскости получены движением стержней этого механизма (математически, это означает, что $|A_1B_1|=|A_2B_2|$, $|B_1C_1|=|B_2C_2|$, $|C_1D_1|=|C_2D_2|$, $|D_1A_1|=|D_2A_2|$).\\ \centerline{\epsfig{file=lemma-aleksandrova.eps,width=0.40\linewidth}}\\ Докажите, что $\measuredangle(A_1B_1C_1)> \measuredangle(A_2B_2C_2)$ $\Leftrightarrow$ $|B_1D_1|>|B_2D_2|$, если треугольники $\triangle(A_iB_iC_i)$ и $\triangle(A_iD_iC_i)$ отложены по одну сторону от прямой $(A_iC_i)$, и $\measuredangle(A_1B_1C_1)> \measuredangle(A_2B_2C_2)$ $\Leftrightarrow$ $|B_1D_1|<|B_2D_2|$ в противном случае. \ез \задача Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве, $\triangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ -- треугольник сравнения, $\gamma\cong [0, d(a,b)]$ -- кратчайшая от $a$ до $b$, а $d_c, d_{\bar c}:\;[0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$ -- соответствующие функции сравнения. Докажите, что если $d_c\geq d_{\bar c}$, то $\theta(apc)+\theta(bpc) \leq \pi$, для любой точки $p$ на $\gamma$. \ез \указание Воспользуйтесь леммой Александрова. \еу \задача[!] Пусть $M$ -- пространство Александрова неотрицательной кривизны. Докажите, что сумма смежных углов в $M$ равнa $\pi$. \ез \указание Постройте треугольник сравнения для $\triangle(\gamma_+(s), \mu(t), \gamma_-(u))$, рассмотрите его функцию сравнения, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение {\бф Граница} подмножества метрического пространства $U\subset M$ есть пересечение замыканий $\bar U\cap \overline{(M\backslash U)}$. Открытое подмножество $U$ метрического пространства называется {\бф строго выпуклым}, если для каждой пары точек $x,y$ на границе $U$, и любой кратчайшей $\gamma:\; [a,b]\arrow M$, соединяющей $x$ и $y$, имеем $\gamma(]a,b[)\subset U$. \ео \задача Предположим, что $M$ -- пространство с неположительной кривизной в целом. Докажите, что каждый открытый шар в $M$ строго выпуклый. \ез \задача[!] Предположим, что в $M$ всякий открытый шар строго выпуклый. Докажите, что в $M$ любые две точки соединяются не более чем одной кратчайшей. \ез \задача {\бф Блокнот} есть полиэдральное пространство размерности 2, с метрикой фактора, полученное из нескольких полуплоскостей склейкой по граничной прямой. Докажите, что метрика на блокноте внутренняя. \ез \задача[!] Докажите, что блокнот -- пространство неположительной кривизны в целом. \ез \задача[!] {\бф Метрический букет} пространств $M_i$ с отмеченной точкой $x_i$ получается из этих пространств склейкой точек $x_i$ в одну (с метрикой фактора). Докажите, что метрический букет пространств со строго внутренней метрикой - пространство со строго внутренней метрикой. \ез \задача[*] Докажите, что метрический букет пространств неположительной кривизны - пространство неположительной кривизны. \ез \задача[*] Пусть $C$ -- конус в $\R^3$, заданный уравнением $x^2+y^2=z^2$. Будет ли $C$ пространством Александрова для неположительной кривизны? А неотрицательной кривизны? \ез \задача[**] Докажите, что конус над метрическим графом $\Gamma$ имеет неположительную кривизну в целом тогда и только тогда, когда в $\Gamma$ нет циклов длины $< 2\pi$. \ез \задача[**] Докажите, что компактное двумерное полиэдральное пространство неотрицательной кривизны и без края\footnote{{\бф Край} двумерного полиэдрального пространства есть совокупность всех ребер, к которым клеится не больше одной двумерной клетки.} гомеоморфно двумерной сфере или $\R P^2$, либо изометрично тору $\R^2/\Z^2$ либо бутылке Клейна с плоской метрикой. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Условие монотонности углов} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\gamma_1, \gamma_2:\; [0,a]\arrow M$ -- кратчайшие в $M$, $\gamma_i(0)=p$. Говорится, что {\бф в $M$ выполнено условие монотонности углов (для неположительной/неотрицательной кривизны)}, если угол $\theta(\gamma_1(s),p,\gamma_2(t))$ монотонно возрастает/убывает как функция от $s,t$, и любых кратчайших $\gamma_i$. \ео \задача Пусть $p,a,b$ -- три точки на метрическом пространстве, а $a_1$ -- точка на кратчайшей, соединяющей $a$ и $p$. Рассмотрим треугольник сравнения $\triangle(\bar a_1, \bar p, \bar b)$ для $a_1, p, b$, и обозначим на полупрямой $[\bar p, \bar a_1)$ точку $\tilde a$ таким образом, что $|\bar p \tilde a|=d(p,a)$. \\ \centerline{\epsfig{file=monot-sravnenie.eps,width=0.25\linewidth}} \енум \итем Докажите, что для пространства неположительной кривизны в целом, $|\tilde a,\bar b|\leq d(a,b)$. \итем Докажите, что для пространства неотрицательной кривизны в целом, $|\tilde a,\bar b|\geq d(a,b)$. \итем Выведите ограничения на знак кривизны (неположительная, неотрицательная) из этих неравенств. \ее \ез \задача[!] Докажите, что условие монотонности углов для неположительной/неотрицательной кривизны равносильно неположительности/не\-отрицательности кривизны в целом. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $M$ -- пространство Александрова. Докажите, что углы между геодезическими кратчайшими в $M$ всегда определены. \ез \задача[**] Пусть $M$ -- пространство неположительной или неотрицательной кривизны в целом. Докажите, что в $M$ сумма углов любого геодезического треугольника $\leq \pi$ для неположительной кривизны, и $\geq \pi$ для неотрицательной кривизны. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- двумерное полиэдральное пространство. \енум \итем[*] Предположим, что сумма углов любого геодезического треугольника $\geq \pi$. Верно ли, что $M$ -- пространство Александрова неотрицательной кривизны? \итем[**] А неотрицательной кривизны в целом? \итем[*] Предположим, что сумма углов любого геодезического треугольника $\leq \pi$. Верно ли, что $M$ -- пространство Александрова неположительной кривизны? \итем[**] А неположительной кривизны в целом? \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Условие сравнения углов} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $a,b,c$ -- три точки в метрическом пространстве, а $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ -- треугольник сравнения. Рассмотрим кратчайшие $\gamma_1, \gamma_2$, соединяющие $a$ с $b$ и $a$ с $c$. {\бф Условие сравнения углов для неположительной кривизны} есть неравенство $\measuredangle(\gamma_1,a,\gamma_2)\leq \measuredangle(\bar c \bar a\bar b)$ {\бф Условие сравнения углов для неотрицательной кривизны} есть неравенство $\measuredangle(\gamma_1,a,\gamma_2)\geq \measuredangle(\bar c \bar a\bar b)$ плюс равенство $\measuredangle(\gamma_+,p,\mu)+\measuredangle(\gamma_-,p,\mu)=\pi$ для любых смежных углов $\measuredangle(\gamma_+,p,\mu)$ и $\measuredangle(\gamma_-,p,\mu)$. \ео \задача Пусть $M$ -- пространство неположительной кривизны в целом. Докажите, что в $M$ выполнено условие сравнения углов (для неположительной кривизны). \ез \указание Воспользуйтесь монотонностью углов. \еу \задача[!] Пусть $M$ -- пространство неотрицательной кривизны в целом. Докажите, что в $M$ выполнено условие сравнения углов (для неотрицательной кривизны). Не забудьте проверить, что сумма смежных углов равна $\pi$. \ез \задача Пусть $a,b,c$ -- три точки в метрическом пространстве, а $d$ -- точка на кратчайшей, соединяющей $a$ и $c$. Рассмотрим треугольники сравнения $\triangle(\bar a,\bar b,\bar d)$, $\triangle(\bar c,\bar b,\bar d)$, и разместим их по разные стороны от отрезка $[\bar b,\bar d]$. \енум \итем Предположим, что $\measuredangle(\bar c,\bar b,\bar d) + \measuredangle(\bar a,\bar b,\bar d) \leq \pi$. Докажите, что $|\bar b\bar d|\geq d(b,d)$. \итем Предположим, что $\measuredangle(\bar c,\bar b,\bar d) + \measuredangle(\bar a,\bar b,\bar d) \geq \pi$. Докажите, что $|\bar b\bar d|\leq d(b,d)$. \ее \centerline{\epsfig{file=angles-comparison.eps,width=0.25\linewidth}} \ез \указание Воспользуйтесь леммой Александрова. \еу \задача[!] Пусть в $M$ выполнено условие сравнения углов (для неположительной кривизны). Докажите, что $M$ есть пространство неположительной кривизны в целом. \ез \указание Постройте, как в предыдущей задаче, четырехугольник $\bar a,\bar b$, $\bar c,\bar d$, и выведите из условия сравнения углов неравенство $\measuredangle(\bar c,\bar b,\bar d) + \measuredangle(\bar a,\bar b,\bar d) \geq \measuredangle(c,b,d) + \measuredangle(a,b,d)$. Примените теорему о сумме смежных углов. \еу \задача[*] Пусть в $M$ выполнено условие сравнения углов (для неотрицательной кривизны). Докажите, что $M$ есть пространство неотрицательной кривизны в целом. \ез %\задача[*] %Пусть $M$ -- пространство неположительной кривизны в целом. %Докажите, что конус $C(M)$ -- тоже пространство неположительной %кривизны в целом. %\ез \задача[**] Пусть сумма углов любого геодезического треугольника в $M$ не превосходит $\pi$. Следует ли из этого, что $M$ есть пространство неположительной кривизны? \ез \end{document}