\documentclass[12pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{20mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-12mm} %\addtolength{\textwidth}{25mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 08.10.2012 %version 1.1,\ \ 16.10.2012 Sasha Anan'in prislal. %version 1.1,\ \ 18.10.2012 Eshche odna, ot nego zhe %version 1.2,\ \ 09.11.2012 задача 6.8 снова %version 1.3,\ \ 10.11.2012 Еще две ошибки (Павел Томас, Саша Бердников) \newcommand{\version}{version 1.3,\ \ 10.11.2012} \newcommand{\firstdate}{18.10.2012} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{6}{Гиперболические группы 6: углы и конусы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 21 дней после выдачи, 1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Углы и пространства направлений} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Внутренняя метрика в метрическом пространстве $M$ называется {\бф строго внутренней}, если любые две точки $x,y\in M$ можно соединить {\bf кратчайшей}, то есть путем $\gamma$ с $L_d(\gamma)=d(x,y)$. Кратчайшая $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ {\бф имеет геодезическую параметризацию}, если это отображение -- изометрия. \ео \замечание В прошлом листочке было доказано, что внутренняя метрика в полном, локально компактном метрическом пространстве является строго внутренней. В этом листочке можно пользоваться этим фактом. Также, все метрические пространства, которые тут упоминаются, по умолчанию считаются наделенными строго внутренней метрикой, которая, ко всему прочему, {\бф конечна}, то есть не принимает значения $\infty$, а все кратчайшие - снабженными геодезической параметризацией. \еза \определение Пусть $a,b,c$ -- точки в метрическом пространстве $(M,d)$. Здесь и в дальнейшем $\R^2$ предполагается метрическим пространством, с обычной (евклидовой) метрикой. {\бф Треугольник сравнения} $\triangle(\bar a,\bar b,\bar c)$ есть треугольник в $\R^2$, с вершинами $\bar a, \bar b, \bar c$, и сторонами $|\bar a, \bar b| = d(a,b)$, $|\bar a, \bar c| = d(a,c)$, и $|\bar b, \bar c| = d(b,c)$ (такой треугольник, очевидно, существует, и определен единственно с точностью до конгруэнтности). Угол $\measuredangle(\bar a, \bar b, \bar c)$ в треугольнике $\bar a, \bar b, \bar c$ обозначается $\theta(a, b, c)$; он называется {\бф углом сравнения}. \ео \определение Пусть $\gamma_1:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma_2:\; [0,b]\arrow M$ два пути в метрическом пространстве $M$, $\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p$. {\бф Угол} между путями $\gamma_1, \gamma_2$ в $p$ есть число \[ \measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2):= \lim_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)), \] если такой предел существует (в противном случае, говорится, что {\бф угол между $\gamma_1$ и $\gamma_2$ не существует}). {\бф Верхний угол} есть \[ \measuredangle_\sup(\gamma_1, p, \gamma_2):= \operatorname{{\lim\sup}}\limits_{t,s\rightarrow 0} \theta(\gamma_1(t), p, \gamma_2(s)), \] где $\lim\sup$ обозначает супремум всех предельных точек последовательностей $\theta(\gamma_1(t_i), p, \gamma_2(s_j))$, для всех $t_i, s_j$ сходящихся к 0. \ео \задача Пусть $\gamma_1, \gamma_2$ -- гладкие пути в $\R^n$. докажите, что угол $\measuredangle(\gamma_1, p, \gamma_2)$ существует и равен углу между соответствующими касательными. \ез \задача Пусть $\gamma:\; :\; [0,a]\arrow M$ -- кратчайшая (наделенная, как всегда, геодезической параметризацией), а $\gamma(0)=p$. Докажите, что угол $\measuredangle_\sup(\gamma, p, \gamma)$ существует и равен нулю. \ез \задача Пусть $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ -- кратчайшая, а $\gamma(b)=p$, для какого-то $0> задает отношение эквивалентности на множестве всех путей \[ \gamma:\; [0,a]\arrow M,\ \ \gamma(0)=p, \] имеющих направление. \ез \определение {\бф Пространство направлений} в точке $p$ есть множество классов эквивалентности путей $\gamma:\; [0,a]\arrow M$, $\gamma(0)=p$, нетривиальных в любой окрестности 0 и имеющих направление, по отношению $\sim$, заданному выше. \ео \задача Докажите, что $\measuredangle_\sup(\alpha, p,\beta)$ задает метрику на пространстве направлений. \ез \задача[*] Докажите, что пространство направлений для $\R^n$ изометрично $(n-1)$-мерной сфере. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Произведения и конусы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $(X,d_X)$ и $(Y,d_Y)$ -- метрические пространства. Рассмотрим функцию $d:\; (X\times Y)\times (X\times Y)\arrow \R^{\geq 0}\cup\infty$: \[ d((x_1,y_1), (x_2,y_2))=\sqrt{d_X(x_1,x_2)^2 + d_Y(y_1,y_2)^2}. \] \енум \итем Докажите, что $d$ это метрика. \итем[!] Докажите, что $d$ строго внутренняя, если $d_X$, $d_Y$ -- строго внутренние. \итем[*] Докажите, что $d$ внутренняя, если $d_X$, $d_Y$ -- внутренние \ее \ез \указание Докажите наличие середин в $X\times Y$, и примените их наличие, чтобы построить кратчайшие. \еу \определение Эта метрика называется {\бф метрикой произведения}, а $(X\times Y,d)$ -- {\бф прямым произведением} метрических пространств. \ео \задача Пусть $\nu$ -- норма на $\R^2$, удовлетворяющая $\nu(x,y) \geq \nu(x',y')\forall x'\leq x, y'\leq y$ (то есть монотонная по каждой координате), а $d_\nu$ -- функция на $(X\times Y)\times (X\times Y)$, заданная формулой $d_\nu((x_1,y_1), (x_2,y_2))=\nu(d_X(x_1,x_2), d_Y(y_1,y_2))$. \енум \итем Докажите, что $d_\nu$ это метрика. \итем[*] Докажите, что $d_\nu$ -- строго внутренняя метрика, если $d_X$, $d_Y$ -- строго внутренние. \ее \ез \определение {\бф Диаметр} метрического пространства $M$ есть число $\sup_{x,y\in M}d(x,y)$. \ео \определение Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $\diam X\leq \pi$. Рассмотрим топологическое пространство $C(X)$ с топологией фактора, полученное из $X\times [0,\infty[$ склеиванием $X\times\{0\}$ в точку. Определим функцию $d_C:\; C(X)\times C(X)\arrow \R^{\geq 0}$ по формуле \[d(p,q)= \sqrt{t^2+s^2 -2ts\cos(d(x,y))}, \] где $p=(x,t), q=(y,s)$. В скором времени будет доказано, что $d_C$ есть метрика. Пространство $C(X)$ с вышеописанной метрикой называется {\бф метрическим конусом}, или просто {\бф конусом} над $X$. \ео \задача \label{_treu_for_cone_Zadacha_} Пусть $(\alpha,t), (\beta,s)$ -- точки в конусе $C(X)$, а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$ -- треугольник сравнения со сторонами $t,s$ и углом $\measuredangle(\bar a,\bar 0,\bar b)=d(\alpha,\beta)$. Докажите, что $d_C(a,b)=|\bar a, \bar b|$. \ез \задача \label{_inequa_for_cone_Zadacha_} Пусть $a=(\alpha,r), b=(\beta,s), c=(\gamma, t)$ -- три точки на $C(X)$, а $\triangle(\bar 0, \bar a,\bar b)$, $\triangle(\bar 0, \bar b,\bar c)$ соответствующие треугольники сравнения, с общей стороной $[\bar 0,\bar b]$, и отложенные по разные стороны от $(\bar 0, \bar b)$.\\ \centerline{\epsfig{file=cone-inequality.eps,width=0.30\linewidth}}\\ Докажите, что $d(a,c)\leq |\bar a,\bar c|$, если $d(\alpha, \beta)+d(\beta, \gamma) \leq \pi$. \ез \задача[!] Пусть $C(X)$ -- метрический конус, $d_C$ -- функция, определенная выше. Докажите, что это метрика. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_treu_for_cone_Zadacha_} и задачей \ref{_inequa_for_cone_Zadacha_}. Отдельно разберите случа $d(\alpha, \beta)+d(\beta, \gamma) \geq \pi$. \еу \задача[!] Пусть $X$ -- пространство со строго внутренней метрикой. Докажите, что метрика на $C(X)$ тоже строго внутренняя. \ез \задача Пусть $C(X)$ -- метрический конус, а $x\in X$. Докажите, что путь $\gamma:\; [0,a] \arrow C(X)$, переводящий $s$ в $(x,s)$ -- кратчайшая. \ез \задача Пусть $x,y\in X$, а $\gamma_1:=(x,[0,a])$, $\gamma_2:=(y,[0,b])\subset C(X)$ -- соответствующие кратчайшие в конусе. Докажите, что $\measuredangle(\gamma_1,0,\gamma_2)=d(x,y)$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Конус пространства с $\diam >\pi$.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $a>0$, а $d_a(x,y) = \min(d(x,y),a)$. Докажите, что $d_a(x,y)$ -- метрика. \ез \задача Пусть $d$ -- внутренняя метрика, и $d_a$ тоже. Докажите, что $d=d_a$. \ез \определение Сейчас мы определим метрический конус $C(X)$ для ситуации, когда $\diam(X)>\pi$. Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство, $d_\pi$ -- метрика на $X$, определенная выше. Определим $(C(X),d_C)$ как конус над $(X,d_\pi)$. \ео \задача[*] Пусть $(X,d)$ -- пространство с внутренней метрикой. Докажите, что метрика $d_C$ на $C(X)$ тоже внутренняя. \ез \определение {\бф Полиэдральное метрическое пространство размерности 2} -- это фактор метрического графа и объединения выпуклых многоугольников с евклидовой метрикой, полученный склеиванием сторон многоугольников с ребрами графа по непрерывному отображению из границы многоугольника в граф, задающему изометрию между сторонами многоугольника и соответствующими ребрами графа. Оно {\бф локально конечно}, если у каждой точки есть окрестность, изометричная конечному полиэдральному пространству (с конечным числом многоугольников). \ео \задача[*] Пусть $(Z,d)$ -- двумерное полиэдральное локально конечное метрическое пространство. Докажите, что у каждой точки $z\in Z$ есть окрестность, изометричная окрестности нуля в конусе над метрическим графом. \ез \end{document}