\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-10mm}
\addtolength{\textheight}{20mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   27.09.2012
%version 1.1,\ \   04.10.2012 - Andrej prislal 2 ochepyatki
%version 1.2, 11.10.2012 - очепятки от Димы Корба

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   11.10.2012}
\newcommand{\firstdate}{04.10.2012}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{4}{ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 4: Графы и факторпространства}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом  
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 21 дней после выдачи,
1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Топология фактора}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Все топологические пространства в этом курсе
предполагаются по умолчанию хаусдорфовыми.
Фактор-пространства с топологией фактора 
представляют собой исключение: они, за редкими
исключениями, нехаусдорфовы.
\еза

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, 
а $\sim$ -- отношение эквивалентности. 
Множество классов эквивалентности обозначается
 $M/\!\!\!\sim\!$. 
На $M/\!\!\!\sim\!$ вводится {\bf топология фактора}:
открытые подмножества
$M/\!\!\!\sim\!$ - такие подмножества, прообраз
которых в $M$ открыт.
Если на $M$ действует группа $G$,  возникает
естественное отношение эквивалентности: $x \sim y$ если
существует такое $g \in G$, что $g \cdot x = y$.
Фактор $M$ по этому отношению эквивалентности называется
{\bf факторпространством $M$ по действию $G$}, и обозначается
$M/G$. Классы эквивалентности называются {\bf $G$-орбитами}
в $M$.
\ео

\задача
Пусть $M$ -- хаусдорфово  топологическое пространство, а 
$G$ -- конечная группа, которая действует на $M$
гомеоморфизмами. Рассмотрим
факторпространство $M/G$ с топологией
фактора. Докажите, что $M/G$ хаусдорфово.
\ез

\указание
Пусть $x,y$ -- две точки, не принадлежащие
одной и той же $G$-орбите. Найдите у $x$, $y$
непересекающиеся $G$-инвариантные окрестности $U$, $U'$,
и возьмите $\bigcap_{g\in G} gU$, $\bigcap_{g\in G} gU'$.
\еу

\задача
Приведите пример,
когда $M$ хаусдорфово, а $M/G$ 
нехаусдорфово (и группа, соответственно, не конечна).
\ез

\определение
Пусть $\Gamma$ -- некоторый граф, то есть
набор данных вида ``множество вершин'' $\{\cal V\}$,
``множество ребер'' $\{\cal R\}$, и сведений о том,
какие вершины являются концами каких ребер.
\begin{center}
\epsfig{file=geom10a.eps,width=0.3\linewidth}
\end{center}
Более строго, $\Gamma$ можно определить как пару множеств
${\cal V}$, $\cal R$ и сюрьективное отображение
$\{{\cal R}\}\times\{0,1\} \stackrel\Gamma\arrow \{\cal V\}$. 
Введем на $\{{\cal R}\}\times [0,1]$,
отношение эквивалентности, порожденное следующим:
концы двух ребер эквивалентны, если они примыкают
к одной и той же вершине. Это отношение 
эквивалентности склеивает концы ребер, не затрагивая
внутренности отрезков.
Фактор  $\{{\cal R}\}\times [0,1]$ по этому
отношению эквивалентности называется
{\bf топологическим пространством графа}. 
\ео

\задача
Докажите, что топологическое пространство любого
графа хаусдорфово.
\ез

\задача[*]
Пусть $G$ -- группа, действующая на $M=\R^n$
гомеоморфизмами, с двумя или больше орбитами.
Может ли фактор $M/G$ иметь кодискретную топологию
(топологию, в которой открыто только само пространство
и пустое множество)? 
\ез

\задача[**]
Решите предыдущую задачу в предположении, что орбит ровно
две.
\ез

\задача
Пусть $\{U_\alpha\}$ -- открытое покрытие 
топологического пространства $M$. Рассмотрим
несвязное объединение $M':= \coprod_\alpha U_\alpha$,
и зададим на $M'$ отношение эквивалентности таким
образом: $x\sim y$, если их образы в $M$ совпадают.
Докажите, что $M'/\!\!\!\sim\!$ гомеоморфно $M$.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- топологическое пространство,
а $\sim$ -- отношение эквивалентности.
Предположим, что {\бф график} $\sim$ (то есть
подмножество в $M\times M$, состоящее из всех 
пар точек $(x,y)$ таких, что $x\sim y$)
замкнуто. Следует ли из этого хаусдорфовость
$M/\!\!\!\sim\!$ с топологией фактора?
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Внутренняя метрика и локальность}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение
отрезка $[a,b]= [a,x_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$
Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим
\[
L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).
\] 
Определим {\бф длину пути} $\gamma$ формулой
\[ L_d(\gamma):= \sup_{a<x_1< ... <x_{n-1}<b}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}).
\]
где супремум берется по всем разбиениям отрезка.
Путь $\gamma$ называется {\бф спрямляемым}, если
$L_d(\gamma)<\infty$. Метрика $d$ называется {\бф
внутренней}, если $d(x,y)=\inf_\gamma L_d(\gamma)$,
где инфимум берется по всем путям, соединяющим $x$ и $y$.
\ео

\задача
Пусть $M$, $M'$ -- метрические пространства, а
$f:\; M \arrow M'$ -- непрерывная биекция, такая, 
что у каждой точки $x\in M$ есть окрестность $U_x$,
причем ограничение $f\restrict{U_x}:\; U_x \arrow f(U_x)$ --
изометрия. 
\енум
\итем Докажите, что $f$ -- гомеоморфизм.
\итем Найдите $f$, удовлетворяющее этим условиям, и 
такое, что $M$ и $M'$ связные, но $f$ не изометрия.
\итем Пусть метрика в $M$ внутренняя. Докажите, что
$f$ 1-липшицева: $d(x,y) \geq d(f(x), f(y))$.
\итем Пусть метрика в $M'$ внутренняя. 
Докажите, что $d(x,y) \leq d(f(x), f(y))$.
\ее 
\ез

\замечание
Когда говорится "метрика на топологическом пространстве",
по умолчанию предполагается, что эта метрика согласована
с топологией.
\еза

\определение
Метрика $d$ на топологическом пространстве $M$ называется {\бф локальной},
если для каждого открытого покрытия $\{U_\alpha\}$,
и для каждой метрики $d'$ на $M$ такой, что
$d\restrict {U_\alpha}= d'\restrict {U_\alpha}$,
имеем $d\geq d'$.
\ео

\задача
Пусть $d$ -- внутренняя метрика. Докажите, что $d$ локальна.
\ез

\задача
Постройте метрику на $\R$, не внутреннюю, но удовлетворяющую
$d(x,y)=|x-y|$ для любого $|x-y|\leq 1$.
\ез

\задача
Пусть $d$ -- метрика, а 
$d_\epsilon(x,y) = \inf\sum_{i=0}^{n-1} d(p_i, p_{i+1})$,
где $p_0=x$, $p_n=y$, а инфимум берется по всем последовательностям
$p_i$ таким, что $d(p_i, p_{i+1})<\epsilon$. Докажите, что
$d_\epsilon=d$ на каждом шаре радиуса $\epsilon/2$.
\ез

\задача[*]
Пусть $d$ -- полная метрика, такая, что $d=d_\epsilon$,
для любого $\epsilon >0$. Докажите, что $d$ -- внутренняя.
\ез


\задача[*]
Пусть $d$ -- полная локальная метрика. 
Докажите, что $d$ -- внутренняя.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Полуметрики на факторпространстве}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
{\бф Полуметрика} на $X$ есть функция
$d:\; X \times X \to \R^{\geq 0}\cup \infty$, удовлетворяющая
неравенству треугольника, $d(x,z) \leq  d(x,y) + d(y,z)$, $d(x,x)=0$
и $d(x,y)=d(y,x)$, но (в отличие от метрики) 
не обязательно строго положительная при $x\neq y$.
\ео

\задача
\label{_Metri_facto_Zadacha_}
Пусть $d$ -- полуметрика на $X$. 
\енум
\итем Докажите, что
соотношение "$x\sim y$, если $d(x,y)=0$" -- отношение 
эквивалентности. 
\итем Докажите, что существует метрика $d_0$ на $X/\!\!\!\sim\!$
такая, что $d(x,y) = d_0(x_0,y_0)$, где $x_0, y_0\in
X/\!\!\!\sim\!$ -- точки фактора, соответствующие $x, y$.
\ее
\ез

\задача
Пусть $d_\alpha$ -- набор полуметрик, а
$d(x,y):= \sup_{\alpha}d_\alpha(x,y)$.
 Докажите, что $d(x,y)$ -- полуметрика.
\ез

\задача[!]
Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности
на метрическом пространстве $(X, d)$.
Определим функцию $d_\sim:\; X/\!\!\!\sim\! \times X/\!\!\!\sim\! \arrow \R^{\geq 0}$ 
на факторе $X/\!\!\!\sim\!$ по формуле 
\[ d_\sim (x,y) = \inf\sum_{i=0}^{n-1} 
   d(p_i, q_{i+1}),
\]
где инфимум берется по всем наборам точек
$p_i, q_i\in X$ таким, что $p_0\sim x, q_n \sim y$, и $p_i \sim q_i$.
Докажите, что $d_\sim$ -- полуметрика на $X/\!\!\!\sim\!$.
\ез

\определение
Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности
на метрическом пространстве $(X, d)$.
Определенная выше полуметрика $d_\sim$ на $X/\!\!\!\sim\!$
называется {\бф полуметрикой факторпространства}.
{\бф Метрическое факторпространство} получается
из $X/\!\!\!\sim\!$ дополнительным отождествлением 
всех точек $x,y$ таких,
что $d_\sim(x,y)=0$, с метрикой, которая
индуцирована с $d_\sim$, как в задаче \ref{_Metri_facto_Zadacha_}.
\ео

\задача[!]
Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности
на метрическом пространстве $(X, d)$.
Докажите, что $d_\sim(x,y)=\sup_\alpha d_\alpha(x,y)$,
где $\{d_\alpha\}$ -- множество всех полуметрик на $X/\!\!\!\sim\!$,
удовлетворяющих $d_\alpha(p_0,q_0) \leq d(p,q)$ для любых
$p_0, q_0 \in X/\!\!\!\sim\!$, и любых $p,q\in X$ в классах эквивалентности
$p_0, q_0$.
\ез

\задача
Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности
на метрическом пространстве $(X, d)$. Рассмотрим
$X/\!\!\!\sim\!$ как топологическое пространство с топологией
фактора, и пусть $(X/\!\!\!\sim\!, d_\sim)$ -- топологическое
пространство, с топологией, базой которой являются
открытые $d_\sim$-шары. 
\енум
\итем
Докажите, что тождественное
отображение $X/\!\!\!\sim\!\arrow (X/\!\!\!\sim\!, d_\sim)$
непрерывно.
\итем
Приведите пример, когда это отображение -- не гомеоморфизм.
\ее
\ез

\задача
Пусть $M$ -- пространство с внутренней метрикой,
а $\{U_\alpha\}$ -- открытое покрытие $M$. Рассмотрим
пространство $\coprod_\alpha U_\alpha$, с метрикой
на $U_\alpha$, индуцированной с $M$, и пусть $x\sim y$, если
$x$ и $y$ отвечают одной и той же точке на $M$. Докажите, что
$M$ есть метрический фактор $\coprod_\alpha U_\alpha$ по $\sim$.
\ез


\задача[!]
Пусть $G$ -- группа, действующая на метрическом пространстве
$(X,d)$ изометриями, а $x \sim y$, если $x$ и $y$ лежат
в одной орбите $G$. Докажите, что $d_\sim(a,b)$ есть
инфимум расстояний между представителями $a, b$ в $X$.
\ез

\задача[*]
Пусть $G$ -- группа, действующая на метрическом пространстве
$(X,d)$ изометриями, а $d$ внутренняя. Докажите, что метрика
на метрическом факторе -- тоже внутренняя.
\ез

\задача[!]
Пусть $\Gamma\cong\Z^2$ свободно действует на $M=\R^2$ параллельными
переносами, а $(Z, d_Z)$ -- {\бф метрический фактор 
$M$ по действию $\Gamma$} (т.е. метрический
фактор $M$ по соотношению эквивалентности $x \sim y$, если $x$ и $y$ лежат
в одной орбите $\Gamma$). Докажите, что
$Z$ гомеоморфно тору либо изометрично
$\R$.
\ез

\задача[*]
Пусть $\Gamma=\Z$ свободно действует на $M=\R^2$ 
поворотами. Докажите, что метрический фактор
$M/\Gamma$ изометричен $\R^{\geq 0}$ с обычной метрикой.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- область в $\R^2$, заданная неравенствами
$0\leq y \leq e^{-x}$, $x\geq 0$, а $\sim$ -- отношение
эквивалентности на $M$, склеивающее $x,0$ с $(x+1, e^{-x-1})$.
\енум
\итем Докажите, что $d_\sim$ задает метрику на
факторе $M/\!\!\!\sim\!$.
\итем[*] Докажите, что сей фактор гомеоморфен 
замкнутому диску без точки.
\итем[*] Верно ли, что метрическое пространство
$(M/\!\!\!\sim\!, d_\sim)$ имеет бесконечный диаметр?
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $M= \R^2\backslash 0$, с обычной метрикой.
Рассмотрим отношение эквивалентности на $M$, полученное
склейкой $(x,y)\sim (-y, 2x)$. 
\енум 
\итем Докажите, что $d_\sim=0$.
\итем Докажите, что $\R^2\backslash 0/\!\sim$ с топологией
фактора -- это двумерный тор.
\ее
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Метрические графы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $X=[0,1]$ отрезок с обычной метрикой,
а $x\sim y$, если это концы отрезка или $x=y$.
Докажите, что $d/\!\!\!\sim\!$ на $X/\!\!\!\sim\!$ -- метрика
на окружности, где расстояние между точками
равно углу между ними умножить на константу.
\ез

\определение
{\бф Несвязное объединение} метрических
пространств $(X_\alpha, d_\alpha)$ есть
$\coprod X_\alpha$ с метрикой $d(x,y)$
которая равна $d_\alpha(x,y)$, когда $x$ и $y$ лежат
в $X_\alpha$, и $\infty$ в противном случае.
\ео

\определение
Пусть $I_\alpha$ -- набор отрезков,
изометричных $[0,x_\alpha]$, а $\sim$ -- отношение
эквивалентности, полученное склейкой некоторых вершин.
Метрический фактор $\coprod_\alpha I_\alpha$
называется {\бф метрическим графом}.
Он называется {\бф локально конечным}, 
если каждая точка отождествляется с конечным
числом точек.
\ео

\задача
Пусть $I_\alpha$ -- набор отрезков,
изометричных $[0,x_\alpha]$, $\Gamma$ -- полученный
из них метрический граф, а $I_\alpha^0$ -- их
внутренности.
Докажите, что естественное отображение
$\coprod_\alpha I_\alpha^0\arrow \Gamma$ -- вложение.
\ез

\задача
Докажите, что метрика на метрическом графе
всегда внутренняя.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- компактный метрический граф.
Может ли группа $\pi_1(M)$ быть бесконечно порожденной?
\ез

\задача 
Пусть 
$M$ -- метрический граф, а $M_0$ -- топологический
граф, полученный как топологический 
фактор $\coprod_\alpha I_\alpha$ по тому же соотношению
эквивалентности.
\енум
\итем Докажите, что тавтологическое отображение
$M_0 \stackrel \tau \arrow M$ непрерывно.
\итем[!] Докажите, что для любого локально
конечного графа, $\tau$ -- гомеоморфизм.
\итем[*] Постройте пример графа, для которого
$\tau$ не биекция.
\итем[*] Постройте пример графа, для которого
$\tau$ биекция, но не гомеоморфизм.
\ее
\ез

\NewVedomost

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Графы Кэли и метрика слов на группе}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $G$ -- группа.
Множество $S\subset G$ называется {\бф набором
образующих}, если все элементы $G$ выражаются
через произведения элементов $x_i, x_j^{-1}$, для
каких-то $x_i, x_j \in S$. Каждое такое произведение
называется {\бф словом} от $x_i, x_j^{-1}$.
В дальнейшем, мы будем предполагать по умолчанию,
что любой набор образующих $S$ содержит $x^{-1}$
вместе с каждым $x\in S$.
\ео

\определение
Пусть $G$ -- группа, а $S\subset G$ -- набор
образующих. {\бф Граф Кэли $G$} есть метрический граф,
полученный следующим образом.  Вершины графа Кэли
суть элементы $G$, а ребра соединяют две вершины $g, g'$,
если $g'=gs$, где $s\in S$. Длины всех ребер графа Кэли
равны 1.
\ео

\определение
Группа $G$ называется {\бф свободной},
если это фундаментальная группа букета окружностей.
\ео

\задача
Докажите, что граф Кэли группы односвязен тогда и только
тогда, когда эта группа свободна.
\ез

\задача
Докажите, что любая подгруппа свободной группы
свободна.
\ез

\определение
Пусть $G$ -- группа, а $S\subset G$ -- набор
образующих. {\бф Метрика слов} $d_S$ на группе есть
метрика на $G$ как на множестве вершин графа Кэли.
\ео

\задача
Пусть $G$ -- группа, $S\subset G$ -- набор
образующих, а $d_S$ -- метрика слов.
Докажите, что $d_S(1,w)$ есть длина самого
короткого слова $s_1 s_2 ... s_N$, $s_i\in S$,
представляющего $w$.
\ез

\задача[!]
Пусть $G$ -- группа, а $S_1, S_2\subset G$ -- два конечных
набора образующих.  Докажите, что
тождественное отображение $(G,d_{S_1}) \arrow (G,d_{S_2})$ --
липшицево.
\ез

\определение 
Метрика $d$ на группе $G$ называется 
{\бф левоинвариантной}, если $d(x,y)= d(gx,gy)$
\ео

\задача
Докажите, что метрика слов на группе левоинвариантна.
\ез


\определение
Две метрики $d,d'$ на группе $G$ называются {\бф эквивалентными},
если тождественное отображение $(G,d) \arrow (G,d')$
липшицево, и обратное к нему тоже липшицево.
\ео

\задача[*]
Постройте левоинвариантную метрику на группе $\Z$,
не эквивалентную метрике слов, все шары в которой 
имеют конечное число элементов.
\ез

\задача[*]
Обозначим за $|B_r(z)|$ число элементов в $r$-шаре
с центром в $z$. Постройте левоинвариантnую метрику
на $\Z$, такую, что для каких-то констант $A, B>0$,
выполнено $e^{Ar}\geq |B_r(0)| \geq  e^{Br}$
(для каждого $r>0$).
\ез

\задача[**]
Пусть $d$ -- конечная левоинвариантная метрика на $\Z^n$,
такая, что для каких-то констант $A, B>0$ и любого $r$, 
$Ar^n \geq |B_r(0)| \geq B r^n$.
Докажите, что $d$ эквивалентна метрике слов.
\ез

\задача[**]
Пусть $d$ -- конечная левоинвариантная метрика на группе
$G$, такая, что все шары имеют конечное число элементов,
и задана константа $C>0$, такая, что для любых $x,y \in G$ 
существует $z\in G$, удовлетворяющий $d(x,z) \leq \frac{d(x,y)}2 +C$ и
$d(y,z) \leq \frac{d(x,y)}2 +C$. Докажите, что $d$
эквивалентна метрике слов.
\ез






\end{document}
