\documentclass[10pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{20mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-7mm} \addtolength{\textwidth}{15mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 27.09.2012 %version 1.1,\ \ 04.10.2012 - Andrej prislal 2 ochepyatki %version 1.2, 11.10.2012 - очепятки от Димы Корба \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 11.10.2012} \newcommand{\firstdate}{04.10.2012} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{4}{ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 4: Графы и факторпространства} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 21 дней после выдачи, 1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Топология фактора} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Все топологические пространства в этом курсе предполагаются по умолчанию хаусдорфовыми. Фактор-пространства с топологией фактора представляют собой исключение: они, за редкими исключениями, нехаусдорфовы. \еза \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, а $\sim$ -- отношение эквивалентности. Множество классов эквивалентности обозначается $M/\!\!\!\sim\!$. На $M/\!\!\!\sim\!$ вводится {\bf топология фактора}: открытые подмножества $M/\!\!\!\sim\!$ - такие подмножества, прообраз которых в $M$ открыт. Если на $M$ действует группа $G$, возникает естественное отношение эквивалентности: $x \sim y$ если существует такое $g \in G$, что $g \cdot x = y$. Фактор $M$ по этому отношению эквивалентности называется {\bf факторпространством $M$ по действию $G$}, и обозначается $M/G$. Классы эквивалентности называются {\bf $G$-орбитами} в $M$. \ео \задача Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство, а $G$ -- конечная группа, которая действует на $M$ гомеоморфизмами. Рассмотрим факторпространство $M/G$ с топологией фактора. Докажите, что $M/G$ хаусдорфово. \ез \указание Пусть $x,y$ -- две точки, не принадлежащие одной и той же $G$-орбите. Найдите у $x$, $y$ непересекающиеся $G$-инвариантные окрестности $U$, $U'$, и возьмите $\bigcap_{g\in G} gU$, $\bigcap_{g\in G} gU'$. \еу \задача Приведите пример, когда $M$ хаусдорфово, а $M/G$ нехаусдорфово (и группа, соответственно, не конечна). \ез \определение Пусть $\Gamma$ -- некоторый граф, то есть набор данных вида ``множество вершин'' $\{\cal V\}$, ``множество ребер'' $\{\cal R\}$, и сведений о том, какие вершины являются концами каких ребер. \begin{center} \epsfig{file=geom10a.eps,width=0.3\linewidth} \end{center} Более строго, $\Gamma$ можно определить как пару множеств ${\cal V}$, $\cal R$ и сюрьективное отображение $\{{\cal R}\}\times\{0,1\} \stackrel\Gamma\arrow \{\cal V\}$. Введем на $\{{\cal R}\}\times [0,1]$, отношение эквивалентности, порожденное следующим: концы двух ребер эквивалентны, если они примыкают к одной и той же вершине. Это отношение эквивалентности склеивает концы ребер, не затрагивая внутренности отрезков. Фактор $\{{\cal R}\}\times [0,1]$ по этому отношению эквивалентности называется {\bf топологическим пространством графа}. \ео \задача Докажите, что топологическое пространство любого графа хаусдорфово. \ез \задача[*] Пусть $G$ -- группа, действующая на $M=\R^n$ гомеоморфизмами, с двумя или больше орбитами. Может ли фактор $M/G$ иметь кодискретную топологию (топологию, в которой открыто только само пространство и пустое множество)? \ез \задача[**] Решите предыдущую задачу в предположении, что орбит ровно две. \ез \задача Пусть $\{U_\alpha\}$ -- открытое покрытие топологического пространства $M$. Рассмотрим несвязное объединение $M':= \coprod_\alpha U_\alpha$, и зададим на $M'$ отношение эквивалентности таким образом: $x\sim y$, если их образы в $M$ совпадают. Докажите, что $M'/\!\!\!\sim\!$ гомеоморфно $M$. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- топологическое пространство, а $\sim$ -- отношение эквивалентности. Предположим, что {\бф график} $\sim$ (то есть подмножество в $M\times M$, состоящее из всех пар точек $(x,y)$ таких, что $x\sim y$) замкнуто. Следует ли из этого хаусдорфовость $M/\!\!\!\sim\!$ с топологией фактора? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Внутренняя метрика и локальность} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение отрезка $[a,b]= [a,x_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$ Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим \[ L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}). \] Определим {\бф длину пути} $\gamma$ формулой \[ L_d(\gamma):= \sup_{a0$. Докажите, что $d$ -- внутренняя. \ез \задача[*] Пусть $d$ -- полная локальная метрика. Докажите, что $d$ -- внутренняя. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Полуметрики на факторпространстве} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Полуметрика} на $X$ есть функция $d:\; X \times X \to \R^{\geq 0}\cup \infty$, удовлетворяющая неравенству треугольника, $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$, $d(x,x)=0$ и $d(x,y)=d(y,x)$, но (в отличие от метрики) не обязательно строго положительная при $x\neq y$. \ео \задача \label{_Metri_facto_Zadacha_} Пусть $d$ -- полуметрика на $X$. \енум \итем Докажите, что соотношение "$x\sim y$, если $d(x,y)=0$" -- отношение эквивалентности. \итем Докажите, что существует метрика $d_0$ на $X/\!\!\!\sim\!$ такая, что $d(x,y) = d_0(x_0,y_0)$, где $x_0, y_0\in X/\!\!\!\sim\!$ -- точки фактора, соответствующие $x, y$. \ее \ез \задача Пусть $d_\alpha$ -- набор полуметрик, а $d(x,y):= \sup_{\alpha}d_\alpha(x,y)$. Докажите, что $d(x,y)$ -- полуметрика. \ез \задача[!] Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности на метрическом пространстве $(X, d)$. Определим функцию $d_\sim:\; X/\!\!\!\sim\! \times X/\!\!\!\sim\! \arrow \R^{\geq 0}$ на факторе $X/\!\!\!\sim\!$ по формуле \[ d_\sim (x,y) = \inf\sum_{i=0}^{n-1} d(p_i, q_{i+1}), \] где инфимум берется по всем наборам точек $p_i, q_i\in X$ таким, что $p_0\sim x, q_n \sim y$, и $p_i \sim q_i$. Докажите, что $d_\sim$ -- полуметрика на $X/\!\!\!\sim\!$. \ез \определение Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности на метрическом пространстве $(X, d)$. Определенная выше полуметрика $d_\sim$ на $X/\!\!\!\sim\!$ называется {\бф полуметрикой факторпространства}. {\бф Метрическое факторпространство} получается из $X/\!\!\!\sim\!$ дополнительным отождествлением всех точек $x,y$ таких, что $d_\sim(x,y)=0$, с метрикой, которая индуцирована с $d_\sim$, как в задаче \ref{_Metri_facto_Zadacha_}. \ео \задача[!] Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности на метрическом пространстве $(X, d)$. Докажите, что $d_\sim(x,y)=\sup_\alpha d_\alpha(x,y)$, где $\{d_\alpha\}$ -- множество всех полуметрик на $X/\!\!\!\sim\!$, удовлетворяющих $d_\alpha(p_0,q_0) \leq d(p,q)$ для любых $p_0, q_0 \in X/\!\!\!\sim\!$, и любых $p,q\in X$ в классах эквивалентности $p_0, q_0$. \ез \задача Пусть $\sim$ -- отношение эквивалентности на метрическом пространстве $(X, d)$. Рассмотрим $X/\!\!\!\sim\!$ как топологическое пространство с топологией фактора, и пусть $(X/\!\!\!\sim\!, d_\sim)$ -- топологическое пространство, с топологией, базой которой являются открытые $d_\sim$-шары. \енум \итем Докажите, что тождественное отображение $X/\!\!\!\sim\!\arrow (X/\!\!\!\sim\!, d_\sim)$ непрерывно. \итем Приведите пример, когда это отображение -- не гомеоморфизм. \ее \ез \задача Пусть $M$ -- пространство с внутренней метрикой, а $\{U_\alpha\}$ -- открытое покрытие $M$. Рассмотрим пространство $\coprod_\alpha U_\alpha$, с метрикой на $U_\alpha$, индуцированной с $M$, и пусть $x\sim y$, если $x$ и $y$ отвечают одной и той же точке на $M$. Докажите, что $M$ есть метрический фактор $\coprod_\alpha U_\alpha$ по $\sim$. \ез \задача[!] Пусть $G$ -- группа, действующая на метрическом пространстве $(X,d)$ изометриями, а $x \sim y$, если $x$ и $y$ лежат в одной орбите $G$. Докажите, что $d_\sim(a,b)$ есть инфимум расстояний между представителями $a, b$ в $X$. \ез \задача[*] Пусть $G$ -- группа, действующая на метрическом пространстве $(X,d)$ изометриями, а $d$ внутренняя. Докажите, что метрика на метрическом факторе -- тоже внутренняя. \ез \задача[!] Пусть $\Gamma\cong\Z^2$ свободно действует на $M=\R^2$ параллельными переносами, а $(Z, d_Z)$ -- {\бф метрический фактор $M$ по действию $\Gamma$} (т.е. метрический фактор $M$ по соотношению эквивалентности $x \sim y$, если $x$ и $y$ лежат в одной орбите $\Gamma$). Докажите, что $Z$ гомеоморфно тору либо изометрично $\R$. \ез \задача[*] Пусть $\Gamma=\Z$ свободно действует на $M=\R^2$ поворотами. Докажите, что метрический фактор $M/\Gamma$ изометричен $\R^{\geq 0}$ с обычной метрикой. \ез \задача Пусть $M$ -- область в $\R^2$, заданная неравенствами $0\leq y \leq e^{-x}$, $x\geq 0$, а $\sim$ -- отношение эквивалентности на $M$, склеивающее $x,0$ с $(x+1, e^{-x-1})$. \енум \итем Докажите, что $d_\sim$ задает метрику на факторе $M/\!\!\!\sim\!$. \итем[*] Докажите, что сей фактор гомеоморфен замкнутому диску без точки. \итем[*] Верно ли, что метрическое пространство $(M/\!\!\!\sim\!, d_\sim)$ имеет бесконечный диаметр? \ее \ез \задача[!] Пусть $M= \R^2\backslash 0$, с обычной метрикой. Рассмотрим отношение эквивалентности на $M$, полученное склейкой $(x,y)\sim (-y, 2x)$. \енум \итем Докажите, что $d_\sim=0$. \итем Докажите, что $\R^2\backslash 0/\!\sim$ с топологией фактора -- это двумерный тор. \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Метрические графы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $X=[0,1]$ отрезок с обычной метрикой, а $x\sim y$, если это концы отрезка или $x=y$. Докажите, что $d/\!\!\!\sim\!$ на $X/\!\!\!\sim\!$ -- метрика на окружности, где расстояние между точками равно углу между ними умножить на константу. \ез \определение {\бф Несвязное объединение} метрических пространств $(X_\alpha, d_\alpha)$ есть $\coprod X_\alpha$ с метрикой $d(x,y)$ которая равна $d_\alpha(x,y)$, когда $x$ и $y$ лежат в $X_\alpha$, и $\infty$ в противном случае. \ео \определение Пусть $I_\alpha$ -- набор отрезков, изометричных $[0,x_\alpha]$, а $\sim$ -- отношение эквивалентности, полученное склейкой некоторых вершин. Метрический фактор $\coprod_\alpha I_\alpha$ называется {\бф метрическим графом}. Он называется {\бф локально конечным}, если каждая точка отождествляется с конечным числом точек. \ео \задача Пусть $I_\alpha$ -- набор отрезков, изометричных $[0,x_\alpha]$, $\Gamma$ -- полученный из них метрический граф, а $I_\alpha^0$ -- их внутренности. Докажите, что естественное отображение $\coprod_\alpha I_\alpha^0\arrow \Gamma$ -- вложение. \ез \задача Докажите, что метрика на метрическом графе всегда внутренняя. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- компактный метрический граф. Может ли группа $\pi_1(M)$ быть бесконечно порожденной? \ез \задача Пусть $M$ -- метрический граф, а $M_0$ -- топологический граф, полученный как топологический фактор $\coprod_\alpha I_\alpha$ по тому же соотношению эквивалентности. \енум \итем Докажите, что тавтологическое отображение $M_0 \stackrel \tau \arrow M$ непрерывно. \итем[!] Докажите, что для любого локально конечного графа, $\tau$ -- гомеоморфизм. \итем[*] Постройте пример графа, для которого $\tau$ не биекция. \итем[*] Постройте пример графа, для которого $\tau$ биекция, но не гомеоморфизм. \ее \ез \NewVedomost %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Графы Кэли и метрика слов на группе} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $G$ -- группа. Множество $S\subset G$ называется {\бф набором образующих}, если все элементы $G$ выражаются через произведения элементов $x_i, x_j^{-1}$, для каких-то $x_i, x_j \in S$. Каждое такое произведение называется {\бф словом} от $x_i, x_j^{-1}$. В дальнейшем, мы будем предполагать по умолчанию, что любой набор образующих $S$ содержит $x^{-1}$ вместе с каждым $x\in S$. \ео \определение Пусть $G$ -- группа, а $S\subset G$ -- набор образующих. {\бф Граф Кэли $G$} есть метрический граф, полученный следующим образом. Вершины графа Кэли суть элементы $G$, а ребра соединяют две вершины $g, g'$, если $g'=gs$, где $s\in S$. Длины всех ребер графа Кэли равны 1. \ео \определение Группа $G$ называется {\бф свободной}, если это фундаментальная группа букета окружностей. \ео \задача Докажите, что граф Кэли группы односвязен тогда и только тогда, когда эта группа свободна. \ез \задача Докажите, что любая подгруппа свободной группы свободна. \ез \определение Пусть $G$ -- группа, а $S\subset G$ -- набор образующих. {\бф Метрика слов} $d_S$ на группе есть метрика на $G$ как на множестве вершин графа Кэли. \ео \задача Пусть $G$ -- группа, $S\subset G$ -- набор образующих, а $d_S$ -- метрика слов. Докажите, что $d_S(1,w)$ есть длина самого короткого слова $s_1 s_2 ... s_N$, $s_i\in S$, представляющего $w$. \ез \задача[!] Пусть $G$ -- группа, а $S_1, S_2\subset G$ -- два конечных набора образующих. Докажите, что тождественное отображение $(G,d_{S_1}) \arrow (G,d_{S_2})$ -- липшицево. \ез \определение Метрика $d$ на группе $G$ называется {\бф левоинвариантной}, если $d(x,y)= d(gx,gy)$ \ео \задача Докажите, что метрика слов на группе левоинвариантна. \ез \определение Две метрики $d,d'$ на группе $G$ называются {\бф эквивалентными}, если тождественное отображение $(G,d) \arrow (G,d')$ липшицево, и обратное к нему тоже липшицево. \ео \задача[*] Постройте левоинвариантную метрику на группе $\Z$, не эквивалентную метрике слов, все шары в которой имеют конечное число элементов. \ез \задача[*] Обозначим за $|B_r(z)|$ число элементов в $r$-шаре с центром в $z$. Постройте левоинвариантnую метрику на $\Z$, такую, что для каких-то констант $A, B>0$, выполнено $e^{Ar}\geq |B_r(0)| \geq e^{Br}$ (для каждого $r>0$). \ез \задача[**] Пусть $d$ -- конечная левоинвариантная метрика на $\Z^n$, такая, что для каких-то констант $A, B>0$ и любого $r$, $Ar^n \geq |B_r(0)| \geq B r^n$. Докажите, что $d$ эквивалентна метрике слов. \ез \задача[**] Пусть $d$ -- конечная левоинвариантная метрика на группе $G$, такая, что все шары имеют конечное число элементов, и задана константа $C>0$, такая, что для любых $x,y \in G$ существует $z\in G$, удовлетворяющий $d(x,z) \leq \frac{d(x,y)}2 +C$ и $d(y,z) \leq \frac{d(x,y)}2 +C$. Докажите, что $d$ эквивалентна метрике слов. \ез \end{document}