\documentclass[8pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-13mm}
\addtolength{\textheight}{25mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0, 17.09.2012
%version 1.1, 27.09.2012 - опечатки от Андрея Солдатенкова
%version 1.2, 04.10.2012 серьезные исправления от Андрея Ионова
% в той части, где про равномерную сходимость и длину
%version 1.3, 11.10.2012, очепятка в определении полунепрерывности
%version 1.4, 12.10.2012, две звездочки в 3.2
%version 1.5, 24.10.2012, 3\epsilon в задаче 3.7
%version 1.6, 23.11.2012, kakoj-to bred v zadache 3.22

\newcommand{\version}{version 1.56\ \   23.11.2012}
\newcommand{\firstdate}{27.09.2012}

%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{3}{ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 3: Внутренние метрики.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом  
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 21 дней после выдачи,
1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Длина пути в метрическом пространстве}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, а
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- путь. Рассмотрим разбиение
отрезка $[a,b]= [a,x_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b].$
Обозначим $x_0:= a, x_n := b$. Положим
\[
L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})= \sum_{i=0}^{n-1} d(x_i, x_{i+1}).
\] 
Определим {\бф длину пути} $\gamma$ формулой
\[ L_d(\gamma):= \sup_{a<x_1< ... <x_{n-1}<b}L_\gamma(x_1, ... x_{n-1}).
\]
где супремум берется по всем разбиениям отрезка.
Путь $\gamma$ называется {\бф спрямляемым}, если
$L_d(\gamma)<\infty$.
\ео

\задача[!]\label{_predel_podrazbienij_Zadacha_}
Пусть $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ --
спрямляемый путь в метрическом пространстве $M$,
a $x_0(N)= a < x_1(N)< ... < x_{n_N}(N) = b$ ---
последовательность разбиений отрезка, такая, что
$\lim\limits_{N\rightarrow \infty}\max_i |x_i(N)-x_{i-1}(N)|=0$.
Докажите, что 
$\lim\limits_{N\rightarrow \infty} L_\gamma(x_1(N),
..., x_{n_N}(N))=L_d(\gamma)$.
\ез

\задача[**]
Верно ли это, если путь не спрямляемый?
\ез

\определение
Путь $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$
называется {\бф кратчайшей}, если 
$L_d(\gamma)=d(a,b)$.
\ео

\задача
Пусть $\phi:\; [a,b]\rightarrow [a,b]$ -- гомеоморфизм,
а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- какой-то путь. Докажите, 
что $L_d(\gamma)=L_d(\phi\circ\gamma)$.
\ез

\задача
Найдите все кратчайшие в $\R^n$ с обычной метрикой.
\ез


\задача[*]
Найдите все кратчайшие на сфере $S^n$, с римановой 
метрикой, полученной ограничением римановой формы с $\R^{n+1}$.
\ез

\задача
Пусть $\gamma$ -- спрямляемый путь в метрическом
пространстве $M$, а $\phi:\; M \rightarrow M'$ -- $C$-липшицево
отображение. Докажите, что $\gamma \circ \phi$ -- спрямляемый
путь в $M'$.
\ез

\задача
Пусть $[a,b]=[a,x_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, b]$,
а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow \R^n$ -- путь в $\R^n$ с обычной метрикой,
причем $L_\gamma(x_1, ... x_{n-1})\geq  L_d(\gamma)-\epsilon$,
а $d(\gamma(x_i),\gamma(x_{i+1}))<\epsilon$.
Докажите, что $\gamma$ находится в $3\epsilon$-окрестности
объединения кратчайших, соединяющих $\gamma(a),\gamma(x_1), ..., 
\gamma(x_{n-1}), \gamma(b)$.
\ез

\задача[!]
Пусть $\gamma$ -- спрямляемый путь в $\R^n$, с обычной
метрикой. Докажите, что для каждого $\epsilon >0$
образ $\gamma$ содержится в объединении параллелепипедов
суммарного объема $\leq \epsilon$.
\ез

\задача
Постройте неспрямляемый путь в $\R^2$
\ез

\указание
Постройте кривую Пеано, сюрьективно отображающую
$[0,1]$ на квадрат, и примените предыдущую задачу.
\еу

\задача[*]
Пусть $M$ --  метрическое пространство, содержащее
непостоянный путь. Докажите, что в $M$ существует неспрямляемый путь.
\ез

\задача[**]
Постройте линейно связное компактное метрическое
пространство, в котором нет непостоянных спрямляемых путей,
либо докажите, что такого не существует.
\ез



\задача
Пусть $M$ -- метрическое пространство,
а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ -- спрямляемый путь. Докажите, что 
$L_d(\gamma\restrict{[a,c]})$ есть непрерывная
функция точки $c\in [a,b]$.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Внутренние метрики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Напомним определение класса допустимых путей и функционала длины.

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Говорится, что на $M$ {\бф задан класс допустимых путей},
если задано множество путей $[a,b] \rightarrow M$ такое, что
\begin{enumerate}
\item Для любых двух путей $[a,b] \stackrel {\gamma_1}\rightarrow M$
и $[b,c] \stackrel {\gamma_2}\rightarrow M$, удовлетворяющих
$\gamma_1(b)=\gamma_2(b)$, путь $\gamma:\; [a,c]\rightarrow M$,
равный $\gamma_1$ на $[a,b]$ и $\gamma_2$ на $[b,c]$,
тоже допустим. Такая операция называется "склейка путей".
\item
Если $\phi:\; [a,b]\rightarrow [c,d]$ линейное отображение,
а путь $\gamma:\; [c,d]\rightarrow M$ допустим, путь
$\phi\circ\gamma$ тоже допустим.
\item 
Для каждого пути $[a,b] \stackrel {\gamma}\rightarrow M$,
и отрезка $[c,d]\subset [a,b]$, ограничение
$\gamma\restrict{[c,d]}$ -- тоже допустимый путь.
\end{enumerate}
\ео 


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
допустимым классом путей. Функционал $L(\gamma)$, 
отображающий допустимые пути в числа, называется
{\бф функционалом длины}, если он удовлетворяет следующим
условиям.
\begin{enumerate}
\item (аддитивность длины) 
Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\rightarrow M$, 
и любого $b\in [a,c]$, $L(\gamma)=L(\gamma\restrict{[a,b]})+
L(\gamma\restrict{[b,c]})$, где $\gamma\restrict{[c,d]}$
обозначает ограничение пути, то есть функции $\gamma:\; [a,b]\rightarrow \R$
на отрезок $[c,d]\subset [a,b]$.
\item
(непрерывность длины пути как функции от координат концов)
Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\rightarrow M$, 
функция $L(\gamma\restrict{[a,b]})$
непрерывно зависит от $b\in [a,c]$.


\item 
Длина не меняется при замене параметра: если
$\phi:\; [a,b] \rightarrow [c,d]$ -- гомеоморфизм отрезков,
а $\gamma:\; [c,d] \rightarrow M$ и $\phi\circ \gamma:\; [a,b] \rightarrow M$ --
допустимые пути, то $L(\gamma)= L(\phi \circ \gamma)$.

\item
(длина пути согласована с топологией)
Пусть $Z$ -- замкнутое подмножество $M$, а $x\notin Z$
точка, не лежащая на $Z$. Тогда существует число $\epsilon >0$
такое, что любой путь, соединяющий $x$ с какой-то точкой $Z$,
имеет длину $\geq \epsilon$.
\end{enumerate}
\ео

\задача
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины.
Определим функцию $d:\;M\times M \rightarrow \R^{\geq 0}$
положив $d(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где
инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$. Докажите, что это метрика.
\ез



\задача[!]
Пусть $M$ -- метрическое пространство,
${\cal S}$ -- класс спрямляемых путей на $M$,
а $L_d(\gamma)$ -- длина пути. Докажите, что
${\cal S}$, $L_d$ удовлетворяет условиям
функционала длины.
\ез

\определение
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
${\cal S}$ -- класс спрямляемых путей на $M$,
а $L_d(\gamma)$ -- функционал длины.
{\бф Внутренняя метрика, связанная с $d$}
есть внутренняя метрика, определенная
по формуле $d(x,y):= \inf_\gamma L_d(\gamma)$,
где инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$; мы обозначаем ее $\hat d$.
\ео

\задача
Докажите, что $\hat d \geq d$,
для любого метрического пространства $(M,d)$.
\ез

\задача[!]
Пусть $\gamma_i:\; [a,b]\rightarrow M$ -- последовательность
спрямляемых путей, $L_d(\gamma_i)<C$,
равномерно сходящаяся к $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$.
Докажите, что $\gamma$ спрямляемый, и любая предельная
точка  $a$ последовательности
$L_d(\gamma_i)$ удовлетворяет $L_d(\gamma) \leq a$.
Приведите пример, когда $L_d(\gamma) \neq  \lim L_d(\gamma_i)$.
\ез

\задача
Зададим функцию $d:\; \R^2 \times \R^2 \rightarrow \R^{\geq 0}$
формулой \[ d((x_1,y_1), (x_2,y_2))= |x_1-x_2| +\sqrt{|y_1-y_2|}.\]
\енум
\итем Докажите, что это метрика
\итем Докажите, что $(\R^2, \hat d)$ несвязно.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство,
$(M, \hat d)$ -- оно же с внутренней метрикой.
Докажите, что для каждого спрямляемого пути $\gamma$ в $(M,d)$,
\енум
\итем $L_d(\gamma)\leq L_{\hat d}(\gamma)$.
\итем $L_d(\gamma)\geq L_{\hat d}(\gamma)$.
\итем Выведите из этого, что $\hat d=\hat{\hat d}$.
\ее
\ез

\указание
Первое следует из $d\leq \hat d$ (докажите).
Чтобы доказать второе, распишите
\begin{multline*} L_{\hat d}(\gamma) - \epsilon_1 \leq 
\sum_{i=1}^n \hat d(\gamma(x_i), \gamma(x_{i+1})) \leq \\ \leq
\sum_{i=1}^n \left[\sum_{j=0}^{n_i-1} 
d(\gamma(x_{i,j}), \gamma(x_{i,j+1}))+\epsilon_2\right]\leq L_d(\gamma)+
n\epsilon_2,
\end{multline*}
где сумма в квадратных скобках берется 
по подходящим подразбиением отрезка $[x_i=x_{i,0},
x_{i+1}=x_{i,n_i}]$, a $\epsilon_i$ можно выбрать произвольно малым.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Внутренние метрики и функционалы длины}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $M$ -- топологическое пространство с заданным на нем
классом допустимых путей и функционалом длины $L$, а $d$ --
индуцированная $L$ метрика. 
\енум
\итем Докажите, что каждый допустимый путь спрямляем 
относительно $d$.
\итем Пусть $L_d$ -- функционал длины, связанный с $d$.
Докажите, что $L_d\leq L$.
\ее
\ез

\определение
Пусть $\gamma_i:\; N\rightarrow M$ -- последовательность
отображений топологических
пространств, $N$ компактно. Эта последовательность {\бф равномерно сходится}
к $\gamma:\; N\rightarrow M$, если для любой
окрестности $U$ графика 
$\Gamma_\gamma\subset N\times M$,
все графики $\Gamma_{\gamma_i}$, кроме конечного
числа, лежат в $U$.
\ео

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины $L(\gamma)$.
Функционал $L$ называется {\бф полунепрерывным снизу},
если для любой последовательности допустимых путей
$\gamma_i:\; [a,b]\rightarrow M$, равномерно сходящейся
к допустимому пути $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$,
имеем $\lim_i L(\gamma_i) \geq L(\gamma)$ для любой
из предельных точек последовательности $L(\gamma_i)$.
\ео

\задача
Пусть $(M,d)$ -- метрическое пространство, 
$L_d$ -- функционал длины на спрямляемых путях.
Докажите, что $L_d$ полунепрерывен снизу.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины $L$, а $d$ --
индуцированная $L$ метрика. Предположим, что $L$ 
не полунепрерывный снизу. Докажите, что существует
допустимый путь $\gamma$ такой, что $L_d(\gamma)<L(\gamma)$.
\ез 

\задача
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины $L$, $d$ --
индуцированная $L$ метрика, а $\gamma_i:\; [a,b]\rightarrow M$ --
последовательность путей, равномерно сходящихся к 
$\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$.  Верно ли, что эта последовательность
равномерно сходится к $\gamma$ в топологии, индуцированной $d$?
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины $L$, $d$ --
индуцированная $L$ метрика, а $\gamma:\; [a,b]\rightarrow M$ --
допустимый путь.
\енум
\итем Докажите, что для каждого $\epsilon >0$ существует
разбиение отрезка
$[a,b]= [x_0=a,x_1] \cup [x_1, x_2] \cup ... \cup [x_{n-1}, x_n=b]$,
такое, что $\max_i L_d\left(\gamma\restrict{[x_i, x_{i+1}]}\right) < \epsilon$.
\итем
В этих условиях, пусть $\gamma_\epsilon:\;[a,b]\rightarrow M$ --
допустимый путь, удовлетворяющий $\gamma_\epsilon(x_i)= \gamma(x_i)$
и $L_d(\gamma_\epsilon\restrict{[x_i, x_{i+1}]}) \leq
L_d\left(\gamma\restrict{[x_i, x_{i+1}]}\right)$. Докажите, что
для каждого $t\in[a,b]$, имеем $d(\gamma_\epsilon(t), \gamma(t))\leq 3\epsilon$.
\итем
Докажите, что 
$L_d(\gamma) = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}L(\gamma_\epsilon)$,
где пути $\gamma_\epsilon$ выбраны как в предыдущем пункте.
\итем
Докажите, что $\gamma_\epsilon$ равномерно сходится к $\gamma$.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины $L$, который
полунепрерывен снизу. Докажите, что $L_d(\gamma)=L(\gamma)$
для любого допустимого пути.
\ез

\указание
Выведите неравенство $L_d(\gamma)\geq L(\gamma)$
из предыдущей задачи.
\еу

\задача[!]
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины $L$, который
полунепрерывен снизу, а $d$ -- связанная с ним метрика.
Докажите, что $\hat d=d$.
\ез

\определение
Метрика $d$ называется {\бф внутренней}, если
$d=\hat d$.
\ео

\задача
Пусть $V$ -- векторное пространство с нормой $|\cdot|$,
а метрика $d$ на $V$ определена по формуле $d(v,v')= |v-v'|$.
Является ли эта метрика внутренней?
\ез


\end{document}
