\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{15mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   08.09.2012
%version 1.1,\ \   19.09.2012, добавил компактность в определении равн. сход.
%version 1.2,\ \   21.09.2012, скалярное произведение
%version 1.3,\ \   04.10.2012, куча мелких исправлений


\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   04.10.2012}
\newcommand{\firstdate}{20.09.2012}

%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{2}{ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 2: Функционал длины}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом  
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 21 дней после выдачи,
1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Линейная связность.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\begin{opredelenie}
Пусть дано топологическое пространство $M$.
Подмножество $W\subset M$ называется {\bf открытозамкнутым},
если оно открыто и замкнуто. $M$ называется {\bf связным},
если любое открытозамкнутое подмножество $M$
это либо $\emptyset$, либо само $M$.
Подмножество $Z\subset M$ называется
{\bf связным}, если оно связно в индуцированной
топологии.
\end{opredelenie}


\begin{opredelenie}
Пусть $M$ -- топологическое пространство. 
 {\bf Путем} в $M$ называется
непрерывное отображение $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$.
В этом случае говорится, что путь 
$\phi$ {\bf соединяет точки $\phi(a)$ и $\phi(b)$}.
$M$ называется {\bf линейно связным}, если любые
две точки $M$ можно соединить путем $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$.
\end{opredelenie}

\задача[!]
Докажите, что линейно связное пространство связно.
\ез

\begin{zadacha} 
Докажите, что объединение 
линейно связных подмножеств $M$, содержащих 
выбранную точку $x\in M$, линейно связно.
\end{zadacha}


\begin{opredelenie}
Объединение всех линейно связных
подмножеств, содержащих какую-то фиксированную точку $x$, называется 
{\bf компонентой линейной связности} $M$.
\end{opredelenie}



\begin{zadacha} 
Рассмотрим следующее подмножество $X\subset \R^2$:
график функции $\sin(1/t)$, объединенный с отрезком
$[(0,1), (0,-1)]$. Докажите, что $X$ локально
компактно, связно, и не линейно связно.
Найдите компоненты линейной связности.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[*]
Найдите компактное, связное метризуемое
топологическое пространство, имеющее
бесконечное количество компонент линейной связности.
\end{zadacha}


\begin{opredelenie}
Топологическое пространство $M$
называется локально связным 
(локально линейно связным), если каждая 
окрестность точки $x\in M$ содержит связную
(линейно связную) окрестность $x$
\end{opredelenie}

\задача
Постройте связное,
линейно связное, но не локально линейно связное
пространство.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- локально линейно связное, связное 
пространство. Докажите, что оно линейно связно.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- локально линейно связное пространство.
Докажите, что $M$ является несвязным объединением
своих компонент линейной связности.
\ез

\задача[*]
Пусть $H$ -- вещественное гильбертово пространство, то есть
пространство последовательностей  $\{a_i\in \R\}$,
удовлетворяющих $\sum a_i^2 \leq \infty$, с метрикой
вида $d(\{x_i\}, \{y_i\})=\sum |x_i-y_i|^2$.
Обозначим за $H_0\subset H$ множество всех
последовательностей $\{a_i\}$, у которых все $a_i$
кроме конечного числа, рациональны.
Верно ли, что $H$ связно? Линейно связно?
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Функционал длины}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Говорится, что на $M$ {\бф задан класс допустимых путей},
если задано множество путей $[a,b] \arrow M$ такое, что
\begin{enumerate}
\item Для любых двух путей $[a,b] \stackrel {\gamma_1}\arrow M$
и $[b,c] \stackrel {\gamma_2}\arrow M$, удовлетворяющих
$\gamma_1(b)=\gamma_2(b)$, путь $\gamma:\; [a,c]\arrow M$,
равный $\gamma_1$ на $[a,b]$ и $\gamma_2$ на $[b,c]$,
тоже допустим. Такая операция называется "склейка путей".
\item
Если $\phi:\; [a,b]\arrow [c,d]$ линейное отображение,
а путь $\gamma:\; [c,d]\arrow M$ допустим, путь
$\phi\circ\gamma$ тоже допустим.
\item
Для каждого пути $[a,b] \stackrel {\gamma}\arrow M$,
и отрезка $[c,d]\subset [a,b]$, ограничение
$\gamma\restrict{[c,d]}$ -- тоже допустимый путь.
\end{enumerate}
\ео 

\задача
Докажите, что кусочно-линейные пути в $\R^n$, 
кусочно-по\-ли\-но\-ми\-аль\-ные, кусочно-дифференцируемые
образуют допустимый класс путей.
\ез

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
допустимым классом путей. Функционал $L(\gamma)$, 
отображающий допустимые пути в числа, называется
{\бф функционалом длины}, если он удовлетворяет следующим
условиям.
\begin{enumerate}
\item (аддитивность длины) 
Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, 
и любого $b\in [a,c]$, $L(\gamma)=L(\gamma\restrict{[a,b]})+
L(\gamma\restrict{[b,c]})$, где $\gamma\restrict{[c,d]}$
обозначает ограничение пути, то есть функции $\gamma:\; [a,b]\arrow \R$
на отрезок $[c,d]\subset [a,b]$.
\item
(непрерывность длины пути как функции от координат концов)
Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, 
функция $L(\gamma\restrict{[a,b]})$
непрерывно зависит от $b\in [a,c]$.

\item 
Длина не меняется при замене параметра: если
$\phi:\; [a,b] \arrow [c,d]$ -- гомеоморфизм отрезков,
а $\gamma:\; [c,d] \arrow M$ и $\phi\circ \gamma:\; [a,b] \arrow M$ --
допустимые пути, то $L(\gamma)= L(\phi \circ \gamma)$.

\item
(длина пути согласована с топологией)
Пусть $Z$ -- замкнутое подмножество $M$, а $x\notin Z$
точка, не лежащая на $Z$. Тогда существует число $\epsilon >0$
такое, что любой путь, соединяющий $x$ с какой-то точкой $Z$,
имеет длину $\geq \epsilon$.
\end{enumerate}
\ео

\задача
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины.
Определим функцию $d:\;M\times M \arrow \R^{\geq 0}$,
положив $d(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где
инфимум берется по всем путям, соединяющим
$x$ и $y$. Докажите, что это метрика.
\ез

\определение
Такая функция называется {\бф внутренняя метрика, оп\-ре\-де\-лен\-ная
по функционалу длины}
\ео

\задача
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины, а $d$ --
соответствующая внутренняя метрика. Докажите, что
$(M,d)$ локально линейно связно.
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ -- топологическое пространство с классом
допустимых путей и функционалом длины, $d$ -- внутренняя
метрика, а $(M,d)\arrow M $ тождественное отображение
из $M$ с топологией,
которая индуцирована внутренней метрикой,
в $M$ с топологией, которая задана на нем изначально.
Докажите, что это отображение непрерывно.
\ез 



\задача[**]
Постройте пример топологического пространства $M$,
снабженного классом допустимых путей и функционалом
длины, таким, что $(M,d)\arrow M$ -- не гомеоморфизм,
хотя $(M,d)$ линейно связно и локально линейно связно.
\ез 


\задача
\label{_lomanye_zadacha_}
Пусть $M=\R^n$, класс допустимых путей - кусочно-линейные
пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, 
а длина пути определяется формулой
$L(\gamma)=\sum |d(x_i,x_{i+1})|$.
Докажите, что внутренняя метрика равна обычной.
\ез

\задача
\label{_boloto_zadacha_}
"поход по болоту"
Пусть $M=\R^n$, класс допустимых путей - кусочно-линейные
пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, $f:\; \R^n \arrow \R^{>0}$
непрерывная, положительная функция, а длина пути определяется формулой
\[ L(\gamma)=\sum \int_{[x_i, x_{i+1}]} f\] 
(интеграл от $f$ по отрезку
$[x_i, x_{i+1}]$). Докажите, что это функционал длины, а внутренняя
метрика индуцирует обычную топологию.
\ез





\определение
Такая метрика называется {\бф конформно плоской}.
\ео

\задача[*]
Дайте определение метрики Пуанкаре на 
диске.\footnote{Это пространство также называется "плоскость Лобачевского".}
Докажите, что метрика Пуанкаре на диске -- конформно плоская.
\ез

\определение
Пусть $M=\R^n$ или его открытое подмножество, а 
класс допустимых путей -- кусочно-гладкие пути.
Предположим, что для каждой точке 
$x\in M$ задано скалярное произведение
 $g_x\in \Sym^2 T^*_x M$ на $T_xM$
(здесь $T^*_x M$ -- кокасательное пространство,
а $\Sym^2 T^*_x M$ -- линейное пространство
билинейных, симметричных форм на  $T_xM$.
Предположим, что $g_x$ гладко зависит от
$x$.\footnote{Более точно, следовало бы сначала
сказать, что все пространства $T_xM$ отождествлены,
поскольку $M$ -- открытое подмножество в $\R^n$,
а значит, $g$ есть отображение из $M$ в
$\Sym^2\R^n=\R^{\frac{n(n+1)}2}$; и потребовать
гладкости этого отображения.}
Определим функционал длины пути $\gamma:\; [a,b]\arrow M$
формулой 
\[ L(\gamma):= \int_a^b
\sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))} dt
\]
Соответствующая внутренняя метрика на $M$
называется {\бф римановой метрикой}, а 
форма $g_x$ -- {\бф римановой формой} этой метрики.
\ео

\задача[!]
Докажите, что топология, индуцированная
римановой метрикой, эквивалентна обычной.
\ез

\определение
{\бф Гладкое подмногообразие} $\R^n$ есть
замнутое подмножество $M \subset \R^n$, такое, что для
каждой точки $x\in M$ найдется окрестность $U\ni x$
и диффеоморфизм $U$ на открытый шар $B$, ограничение
которого на $M\cap U$ определяет
гомеоморфизм $M\cap U$ и гиперплоскости $B \cap \R^k$.
\ео

\задача
Докажите, что $(n-1)$-сфера $\{z\in \R^n, |z|=1\}$
есть гладкое подмногообразие в $\R^n$.
\ез

\задача[*]
Постройте гладкое подмногообразие в $\R^6$,
гомеоморфное $\R P^2= S^2 /\{\pm 1\}$.
\ез


\задача
Пусть $M\subset \R^n$ гладкое подмногообразие, а на $\R^n$
задана риманова форма. Определим класс допустимых путей
в $M$ как множество всех кусочно гладких путей в $\R^n$,
которые лежат в $M$, и риманов функционал пути обычной
формулой 
\[ L(\gamma):= \int_a^b
\sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))} dt.
\]
Докажите, что полученная из этого функционала
внутренняя метрика задает стандартную топологию на $M$.
\ез

\определение
Такая метрика называется {\бф римановой}, а
$M$ -- {\бф римановым многообразием}.
\ео

\задача
Рассмотрим риманову метрику $d$ на \[ S^n= \left\{(x_1, ..., x_{n+1})
\ \ | \ \  \sum x_i^2 =1\right\},\]
полученную из обычной метрики на $\R^{n+1}$. 
Пусть $x,y \in S^n$ -- две точки,
 $O$ -- центр сферы, то есть точка $(0,0, ..., 0)$.
Докажите, что $d(x,y)$ есть угол треугольника $xOy$,
измеренный в радианах.
\ез

\задача[*]
Определите абстрактное риманово многообразие
(не обязательно вложенное в $\R^n$). Докажите, что
любое компактное многообразие $M$ допускает гладкое вложение
в $\R^n$, для достаточно большого $n$. 
Докажите, что любая риманова форма на $M$ может
быть получена ограничением из какой-то римановой
формы на $\R^n$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Полунепрерывные функционалы длины}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $\gamma_i:\; N\arrow M$ -- последовательность
непрерывных отображений топологических
пространств, где $N$ компактно. 
Эта последовательность {\бф равномерно сходится}
к $\gamma:\; N\arrow M$, если для любой
окрестности $U$ графика 
$\Gamma_\gamma\subset N\times M$,
все графики $\Gamma_{\gamma_i}$, кроме конечного
числа, лежат в $U$.
\ео

\определение
Пусть $\gamma_i:\; N\arrow M$ -- последовательность
непрерывных отображений метрических пространств.
Скажем, что {\бф $\gamma_i$ сходится к $\gamma$ в топологии
$C^0$,} если $\lim_i \sup_{t\in N}d(\gamma(t), \gamma_i(t))=0$.
\ео

\задача[!]
Докажите, что сходимость в $C^0$ равносильна равномерной
сходимости.
\ез

\задача
Постройте последовательность непрерывных
функций $f_i:\; \R\arrow \R$
сходящуюся к $f:\; \R\arrow \R$ поточечно, но не равномерно.
\ез

\задача[!]
Постройте последовательность непрерывных
функций $f_i:\; [0,1]\arrow [0,1]$
сходящуюся к $f:\; [0,1]\arrow [0,1]$ поточечно, но не равномерно.
\ез

\задача
Предположим, что последовательность гладких
функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R$ сходится к гладкой функции
$f$ равномерно. 
\енум
\итем Докажите, что $\lim\int_a^b |f'_i(t)| dt \geq \int_a^b |f'(t)| dt$
(если пределов несколько, докажите для каждого из них).
\итем Приведите пример, когда 
$\lim\int_a^b |f'_i(t)| dt > \int_a^b |f'(t)| dt$.
\ее
\ез

\указание
Сначала докажите это неравенство для функции
$f$ такой, что $f'>0$, а потом разбейте $[a,b]$ 
на отрезки, где $f'$ не меняет знак.
\еу


\задача[!]
\label{_predel_C_0_Zadacha_}
Предположим, что последовательность гладких
функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R^n$ сходится к гладкой функции
$f:\; [a,b]\arrow \R^n$ равномерно. Докажите,
что $\lim\int_a^b |f'_i(t)| dt \geq \int_a^b |f'(t)| dt$
\ез

\указание
Разбив $[a,b]$ на отрезки $[x_i,x_{i+1}]$, и взяв
$z_i:=f(x_{i+1})-f(x_i)$ и $z_i(n):=f_n(x_{i+1})-f_n(x_i)$,
получите
\[ 
\sum_i |z_i(n)| \leq \int_a^b |f'_n(t)| dt,
\]
Переходя к пределу по $n$, выведите из этого, что
\[ 
\sum |z_i| = \lim_n \sum_i |z_i(n)| \leq \int_a^b |f'_n(t)| dt.
\]
Чтобы закончить доказательство, перейдите к предлу по разбиениям.
\еу

\задача
\label{_boloto_polune_Zadacha_}
Предположим, что последовательность гладких
функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R$ сходится к гладкой функции
$f$ равномерно, а $g:\; \R \arrow \R$ -- положительная
гладкая функция. Докажите, что 
в$\lim\int_a^b |f'_i(t)| g(f_i(t)) dt \geq \int_a^b |f'(t)|g(f(t)) dt$.
\ез

\указание
Докажите, что
$\int_a^b f'(t)g(f(t)) dt= G(f(b))- G(f(b))$,
где $G$ -- первообразная $g$, а 
$\int_a^b |f'(t)|g(f(t))dt \geq \int_a^b f'(t)g(f(t)) dt$;
затем разбейте $[a,b]$ на отрезки, где $f'$ не меняет
знак.
\еу

\задача[*]
\label{_rima_metric_polune_Zadacha_}
Предположим, что последовательность гладких
функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R^n$ сходится к гладкой функции
$f:\; [a,b]\arrow \R^n$ равномерно, а $g\in \Sym^2T^*\R^n$
положительно определенная квадратичная форма, гладко зависящая
от $x\in \R^n$ и переводящая вектор $v\in T_x\R^n$ в число.
Докажите, что 
$\lim\int_a^b \sqrt{g(f'_i(t))}  dt \geq \int_a^b
\sqrt{g(f'(t))} dt$.
\ез

\указание
Действуйте по аналогии с аргументом из задачи
\ref{_predel_C_0_Zadacha_}.
\еу


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное
классом допустимых путей и функционалом длины $L(\gamma)$.
Функционал $L$ называется {\бф полунепрерывным снизу},
если для любой последовательности допустимых путей
$\gamma_i:\; [a,b]\arrow M$, равномерно сходящейся
к допустимому пути $\gamma:\; [a,b]\arrow M$,
имеем $\lim_i L(\gamma_i) \geq L(\gamma)$.
\ео

\задача
Докажите, что функционал
"длина ломаной", определенный в
задаче \ref{_lomanye_zadacha_},
полунепрерывен снизу.
\ез

\задача
Докажите, что функционал конформно плоской метрики
("переход болота"; задача \ref{_boloto_zadacha_})
полунепрерывен снизу.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей
\ref{_boloto_polune_Zadacha_}.
\еу

\задача[*]
Рассмотрим функцию 
$\phi:\; \R^2 \arrow \R^{\geq 0}$,
\[ \phi(x,y)=\frac 54 (|x|+|y|) - \frac 14 \max(|x|,|y|).\]
Пусть класс допустимых путей в $\R^2$ -- кусочно
дифференцируемые пути, а функционал длины 
определен как $L(\gamma) = \int \phi(\gamma'(t))dt$.
Докажите, что эта формула задает функционал длины,
который не полунепрерывен снизу.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- риманово многообразие,
а $L(t)$ -- функционал длины пути, задающий
риманову метрику. Докажите, что $L(t)$
полунепрерывен снизу.
\ез

\указание
Воспользуйтесь 
задачей \ref{_rima_metric_polune_Zadacha_}.
\еу

\end{document}
