\documentclass[10pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-7mm} \addtolength{\textheight}{15mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} %\addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 08.09.2012 %version 1.1,\ \ 19.09.2012, добавил компактность в определении равн. сход. %version 1.2,\ \ 21.09.2012, скалярное произведение %version 1.3,\ \ 04.10.2012, куча мелких исправлений \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 04.10.2012} \newcommand{\firstdate}{20.09.2012} %\addtolength{\topmargin}{-5mm} %\addtolength{\textheight}{10mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} %\addtolength{\textwidth}{20mm} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{2}{ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 2: Функционал длины} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 21 дней после выдачи, 1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Линейная связность.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть дано топологическое пространство $M$. Подмножество $W\subset M$ называется {\bf открытозамкнутым}, если оно открыто и замкнуто. $M$ называется {\bf связным}, если любое открытозамкнутое подмножество $M$ это либо $\emptyset$, либо само $M$. Подмножество $Z\subset M$ называется {\bf связным}, если оно связно в индуцированной топологии. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $M$ -- топологическое пространство. {\bf Путем} в $M$ называется непрерывное отображение $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$. В этом случае говорится, что путь $\phi$ {\bf соединяет точки $\phi(a)$ и $\phi(b)$}. $M$ называется {\bf линейно связным}, если любые две точки $M$ можно соединить путем $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$. \end{opredelenie} \задача[!] Докажите, что линейно связное пространство связно. \ез \begin{zadacha} Докажите, что объединение линейно связных подмножеств $M$, содержащих выбранную точку $x\in M$, линейно связно. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Объединение всех линейно связных подмножеств, содержащих какую-то фиксированную точку $x$, называется {\bf компонентой линейной связности} $M$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Рассмотрим следующее подмножество $X\subset \R^2$: график функции $\sin(1/t)$, объединенный с отрезком $[(0,1), (0,-1)]$. Докажите, что $X$ локально компактно, связно, и не линейно связно. Найдите компоненты линейной связности. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Найдите компактное, связное метризуемое топологическое пространство, имеющее бесконечное количество компонент линейной связности. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Топологическое пространство $M$ называется локально связным (локально линейно связным), если каждая окрестность точки $x\in M$ содержит связную (линейно связную) окрестность $x$ \end{opredelenie} \задача Постройте связное, линейно связное, но не локально линейно связное пространство. \ез \задача Пусть $M$ -- локально линейно связное, связное пространство. Докажите, что оно линейно связно. \ез \задача Пусть $M$ -- локально линейно связное пространство. Докажите, что $M$ является несвязным объединением своих компонент линейной связности. \ез \задача[*] Пусть $H$ -- вещественное гильбертово пространство, то есть пространство последовательностей $\{a_i\in \R\}$, удовлетворяющих $\sum a_i^2 \leq \infty$, с метрикой вида $d(\{x_i\}, \{y_i\})=\sum |x_i-y_i|^2$. Обозначим за $H_0\subset H$ множество всех последовательностей $\{a_i\}$, у которых все $a_i$ кроме конечного числа, рациональны. Верно ли, что $H$ связно? Линейно связно? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Функционал длины} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство. Говорится, что на $M$ {\бф задан класс допустимых путей}, если задано множество путей $[a,b] \arrow M$ такое, что \begin{enumerate} \item Для любых двух путей $[a,b] \stackrel {\gamma_1}\arrow M$ и $[b,c] \stackrel {\gamma_2}\arrow M$, удовлетворяющих $\gamma_1(b)=\gamma_2(b)$, путь $\gamma:\; [a,c]\arrow M$, равный $\gamma_1$ на $[a,b]$ и $\gamma_2$ на $[b,c]$, тоже допустим. Такая операция называется "склейка путей". \item Если $\phi:\; [a,b]\arrow [c,d]$ линейное отображение, а путь $\gamma:\; [c,d]\arrow M$ допустим, путь $\phi\circ\gamma$ тоже допустим. \item Для каждого пути $[a,b] \stackrel {\gamma}\arrow M$, и отрезка $[c,d]\subset [a,b]$, ограничение $\gamma\restrict{[c,d]}$ -- тоже допустимый путь. \end{enumerate} \ео \задача Докажите, что кусочно-линейные пути в $\R^n$, кусочно-по\-ли\-но\-ми\-аль\-ные, кусочно-дифференцируемые образуют допустимый класс путей. \ез \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное допустимым классом путей. Функционал $L(\gamma)$, отображающий допустимые пути в числа, называется {\бф функционалом длины}, если он удовлетворяет следующим условиям. \begin{enumerate} \item (аддитивность длины) Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, и любого $b\in [a,c]$, $L(\gamma)=L(\gamma\restrict{[a,b]})+ L(\gamma\restrict{[b,c]})$, где $\gamma\restrict{[c,d]}$ обозначает ограничение пути, то есть функции $\gamma:\; [a,b]\arrow \R$ на отрезок $[c,d]\subset [a,b]$. \item (непрерывность длины пути как функции от координат концов) Для любого пути $\gamma:\; [a, c]\arrow M$, функция $L(\gamma\restrict{[a,b]})$ непрерывно зависит от $b\in [a,c]$. \item Длина не меняется при замене параметра: если $\phi:\; [a,b] \arrow [c,d]$ -- гомеоморфизм отрезков, а $\gamma:\; [c,d] \arrow M$ и $\phi\circ \gamma:\; [a,b] \arrow M$ -- допустимые пути, то $L(\gamma)= L(\phi \circ \gamma)$. \item (длина пути согласована с топологией) Пусть $Z$ -- замкнутое подмножество $M$, а $x\notin Z$ точка, не лежащая на $Z$. Тогда существует число $\epsilon >0$ такое, что любой путь, соединяющий $x$ с какой-то точкой $Z$, имеет длину $\geq \epsilon$. \end{enumerate} \ео \задача Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное классом допустимых путей и функционалом длины. Определим функцию $d:\;M\times M \arrow \R^{\geq 0}$, положив $d(x,y):= \inf_\gamma L(\gamma)$, где инфимум берется по всем путям, соединяющим $x$ и $y$. Докажите, что это метрика. \ез \определение Такая функция называется {\бф внутренняя метрика, оп\-ре\-де\-лен\-ная по функционалу длины} \ео \задача Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное классом допустимых путей и функционалом длины, а $d$ -- соответствующая внутренняя метрика. Докажите, что $(M,d)$ локально линейно связно. \ез \задача[!] Пусть $M$ -- топологическое пространство с классом допустимых путей и функционалом длины, $d$ -- внутренняя метрика, а $(M,d)\arrow M $ тождественное отображение из $M$ с топологией, которая индуцирована внутренней метрикой, в $M$ с топологией, которая задана на нем изначально. Докажите, что это отображение непрерывно. \ез \задача[**] Постройте пример топологического пространства $M$, снабженного классом допустимых путей и функционалом длины, таким, что $(M,d)\arrow M$ -- не гомеоморфизм, хотя $(M,d)$ линейно связно и локально линейно связно. \ез \задача \label{_lomanye_zadacha_} Пусть $M=\R^n$, класс допустимых путей - кусочно-линейные пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, а длина пути определяется формулой $L(\gamma)=\sum |d(x_i,x_{i+1})|$. Докажите, что внутренняя метрика равна обычной. \ез \задача \label{_boloto_zadacha_} "поход по болоту" Пусть $M=\R^n$, класс допустимых путей - кусочно-линейные пути (то есть ломаные), со звеньями $[x_i,x_{i+1}]$, $f:\; \R^n \arrow \R^{>0}$ непрерывная, положительная функция, а длина пути определяется формулой \[ L(\gamma)=\sum \int_{[x_i, x_{i+1}]} f\] (интеграл от $f$ по отрезку $[x_i, x_{i+1}]$). Докажите, что это функционал длины, а внутренняя метрика индуцирует обычную топологию. \ез \определение Такая метрика называется {\бф конформно плоской}. \ео \задача[*] Дайте определение метрики Пуанкаре на диске.\footnote{Это пространство также называется "плоскость Лобачевского".} Докажите, что метрика Пуанкаре на диске -- конформно плоская. \ез \определение Пусть $M=\R^n$ или его открытое подмножество, а класс допустимых путей -- кусочно-гладкие пути. Предположим, что для каждой точке $x\in M$ задано скалярное произведение $g_x\in \Sym^2 T^*_x M$ на $T_xM$ (здесь $T^*_x M$ -- кокасательное пространство, а $\Sym^2 T^*_x M$ -- линейное пространство билинейных, симметричных форм на $T_xM$. Предположим, что $g_x$ гладко зависит от $x$.\footnote{Более точно, следовало бы сначала сказать, что все пространства $T_xM$ отождествлены, поскольку $M$ -- открытое подмножество в $\R^n$, а значит, $g$ есть отображение из $M$ в $\Sym^2\R^n=\R^{\frac{n(n+1)}2}$; и потребовать гладкости этого отображения.} Определим функционал длины пути $\gamma:\; [a,b]\arrow M$ формулой \[ L(\gamma):= \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))} dt \] Соответствующая внутренняя метрика на $M$ называется {\бф римановой метрикой}, а форма $g_x$ -- {\бф римановой формой} этой метрики. \ео \задача[!] Докажите, что топология, индуцированная римановой метрикой, эквивалентна обычной. \ез \определение {\бф Гладкое подмногообразие} $\R^n$ есть замнутое подмножество $M \subset \R^n$, такое, что для каждой точки $x\in M$ найдется окрестность $U\ni x$ и диффеоморфизм $U$ на открытый шар $B$, ограничение которого на $M\cap U$ определяет гомеоморфизм $M\cap U$ и гиперплоскости $B \cap \R^k$. \ео \задача Докажите, что $(n-1)$-сфера $\{z\in \R^n, |z|=1\}$ есть гладкое подмногообразие в $\R^n$. \ез \задача[*] Постройте гладкое подмногообразие в $\R^6$, гомеоморфное $\R P^2= S^2 /\{\pm 1\}$. \ез \задача Пусть $M\subset \R^n$ гладкое подмногообразие, а на $\R^n$ задана риманова форма. Определим класс допустимых путей в $M$ как множество всех кусочно гладких путей в $\R^n$, которые лежат в $M$, и риманов функционал пути обычной формулой \[ L(\gamma):= \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))} dt. \] Докажите, что полученная из этого функционала внутренняя метрика задает стандартную топологию на $M$. \ез \определение Такая метрика называется {\бф римановой}, а $M$ -- {\бф римановым многообразием}. \ео \задача Рассмотрим риманову метрику $d$ на \[ S^n= \left\{(x_1, ..., x_{n+1}) \ \ | \ \ \sum x_i^2 =1\right\},\] полученную из обычной метрики на $\R^{n+1}$. Пусть $x,y \in S^n$ -- две точки, $O$ -- центр сферы, то есть точка $(0,0, ..., 0)$. Докажите, что $d(x,y)$ есть угол треугольника $xOy$, измеренный в радианах. \ез \задача[*] Определите абстрактное риманово многообразие (не обязательно вложенное в $\R^n$). Докажите, что любое компактное многообразие $M$ допускает гладкое вложение в $\R^n$, для достаточно большого $n$. Докажите, что любая риманова форма на $M$ может быть получена ограничением из какой-то римановой формы на $\R^n$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Полунепрерывные функционалы длины} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\gamma_i:\; N\arrow M$ -- последовательность непрерывных отображений топологических пространств, где $N$ компактно. Эта последовательность {\бф равномерно сходится} к $\gamma:\; N\arrow M$, если для любой окрестности $U$ графика $\Gamma_\gamma\subset N\times M$, все графики $\Gamma_{\gamma_i}$, кроме конечного числа, лежат в $U$. \ео \определение Пусть $\gamma_i:\; N\arrow M$ -- последовательность непрерывных отображений метрических пространств. Скажем, что {\бф $\gamma_i$ сходится к $\gamma$ в топологии $C^0$,} если $\lim_i \sup_{t\in N}d(\gamma(t), \gamma_i(t))=0$. \ео \задача[!] Докажите, что сходимость в $C^0$ равносильна равномерной сходимости. \ез \задача Постройте последовательность непрерывных функций $f_i:\; \R\arrow \R$ сходящуюся к $f:\; \R\arrow \R$ поточечно, но не равномерно. \ез \задача[!] Постройте последовательность непрерывных функций $f_i:\; [0,1]\arrow [0,1]$ сходящуюся к $f:\; [0,1]\arrow [0,1]$ поточечно, но не равномерно. \ез \задача Предположим, что последовательность гладких функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R$ сходится к гладкой функции $f$ равномерно. \енум \итем Докажите, что $\lim\int_a^b |f'_i(t)| dt \geq \int_a^b |f'(t)| dt$ (если пределов несколько, докажите для каждого из них). \итем Приведите пример, когда $\lim\int_a^b |f'_i(t)| dt > \int_a^b |f'(t)| dt$. \ее \ез \указание Сначала докажите это неравенство для функции $f$ такой, что $f'>0$, а потом разбейте $[a,b]$ на отрезки, где $f'$ не меняет знак. \еу \задача[!] \label{_predel_C_0_Zadacha_} Предположим, что последовательность гладких функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R^n$ сходится к гладкой функции $f:\; [a,b]\arrow \R^n$ равномерно. Докажите, что $\lim\int_a^b |f'_i(t)| dt \geq \int_a^b |f'(t)| dt$ \ез \указание Разбив $[a,b]$ на отрезки $[x_i,x_{i+1}]$, и взяв $z_i:=f(x_{i+1})-f(x_i)$ и $z_i(n):=f_n(x_{i+1})-f_n(x_i)$, получите \[ \sum_i |z_i(n)| \leq \int_a^b |f'_n(t)| dt, \] Переходя к пределу по $n$, выведите из этого, что \[ \sum |z_i| = \lim_n \sum_i |z_i(n)| \leq \int_a^b |f'_n(t)| dt. \] Чтобы закончить доказательство, перейдите к предлу по разбиениям. \еу \задача \label{_boloto_polune_Zadacha_} Предположим, что последовательность гладких функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R$ сходится к гладкой функции $f$ равномерно, а $g:\; \R \arrow \R$ -- положительная гладкая функция. Докажите, что в$\lim\int_a^b |f'_i(t)| g(f_i(t)) dt \geq \int_a^b |f'(t)|g(f(t)) dt$. \ез \указание Докажите, что $\int_a^b f'(t)g(f(t)) dt= G(f(b))- G(f(b))$, где $G$ -- первообразная $g$, а $\int_a^b |f'(t)|g(f(t))dt \geq \int_a^b f'(t)g(f(t)) dt$; затем разбейте $[a,b]$ на отрезки, где $f'$ не меняет знак. \еу \задача[*] \label{_rima_metric_polune_Zadacha_} Предположим, что последовательность гладких функций $f_i:\; [a,b]\arrow \R^n$ сходится к гладкой функции $f:\; [a,b]\arrow \R^n$ равномерно, а $g\in \Sym^2T^*\R^n$ положительно определенная квадратичная форма, гладко зависящая от $x\in \R^n$ и переводящая вектор $v\in T_x\R^n$ в число. Докажите, что $\lim\int_a^b \sqrt{g(f'_i(t))} dt \geq \int_a^b \sqrt{g(f'(t))} dt$. \ез \указание Действуйте по аналогии с аргументом из задачи \ref{_predel_C_0_Zadacha_}. \еу \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, снабженное классом допустимых путей и функционалом длины $L(\gamma)$. Функционал $L$ называется {\бф полунепрерывным снизу}, если для любой последовательности допустимых путей $\gamma_i:\; [a,b]\arrow M$, равномерно сходящейся к допустимому пути $\gamma:\; [a,b]\arrow M$, имеем $\lim_i L(\gamma_i) \geq L(\gamma)$. \ео \задача Докажите, что функционал "длина ломаной", определенный в задаче \ref{_lomanye_zadacha_}, полунепрерывен снизу. \ез \задача Докажите, что функционал конформно плоской метрики ("переход болота"; задача \ref{_boloto_zadacha_}) полунепрерывен снизу. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_boloto_polune_Zadacha_}. \еу \задача[*] Рассмотрим функцию $\phi:\; \R^2 \arrow \R^{\geq 0}$, \[ \phi(x,y)=\frac 54 (|x|+|y|) - \frac 14 \max(|x|,|y|).\] Пусть класс допустимых путей в $\R^2$ -- кусочно дифференцируемые пути, а функционал длины определен как $L(\gamma) = \int \phi(\gamma'(t))dt$. Докажите, что эта формула задает функционал длины, который не полунепрерывен снизу. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- риманово многообразие, а $L(t)$ -- функционал длины пути, задающий риманову метрику. Докажите, что $L(t)$ полунепрерывен снизу. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_rima_metric_polune_Zadacha_}. \еу \end{document}