\documentclass[10pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{20mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 04.09.2012 %version 1.1,\ \ 07.09.2012 мелкие исправления %version 1.2,\ \ 14.09.2012, /bigcap/bigcup/ %version 1.2.1,\ \ 14.09.2012, /z/x/ %version 1.2.2,\ \ 19.09.2012, непрерывная %version 1.3,\ \ 20.09.2012, в задаче 1.6 пропущено ``полное'' %version 1.4,\ \ 21.09.2012, много исправлений от студентов %version 1.5,\ \ 27.09.2012, еще много исправлений %version 1.5.1, 04.10.2012, липшицевы или -\инфти (исправление в задаче 2.22) \newcommand{\version}{version 1.5.1,\ \ 04.10.2012} \newcommand{\firstdate}{13.09.2012} %\addtolength{\topmargin}{-5mm} %\addtolength{\textheight}{10mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} %\addtolength{\textwidth}{20mm} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{1}{ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 1: Метрические пространства и компакты.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 21 день после выдачи, 1, если между 21 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Метрические пространства и полнота.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Этот листочек плохо подходит для первоначального ознакомления с понятиями метрической топологии. Он будет полезен для тех, кто уже когда-то изучил эту науку, и хочет освежить ее в памяти. \еза \begin{opredelenie} {\бф Метрическое пространство} есть множество $X$, снабженное такой функцией $d:\; X \times X \to \R\cup \infty$, что \begin{enumerate} \item Для любых $x, y \in X$ имеем $d(x,y)\geq 0$, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x=y$. \item Симметричность: $d(x, y) = d (y, x)$ \item ``Неравенство треугольника'': для любых $x, y, z \in X$, $$ d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z). $$ \end{enumerate} Функция $d$, удовлетворяющая этим условиям, называется {\bf метрикой}. Число $d(x,y)$ называется ``расстоянием между $x$ и $y$''. {\бф Изометрия}, или {\бф изоморфизм метрических пространств} есть биекция, сохраняющая метрику. \end{opredelenie} \задача Докажите, что $\R^n$ с обычной ("евклидовой") метрикой \[ d((x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n)):= \sqrt{\sum_i(x_i-y_i)^2}\] -- метрическое пространство. \ез \определение Если $x\in X$ -- точка, а $\epsilon$ -- вещественное число, множество $$ B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \ | \ \ d(x,y)< \epsilon $$ называется {\bf (открытый) шар радиуса $\epsilon$ с центром в $x$}. Такой шар еще называется {\bf $\epsilon$-шар}. {\бф Замкнутый шар} определяется как $$ \overline B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \ | \ \ d(x,y)\leq \epsilon\}. $$ \ео \begin{opredelenie} Пусть $(X, d)$ -- метрическое пространство, а $\{a_i\}$ -- последовательность точек из $X$. Последовательность $\{a_i\}$ называется {\bf последовательностью Коши}, если для каждого $\epsilon>0$ найдется $\epsilon$-шар в $X$, содержащий все $a_i$, кроме конечного числа. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $A$ -- подмножество в $X$. Элемент $c\in X$ называется {\bf предельной точкой} подмножества $A$, если в любом открытом шаре, содержащем $c$, содержится бесконечное количество элементов $A$. Объединение $A$ и всех предельных точек $A$ называется {\бф замыканием} $A$. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $\{a_i\}$ -- последовательность точек $X$. Мы говорим, что $\{a_i\}$ {\bf сходится к $x\in X$}, или {\bf имеет предел в $x$} (пишется \[ \lim_{i\to \infty} a_i =x),\] если в любом $\epsilon$-шаре с центром в $x$ содержатся почти все члены $\{x_i\}$ \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Метрическое пространство $(X,d)$ называется {\bf полным}, если любая последовательность Коши в $X$ имеет предел. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Подмножество $A \subset X$ метрического пространства называется {\bf плотным}, если в каждом открытом шаре в $X$ содержится элемент из $A$. \end{opredelenie} \определение Пусть $X$ -- подмножество метрического пространства $\bar X$. Скажем, что $\bar X$ называется {\бф пополнением} $X$, если $X$ плотно в $\bar X$, а $\bar X$ полно. \ео \задача Докажите, что замкнутое подмножество полного метрического пространства полно. \ез \задача Докажите, что пополнение $X$ единственно (с точностью до изоморфизма), если оно существует. \ез \задача Докажите существование пополнения. \ез \определение Подмножество $A\subset X$ метрического пространства называется {\бф нигде не плотным}, если ни для какого открытого шара $B_\epsilon(x)\subset X$, пересечение $A \cap B_\epsilon(x)$ не плотно в $B_\epsilon(x)$. \ео \задача Докажите, что замыкание нигде не плотного подмножества $A\subset X$ нигде не плотно. \ез \задача Пусть $X$ -- континуальное, полное метрическое пространство. Предположим, что $X$ содержит плотное, счетное подмножество. Докажите, что у $X$ есть континуальное, нигде не плотное подмножество. \ез \задача[!] (теорема Бэра о категории) Пусть $X$ -- полное метрическое пространство. Докажите, что $X$ нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных подмножеств. \ез \задача Докажите, что пересечение счетного числа плотных, открытых подмножеств полного метрического пространства $X$ плотно в $X$. \ез \задача[*] Докажите, что не существует функции $f:\; \R\arrow \R$, которая непрерывна в рациональных точках, и разрывна в иррациональных. \ез \указание Для заданного $\epsilon>0$, рассмотрим функцию \[\rho_\epsilon(z):= \sup_\delta \{\delta >0 \ \ | \ \diam(f(B_\delta(z)))\leq \epsilon\}. \] Докажите, что $z\arrow \rho_\epsilon(z)$ липшицева, и $\bigcup_\epsilon \rho_\epsilon^{-1}(0)$ -- множество всех точек, где $f$ разрывна. Примените теорему Бэра. \еу \задача[**] Докажите, что поточечный предел непрерывных функций $f_i:\; \R\arrow \R$ не может быть всюду разрывен. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Топология на метрических пространствах} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Множество всех подмножеств $M$ обозначается $2^M$. {\бф Топология} на $M$ есть набор подмножеств $S\subset 2^M$, называемых {\bf открытыми подмножествами}. Множество $M$ называется {\bf топологическим пространством}, а $S$ -- {\бф топологией} на $M$, если выполнены следующие условия. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.} \item Пустое множество и само $M$ открыты. \item Объединение любого числа открытых подмножеств открыто. \item Пересечение конечного числа открытых подмножеств открыто. \end{enumerate} Отображение $\phi:\; M \arrow M'$ топологических пространств называется {\bf непрерывным}, если прообраз каждого открытого множества открыт. Неп\-рерывные отображения также называются {\bf морфизмами} топологических пространств. {\bf Изоморфизм} топологических пространств -- это такой морфизм $\phi:\; M \arrow M'$, что существует морфизм $\psi:\; M' \arrow M$, обратный к $\phi$ (т.е. $\phi\circ \psi $ и $\psi\circ \phi $ -- тождественные морфизмы). Изоморфизм топологических пространств традиционно называется {\bf гомеоморфизмом}. Подмножество $Z\subset M$ называется {\bf замкнутым}, если его дополнение открыто. {\bf Окрестность} точки $x\in M$ -- это любое открытое подмножество $M$, которое ее содержит. {\bf Окрестность} подмножества $Z\subset M$ -- это любое открытое подмножество $М$, которое его содержит. \ео \begin{opredelenie} Пусть $M$ -- метрическое пространство, $X\subset M$ подмножество. Подмножество $X$ называется {\bf открытым}, если оно вместе с каждой точкой содержит некоторый $\epsilon$-шар с центром в этой точке, и {\bf замкнутым}, если дополнение к $X$ открыто. \end{opredelenie} \замечание Таким образом, на каждом метрическом пространстве определяется {\бф топология, индуцированная метрикой}. \еза \замечание Топологическое пространство называется {\бф хаусдорфовым}, если у любых двух точек $x\neq y$ найдутся непересекающиеся окрестности. В дальнейшем, все топологические пространства по умолчанию предполагаются хаусдорфовыми. \еза \задача Пусть $M$ -- метрическое пространство. Докажите, что индуцированная на нем топология хаусдорфова. \ез \задача Докажите, что отображение метрических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда сходящиеся последовательности переводятся в сходящиеся последовательности, а пределы в пределы. \ез \определение Отображение $f:\; M \arrow N$ метрических пространств называется {\бф непрерывным в точке $x$}, если образ любой последовательности, сходящейся к $x$, сходится к $f(x)$. \ео \begin{opredelenie} Пусть $X\subset M$ -- подмножество, а $U_i\subset M$ -- набор открытых подмножеств. Говорят, что $U_i$ -- {\bf покрытие $X$}, если $X \subset \bigcup U_i$. Если из $\{U_i\}$ выкинуть какое-то количество открытых множеств, и оно останется покрытием, то, что получится, называется {\bf подпокрытие}. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $M$ -- топологическое пространство. \begin{itemize} \item $M$ -- {\bf компакт}, или {\bf компактное множество}, если из любого покрытия $M$ можно выбрать конечное подпокрытие. \item $M$ -- {\бф секвенциальный компакт}, если у любой последовательности есть сходящаяся подпоследовательность. \item $M$ -- {\бф псевдокомпакт}, если каждая непрерывная функция $f:\; M \arrow \R$ ограниченна. \end{itemize} \ео \замечание Для метрических пространств, все эти определения эквивалентны; доказательство см. дальше в листочке. \еза \задача Пусть $M$ -- псевдокомпакт. Докажите, что любая непрерывная функция $f:\; M \arrow \R$ принимает значение $\sup f$ на $M$ \ез \указание Проверьте, что функция $\frac 1 {C -f}$ непрерывна в тех точках, где $f\neq C$, и примените определение псевдокомпактности к $C=\sup f$. \еу \задача Пусть -- секвенциально компактное топологическое пространство. Докажите, что оно псевдокомпактно. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{$\epsilon$-сети} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$ есть такое множество $N\subset M$, что объединение $\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$. Метрическое пространство называется {\бф вполне ограниченным}, если для любого $\epsilon>0$ в $M$ найдется конечная $\epsilon$-сеть. \ео \задача[*] Пусть $M$ -- вполне ограниченное метрическое пространство. Верно ли, что из любой $\epsilon$-сети можно выбрать конечное подмножество, которое тоже будет $\epsilon$-сетью? \ез \определение $\epsilon$-сеть $N$ называется {\бф $\delta$-разделенной}, если для любых $a\neq b\in N$, имеем $d(a,b)\geq \delta$. \ео \задача \label{_2epsilon_net_epsilon_razd_Zadacha_} Пусть $N$ -- $\epsilon$-сеть в метрическом пространстве. Докажите, что из $N$ можно выбрать $\epsilon$-разделенную $2\epsilon$-сеть (иначе говоря, какое-то подмножество $N$ является $\epsilon$-разделенной $2\epsilon$-сетью). \ез \задача \label{_delta_razd_then_finite_Zadacha_} Пусть $M$ -- вполне ограниченное метрическое пространство, а $N$ -- $\delta$-разделенная $\epsilon$-сеть. Докажите, что $N$ конечна. \ез \указание Выберите в $M$ конечную $\frac \delta 2$-сеть $N'$, и докажите, что в каждом $\frac \delta 2$-шаре с центром в $N'$ содержится не больше одного элемента $N$. \еу \задача[!] Пусть $N$ -- $\epsilon$-сеть во вполне ограниченном пространстве. Докажите, что из нее можно выбрать конечную $2\epsilon$-сеть. \ез \указание Используйте задачу \ref{_2epsilon_net_epsilon_razd_Zadacha_} и задачу \ref{_delta_razd_then_finite_Zadacha_}. \еу \задача Пусть $M$ -- секвенциально компактное метрическое пространство. Докажите, что оно \енум \итем вполне ограниченно. \итем полно. \ее \ез \задача Пусть $M$ -- полное, вполне ограниченное метрическое пространство. Докажите, что оно секвенциально компактно. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Гейне-Бореля} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $(M_1, d_1)$ и $(M_2, d_2)$ - метрические пространства, а $C>0$ - вещественное число. Отображение $f:\; M_1 \arrow M_2$ называется {\bf $C$-липшицевым}, если для любых $x, y\in M_1$, \[ d_2(f(x),f(y)) \leq C d_1 (x, y). \] Функция $M \arrow \R$ на метрическом пространстве называется $C$-липшицевой, если соответствующее отображение $C$-липшицево относительно естественной метрики на $M$ и $\R$. \ео \замечание Липшицевы функции непрерывны. \еза \задача Докажите, что расстояние $d_z(x) := d(z,x)$ до фиксированной точки $z\in M$ - 1-липшицева функция. \ез \задача[!] Докажите, что инфимум набора $C$-липшицевых функций, заданных на метрическом пространстве с конечной метрикой -- это $C$-липшицева функция либо $-\infty$. \ез \задача Пусть $Z\subset M$ -- замкнутое подмножество в метрическом пространстве, а $d(x,Z):= \inf_{z\in Z}d(x,z)$. Докажите, что $d(x,Z)$ -- 1-липшицева функция от $x$. \ез \задача Пусть $\{f_i:\; M \arrow \R\}$ -- последовательность непрерывных функций на топологическом пространстве $M$, таких, что $|f_i| \leq C$. Следует ли из этого, что функция $F(z):= \inf_i f_i(z)$ непрерывна? \ез \задача Пусть $\{x_i\}$ -- последовательность попарно различных точек в метрическом пространстве, не имеющая сходящихся подпоследовательностей, а $f(y):=\inf_i(d_{x_i}(y)+\frac 1 i)$. Докажите, что $f>0$, но не достигает минимума. \ез \задача[!] Докажите, что псевдокомпактность равносильна секвенциальной компактности. \ез \задача Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие метрического пространства $M$, а \[ \delta(x):= \sup_i(d(x, M\backslash U_i)).\] Докажите, что функция $\delta$ непрерывна и положительна. \ез \задача Пусть $M$ -- псевдокомпактное метрическое пространство, $\{U_i\}$ -- его покрытие, а $\delta(x)$ -- функция, определенная выше. Докажите, что $\delta(x)> \epsilon$ для какого-то вещественного числа $\epsilon >0$. \ез \задача Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие метрического пространства. Докажите, что множество вещественных чисел $\epsilon\geq 0$, таких, что для любой точки $x\in M$, $\epsilon$-шар с центром в $x$ целиком содержится в одном из $U_i$, есть отрезок вида $[0, \delta]$, $[0, \delta[$, где $\delta \in [0, \infty]$. \ез \замечание Число $\delta$ из предыдущей задачи называется {\бф числом Лебега} покрытия, обозначается $\delta(\{U_i\})$. \еза \задача[!] (лемма Лебега) Пусть $M$ -- псевдокомпактное метрическое пространство, а $\{U_i\}$ его покрытие. Докажите, что $\delta(\{U_i\})>0$. \ез \задача Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие $M$, $\epsilon:=\delta(\{U_i\})>0$. \енум \итем Докажите, что существует $\epsilon$-сеть $\{x_\alpha\}$ такая, что каждый $B_\epsilon(x_\alpha)$ содержится в каком-то из $U_i$. \итем Докажите, что если $M$ вполне ограничено, а $\epsilon:=\delta(\{U_i\})>0$, из $\{U_i\}$ можно выбрать конечное подпокрытие. \ее \ез \задача[!] Выведите из псевдокомпактности компактность. \ез \указание Воспользуйтесь леммой Лебега и предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $M$ -- метрическое пространство. Докажите равносильность следующих условий. \begin{enumerate} \item $M$ компактно. \item $M$ секвенциально компактно \item $M$ псевдокомпактно \item $M$ полно и вполне ограниченно. \end{enumerate} \ез \задача[*] Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство, а $\phi:\; M \arrow M$ -- изометрическое вложение. Докажите, что $\phi$ биективно. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство, а $\phi:\; M \arrow M$ -- сюрьективное, 1-липшицево отображение. Докажите, что это изометрия. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство, а $\phi:\; M \arrow M$ -- непрерывное отображение, удовлетворяющее условию $d(f(x),f(y))\geq d(x,y)$ для всех $x,y\in M$. Докажите, что это изометрия. \ез \end{document}