\documentclass[10pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{20mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 10.12.2012 %version 1.1,\ \ 13.12.2012, popravki ot Sashi Anan'ina %version 2.0,\ \ 14.12.2012, много ошибок прямо на экзамене \newcommand{\version}{version 2.0,\ \ 14.12.2012} \newcommand{\firstdate}{в день экзамена: 13.12.2012} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{11}{Гиперболические группы 11: задачи для экзамена} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize Каждому студенту выдается по $12-t$ задач, где $t=\min(12-0.2*k,4)$, а $k$ количество баллов за задачи (если какие-то листки сданы частично, сумма баллов дополнительно округляется вверх, и $k$ увеличивается, по усмотрению экзаменатора, то есть меня). Задачи выдаются из тех разделов, которые студент мало сдавал. Каждая сданная на экзамене задача приносит 5 баллов. Суммарная оценка за курс выставляется по формуле $3+\lceil 0.1b\rceil$ (10-балльная система) и $\lceil 1.5+ 0.05b\rceil$ (5-балльная), $b$ -- сумма баллов. Задачи сдаются устно, но студент должен приготовить краткую запись решения. Можно пользоваться любой литературой, но требуется знать в общих чертах доказательство любого используемого утверждения и все подробности определений. } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Метрические пространства и внутренние метрики (листки 1-3,5)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Докажите, что каждое метрическое пространство допускает изометрическое вложение в нормированное векторное пространство. \ез \задача Пусть $M$ -- метрическое пространство. Постройте метрику $d'$ на $M$, индуцирующую ту же топологию, и такую, что $\diam(d')<\infty$. \ез \определение {\бф Гильбертово пространство} есть полное нормированное векторное пространство с евклидовой метрикой $L^2$ (гильбертово пространство может быть бесконечномерным или конечномерным). \ео \задача Пусть $M\stackrel \phi \arrow M'$ -- изометрия (вещественных) гильбертовых пространств. Докажите, что $\phi$ есть композиция линейной изометрии и сдвига. \ез \задача Пусть $L^1$ есть норма на $\R^n$, заданная суммой модулей координат. Докажите, что $(\R^n, L^1)$ не изометрично $(\R^n, L^2)$ для $n>1$. \ез \задача Пусть $X$ -- топологическое пространство, а $\{d_i\}$ -- набор метрик, согласованных с топологией. Предположим, что $d_i:\; X\times X \arrow \R^{\geq 0}$ равномерно сходится к $d:\; X\times X \arrow \R^{\geq 0}$. Докажите, что $d$ индуцирует на $X$ ту же самую топологию. \ез \задача Пусть $(M,d)$ -- пространство с внутренней метрикой, $A\subset M$ -- связное открытое подмножество. Докажите, что на $A$ существует внутренняя метрика $d'$, такая, что у каждой точки $a\in A$ есть окрестность $U$, такая, что $d'\restrict U= d\restrict U$. \ез \задача Пусть $X$ -- компактное топологическое пространство, а $\{d_i\}$ -- набор метрик, согласованных с топологией. Предположим, что $d_i:\; X\times X \arrow \R^{\geq 0}$ равномерно сходится к $d:\; X\times X \arrow \R^{\geq 0}$, а все метрики $d_i$ внутренние. Докажите, что $d$ -- тоже внутренняя метрика. \ез \задача Пусть $X$ -- пространство с внутренней метрикой, гомеоморфное отрезку. Докажите, что оно изометрично отрезку. \ез \задача Пусть $X$ -- пространство с внутренней метрикой, гомеоморфное окружности. Докажите, что не существует изометрического вложения $X \arrow \R^n$. \ез \задача Пусть $f:\; M \arrow N$ -- отображение пространств с внутренней метрикой, которое сохраняет длины любых путей. Докажите, что это изометрия, или найдите контрпример. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Квазиизометрии и метрика слов на группе (листок 4)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Отображение $f:\; X \arrow Y$ называется {\бф билипшицевым с константой $C$}, или просто {\бф билипшицевым}, если это биекция, причем $f$ и $f^{-1}$ $C$-липшицевы (то есть удовлетворяют $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)$). \ео \определение {\бф $\epsilon$-сеть} в метрическом пространстве $M$ есть такое множество $N\subset M$, что объединение $\epsilon$-шаров с центрами в $N$ равно $M$. \ео \определение Пространства $X$ и $Y$ {\бф квазиизометричны}, если для какого-то $\epsilon$ в $X$ и в $Y$ существуют $\epsilon$-сети $X_\epsilon$ и $Y_\epsilon$, между которыми есть билипшицево отображение. \ео \определение Пусть $G$ -- группа. Множество $S\subset G$ называется {\бф набором образующих}, если все элементы $G$ выражаются через произведения элементов $x_i, x_j^{-1}$, для каких-то $x_i, x_j \in S$. Каждое такое произведение называется {\бф словом} от $x_i, x_j^{-1}$. В дальнейшем, мы будем предполагать по умолчанию, что любой набор образующих $S$ содержит $x^{-1}$ вместе с каждым $x\in S$. \ео \определение Пусть $G$ -- группа, а $S\subset G$ -- набор образующих. {\бф Граф Кэли $G$} есть метрический граф, полученный следующим образом. Вершины графа Кэли суть элементы $G$, а ребра соединяют две вершины $g, g'$, если $g'=gs$, где $s\in S$. Длины всех ребер графа Кэли равны 1. \ео \определение Пусть $G$ -- группа, а $S\subset G$ -- набор образующих. {\бф Метрика слов} $d_S$ на группе есть метрика на $G$ как на множестве вершин графа Кэли. \ео \определение Две группы с заданными наборами образующих называются {\бф квазиизометричными}, если квазиизометричны их графы Кэли. \ео \задача Докажите, что $\Z^n$ с метрикой слов не квазиизометрична $\Z^m$, для $n\neq m$. Докажите, что $\Z^2$ не квазиизометрична свободной группе. \ез \задача Пусть $A=\langle a,b \ \ |\ \ aba^{-1}b^{-1}=b\rangle$ -- группа, заданная образующими $a,b$ и соотношением $aba^{-1}b^{-1}=b$. Докажите, что количество вершин $|B_r(1)|$ в шаре радиуса $r$ растет быстрее любого полинома от $r$. Выведите из этого, что $A$ не квазиизометрична $\Z^n$ для любых $n$. \ез \задача Пусть $\Gamma_0\subset \Gamma$ -- подгруппа конечного индекса. Докажите, что $\Gamma_0$ квазиизометрична $\Gamma$. Выведите из этого, что свободная группа ${\Bbb F}_3$ от трех образующих квазиизометрична ${\Bbb F}_2$. \ез \указание Реализуйте ${\Bbb F}_3$ как подгруппу конечного индекса в ${\Bbb F}_2$. \еу \задача Докажите, что $\R^2$ не квазиизометрично гиперболической плоскости (плоскости Лобачевского) ${\Bbb H}^2$. \ез \задача Докажите, что бесконечномерное гильбертово пространство не квазиизометрично ${\Bbb H}^2$. \ез \задача Пусть конечно-порожденная группа $\Gamma$ свободно и собственно действует изометриями на геодезическом пространстве $X$, а фактор $X/\Gamma$ компактен. Докажите, что $X$ квазиизометрично $\Gamma$ с метрикой слов. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Пространства Александрова (листки 6-8)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $a,b,c$ -- точки в пространстве $(M,d)$ со строго внутренней метрикой, а $\gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow M$ -- кратчайшая с геодезической параметризацией, соединяющая точки $a,b$. Рассмотрим функцию $d_c:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$, переводящую $t$ в $d(c,\gamma(t))$. Пусть $\triangle(\bar a,\bar b, \bar c)\subset \R^2$ -- треугольник сравнения, а $d_{\bar c}:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^{\geq 0}$ -- функция, переводящая $t$ в $d(\bar c, \bar \gamma(t))$, где $\bar \gamma:\; [0, d(a,b)]\arrow \R^2$ обозначает сторону треугольника сравнения с нормальной параметризацией. Функция $d_{\bar c}$ называется {\бф функцией сравнения}. Пространство $M$ называется {\бф пространством неотрицательной/непо\-ложительной кривизны в целом}, если для любых $a,b,c$, функция сравнения удовлетворяет неравенству $d_c\geq d_{\bar c}$ (соответственно, $d_c\leq d_{\bar c}$). Пространство $M$ называется {\бф пространством Александрова неотрицательной/непо\-ложительной кривизны}, если у каждой точки есть окрестность неотрицательной/не\-положительной кривизны в целом. Пространства неположительной кривизны в целом также называются {\бф CAT(0)-пространствами} (в честь Эли Картана, Д. А. Александрова и В. А. Топоногова; это название принадлежит М. Громову). \ео \задача Докажите, что $\R^n$ с нормой $L^1$ не имеет ни неотрицательной, ни неположительной кривизны. \ез \задача Пусть $M$ -- векторное пространство с нормой, которое является пространством неотрицательной кривизны. Докажите, что эта норма евклидова. \ез \определение Пусть $(X,d_X)$ и $(Y,d_Y)$ -- метрические пространства. Рассмотрим метрику вида $d:\; (X\times Y)\times (X\times Y)\arrow \R^{\geq 0}\cup\infty$: \[ d((x_1,y_1), (x_2,y_2))=\sqrt{d_X(x_1,x_2)^2 + d_Y(y_1,y_2)^2}. \] Эта метрика называется {\бф метрикой произведения}, а пространство $(X\times Y,d)$ -- {\бф произведением} метрических пространств. \ео \задача Докажите, что произведение пространств неотрицательной кривизны -- пространство неотрицательной кривизны. \ез \задача Пусть $\R^2\vee \R$ -- букет евклидовых пространств $\R^2$ и $\R$ с метрикой, полученной склейкой. Докажите, что это пространство неположительной кривизны. \ез \задача Пусть $M\subset \R^2$ -- евклидова плоскость с вырезанным из нее кругом. Докажите, что $M$ -- пространство неположительной кривизны. \ез \определение {\бф Геодезическое пространство} есть пространство, любые две точки которого соединяются кратчайшей. {\бф Пространство Адамара} есть полное, односвязное пространство Александрова неположительной кривизны, которое геодезично. \ео \определение {\бф Выпуклая функция} на геодезическом пространстве есть функция, которая выпукла на любой кратчайшей. {\бф Выпуклое подмножество} есть подмножество, которое содержит вместе с любой парой точек любую соединяющую их кратчайшую. \ео \определение Функция $f:\; M \arrow \R$ на метрическом пространстве называется {\бф $\lambda$-выпуклая}, если для любой геодезической $\gamma:\; [0,t]\arrow M$, фукция $u \arrow f(\gamma(u))-\lambda u^2$ выпукла. \ео \задача Докажите, что в пространстве Адамара расстояние до выпуклого множества -- выпуклая функция. \ез \задача Пусть $\lambda >0$. Докажите, что любая $\lambda$-выпуклая функция на полном геодезическом пространстве имеет минимум. \ез \задача Пусть $M$ -- геодезическое пространство. Обозначим за $K_4(M)\subset \R^6$ подмножество в $\R^6$, образованное числами $|ab|,|ac|,|ad|,|bc|,|bd|,|cd|$ для всех четверок $\{a,b,c,d\}\subset M$. Предположим, что $K_4(M)\subset K_4(\R^2)$. Постройте изометрию между $M$ и выпуклым подмножеством $\R^2$. \ез \задача Предположим, что $K_4(M)\subset K_4({\Bbb H}^2)$. Постройте изометрическое вложение из $M$ в гиперболическую плоскость ${\Bbb H}^2$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Пространства, гиперболические по Громову (листкок 9)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Геодезический треугольник} $\triangle(abc)$ в метрическом пространстве есть треугольник, составленный из трех вершин $a,b,c$, соединенных кратчайшими, которые я буду обозначать за $[a,b],[b,c]$ и $[c,a]$. {\бф Талия} треугольника есть супремум расстояния от точки $z$, лежащей на одной из сторон, до объединения двух других. Треугольник называется {\бф $\delta$-тонким (по Рипсу)}, если его талия не больше $\delta$. Иначе говоря, каждая сторона такого треугольника лежит в $\delta$- окрестности двух других. \ео \определение Метрическое пространство $X$ с внутренней метрикой называется {\бф $\delta$-гиперболическим} (по Рипсу), если все геодезические треугольники $\delta$-тонкие. Будем говорить, что $X$ {\бф гиперболично}, если оно $\delta$-гиперболично для какой-то константы $\delta$. \ео \задача Пусть $M$ -- геодезическое пространство, такое, что любая петля может быть стянута в точку внутри своей $\delta$-окрестности. Докажите, что $M$ гиперболично. \ез \задача Пусть $a,b, c,d$ -- четыре точки в $\delta$-гиперболическом геодезическом пространстве. Докажите, что существует дерево $T$ из пяти геодезических сегментов, соединяющих $a,b,c$ и $d$, такое, что $D$ лежит в $\delta$-окрестности $T$, a $T$ лежит в $\delta$-окрестности $D$. \ез \задача Пусть $M$ $\delta$-гиперболическое, а $D$ -- геодезический $2^n$-угольник. Докажите, что каждая его сторона лежит в $n\delta$-окрестности остальных сторон. \ез \определение {\бф $\epsilon$-квазивыпуклое} подмножество геодезического пространства есть такое подмножество $Z\subset M$, что кратчайшая, соединяющая любые две точки $Z$, лежит в $\epsilon$-окрестности $Z$. \ео \задача Пусть $M$ -- $\delta$-гиперболическое пространство, а $B_r(x)$ -- шар радиуса $r$. Докажите, что он $\delta$-квазивыпуклый. \ез \задача Пусть $x,y, z$ -- точки на границе шара $B_r(s)$ в $\delta$-гиперболическом пространстве, причем расстояние $|xy|=|yz| =d< \frac 1 {10} r$. Докажите, что $|xz|\leq d +4 \delta$. \ез \задача Пусть $\gamma_1, \gamma_2:\; \R\arrow M$ -- бесконечные кратчайшие в $\delta$-гиперболическом пространстве, причем какая-то точка $\gamma_1$ отстоит от $\gamma_2$ на расстояние больше $2\delta$. Докажите, что $\lim_{t \arrow \infty}d(\gamma_1(t), \gamma_2(t))=\infty$. и $\lim_{t \arrow -\infty}d(\gamma_1(t), \gamma_2(t))=\infty$. \ез \end{document}